Chapitre 8 : Dipôles linéaires en régime sinusoïdal

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1 Chapitre 8 : Dipôles linéaires en régime sinusoïdal I / Introduction 1. position du problème 2. montage II / Résistance 1. Etude théorique 2. Etude expérimentale 3. généralisation 4. application III / Bobine parfaite 1. Etude expérimentale 2. généralisation 3. application IV / Condensateur parfait 1. Etude expérimentale 2. Généralisation 3. Application V / Association VI / Puissances 1. puissance instantanée 2. en régime sinusoïdal a) puissance active b) puissance active des dipôles élémentaires 3. puissance réactive 4. puissance apparente 5. relation entre P,Q,S ; facteur de puissance M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 1

2 I / Introduction 1. position du problème Un dipôle linéaire AB est placé dans un circuit fonctionnant en régime sinusoïdal A i B u Entre ses bornes, on applique une tension u : u(t)= U 2.sin(ωt+ϕ u ) Le dipôle AB est traversé par un courant d intensité i : i(t)= I 2.sin(ωt+ϕ i ) On veut grâce à l expérience, trouver l expression de i(t), si u(t) est connue. On prend ϕ u =0 rad c est à dire que u(t) est pris comme référence des phases. On a le droit : puisqu on choisit la phase à l origine, on décide de déclencher le chrono au moment où U passe par OX. u (V) t (s) U Le problème est de savoir si i(t) sera en avance ou en retard, de connaître son amplitude I max =I 2. M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 2

3 2. montage L expression de i(t) dépend de la nature du dipôle AB. On va faire l étude sur 3 dipôles linéaires simples : - une résistance R - une bobine d inductance L - un condensateur de capacité C. Remarque : Ces dipôles sont passifs donc on adopte une convention récepteur. Montage : On veut que le dipôle soit soumis à une tension sinusoïdale donc qu est ce qu on utilise? GBF GBF A i B u On veut mesurer U eff et I eff donc qu est ce qu on utilise? ampèremètre et voltmètre Comment ils sont branchés? Quelles positions sur les multimètres? GBF A V A i u B On veut visualiser u(t) et i(t), Qu est ce qu on utilise? oscillo Qu est ce qu on visualise avec un oscillo? des tensions donc comment faire pour visualiser i(t)? ruse : on place une faible résistance r=1ω, en série avec le dipôle ( elle sera donc traversée par le même i(t)) et on aura u r (t)=r i(t). M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 3

4 DONC : Voie1 Voie2 + invert GBF A r u r V A i B u r est une résistance faible (1Ω) qui nous permet de visualiser i(t) car u(t)=r i(t) sans trop perturber le circuit. II Résistance 1. Etude théorique On a u R (t)=u R 2.sin(ωt) et i R (t)=i R 2.sin(ωt+ϕ) avec ϕ=ϕ u -ϕ i On avait vu que la loi d Ohm s applique aux valeurs instantanées donc : u R (t)=r i R (t) i R (t)= u R (t) / R d où i R (t)= U R 2.sin(ωt) / R = (U R /R) 2.sin(ωt) or on avait : i R (t)=i R 2.sin(ωt+ϕ) Conclusion : I=U/R et ϕ=0 2. Etude expérimentale Voir TP 19 M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 4

5 3. Généralisation Pour tout dipôle purement résistif on a : i R R u R U R =R I R u R (t)=u R 2.sin(ωt) i R (t)=i R 2.sin(ωt) Le rapport U/I représente l impédance Z du dipôle. I/U est l admittance Y Pour un dipôle purement résistif, Z R =R en Ohms L admittance Y R =1/R en Siemens (S) Représentation de Fresnel : I R U R Voir doc 1 En complexe : L impédance complexe est Z = U / I Son module est l impédance du dipôle Z=U/I Son argument est le déphasage ϕ de u par rapport à i : ϕ=arg Z = ϕ u - ϕ i Pour une résistance R, on a : Z R = R 4. Application Une résistance R=220Ω est soumise à une tension sinusoïdale u de valeur U=44V et de fréquence f=50hz. 1/ Calculer l intensité efficace du courant i qui la traverse. 2/ La résistance est soumise à une tension sinusoïdale u de valeur efficace U =44V et de fréquence 200Hz. Même question. M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 5

6 III / Bobine parfaite 1. étude expérimentale voir TP généralisation pour tout dipôle purement inductif, on a : i L L u L Avec u L = U L 2 sin(ωt+ϕ u ) et i L = I L 2 sin(ωt+ϕ i ) U L = Lω.I L et ϕ = ϕ u - ϕ i = 0--π/2 = π/2 Voir doc 1 l impédance Z L d un dipôle inductif est Lω (en Ω) l admittance Y L est 1/Lω (en Siemens S) représentation de Fresnel : U L ϕ = (I L ; U L )=π/2 rad I L en complexe : Z L = jlω M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 6

7 3. application une bobine est soumise à une tension sinusoïdale de valeur efficace U=1V, de fréquence f. 1/ on prend f=100hz, la bobine est traversée par un courant d intensité efficace I 1 =33mA. Calculer l inductance L de la bobine. Z=U/I = 1/ = 30.3Ω donc L = Z / ω = Z / 2πf = 30,3 / 2π.100 = 0,048H 2/ On change la fréquence, on prend f. La bobine est traversée par un courant d intensité efficace I 2 =8,25mA. Calculer f. U = 1V et I 2 =8,25mA donc Z = 121,2Ω or Z = Lω donc ω = Z / L = 121,2/0,048 = 2525rad/s d où f = ω/2π = 402Hz IV / condensateur parfait 1. Etude expérimentale Voir TP Généralisation Pour tout dipôle purement capacitif, on a : i C C u C Avec u C = U C 2 sin(ωt+ϕ u ) et i C = I C 2 sin(ωt+ϕ i ) U C = [1/Cω].I C et ϕ = ϕ u - ϕ i = 0-π/2 = - π/2 M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 7

8 l impédance Z C d un dipôle capacitif est 1/Cω (en Ω) l admittance Y C est Cω (en Siemens S) Voir doc 1 représentation de Fresnel : I C UC ϕ = (I C ; U C )= - π/2 rad en complexe : Z C = 1/jCω 3. Application Un condensateur est soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace U=2V, de fréquence f=100hz. Le condensateur est alors traversé par un courant d intensité efficace I=16mA. 1/ Calculer l impédance de ce dipôle. Z=U/I = 2/ = 125 Ω 2/ Calculer la capacité de ce condensateur. Z = 1/Cω donc C= 1 / Zω = 1/ 125*2π*100=12.7µF V / association i D 1 D 2 D 3 u u 1 u 2 u 3 Z éq = Σ Z i Démo : U = U 1 + U 2 + U 3 En série, les impédances s ajoutent. = ( Z 1 + Z 2 + Z 3 ).I = Z éq.i M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 8

9 Exercice d application : Z éq = Z R + Z L = R + jlω Z éq = Z R + Z C = R + 1/jCω VI Puissances 1. puissance instantanée en convention récepteur, la puissance instantanée reçue par le dipôle à l instant t est : i D p = u i p en W u u en V i en A 2. en régime sinusoïdal a) puissance active c est la puissance moyenne de la puissance instantanée sur une période : Puissance active : P en W (ce que l on mesure au wattmètre) P = U.I.cos ϕ où P : puissance active reçue par le dipôle (en W) U : valeur efficace de la tension à ses bornes (en V) I : valeur efficace de l intensité du courant qui le traverse (en A) ϕ : déphasage introduit par le dipôle entre u et i. M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 9

10 b) puissance active des dipôles élémentaires pour une résistance R : ϕ = 0 cos ϕ = 1 P = UI.cos ϕ P = U.I pour une bobine L : ϕ = π/2 cos ϕ = 0 P = 0 pour un condensateur C : ϕ = - π/2 cos ϕ = 0 P = 0 3. puissance réactive pour L et C, on a P = 0, pourtant L et C, ce n est pas la même chose : Q permet de les différencier. Q = UI.sin ϕ Q en Volt Ampère Réactif (VAR) pour une résistance R : ϕ = 0 sin ϕ = 0 Q = 0 pour une bobine L : ϕ = π/2 sin ϕ = 1 Q = UI pour un condensateur C : ϕ = - π/2 sin ϕ = -1 Q = -UI M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 10

11 4. puissance apparente Puissance de dimensionnement : S = U.I en Volt Ampère (VA) Exercice : Une association série d une résistance R = 150Ω et d un condensateur C = 22µF est soumise à u (f=50hz) et elle est traversée par i ( I=1,1A) i u u R R C u C 1/ dessiner les vecteurs de Fresnel de chacune des tensions U C U R U I X 2/ calculer U R et U C on a U R = R.I = 165V et U C = (1/Cω) I = 159V 3/ calculer U U = (U R ² + U C ²) = 230V 4/ calculer ϕ tan ϕ = 0.96 donc ϕ = rad 5/ calculer P P = UI cos ϕ = 182 W 6/ calculer S S = UI = 253 VA M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 11

12 5. relation P,Q, S ; facteur de puissance On a P = UIcosϕ et Q = UIsinϕ donc :P² + Q² = U²I²cos²ϕ + U²I²sin²ϕ = U²I² (cos²ϕ + sin²ϕ) = U²I² = S² conclusion : S = ( P² + Q² ) On a : U sinϕ U ϕ I U cosϕ On multiplie par I : S Q ϕ P On a bien S² = P² + Q² On a aussi : tan ϕ = Q / P ; sin ϕ = Q / S ; cos ϕ = P / S Facteur de puissance : On définit le facteur de puissance d un dipôle comme le rapport P/ S : f p = P / S en régime sinusoïdal, f p = P / S = cos ϕ M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 12

13 Remarque : importance du facteur de puissance : Une installation alimentée par EDF (230V ; 50Hz) constitue un dipôle de facteur de puissance f p. Cette installation appelle une puissance active P. Or P = UIcos ϕ I = P / (U.cos ϕ ) I = P / (U.f p ) Donc I sera d autant plus faible que f p sera grand. Or EDF pour minimiser ses pertes (effet Joule lors du transport) veut avoir I le plus faible possible. Il faut donc avoir un fort facteur de puissance. Exercice : I / EDF fournit de l électricité à deux usines absorbant chacune une puissance active P = 15kW. Cependant, l usine1 a un f p1 de 0,7 et l usine 2 a un f p2 de 0, calculer le courant absorbé par l usine A 2. calculer le courant absorbé par l usine A 3. quelle est l usine la plus rentable pour EDF? usine2 II / Pour minimiser ses pertes, EDF exige que le facteur de puissance d une installation soit supérieur à 0,93. L usine 1 doit donc se mettre en conformité en prenant f p1 = Pour cela, elle place en parallèle avec son installation un condensateur de capacité C. 1. montrer que cette transformation ne change pas la consommation de puissance active de l usine Calculer la capacité C 0.7mF M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 13

14 Docs élève M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 14

15 doc 1 M. Dedieu ; Lycée J.Perrin (95) 15

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