Pile ou face? Avec des lettres

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1 Pile ou face? «On lance trois fois de suite une pièce de monnaie. On décide que le résultat de cette expérience est égal au nombre de fois où la pièce tombe sur pile moins le nombre de fois où la pièce tombe sur face». Reproduire et compléter l arbre des probabilités et indiquer toutes les éventualités possibles. Quelle est la probabilité pour que le résultat soit égal à +3? +1? 1? 3? Dans ce jeu on ne gagne que si pile sort plus de fois que face. Quelle est la probabilité de gagner? Avec des lettres Dans une boite on place quatre cartons portant chacun une des lettres T, O, M et E. On tire au hasard un carton et on le pose à l endroit à coté de la boite. On recommence l opération deux autres fois et, à chaque nouveau tirage, on place la lettre tirée à droite de la précédente. On obtient ainsi un mot de trois lettres (il n est pas nécessaire que ce mot figure dans le dictionnaire). 1. Combien de mots peut-il ainsi former? 2. Déterminer la probabilité d obtenir le mot «MET». On note A l événement «le mot commence par une consonne» et B l événement «le mot obtenu comporte une voyelle en son milieu». 3. Calculer la probabilité de l événement A. Calculer la probabilité de l événement B. 4. Calculer la probabilité pour que le mot commence par une consonne et comporte une voyelle en son milieu. Savez-vous comment se note cet événement? Page 1

2 Xavier ou Yves? Quatre personnes votent pour élire un candidat parmi deux : Xavier ou Yves. Un candidat ne sera élu au premier tour que s il obtient la majorité absolue c est à dire : «au moins trois voix». Chacun des votants doit voter pour un seul des deux candidats.» Après avoir recopié et complété l arbre des probabilités proposé ci-dessus, calculer la probabilité pour que le candidat Xavier soit élu au premier tour. Avec un jeu de cartes «On pioche une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes» On note A l événement «j ai tiré un roi». On note B l événement «j ai tiré un trèfle». 1. Calculer p A. Calculer pb. 2. Que signifie A B 3. Que signifie A B? Calculer p A B.? Calculer p A B. 4. Que signifie A. Calculer p A. Que signifie B. Calculer pb. Avec deux dés On lance deux dés et on s intéresse à la somme des deux résultats obtenus. Déterminer l univers de cette expérience aléatoire. Réfléchir à un mode de représentation de cet univers. Est-il préférable de parier sur «obtenir six» ou «obtenir sept»? Expliquer de manière précise votre raisonnement. Page 2

3 Une expérience aléatoire Un sac contient 20 jetons unicolores : 9 rouges, 4 verts, 4 jaunes, 3 noirs. Un joueur prend au hasard un jeton du sac : Si le jeton est noir il gagne 5, S il est vert ou jaune il gagne 3, S il est rouge il perd 2. Une variable aléatoire Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain algébrique du joueur. Evènement exprimé à l aide de la variable aléatoire X. «X = 2» «X = 3» «X = 5» Evènement exprimé en compréhension. Probabilité de l événement. Deux remarques importantes P( «X = 2» ) + P( «X = 3» ) + P( «X = 5» ) = La loi de probabilité de la variable aléatoire X est donnée par le tableau suivant : x i p i Trois formules à connaître Espérance : E(X) = p i x i i Variance : V(X) = p i ( x i E(x) ) 2 i Ecart type : X = V (X) x i p i ( x i E(X) ) 2 Calculer l espérance, la variance puis l écart type de la variable aléatoire X. On pourra s aider du tableau ci-dessus afin d organiser les différents calculs. Que représente l espérance? Page 3

4 Avec un cube On dispose d un cube en bois de 3 cm d arête peint en bleu. On le découpe, parallèlement aux faces, en 27 cubes de 1 cm d arête. On place ces 27 cubes dans un sac. On tire au hasard l un des 27 cubes du sac. On suppose que les tirages sont équiprobables. Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de faces peintes sur le cube tiré. 1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. 2. Calculer l espérance mathématique de la variable aléatoire X. Avec une roulette On considère une roulette que l on fait tourner. Lorsqu elle s arrête on peut considérer que la flèche s immobilise au hasard sur l un des quinze numéros. On suppose que les quinze secteurs angulaires sont égaux. On notera G la variable aléatoire représentant le gain du joueur. Les règles du jeu sont les suivantes : On mise 2 sur un numéro (la mise est automatiquement perdue), Si le numéro misé sort, on gagne 20, si l un des numéros voisins sort, on gagne 3, Sinon on ne gagne rien. 1. Déterminer les différentes valeurs prises par la variable aléatoire G. 2. Etablir dans un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire G. 3. Calculer l espérance de cette variable aléatoire? A quoi correspond cette valeur? Avec des boules Une urne contient 2 boules vertes, 5 boules blanches et 8 boules rouges. Après avoir misé, un joueur tire au hasard une boule de l urne. La mise est un nombre réel noté m. Les règles du jeu sont les suivantes : Si la boule est verte il reçoit 16, Si elle est blanche il récupère sa mise, Si elle est rouge il perd sa mise. On appelle X la variable aléatoire représentant le gain du joueur à l issue de la partie. 1. Déterminer la loi de probabilité de X. 2. Déterminer la mise m pour que le jeu soit équitable. Page 4

5 Approche de la loi binomiale On fait tourner la roue de loterie présentée cicontre : on obtient la couleur «rouge» avec la probabilité 0,75 et la couleur «bleu» avec la probabilité 0,25. Le joueur est gagnant lorsque la flèche s arrête sur la zone bleue comme sur la figure ci-contre. On décide de noter S (comme succès) cette éventualité et de noter E (comme échec) l éventualité contraire c est-à-dire «la flèche tombe sur la zone rouge». Cas n = 3 Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès obtenus lorsque l on fait tourner de manière indépendante 3 roues identiques à celle proposée ci-dessus. Déterminer l espérance mathématique de cette variable aléatoire. Cas n = 4 Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire Y qui compte le nombre de succès obtenus lorsque l on fait tourner de manière indépendante 4 roues identiques à celle proposée ci-dessus. Déterminer l espérance mathématique de cette variable aléatoire. Vocabulaire Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues possibles appelées «succès» noté S ou «échec» noté E S de probabilités respectives p et q1 p. Un schéma de Bernoulli est la répétition d épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (c'est-à-dire que l issue d une épreuve ne dépend pas des épreuves précédentes). Page 5

6 Etude d un schéma de Bernouilli Cas n = 4 On fait maintenant tourner la roue de loterie présentée ci-contre : on obtient la couleur «Bleu» avec une probabilité qui dépend de l angle indiqué sur la figure et qui est notée p. On décide de noter S (comme succès) l éventualité «la flèche tombe sur la zone bleue» et de noter E (comme échec) l éventualité contraire c est-à-dire «la flèche tombe sur la zone rouge». En faisant tourner ces quatre roues on se place dans le cadre d un schéma de Bernoulli puisque l on répète 4 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. On dira que ce schéma de Bernoulli a pour paramètres n et p. Sauriez-vous préciser à quoi correspond le paramètre n? On considère la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès obtenus à l issue des 4 répétitions. A l aide du schéma de Bernouilli présenté ci-dessus répondre aux questions : 1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X en fonction de p et q1 p. La loi de probabilité ainsi construite présente cinq coefficients. A quoi correspondent-ils? 2. Vérifier que p X k 4 1. On pourra pour cela utiliser le fait que q1 p. k A quoi correspond la quantité k p X k? Montrer que k0 4 k p X k 4 p. k0 Page 6

7 Retour sur la loi binomiale On répète n fois de manière indépendante une même expérience aléatoire présentant deux issues S et S de probabilités respectives p et q1 p. On considère la variable aléatoire X égale au nombre de succès S obtenus au cours de ces n expériences. La loi de probabilité de la n, p. variable aléatoire X s appelle alors loi binomiale de paramètres n et p, notée k n 1 n p X k q n n 1 pq n n pq 2 n2 n p n 1 n1 q n n p n n On retrouve dans la loi binomiale les coefficients binomiaux qui correspondent au nombre de chemins de l arbre pondéré permettant d obtenir k «succès» au cours des n générations. Une formule à retenir Pour tout entier k tel que 0 k n Propriétés n p X k p q k k nk on a : Pour une loi binomiale, l espérance, la variance et l écart type sont donnés par les formules : Le QCM V X n p q E X n p Un élève répond au hasard aux 10 questions d un QCM. Pour chaque question, cinq réponses sont proposées dont une seule est exacte. X est la variable aléatoire égale au nombre de bonnes réponses. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ne rapporte aucun point. Quelle est la probabilité pour cet élève d obtenir la moyenne, c'est-àdire d avoir au moins 5 bonnes réponses? Calculer l espérance mathématique du nombre de bonnes réponses. X n p q Reprendre l exercice avec un QCM comportant 10 questions et 3 réponses dont une seule exacte. Reprendre l exercice avec un QCM comportant 10 questions et 2 réponses dont une seule exacte. Page 7

8 Le quorum Une association comprenant 30 adhérents organise chaque année une assemblée générale. Les statistiques montrent que chaque adhérent assiste à l assemblée avec la probabilité 80 %. Les décisions prises par l assemblée n ont de valeur légale que lorsque plus de la moitié des adhérents assiste à l assemblée. Quelle est la probabilité que, lors de la prochaine assemblée, le quorum soit atteint? Calculer l espérance mathématique du nombre d adhérents présents lors de la prochaine assemblée. Reprendre le problème avec une probabilité de présence de chaque adhérent égale à 50%. Un autre QCM Un QCM comporte 20 questions. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées dont une seule est juste. Chaque réponse juste rapporte un point et il n y a pas de pénalité pour une réponse fausse. Un candidat répond au hasard à chaque question. Quel nombre total de points peut-il espérer? Quelle pénalité doit-on attribuer à une réponse fausse pour que le total espéré, en répondant entièrement au hasard, soit égal à 2 sur 20? Quelle pénalité doit-on attribuer à une réponse fausse pour que le total espéré, en répondant entièrement au hasard, soit égal à 0 sur 20? Un paradoxe Paul affirme : «Avec un dé régulier, on a autant de chance d obtenir au moins un six en 4 lancers que d obtenir au moins deux six avec 8 lancers». Sara objecte : «Pas du tout. Dans le premier cas, la probabilité est supérieure à 0,5, dans le deuxième cas, elle est inférieure à 0,5». Qui a raison? Page 8

9 QCM Lors d un examen, un QCM comporte huit questions. Pour chaque question, on propose quatre réponses dont une seule est correcte. Une bonne réponse rapporte un point, une mauvaise réponse enlève un demi-point. Un candidat décide de répondre au hasard à toutes les questions. Partie A Nombre de bonnes réponses On définit dans un premier temps la variable aléatoire X donnant le nombre de bonnes réponses du candidat. 1. Quel type de loi suit la variable aléatoire X? Justifier votre réponse. 2. A l aide de votre calculatrice, dresser la loi de probabilité de la variable X. Pour cela compléter le tableau ci-dessous. xi pi 3. Quelle est la probabilité d obtenir au moins 4 bonnes réponses? 4. Déterminer, en un calcul, l espérance de X. Interpréter ce résultat. Partie B Nombre de points obtenus On définit la variable aléatoire Y donnant le nombre de points obtenus par le candidat. 1. Dresser la loi de probabilité de la variable Y. Pour cela compléter le tableau ci-dessous. yi pi 2. Quelle est la probabilité d obtenir au moins 4 points? 3. Déterminer l espérance de Y. Interpréter ce résultat. Page 9

10 Une cible Un jeu de hasard électronique est composé d une cible (voir ci-contre) et d un dispositif allumant de manière aléatoire une des cases. B B B B B B B J V V J B B J R R J B B J V V J B B B B B B B Dans ce contrôle, tous les résultats seront donnés arrondis au millième près. La mise pour une partie est de 2. Chaque case a la même probabilité de s allumer. Si une case rouge (R) s allume, le joueur gagne 16, Si une case verte (V)s allume, le joueur gagne 7, Si une case jaune (J)s allume, le joueur ne gagne rien, Si une case bleue (B) s allume, le joueur perd m. On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur. Partie A On suppose que m=2 1. Indiquer les valeurs prises par la variable aléatoire X. 2. Déterminer la loi de probabilité de X. Pour cela recopier et compléter le tableau ci-dessous. xi pi 3. Calculer p(x<0). Interpréter ce résultat. 4. Calculer E(X). Interpréter ce résultat. Partie B On suppose que m est un nombre réel quelconque 1. Indiquer les valeurs prises par la variable aléatoire X. 2. Déterminer la loi de probabilité de X. Pour cela recopier et compléter le tableau ci-dessous. xi pi 3. Calculer la valeur de m pour laquelle le jeu sera équitable. 4. Dans le cas où le jeu est équitable, calculer p(x>0). Page 10