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1 La plus grosse corde d une guitare a une longueur de 9,9 cm et une masse de 5,58 g. On l installe sur la guitare et on fait des ondes stationnaires dans la corde. Une fois installée, il y a 65,5 cm entre les deux points d attache de la corde. Quelle doit être la tension de la corde pour que la fréquence de la première harmonique soit de 8,4 Hz (qui est la fréquence que doit avoir la grosse corde d une guitare)? mathforum.org/mathimages/index.php/special:humb Découvrez comment résoudre ce problème dans ce chapitre.

2 Qu est-ce qu une onde mécanique? Supposons qu au départ, on a de la matière immobile. Cette matière va s appeler le milieu. Soudainement, quelque chose déplace un peu de matière dans ce milieu. Ce déplacement est une perturbation. On remarque alors que la perturbation se propage dans la matière. Cette perturbation qui se propage est une onde. Prenons un exemple pour illustrer le tout : un ressort tendu (montré sur la figure). Initialement, le ressort (qui est le milieu) est immobile. Soudainement, on déplace un peu le bout du ressort, ce qui crée une perturbation. Cette perturbation va alors se propager le long du ressort jusqu à ce qu elle arrive à l autre bout. On vient de faire une onde dans le ressort. Ce type d onde dans la matière porte le nom d onde mécanique progressive. Une onde mécanique est une perturbation d un milieu matériel. Certaines ondes ne sont pas des ondes mécaniques. La lumière, par exemple, est une perturbation des champs électrique et magnétique qui se propage. Comme ces champs ne sont pas faits de matière, la lumière n est pas une onde mécanique. Progressive signifie que c est une onde qui se déplace. Nous verrons plus tard qu il existe aussi des ondes stationnaires. Une onde mécanique progressive est une perturbation qui se propage dans un milieu. Vous pouvez voir dans ce vidéo une onde mécanique progressive dans un ressort. Haber-Schaim, Cross, Dodge, Walter, ougas, Physique PSSC, éditions CEC, 1974 Il y a plusieurs types d ondes. Par exemple, quand on lance une pierre dans l eau, il y a une perturbation qui apparait à l endroit où la pierre est entrée dans l eau. On voit alors cette perturbation se propager à la surface de l eau sous forme de vagues. Le saut de ce fou crée des ondes à la surface de l eau lors du contact. Version 017b -Les ondes mécaniques

3 La matière n est pas transportée par l onde vant l arrivée de l onde, les particules composant le milieu sont dans une position d équilibre. Quand l onde passe dans le milieu, elle déplace les particules le composant. outefois, l onde ne fait que déplacer temporairement la matière. Celle-ci reviendra à sa position d équilibre après le passage de l onde. On peut bien voir ce phénomène sur l image de droite dans laquelle une onde passe dans un ressort tendu. Un point du milieu a été identifié par un point noir. Quand l onde passe, on voit que ce point est déplacé de sa position d équilibre et qu il revient à sa position d équilibre après le passage de la perturbation. La matière composant le milieu n est donc pas transportée par l onde, elle ne fait que se déplacer temporairement de la position d équilibre lors du passage de l onde. près le passage de l onde, chaque morceau de matière composant le ressort est revenu à même position qu il avait avant le passage de l onde. L animation suivante vous montre aussi ce phénomène. (et cliquez sur Signal au bas) On peut voir dans ce vidéo un petit canard se déplacer autour d une position d équilibre lors du passage de vagues. Il n est pas entrainé par la vague. Haber-Schaim, Cross, Dodge, Walter, ougas, Physique PSSC, éditions CEC, 1974 Quand on observe des vagues sur une plage, il est évident qu elle pousse de la matière, comme des algues ou des surfeurs. Ces vagues sont différentes parce qu elles déferlent. C est ce qui arrive quand la hauteur de l onde devient trop grande par rapport à la profondeur. Il s agit d un type d onde bien différent de ce qu on va traiter ici. On traite ici d ondes qui correspondent aux vagues qui ne déferlent pas. Ondes transversales et longitudinales Ondes transversales Dans une onde transversale, le mouvement de la matière formant le milieu est dans une direction perpendiculaire à la direction de propagation de l onde. C est le cas, par exemple, des ondes dans une corde. Version 017b -Les ondes mécaniques 3

4 hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/sound/tralon.html Ondes longitudinales Dans une onde longitudinale, le mouvement de la matière formant le milieu est dans la même direction que la direction de propagation de l onde. On peut faire ce type d onde dans un ressort. Le vidéo suivant montre une animation des deux types d ondes. yperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/sound/tralon.html Le vidéo suivant vous montre qu on peut faire les deux types d ondes dans un ressort. L applet suivant vous permet d explorer le mouvement de la matière lors du passage d une onde transversale ou longitudinale. Les ondes sont possibles uniquement s il y a une force qui s oppose à la déformation du milieu Si on veut qu il y ait une onde dans un milieu, il doit y avoir une force qui s oppose aux déformations du milieu. Si on déplace une corde tendue de la position d équilibre, la tension de la corde cherchera à ramener la corde à sa position d équilibre. Il y a donc une force qui s oppose aux déformations du milieu. Version 017b -Les ondes mécaniques 4

5 Les ondes longitudinales dans la matière sont des ondes de compression. Quand on compresse un objet, l élasticité du corps s oppose à cette compression. Comme il y a une force qui s oppose à cette compression, il est possible d avoir des ondes de compression dans toutes les substances. (Ces ondes sont en fait des ondes sonores.) Dans les ondes transversales, la matière est déplacée d un côté à l autre de la direction de propagation. Dans un solide, ce déplacement de matière entraine des forces de compression et d élasticité qui cherchent à rétablir la position de départ et les ondes transversales sont possibles. Dans les fluides (liquides et gaz), il n y a aucune force qui s oppose au déplacement de la matière. Si on prend un morceau d eau et qu on le déplace un peu, aucune force ne cherche à ramener l eau déplacée à l endroit de départ. Les ondes transversales sont donc impossibles dans les fluides. C est cette propriété qui permet de savoir que l intérieur de la erre est liquide. Les tremblements de terre envoient des ondes longitudinales et transversales partout dans la erre. Comme on capte seulement les ondes longitudinales de l autre côté de la erre, cela veut dire que les ondes transversales ne peuvent traverser l intérieur de la erre et donc que l intérieur de la erre est liquide. En déterminant à quels endroits on peut recevoir les ondes transversales sur erre, on peut même déterminer la taille de la région liquide. principles.ou.edu/eq_seismo/seismo_interior_simple.html Pourquoi des ondes sinusoïdales? Nous allons maintenant nous concentrer sur des ondes dont la forme est décrite par une fonction sinusoïdale. Cela semble un peu restrictif, car l onde peut avoir n importe quelle forme, mais ça ne l est pas puisqu on peut démontrer que n importe quelle forme d onde peut être écrite comme étant une somme d ondes sinusoïdales. C est le théorème de Fourier, qui est le résultat de 30 ans de débat au début du 19 e siècle. On peut voir sur la figure ci-contre comment une somme de sinus peut donner une onde de forme différente. La somme des 6 fonctions sinusoïdales du haut donne le signal du bas. Cette somme est une série de Fourier et c est un sujet important des mathématiques universitaires. acousticslab.org/psychoacoustics/pmfiles/ Module0.htm Version 017b -Les ondes mécaniques 5

6 Le clip suivant vous montre comment on arrive à des formes d onde particulière en additionnant des fonctions sinusoïdales (appelés ici des harmoniques) Un peu de vocabulaire Pour une onde sinusoïdale dans une corde, on a les éléments suivants L amplitude () est la valeur du déplacement maximum du milieu. Les crêtes sont les endroits où le déplacement du milieu atteint sa valeur maximale positive. Les creux sont les endroits où le déplacement de milieu atteint sa valeur maximale négative. Les nœuds sont les endroits où le déplacement du milieu est nul. Les points en phase sont des points qui sont à la même position sur un cycle du sinus. Il peut y avoir un ou plusieurs cycles entre ces points en phase. On remarque que toutes les crêtes sont en phase et que tous les creux sont en phase. La longueur d onde (λ) est la distance entre les crêtes. (De façon correcte, c est la distance entre deux points en phase les plus près. C est donc la longueur d un cycle du sinus.) L onde se déplace à une certaine vitesse (v), déterminée par les caractéristiques du milieu. Peu importe l amplitude et la longueur d onde, la vitesse est toujours la même. Examinons maintenant le mouvement d un endroit précis du milieu pour voir comment il bouge. On va prendre une onde transversale pour illustrer. Version 017b -Les ondes mécaniques 6

7 vec le passage de l onde, la particule du milieu montrée sur la figure va monter et descendre. En ce moment, elle est en train de monter puisque c est une crête qui arrive. La particule doit monter puisqu elle formera la crête de l onde dans quelques instants. On prouvera un peu plus tard (dans un exemple) que le mouvement de cette particule est un mouvement harmonique simple. Selon ce qu on a vu au chapitre 1, ce mouvement des particules du milieu est caractérisé par la fréquence et la période. Dans l animation suivante, on envoie des ondes sinusoïdales dans un milieu. (et cliquez sur Progressive au bas) On remarque assez facilement que chaque morceau du milieu semble faire une oscillation harmonique quand l onde passe. La période de l onde () est le temps que prendront les particules du milieu pour faire une oscillation complète. La fréquence de l onde (f) est le nombre d oscillations que feront les particules du milieu en une seconde. La relation trouvée au chapitre 1 entre ces deux quantités est toujours valide. f 1 Lien entre la fréquence et la longueur d onde Pour trouver le lien entre la longueur d onde et la fréquence, on va prendre la situation suivante sur une corde. Version 017b -Les ondes mécaniques 7

8 La particule au bout du milieu, identifiée par *, est, à ce moment, au somment de son mouvement. vec l onde qui arrive, elle va descendre puis remonter pour atteindre de nouveau sa position maximale quand la crête suivante arrivera au bout de la corde. La particule aura alors fait un cycle complet. Cela veut dire que le temps pour faire une oscillation (période ) est égal au temps que ça va prendre pour que la crête arrive au bout de la corde. Comme cette crête est à une distance λ et qu elle arrive avec une vitesse v, le temps qu elle prend pour arriver est λ/v. On a donc Ce qui nous donne Lien entre λ et f ou lien entre λ et λ v λ v λ f Fonction décrivant l onde Imaginons qu il y a une onde sinusoïdale dans une corde. Dans ce cas, le déplacement de la matière se fait perpendiculairement à la direction de propagation de l onde. hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/sound/tralon.html On va trouver une formule qui nous donne le déplacement de la corde par rapport à la position d équilibre (ligne pointillée à y 0). Ce déplacement sera noté y. On sait que l onde sinusoïdale à la forme d un sinus. Pour que l onde monte jusqu à la hauteur, on devra multiplier le sinus par puisque la valeur maximale d un sinus est 1. Un sinus a un cycle de π, mais on doit pouvoir ajuster la longueur du cycle pour avoir n importe quelle longueur d onde. On y arrive avec la fonction π y sin x λ Version 017b -Les ondes mécaniques 8

9 Si on commence un cycle à x 0, le cycle doit se terminer à x λ. Si on met x λ dans cette équation, on a sin (π). Il y a donc bel et bien un cycle, car la période d un sinus est π. Sous cette forme, cette fonction ne peut pas décrire une onde, car elle est immobile. On doit pouvoir la modifier pour que la fonction se déplace en fonction du temps. Pour trouver cette fonction, on va travailler avec deux systèmes d axes. Il y aura un système d axe immobile (x et y) et un système d axe qui suit le sinus dans son déplacement (x' et y'). Comme les axes x' et y' suivent le sinus dans son déplacement, le sinus est immobile par rapport à ces axes. L équation du sinus avec ces axes est donc π y ' sin x ' λ Pour avoir cette fonction avec des axes immobiles, on doit trouver le lien entre ces deux systèmes d axes. La valeur de x est la distance entre un point du plan et l axe des y alors que x' est la distance entre le point et l axe des y'. On a alors, selon la figure, x' x vt Version 017b -Les ondes mécaniques 9

10 Les valeurs de y et y' sont les distances entre le point et les axes des x et des x'. Comme les axes des x et des x' sont à la même hauteur, on a donc y ' y En effectuant le changement dans l équation du sinus, on obtient π y ' sin x ' λ π y sin ( x vt) λ π π v y sin x t λ λ Cette onde se déplace vers les x positifs. Si on voulait que l onde se déplace vers les x négatifs, on changerait le signe de la vitesse. On peut donc avoir π π v y sin x ± t λ λ où on utilise le signe si l onde va vers les x positifs et le signe + si l onde va vers les x négatifs. Puisque v λ f on obtient y sin π x ± π ft λ Certaines combinaisons de variables sont courantes dans l étude des ondes et on a inventé des symboles pour les représenter. Définition de k et ω π k λ π ω π f Version 017b -Les ondes mécaniques 10

11 k (à ne pas confondre avec la constante des ressorts du chapitre 1) est le nombre d onde. Il est en /m et il représente le nombre de cycles de l onde qu on a sur une distance de π mètres. ω, qui est identique au ω utilisé au chapitre 1, est la fréquence angulaire. Elle est en /s et elle représente le nombre de cycles d oscillation effectuée durant un temps de π secondes. Il y a un lien entre ces variables et la vitesse. Ce lien se trouve ainsi. On a donc Lien entre ω et k v λ f λ v π f π 1 v ω k v ω k vec ces nouvelles variables, la fonction décrivant l onde devient donc y kx ± t sin ( ω ) Il s agit d une onde sinusoïdale se déplaçant avec une vitesse v vers les x positifs ou les x négatifs selon le signe choisi dans le sinus. On n a pas encore la forme la plus générale. Pour l instant, on peut ajuster l amplitude, la longueur d onde et la vitesse de déplacement, mais pas la forme de l onde à t 0. vec cette formule, on doit avoir la forme suivante à t 0. L onde doit avoir y 0 à x 0. Or il se pourrait très bien que l onde ait une forme différente à t 0. Par exemple, elle pourrait être de la forme suivante. Version 017b -Les ondes mécaniques 11

12 Ça reste une forme sinusoïdale, mais elle est déplacée vers la gauche. Or, on sait comment décaler un sinus à t 0 : il faut ajouter une constante de phase φ. Selon la valeur de la constante de phase, le sinus sera plus ou moins décalé d un côté ou de l autre à t 0. On aura alors le résultat final suivant. Fonction décrivant une onde sinusoïdale progressive y kx ± t + sin ( ω φ ) On choisit le signe négatif si l onde va vers les x positifs. On choisit le signe positif si l onde va vers les x négatifs. Examinons si on obtient bien une onde qui se déplace à la bonne vitesse. Choisissons une amplitude de 1 cm, une longueur d onde de cm et une vitesse de 1 cm/s vers les x positifs. Cela implique que la fréquence est de 0,5 Hz. Choisissons également une constante de phase nulle. L équation de cette onde est donc ( π π ) y 1cm sin 100 x t À t 0, l onde est donc y 1cm sin ( 100π x) m m. Le graphique de cette fonction est s À t 0,5 s, l équation est 1 sin ( 100 π y cm π x ). Le graphique de cette fonction est m Version 017b -Les ondes mécaniques 1

13 À t 1 s, l équation est y 1cm sin ( 100π x π ). Le graphique de cette fonction est m 3 À t 1,5 s, l équation est 1 sin ( 100 π y cm π x ). Le graphique de cette fonction est m On voit très bien dans cette série de graphiques que le sinus se déplace vers la droite avec une vitesse de 1 cm/s. Ondes longitudinales On se rappelle que dans une onde longitudinale, l oscillation de la matière est dans la même direction que la direction de propagation de l onde. hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/sound/tralon.html Version 017b -Les ondes mécaniques 13

14 Le déplacement ne se faisant pas dans la direction des y, nous ne pourrons pas noter ce déplacement par la lettre y. Nous ne pouvons pas utiliser x non plus, car il est déjà utilisé pour indiquer la position des particules du milieu. Nous allons donc utiliser la lettre s pour indiquer le déplacement des particules du milieu par rapport à leurs positions d équilibre. Le déplacement du milieu pour une onde longitudinale sinusoïdale est donc s kx ± t + sin ( ω φ ) Pour une onde dans un ressort, la fonction ressemble à ceci. hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/sound/tralon.html Dans les calculs qui suivent, on ne donnera que les formules pour les ondes transversales, mais on peut très bien obtenir les formules pour les ondes longitudinales en remplaçant y par s. Vitesse et accélération des particules du milieu À partir de la formule de la position des particules du milieu en fonction du temps, on peut obtenir la formule de la vitesse et de l accélération des particules du milieu. Comme la vitesse est la dérivée de la position, on a Ce qui nous donne v y y t Vitesse des particules du milieu v ± ω cos( kx ± ωt + φ ) y On choisit le signe négatif si l onde va vers les x positifs. On choisit le signe positif si l onde va vers les x négatifs. vy max ω Version 017b -Les ondes mécaniques 14

15 Erreur fréquente : Confondre v et v y Il faut éviter de confondre la vitesse de l onde et la vitesse de déplacement de particule du milieu. Dans le cas d une corde, la vitesse de l onde (v) est la vitesse de déplacement des crêtes dans le sens des x alors que la vitesse du milieu (v y ), (ici la vitesse de la corde) est dans le sens des y. Il n y a pas de lien direct entre ces deux vitesses. On trouve l accélération en dérivant une fois de plus. Ce qui nous donne ccélération des particules du milieu a t v y a ω kx ± ωt + φ sin ( ) On choisit le signe négatif si l onde va vers les x positifs. On choisit le signe positif si l onde va vers les x négatifs. amax ω Calcul des valeurs de et φ à partir des conditions initiales On peut calculer les valeurs de et φ si on sait la position et la vitesse de la corde à un certain endroit et à un certain moment. À partir de la formule de la position on a sin ( kx ωt φ ) ± + y À partir de la formule de la vitesse de la corde on a Version 017b -Les ondes mécaniques 15

16 ± v cos( ) y kx ± ωt + φ ω Puisque ( kx ωt φ ) ( kx ωt φ ) sin ± + + cos ± + 1 on a v y y + 1 ω Ce qui nous donne Calcul de l amplitude de l onde y v y + ω ussi, puisque on a sin cos ( kx ± ωt + φ ) ( kx ± ωt + φ ) tan ( kx t ) ( kx ωt φ ) tan ± + y ( ) ± ω + φ ± vy ( ω ) Ce qui nous donne Calcul de la constante de phase ω y ± + ± v tan ( kx ωt φ ) On choisit le signe négatif si l onde va vers les x positifs. On choisit le signe positif si l onde va vers les x négatifs. y ttention : - La valeur de φ est en ians. Mettez votre calculatrice en ians pour obtenir la bonne valeur. Version 017b -Les ondes mécaniques 16

17 - Si la valeur de ± v y est négative, il faut ajouter π ians à la réponse obtenue avec la calculatrice. - Si la vitesse est nulle, vous devez faire l arctangente de infini ou de infini selon le signe de y. Ne paniquez pas, les réponses de ces arctangentes sont π/ et π/. Exemple..1 Une onde sinusoïdale progressive se dirige vers les x positifs sur une corde tendue. La longueur d onde est de 40 cm et la fréquence est de 8 Hz. À t 0 s et x 0 m, le déplacement de la corde est y 15 cm et la vitesse de la corde est v y 1000 cm/s. a) Quelle est la période? La période est 1 1 0,15s f 8Hz b) Quelle est la vitesse de l onde? La vitesse de l onde est v λ f 0,4m 8Hz 3, m s c) Quelle est la fonction représentant cette onde? La fonction est y kx t + sin ( ω φ ) On a choisi le signe négatif, car l onde va vers les x positifs. Reste à trouver k, ω, et φ. Le nombre d onde est La fréquence angulaire est π π k 5π λ 0, 4m m ω π f π 8Hz 16π s Version 017b -Les ondes mécaniques 17

18 On trouve l amplitude avec et la constante de phase avec vy y + ω + 4,9cm cm 1000 ( 15cm) s 16π s tan tan ( kx ωt φ ) ( φ ) ω y + v 16π 15cm 1000 ( φ ) tan 0, 754 φ, 496 (On ajoute π à la valeur de la calculatrice parce que le diviseur est négatif.) La fonction représentant l onde est donc cm s ( π π ) y 4,9cmsin 5 x 16 t +,496 m s y d) Quelle est la position en fonction du temps du morceau de corde situé à x 0 cm? Si on met x 0 cm dans l équation précédemment obtenue, on a ( π m π s ) ( π ) y 4,9cmsin 5 0, m 16 t +, 496 4,9cm sin 16 t + 5, 638 s Ce n est peut-être pas évident à cause du signe négatif de ω, mais c est l équation d une oscillation harmonique. Pour les puristes qui n aiment pas ce signe négatif, on peut l enlever avec certaines propriétés des sinus. ( π s ) ( π s ) ( π ) y 4, 9cmsin 16 t + 5, 638 4,9cmsin 16 t 5, 638 4,9cm sin 16 t, 496 Pour cette dernière étape, on a utilisé sin x sin (x + π) s Version 017b -Les ondes mécaniques 18

19 On obtient donc une formule décrivant un mouvement harmonique. On obtiendrait une fonction sinusoïdale similaire (mais avec un φ différent) pour n importe quelle position x. Cela prouve bien que chaque morceau de corde fait un mouvement harmonique lors du passage d une onde sinusoïdale. e) Quelle est la vitesse maximale de la corde? La vitesse maximale de la corde est v max ω 16π 0, 49m 1,5 m y s s f) Quelle est la vitesse de la corde à x 1 m et t 1 s? La formule donnant la vitesse de la corde est À t 1 s et x 1 s, on a 1 π ( π π ) ( π x π t ) v 0, 49m 16 s cos 5 x 16 t +, 496 y m s m 1,5 cos , 496 s m s ( π π ) m v 1,5 cos 5 1m 16 1s +, 496 y s m s 10,00 m s La vitesse des ondes ne dépend que du milieu (dans un milieu non dispersif) Presque partout dans ces notes, nous allons parler d ondes dans des milieux non dispersifs. Cela signifie que toutes les ondes, peu importe leur forme, vont à la même vitesse dans un milieu. Vitesse dans un milieu non dispersif outes les ondes vont à la même vitesse dans un milieu non dispersif. Les ondes sonores qui se propagent dans l air sont dans un milieu non dispersif. insi, les sons graves et aigus vont à la même vitesse dans l air. Si ce n était pas le cas, le son pourrait être considérablement modifié si les sons aigus allaient plus vite que les sons graves par exemple. On entendrait alors les sons aigus avant les sons graves. Ça modifierait bien Version 017b -Les ondes mécaniques 19

20 l allure d un spectacle de musique si le son de la basse arrivait 1 seconde après le son de la guitare. Pour changer la vitesse d une onde, il faut changer le milieu. Pour une onde dans une corde, cela peut vouloir dire qu on va changer la tension de la corde. Pour une onde sonore, on peut modifier la température de l air par exemple. Cela implique aussi que l onde gardera toujours la même forme en se propageant dans le milieu. Dans un milieu dispersif, la forme de l onde va changer à mesure que l onde va se propager. Erreur fréquente : la vitesse change avec λ ou f. Il arrive parfois que certains étudiants utilisent la formule v λf pour déduire que la vitesse de l onde change si on change la longueur d onde ou la fréquence. C est faux. La vitesse de l onde est toujours la même, pour toutes les longueurs d onde. Cette formule nous dit plutôt que la fréquence va changer si on change la longueur d onde puisque la vitesse doit rester la même. On peut voir une démonstration de cela dans le vidéo suivant. Dans la séquence du haut, il y a une onde avec une fréquence plus petite que dans la séquence du bas. On voit très bien qu une fréquence plus basse nous donne une longueur d onde plus grande. On remarque aussi que la vitesse de l onde est la même bien que l onde soit différente. Les ondes transversales et longitudinales peuvent avoir des vitesses différentes dans le même milieu Dans un solide, il peut y avoir des ondes longitudinales et des ondes transversales. Comme les forces qui s opposent à la déformation à l origine de la propagation de ces ondes sont différentes pour ces deux types d ondes, elles peuvent avoir des vitesses différentes. Même si les ondes se propagent dans le même milieu, la vitesse de ces deux types d ondes peut être différente, car elles ne sont pas de même nature. outes les ondes longitudinales ont la même vitesse et toutes les ondes transversales ont la même vitesse, différente de celle des ondes longitudinales. Par exemple, les tremblements de terre créent des ondes longitudinales et transversales dans le sol. Dans ce cas, les ondes longitudinales vont plus vite que les ondes transversales. En gros, les ondes longitudinales ont une vitesse de 6 km/s près de la surface de la erre alors que les ondes transversales ont plutôt une vitesse de 3 km/s. On peut même calculer la distance de l épicentre en mesurant l écart de temps entre l arrivée des ondes longitudinales (qu on appelle les ondes primaires, parce qu elles arrivent en premier) et transversales (qu on appelle les ondes secondaires). Version 017b -Les ondes mécaniques 0

21 La vitesse des ondes dans une corde Pour trouver la vitesse des ondes dans une corde tendue, nous allons calculer les forces qui s exercent sur un petit morceau de corde. Supposons que l onde a la forme suivante. Nous allons regarder les forces sur le morceau situé au sommet de l onde. La tension et l angle étant les mêmes de chaque côté du petit morceau, la somme des forces en x est nulle par symétrie. Par contre, elle n est pas nulle en y. Elle est plutôt F y θ F sin Si le morceau est très petit, l angle sera minuscule et on peut alors faire l approximation que sinθ θ. On a alors θ Fy F Ftθ L angle est simplement la longueur de l arc de cercle (la longueur du petit bout de corde) divisé par le rayon de courbure. On a donc l F F r y Il faut ensuite trouver l accélération du morceau de corde. Il y a un truc pour y arriver assez facilement : on prend le point de vue d un observateur se déplaçant à la même vitesse que Version 017b -Les ondes mécaniques 1

22 l onde. Pour cet observateur, l onde est immobile et c est la corde qui se déplace vers la gauche à la vitesse v. u point le plus haut de l onde, la corde suit alors un arc de cercle et fait donc un mouvement circulaire. Comme la corde fait une partie de mouvement circulaire au sommet de l onde, son accélération est On a donc v a r F y ma l v F m r r F l mv y La masse du petit morceau de corde dépend de sa longueur. Si la masse linéique de la corde (en kg/m) est alors, la masse du morceau est masse µ longueur masse µ longueur m µ l On a donc F l mv F l µ lv F µ v Ce qui donne finalement Version 017b -Les ondes mécaniques

23 Vitesse des ondes dans une corde v F µ On voit que cette vitesse ne dépend pas de la forme de l onde, mais uniquement des caractéristiques du milieu comme la force de tension et la densité de la corde. Exemple.3.1 Une masse de kg est suspendue à l extrémité d une corde de 6 m de long et ayant une masse de 300 g tel qu illustré sur la figure. Quelle est la vitesse des ondes dans la corde? La vitesse des ondes dans une corde est donnée par v F µ Pour trouver la vitesse, il faut donc trouver la tension et la masse linéique. La tension de la corde se trouve en faisant la somme des forces sur la masse. La masse linéique de la corde est La vitesse est donc F mg + F 0 y F F mg 19,6N µ masse 0,3kg 0,05 longueur 6m F 19,6N v 19,8 µ 0,05 kg m m s kg m Version 017b -Les ondes mécaniques 3

24 L onde ne transporte peut-être pas de matière, mais elle transporte de l énergie. On va déterminer combien il y a d énergie dans une onde et à quel rythme elle est reçue au bout de la corde (ce qui est la puissance de l onde). Énergie dans une onde sinusoïdale Supposons qu il y ait une onde sinusoïdale ayant une certaine longueur D dans une corde, telle qu illustrée dans cette figure. Chaque particule (de masse m) composant la corde fait alors une oscillation harmonique. L énergie d une masse en oscillation harmonique étant de 1 E mω l énergie de toutes les masses en oscillation est 1 E mω 1 ( m) ω 1 Mω où M est la masse de la corde dans la région où il y a l onde. Cette masse est M µ longueur µ D On obtient alors Énergie d une onde sinusoïdale de longueur D (en joules) 1 E µ Dω Version 017b -Les ondes mécaniques 4

25 Puissance d une onde sinusoïdale On va maintenant calculer comment cette onde amène d énergie chaque seconde au bout de la corde. Cette puissance est Puissance Énergie temps On a déjà la quantité d énergie dans l onde. Reste à trouver pendant combien de temps cette onde amène de l énergie au bout de la corde. On commence à compter le temps quand le devant de l onde arrive et on arrête de compter le temps quand le derrière de l onde arrive. Le temps est donc le temps que va prendre le derrière de l onde pour arriver quand le devant de l onde vient d arriver au bout de la corde. Or, le derrière de l onde est à une distance D et arrive avec la vitesse v. Le temps d arrivée de l onde est donc D temps v On a donc Puissance 1 µ Dω D v Ce qui permet d obtenir Puissance d une onde sinusoïdale (en watts) 1 P µ vω Version 017b -Les ondes mécaniques 5

26 Exemple.4.1 Une onde sinusoïdale dans une corde a une longueur de 3 m, une longueur d onde de 5 cm et une amplitude de 1 cm. La tension de la corde est de 500 N et sa masse linéique est de 50 g/m. a) Quelle est l énergie dans cette onde? L énergie est 1 E µ Dω On doit donc trouver la vitesse de l onde et la fréquence pour calculer l énergie. La vitesse est La fréquence est F 500N v 100 µ 0,05 kg m m s m 100 0, 5m s v λ f f 400Hz f L énergie est donc b) Quelle est la puissance de cette onde? La puissance est 1 E µ Dω 1 0,05 kg m 3 m 400 Hz 0,01 m 47,37J ( π ) ( ) 1 P µ vω 1 0,05 kg 100 m m s 400 0, W ( π Hz) ( m) Version 017b -Les ondes mécaniques 6

27 L interférence est la superposition d ondes. Le résultat de la rencontre de deux ondes est particulièrement simple : les déplacements provoqués par chacune des ondes s additionnent. C est ce qu on appelle le principe de superposition. Principe de superposition y y + y + y + tot 1 3 Illustrons le tout par un exemple. Deux ondes ayant une forme rectangulaire se dirigent l une vers l autre. Les distances sont indiquées en centimètres sur la figure par un quadrillage. Chaque onde a une vitesse de 1 cm/s et provoque un déplacement de 1 cm de la corde par rapport à la position d équilibre. À t 1 s, les devants de chaque onde arrivent en contact et l interférence commence. À t s, l onde de longueur 1 se retrouve au milieu de l onde de longueur 3. On voit qu à cet endroit, les déplacements provoqués par chaque onde (qui est de 1 cm) s additionnent pour faire un déplacement de cm. À t 3 s, l interférence se termine et à t 4 s, on voit les deux ondes qui reprennent leur forme initiale et continue leur chemin. Le passage des deux ondes l une à travers l autre n affecte pas du tout la forme des ondes. Elles reprennent la même forme après qu elles aient interféré. Dans ce cas, le déplacement de la corde est plus grand à l endroit où les ondes se superposent que le déplacement provoqué par une seule onde. On parle alors d interférence constructive. Vous pouvez admirer un magnifique clip illustrant le résultat de la rencontre de deux ondes sur une corde. L onde du haut est l onde allant vers la droite. L onde du milieu est l onde allant vers la gauche et au bas on retrouve l addition de ces deux ondes. Vous pouvez aussi regarder cette démonstration. Version 017b -Les ondes mécaniques 7

28 Dans cet autre exemple, une des ondes faisant un déplacement négatif sur la corde. À t s, la petite onde se retrouve au milieu de la grande onde. À l endroit où les ondes se superposent, le déplacement fait par la grande onde (1 cm) s additionne au déplacement fait par la petite onde (-1 cm). Le résultat est 0 cm et on voit que la corde est à sa position d équilibre partout où la petite onde interfère avec la grande onde. Dans ce cas, le déplacement de la corde est nul à l endroit où les ondes se superposent. Quand le déplacement résultant de la superposition des ondes est inférieur au déplacement fait par une seule onde, on parle d interférence destructive. On voit encore une fois qu après le passage des ondes l une à travers l autre, elles ont repris exactement la même forme qu elles avaient avant de se superposer. Encore une fois, vous pouvez admirer la rencontre de deux ondes, mais cette fois-ci une onde fait un déplacement positif (celle allant vers la droite) et une autre fait un déplacement négatif (celle allant vers la gauche). Voici aussi une démonstration d interférence destructive. Ces éléments sont vrais uniquement pour ondes dans des milieux linéaires. Dans un milieu non linéaire, l onde résultante de la superposition des ondes n est pas simplement la somme des ondes. ussi, dans un milieu non linéaire, la forme des ondes après leur passage l une à travers l autre est différente de la forme qu elles avaient avant qu elles se rencontrent. On n explorera pas les milieux non linéaires dans ces notes. Passage d un milieu à un autre Il peut arriver qu une onde change de milieu. Ce pourrait être une onde qui passe d une corde à une autre corde quand les cordes sont reliées bout à bout. Version 017b -Les ondes mécaniques 8

29 Vitesse, fréquence et longueur d onde En changeant de milieu, la fréquence de l onde ne peut pas changer. S il arrive 50 oscillations par seconde à l endroit où les milieux se rencontrent, 50 oscillations par seconde doivent aussi repartir. Il ne peut pas se perdre ou s accumuler d oscillations à l endroit où les milieux se rencontrent. Fréquence lors d un changement de milieu La fréquence ne change pas en passant d un milieu à l autre f f 1 Par contre, la vitesse risque d être différente si on change de milieu, car la vitesse dépend des caractéristiques du milieu. Comme f v λ et que la fréquence reste identique, on a f f 1 En remplaçant f par v/λ, on a Longueur d onde lors d un changement de milieu v1 v λ λ 1 insi, si la vitesse est plus grande dans le milieu, la longueur d onde sera plus grande. On peut voir ce phénomène dans le vidéo suivant. Ondes réfléchie et transmise On va examiner des ondes sur une corde pour illustrer ce qui se passe quand une onde change de milieu. Par exemple, l onde pourrait passer d une corde ayant une certaine masse linéique à une autre corde ayant une masse linéique différente. Version 017b -Les ondes mécaniques 9

30 Une partie de l onde se transmettra dans l autre milieu, alors qu une partie de l onde sera réfléchie. On voudra connaître l amplitude de ces ondes transmise et réfléchie. outefois, l amplitude de ces ondes dépend d une quantité qui dépend du milieu : l impédance L impédance L impédance est une caractéristique du milieu. Pour une onde se propageant sur une corde, l impédance du milieu est définie par Z F v En fait, on peut obtenir plusieurs versions de la formule l impédance en utilisant la formule de la vitesse de l onde. On obtient alors Impédance du milieu pour une onde dans une corde F v µ Z F µv Pour comprendre un peu plus ce que représente cette impédance, imaginons qu on génère une onde dans une corde en appliquant une force variable au bout de la corde. On aura alors la situation suivante. Version 017b -Les ondes mécaniques 30

31 Si on veut qu il y ait équilibre au bout de la corde, il faut que cette force soit égale à la tension de la corde. La composante en y de cette force est Or, si l angle est petit, on a F F sinθ y y sinθ tanθ x (Si vous l aviez oublié, la tangente de l angle d inclinaison d une fonction est égale à la pente, donc à la dérivée de la fonction.) On a alors La vitesse de la corde à cet endroit est y Fy F x + F x F k cos kx t + ( sin ( kx ωt φ )) ( ω φ ) v y y t + t ω cos kx ωt + φ ( sin ( kx ωt φ )) ( ) Si on divise la force par la vitesse, on obtient ( ω φ ) ( ) Fy F k cos kx t + v ω cos kx ωt + φ y F k ω F v Z On voit donc que la vitesse de la corde est donnée par Fy v y Z Version 017b -Les ondes mécaniques 31

32 Imaginons qu on applique une force périodique sinusoïdale dont la composante en y a une amplitude F 0 au bout de la corde. L amplitude de la vitesse (donc la vitesse maximale de la corde) est v y max F0 Z Puisque cette vitesse maximale est ω, on obtient F0 ω Z 1 F0 Z ω Cette équation signifie que si on garde donc toujours la même amplitude pour la force et la même fréquence, alors l amplitude de l onde dépend uniquement de l impédance. Plus l impédance est grande, plus l amplitude sera faible, tel qu illustré sur la figure. On peut donc interpréter l impédance comme représentant la réponse du milieu à une perturbation. Plus l impédance est grande, plus la réponse du milieu sera petite pour une perturbation identique. mplitudes des ondes réfléchie et transmise Si l onde initiale a une amplitude, alors les amplitudes des ondes réfléchies et transmises sont les suivantes. Version 017b -Les ondes mécaniques 3

33 mplitudes des ondes réfléchie et transmise R Z Z Z + Z 1 1 Z1 Z + Z 1 Si vous le désirez, vous pouvez voir la preuve de ces formules dans ce document. (C est une preuve pour les ondes dans une corde, mais le résultat est valide pour tous les types d ondes.) Exemple.6.1 Une onde sinusoïdale ayant une amplitude de 1 cm et une fréquence de 50 Hz arrive à une jonction entre deux cordes. La figure suivante nous donne les caractéristiques de deux cordes. Quelles sont les puissances des ondes incidente, réfléchie et transmise? La puissance d une onde est 1 1 P µ vω Zω Pour calculer les puissances, il nous faut les impédances des milieux. Ces impédances sont Z F µ 400N 0,065 5 kg kg 1 1 m s Z F µ 400N 0,01 kg kg m s insi la puissance de l onde incidente est kg ω ( π s 50 ) ( 0,01 ) 4,67 Pincidente Z Hz m W Version 017b -Les ondes mécaniques 33

34 Pour trouver les puissances des ondes réfléchie et transmise, il nous faut les amplitudes de ces ondes. On trouve ces amplitudes avec R Z Z Z + Z 1 1 Z1 Z + Z 1 L amplitude de l onde réfléchie est R Z Z 1 1 kg 5 s kg 5 + s Z + Z kg s kg s 0,49cm 1cm L amplitude de l onde transmise est Z1 Z + Z 1 kg 5 s kg 5 + s kg s 1,49cm 1cm Ça peut sembler bizarre que l onde transmise ait une plus grande amplitude que l onde incidente, mais c est possible. Comme le milieu a une impédance plus petite, l effet de l onde sur ce milieu est plus grand. On va voir que la puissance de cette onde est inférieure même si elle a une amplitude plus grande. Pour chacune des ondes réfléchie et transmise, la puissance est donc kg ω ( π s 50 ) ( 0,0049 ) 4,53 PR Z Hz m W 1 1 kg ω s ( π 50 ) ( 0,0149 ) 0,14 P Z Hz m W On remarque que la somme des puissances de l onde réfléchie et de l onde transmise est égale à la puissance de l onde incidente. Ce sera évidemment toujours le cas. Dans cet exemple, 81,6 % de l énergie est transmise et 18,4 % de l énergie de l onde est réfléchie. Version 017b -Les ondes mécaniques 34

35 Réflexion et transmission selon la différence d impédance Impédances très différentes Examinons ce qui arrive si l impédance Z 1 est beaucoup plus grande que l impédance Z. On a alors Z Z Z 1 1 R Z1 + Z Z1 L onde réfléchie a pratiquement la même amplitude que l onde initiale. Cela signifie que presque toute l énergie de l onde initiale s est réfléchie et qu il y a très peu d énergie dans l onde transmise. L onde est donc presque entièrement réfléchie. Si l impédance Z 1 est beaucoup plus petite que l impédance Z, on a alors Z Z Z 1 R Z1 + Z Z L onde réfléchie a pratiquement la même amplitude que l onde incidente. (On s occupera de la signification du signe négatif un peu plus loin.) Encore une fois, cela signifie qu il y a beaucoup de réflexion et qu il n y a pratiquement pas d énergie dans l onde transmise. Impédances ayant des valeurs près l une de l autre Si l impédance Z 1 est presque identique à l impédance Z, on a alors R Z Z Z + Z Dans ce cas, il n y a pas d onde réfléchie et l onde se transmet au complet dans l autre milieu. C est ce qu on appelle l «impedance matching». Par exemple, on peut arriver à cette situation avec des cordes ayant la même tension et faites de matériaux différents, mais ayant des masses linéiques identiques. C est un concept très important dans les circuits électriques avec des ondes de courants (courants alternatifs). Si les impédances sont identiques, il n y aura pas de réflexion de signal. Cela se produit, par exemple, si vous branchez des hautparleurs à votre chaine stéréo. L amplificateur, qui a une certaine impédance, envoie des signaux vers les hautparleurs, qui ont aussi une certaine impédance. Si l impédance n est pas la même, il y aura des réflexions du signal entre le récepteur et les hautparleurs, ce qui se tuira par un écho dans le son. Il faut donc choisir des hautparleurs avec la bonne impédance. Les valeurs d impédance sont indiquées derrière votre amplificateur et vos hautparleurs. Version 017b -Les ondes mécaniques 35

36 On arrive donc à la conclusion suivante. Règles pour la réflexion et la transmission. Plus l impédance des milieux est différente, plus la réflexion sera grande et plus la transmission sera petite. Si les impédances des milieux sont identiques, l onde est complètement transmise et il n y a pas de réflexion. Inversion de l onde réfléchie Que signifiait le signe négatif devant l amplitude de l onde réfléchie quand Z est plus grand que Z 1? Ce signe signifie que l onde réfléchie est inversée par rapport à l onde incidente. Ce n est pas si évident à constater avec une onde sinusoïdale, mais c est assez facile avec une onde qui est formée d une seule bosse. Si l impédance Z 1 est plus grande que Z, l amplitude de l onde réfléchie est positive et on a la situation suivante. L onde réfléchie est dans le même sens que l onde incidente. Si l impédance Z 1 est plus petite que Z, l amplitude de l onde réfléchie est négative et on a la situation suivante. Version 017b -Les ondes mécaniques 36

37 L onde réfléchie est dans le sens inverse par rapport à l onde incidente. L amplitude de l onde transmise ne pouvant jamais être négative, elle n est jamais inversée par rapport à l onde incidente. Inversion des ondes réfléchie et transmise Si Z > Z 1, l onde réfléchie est inversée. Si Z < Z 1, l onde réfléchie n est pas inversée. L onde transmise n est jamais inversée Voyons ce que ça donne pour des ondes dans des cordes. Dans ce cas, l impédance est Z F v F µ Généralement, les tensions de cordes bout à bout sont les mêmes et seule la masse linéique est différente. On remarque alors que l impédance est plus grande si la masse linéique est plus grande ou si la vitesse de l onde est plus petite. Les règles d inversion de l onde réfléchie deviennent alors Si µ > µ 1 ou si v < v 1 l onde réfléchie est inversée. Si µ < µ 1 ou si v > v 1, l onde réfléchie n est pas inversée. Dans ces images, une onde se propage dans deux ressorts tendus (qui agissent comme des cordes) attachés bout à bout. Le ressort plus gros a une masse linéique plus petite que le ressort plus petit. (Oui oui, vous avez bien lu. Le petit est peut-être en métal alors que le gros est peut-être en plastique.) L impédance du gros ressort est donc plus petite que celle du petit ressort. Version 017b -Les ondes mécaniques 37

38 Haber-Schaim, Cross, Dodge, Walter, ougas, Physique PSSC, éditions CEC, 1974 Dans la série d images de gauche, l onde arrive dans le milieu d impédance plus petite et tente d aller dans le milieu avec une impédance plus grande. Il y a une onde transmise, qui est dans le même sens que l onde qui arrivait dans le milieu 1. Il y a également une onde réfléchie, qui est inversée puisque l impédance du milieu est plus grande que celle du milieu 1. On peut remarquer que la vitesse de l onde est plus petite dans le milieu, ce qui nous indique que l impédance du milieu est plus grande. Dans la série d images de droite, l onde arrive cette fois dans le milieu d impédance plus grande et tente d aller dans le milieu avec une impédance plus petite. L onde transmise est encore une fois dans le même sens que l onde qui arrivait dans le milieu 1. L onde réfléchie est aussi dans le même sens puisque l impédance du milieu est plus petite que celle du Version 017b -Les ondes mécaniques 38

39 milieu 1. On remarque ici que la vitesse dans le milieu est plus grande que dans le milieu 1, ce qui confirme que l impédance du milieu est plus petite que celle du milieu 1. L onde arrive au bout d une corde Les formules d amplitude de l onde réfléchie nous permettront de déterminer ce qui arrive quand une onde arrive au bout d une corde. Corde fixée au bout Une onde se déplace le long d une corde dont le bout est solidement fixé à quelque chose. Quand l onde arrive au bout de la corde, il se passe la même chose qui se passe quand l onde change de milieu. Ici, les deux milieux sont la corde et l objet sur lequel la corde est attachée. Cet objet étant fixe, il ne sera pas perturbé du tout par le mouvement de la corde, ce qui signifie que cet objet se comporte comme un milieu avec une impédance énorme. On revient donc à notre situation où Z est beaucoup plus grand que Z 1. On avait alors trouvé que l amplitude de l onde réfléchie est de, ce qui signifie que l onde est totalement réfléchie, mais qu elle est inversée. On a donc la situation suivante. En voici une démonstration. Cette onde est inversée, car en arrivant au bout de la corde, la corde tire sur le point d attache vers le haut. Selon la troisième loi de Newton, le point d attache tire alors sur la corde vers le bas, ce qui crée l onde vers le bas qui repart vers la gauche. Corde libre au bout Imaginons maintenant que la corde n est pas fixée au bout ou qu elle est fixée à une tige par un anneau très peu massif pouvant glisser sans aucune friction. lors, c est comme si elle tentait de passer dans une corde dont la masse linéique est nulle, donc qui a une impédance nulle. On revient donc à notre situation où Z est beaucoup plus petit que Z 1. On avait alors trouvé que l amplitude de l onde réfléchie est de, ce qui signifie que l onde est totalement réfléchie et qu elle n est pas inversée. On a donc la situation suivante. Version 017b -Les ondes mécaniques 39

40 En voici une démonstration. Dans ce cas-ci, quand l onde arrive au bout, le bout de la corde monte beaucoup plus haut que prévu, car il y a deux fois moins de tension sur le dernier morceau de corde. Habituellement, chaque morceau de corde est ramené à sa position d équilibre par les tensions de chaque côté du morceau. Cependant, il n y a que la tension d un seul côté qui s exerce sur le dernier morceau de corde. Ce manque de tension fait que ce dernier morceau monte plus haut que prévu, ce qui va exercer une force vers le haut sur le reste de la corde. C est cette force vers le haut qui crée une nouvelle onde vers le haut allant vers la gauche. Il est également possible d obtenir des ondes stationnaires. Dans ce type d onde dans une corde, chaque morceau de corde oscille, mais les crêtes et les nœuds de l onde n avancent pas. On montre dans le vidéo suivant plusieurs possibilités d onde stationnaire. Vous pouvez voir que ce sont des ondes stationnaires puisque les nœuds de l onde restent immobiles. (et cliquez sur Stationnaire au bas de la page) L onde stationnaire est le résultat de la superposition de deux ondes progressives identiques allant dans des directions opposées Les ondes stationnaires sont le résultat de la superposition de deux ondes : une onde allant vers la droite et une onde identique allant vers la gauche. Dans le vidéo, l onde stationnaire est le résultat de l onde fait par la personne, qui va vers la gauche, et de la réflexion de cette onde à l autre bout du milieu, qui va vers la droite. Démontrons que cette somme donne bien une onde stationnaire. L onde allant vers les x positifs est décrite par la fonction y kx t 1 sin ( ω ) Version 017b -Les ondes mécaniques 40

41 et l onde allant vers les x négatifs (même amplitude et longueur d onde) est décrite par y kx t sin ( + ω ) (On a noté l amplitude de chaque onde avec. L amplitude résultante des deux ondes superposées sera notée tot.) Nous avons mis des constantes de phase nulle pour simplifier. Nous aurions obtenu les mêmes résultats si on les avait laissées là. La somme des deux ondes est ( ω ) sin ( ω ) ytot sin kx t + kx + t Pour écrire cette équation sous une autre forme, utilisons l identité trigonométrique suivante On obtient alors ( ) ( ) sinθ + sinθ sin θ + θ cos θ θ (( ω ) ( ω )) ( ω ) ( ω ) 1 1 ( ) y sin kx t + kx + t cos kx t kx + t tot En simplifiant, on obtient Équation d une onde stationnaire y sin kx cosωt tot Voici l interprétation de cette équation. ytot sin kx cosωt mplitude qui dépend de la position oscillation en fonction du temps Chaque morceau du milieu fait donc une oscillation, avec une amplitude qui dépend de la position. C est ce qu on voyait dans le vidéo : à certains endroits, la matière oscille avec beaucoup d amplitude et à d autres endroits, il n y a pas d oscillations du tout (l amplitude est nulle). mplitude d oscillation d une onde stationnaire sin kx tot Version 017b -Les ondes mécaniques 41

42 tot est l amplitude de l onde résultante et est l amplitude de chaque onde qui se superpose. On a pris la valeur absolue puisqu on sait qu une valeur négative de l amplitude est simplement un déphasage de π déguisé. L amplitude d oscillation de l onde stationnaire atteint sa valeur maximale () au centre des ventres d oscillation. L amplitude d oscillation atteint sa valeur minimale (0) aux nœuds de l onde stationnaire. Rappelez-vous que est l amplitude de chacune des ondes progressives qui forment l onde stationnaire et non pas l amplitude de l onde stationnaire. Sur cette image, vous voyez la corde dans une position la plus loin de sa position d équilibre (ligne noire) et dans l autre position la plus éloignée de sa position d équilibre (ligne grise). La corde oscille entre ces deux positions. Les modes d oscillation de l onde stationnaire Une corde tendue est attachée à quelque chose à chaque bout. Il ne peut y avoir de mouvement à chaque bout de la corde. Cela veut dire qu on doit retrouver un nœud de l onde à chaque bout (x 0 et x L). À x 0, l amplitude de l onde est déjà nulle puisque sin k 0 0 tot (C est beau, mais on arrive à ce résultat parce qu on a mis des constantes de phase nulles dans nos équations. Si on avait mis des constantes de phase non nulles, elles auraient dû répondre à une condition pour qu il y ait un nœud à x 0.) À x L, on doit avoir sin kl 0 sin kl 0 kl 0, ± π, ± π, ± 3 π, ± 4 π, La dernière s obtient en trouvant toutes les solutions possibles de l arcsinus. Les solutions négatives doivent être rejetées puisque la longueur de la corde ne peut pas être négative. En oubliant ces solutions négatives, on peut écrire ce résultat de la façon suivante. Version 017b -Les ondes mécaniques 4

43 kl nπ (n est un entier positif) Ce qui nous donne kl nπ π L nπ λ L λ n On ne peut donc pas avoir n importe quelle longueur d onde pour obtenir une onde stationnaire, seules certaines valeurs sont possibles. Il y a quand même plusieurs solutions. Pour identifier ces solutions, nous allons ajouter un indice à la longueur d onde. insi, λ 3 sera la valeur de la longueur d onde pour n 3. On a donc Longueurs d onde possible pour obtenir une onde stationnaire L λ n (n est un entier positif) n Regardons ce que représentent certaines de ces possibilités. universe-review.ca/r1-03-wave.htm Version 017b -Les ondes mécaniques 43

44 Vous pouvez admirer ce qu on obtient avec n 1,, 3 et 4. On appelle mode ou harmonique chacune de ces possibilités. Pour n 5, par exemple, on parle de 5 e harmonique, de 5 e mode ou de mode d ordre 5. Remarquez que la distance entre les nœuds est toujours égale à la moitié de la longueur d onde. Distance entre les nœuds d une onde stationnaire distance Si on ne peut pas avoir n importe quelle longueur d onde, on ne peut pas avoir n importe quelle fréquence. Les fréquences possibles se trouvent avec λ f v λ Ce qui nous permet d obtenir Fréquences possibles pour une onde stationnaire f n nv L La fréquence du mode fondamental (f ) est appelée la fréquence fondamentale. Puisque f 1 v L On peut aussi écrire Fréquences possibles pour une onde stationnaire fn nf 1 On remarque que la fréquence augmente à mesure qu on va vers des harmoniques élevées. Vous pouvez retourner voir le vidéo vu précédemment pour voir différentes harmoniques pour les ondes stationnaires. Remarquez comment la fréquence d oscillation de la main augmente pour créer des modes d ordre supérieur. Version 017b -Les ondes mécaniques 44

45 Si la personne tentait de faire une onde à une fréquence qui ne correspond pas à la fréquence d une onde stationnaire, il y aurait bel et bien un mouvement des particules du milieu, mais ce ne serait pas une onde stationnaire, ce serait quelque chose de plus désordonné. Dans le cas d onde dans une corde, on peut utiliser le résultat obtenu pour la vitesse pour obtenir Fréquences possibles pour une onde stationnaire dans une corde tendue f n n F L µ Quand on pince une corde de guitare, on envoie des ondes dans la corde. Comme la corde est fixée à chaque bout, on pourrait montrer que seules les ondes stationnaires sont créées dans cette corde. Plusieurs ondes stationnaires peuvent être présentes en même temps sur la corde, mais la note jouée par l instrument est toujours la fréquence de la première harmonique. La note jouée par une corde sera donc f note 1 F f1 L µ On peut voir que cette équation représente bien ce qui se passe avec les cordes d une guitare. (Sachez que les fréquences élevées correspondent à des sons aigus et que les fréquences basses correspondent à des sons graves. Nous verrons cela au chapitre suivant). Si on pince une corde, on obtient un son. Si on réduit la longueur de cette corde, en appuyant sur une frette, le son sera plus aigu. C est ce que prévoie notre formule puisque f augmente si L diminue. Si on pince la grosse corde, le son sera plus grave qu avec la corde la plus petite. La grosse corde a une masse linéique plus grande que celle de la petite corde (elle est plus massive pour une même longueur). On voit que la formule prévoit aussi que la fréquence sera plus basse si la masse linéique est plus grande. Si on étire la corde en jouant avec les vis d ajustement, on augmentera sa tension, ce qui donnera un son plus aigu. Encore une fois, notre formule prévoit que la fréquence va augmenter si la tension augmente. On peut également étirer la corde en la tassant la corde de côté quand on appuie sur la frette. On peut alors faire des effets de vibrato de cette façon. (Le paragraphe suivant s adressant à ceux qui connaissent un peu plus la musique.) Notre formule prévoit aussi que la distance entre les frettes sera de plus en plus petite à mesure qu on diminue la longueur de la corde. Supposons que pour passer de 300 Hz à 600 Hz (une octave), il faut réduire la longueur de la corde de 0,6 m à 0,3 m. Il y aura donc 1 demi-tons sur une distance de 30 cm. Pour augmenter encore d une octave, il faudra Version 017b -Les ondes mécaniques 45

46 réduire la longueur de la corde de 0,3 m à 0,15 m pour passer de 600 Hz à 100 Hz puisque la fréquence est proportionnelle à 1/L. On aura donc 1 demi-tons sur une distance de 15 cm. Ils sont donc tous plus rapprochés puisqu on a le même nombre de demi-tons sur une distance deux fois plus courte. Mr Borowicz vous fait une belle démonstration de tous ces effets dans les 5 premières minutes de ce vidéo. Exemple.7.1 La plus grosse corde d une guitare a une longueur de 9,9 cm et une masse de 5,58 g. On l installe sur la guitare et on fait des ondes stationnaires dans la corde. Une fois installée, il y a 65,5 cm entre les deux points d attache de la corde. a) Quelle doit être la tension de la corde pour que la fréquence de la première harmonique soit de 8,4 Hz (qui est la fréquence que doit avoir la grosse corde d une guitare)? La tension peut être trouvée à partir de la formule de la fréquence de la première harmonique f 1 1 F L µ si on connait la masse linéique. Comme la masse linéique est µ masse 0, 00558kg 0, longueur 0,99m kg m la tension est f 1 1 L 1 F 8,4Hz 0, 655m 0, F F µ 70,03N kg m b) Quelles sont alors les fréquences des e, 3 e et 4 e harmoniques? La fréquence des autres harmoniques est Version 017b -Les ondes mécaniques 46

47 fn 3 4 nf 1 f 8, 4Hz 164,8Hz f 3 8,4Hz 47,Hz f 4 8,4Hz 39,6Hz Si on pince cette corde de guitare, on va entendre en même temps des sons ayant ces fréquences. c) Si l amplitude d oscillation de l onde stationnaire est de 0,1 mm à 3 cm du bout de la corde à la troisième harmonique, quelle est l amplitude d oscillation au centre des ventres? L amplitude au centre des ventres est, tel que vu précédemment. Pour trouver cette amplitude à partir de l amplitude à une autre position, on va utiliser la formule suivante. sin kx tot vec tot 0,1 mm à x 0,03 m, nous pourrons trouver à condition de connaitre la valeur de k. Celle-ci se trouve avec la longueur d onde. À la 3 e harmonique, on a insi, k est L 0, 655m λ 0, 4367m 3 3 π k 14,39 m λ Puisque l amplitude est de 0,1 mm cm à x 3 cm, on a sin kx tot 0, 0001m sin14, 39 0, 03m 0, m Version 017b -Les ondes mécaniques 47 m

48 L amplitude au centre des ventres est donc 0, 00039m 0, 39mm Parfois, on pourra voir l impression qu il nous manque des informations pour résoudre, mais ce n est pas le cas. Si on applique deux fois la même équation, beaucoup de choses se simplifient quand on divise une équation par une autre. Voici un exemple. Exemple.7. Une onde stationnaire dans une corde tendue a une fréquence fondamentale de 100 Hz quand la tension est de 00 N. Quelle devrait être la tension pour avoir une fréquence fondamentale de 500 Hz? On sait que f 1 1 F L µ 1 00N 100Hz L µ et on veut 1 F f1 L µ 1 F 500Hz L µ En divisant cette deuxième équation par la première, on arrive à 1 F 500Hz L µ 100Hz 1 00N L µ F 5 00N F 5000N Version 017b -Les ondes mécaniques 48

49 Lien entre λ et f ou lien entre λ et λ v λ f Définition de k et ω Lien entre ω et k π k λ π ω π f v ω k Fonction décrivant une onde sinusoïdale progressive y kx ± t + sin ( ω φ ) On choisit le signe négatif si l onde va vers les x positifs. On choisit le signe positif si l onde va vers les x négatifs. Vitesse des particules du milieu vy ± ω cos( kx ± ωt + φ ) On choisit le signe négatif si l onde va vers les x positifs. On choisit le signe positif si l onde va vers les x négatifs. v ω ccélération des particules du milieu y max a ω kx ± ωt + φ sin ( ) On choisit le signe négatif si l onde va vers les x positifs. On choisit le signe positif si l onde va vers les x négatifs. a ω y max ² Calcul de l amplitude de l onde y v y + ω Version 017b -Les ondes mécaniques 49

50 Calcul de la constante de phase ω y ± + ± v tan ( kx ωt φ ) On choisit le signe négatif si l onde va vers les x positifs. On choisit le signe positif si l onde va vers les x négatifs. y Vitesse des ondes dans une corde v F µ Énergie d une onde sinusoïdale de longueur D (en joules) 1 E µ Dω Puissance d une onde sinusoïdale (en watts) 1 P µ vω Principe de superposition y y + y + y + tot 1 3 Fréquence et longueur d onde lors d un changement de milieu f f 1 v1 v λ λ 1 Impédance du milieu pour une onde dans une corde F v Z F µ µv Version 017b -Les ondes mécaniques 50

51 mplitudes des ondes réfléchie et transmise R Z Z Z + Z 1 1 Z1 Z + Z 1 Règles pour la réflexion et la transmission. Plus l impédance des milieux est différente, plus la réflexion sera grande et plus la transmission sera petite. Si les impédances des milieux sont identiques, l onde est complètement transmise et il n y a pas de réflexion. Inversion des ondes réfléchie et transmise Si Z > Z 1, l onde réfléchie sera inversée. Si Z < Z 1, l onde réfléchie ne sera pas inversée. L onde transmise n est jamais inversée Équation d une onde stationnaire y sin kx cosωt tot mplitude d oscillation d une onde stationnaire sin kx tot Longueurs d onde possible pour obtenir une onde stationnaire L λ n (n est un entier positif) n Version 017b -Les ondes mécaniques 51

52 Distance entre les nœuds d une onde stationnaire distance λ Fréquences possibles pour une onde stationnaire f n nv nf L 1 Fréquences possibles pour une onde stationnaire dans une corde tendue n F fn L µ Version 017b -Les ondes mécaniques 5

53 . Les ondes sinusoïdales progressives 1. Une onde sonore a une vitesse de 350 m/s et une fréquence de 400 Hz. a) Quelle est la période de l onde? b) Quelle est la longueur d onde de l onde?. En 4 secondes, une onde sur une corde a avancé de 30 m pendant qu un morceau de la corde a fait 0 oscillations complètes. Quelle est la longueur d onde de l onde? 3. Cette onde se déplace à 40 m/s vers la droite sur une corde. (Les distances sont en centimètres sur le dessin.) a) Quelle est la fréquence de cette onde (approximativement)? b) Quelle est la vitesse maximale de la corde (approximativement)? 4. L équation d une onde sur une corde est π y 0, msin 10 m x + 00 s t + 4 a) Dans quelle direction va cette onde? b) Quelle est la longueur d onde? c) Quelle est la vitesse de cette onde? d) Quelle est la vitesse de la corde à x 1 m et t 1 s? 5. Une onde transversale se déplace vers les x positifs avec une vitesse de 50 m/s. À t 0 s, la corde à x 0 m est à y cm et a une vitesse de -100 cm/s. Sachant que la période de l onde est de 0,1 s, écrivez l équation de l onde. y kx ± t + sin ( ω φ ) Version 017b -Les ondes mécaniques 53

54 .3 La vitesse des ondes 6. Une onde ayant une longueur d onde de 50 cm se déplace à 30 m/s sur une corde. À quelle vitesse ira une onde ayant une longueur d onde de 0 cm si elle se déplace sur la même corde ayant la même tension? 7. Une corde ayant une longueur de m a une tension de 00 N. Une onde passe d un bout à l autre de la corde en 0,05 s. Quelle est la masse de la corde? 8. Quand la tension d une corde est de 50 N, la vitesse des ondes dans la corde est de 40 m/s. Quelle sera la vitesse des ondes si on augmente la tension à 80 N? 9. Sur une corde ayant une tension de 50 N, il y a une onde décrite par l équation π y 0, msin 10 m x + 00 s t + 4 a) Quelle est la masse linéique de cette corde? b) Quelle est la grandeur de la vitesse maximale de la corde?.4 L énergie dans les ondes sinusoïdales 10. Une onde a les caractéristiques suivantes : mplitude : mm Longueur d onde : 40 cm Vitesse de l onde : 50 m/s Longueur de l onde sur la corde : 10 m a) Combien d énergie y a-t-il dans cette onde si la masse linéique de la corde est de 5 g/m? b) Quelle est la puissance de cette onde si la masse linéique de la corde est de 5 g/m? 11. Une source ayant une puissance de 0 W génère une onde ayant une longueur d onde de 1,5 cm et une fréquence de 00 Hz. Quelle est l amplitude de l onde si la tension de la corde est de 80 N? 1. L onde ayant cette équation y cmsin 10π x 50π t ( ) se propage sur une corde ayant une masse linéique de 50 g/m. Quelle est la puissance de cette onde? Version 017b -Les ondes mécaniques 54 m s

55 .5 L interférence 13. Dessinez le résultat de la superposition de ces ondes Dessinez l onde résultante,5 secondes plus tard. 15. Dessinez l onde résultante,5 secondes plus tard. Version 017b -Les ondes mécaniques 55

56 .6 La réflexion et la transmission des ondes 16. Dans la situation montrée sur la figure, une onde sinusoïdale ayant une longueur d onde de 0 cm et une amplitude de 5 mm part du côté gauche du fil d aluminium pour se diriger vers le fil d acier cm-density -60-g-cm3--q11706 a) Quelle est la vitesse de l onde dans le fil d aluminium? b) Quelle est la fréquence de l onde quand elle est dans le fil d aluminium? c) Quelle est la vitesse de l onde dans le fil d acier? d) Quelle est la fréquence de l onde quand elle est dans le fil d acier? e) Quelle est la longueur d onde de l onde quand elle est dans le fil d acier? f) Quelle est l impédance du fil d aluminium? g) Quelle est l impédance du fil d acier? h) Quelle est l amplitude de l onde réfléchie? (Spécifiez si l onde réfléchie est inversée.) i) Quelle est l amplitude de l onde transmise? j) Quel pourcentage de la puissance de l onde initiale est transmis dans le câble d acier? 17. Une onde sur une corde arrive à un endroit où la masse linéique de la corde change. a) Dans quelle direction (vers le haut ou vers le bas) sera l onde transmise? b) Dans quelle direction (vers le haut ou vers le bas) sera l onde réfléchie? c) Quelle sera la vitesse de l onde transmise? d) Quelle sera la vitesse de l onde réfléchie? Version 017b -Les ondes mécaniques 56