Problématique : Conjecturer des propriétés.

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1 Marron Violet Rose Bleu Vert Jaune Orange Rouge Séance 1 Séquence 12 : Les Probabilités Objectifs : Connaitre le vocabulaire sur les expériences aléatoires Connaitre les propriétés des probabilités Conjecturer la loi des Grands Nombres de Bernoulli Savoir calculer la probabilité d un évènement élémentaire Activité 1: Réflexion : Les prérequis. Après les tablettes, le Papier/Crayon Recherche n 1 Une urne contient une boule blanche et deux boules noires. On prend une boule au hasard dans l urne. Quelle est la probabilité de prendre la boule blanche? Quelle est la probabilité de prendre une boule noire? Recherche n 2 Un jeu de cartes comporte 32 cartes : huit «trèfle», huit «carreau», huit «cœur» et huit «pique». Les cartes carreau et cœur sont dites cartes rouges, les trèfle et pique, cartes noires. On prend une carte au hasard dans le jeu. 1 Quelle la probabilité de prendre un «trèfle»? 2 Quelle est la probabilité de prendre une carte rouge? Recherche n 3 L exercice suivant est tiré de l évaluation PISA : La mère de Kevin lui permet de prendre un bonbon dans un sachet opaque. Kevin ne voit donc pas les bonbons. Le nombre de bonbons de chaque couleur contenus dans le sachet est illustré par le graphique suivant : Quelle est la probabilité que Kevin prenne un bonbon rouge? A 10% B 20% C 25% D 50% Activité 2: S habiller pour la Saint patrick Problématique : Conjecturer des propriétés. 1

2 Séance 2 Activité 3: Vocabulaire, définitions, Propriétés. Faire marquer le devoir maison dans le cahier de textes. Il est à rendre pour le Jeudi 22 Février Objectif : Résoudre des problèmes faisant intervenir les probabilités. A. événement et probabilité Définition : On appelle événement un ensemble d issues. Par exemple, on note A l événement : «le nombre obtenu est pair». B. événement contraire Définition : L événement contraire de l événement A, que l on désigne par «non A» est celui qui se réalise lorsque A ne se réalise pas. C. événement incompatibles Définition : Deux événements sont dits incompatibles s ils ne peuvent pas se produire en même temps D. Vocabulaire Définition : Un phénomène dont on ne peut pas prévoir de façon certaine le résultat, ou l issue, est appelé une expérience aléatoire. Définition : On appelle événement un ensemble d issues. Un événement est réalisé, lorsque l une des issues qui le composent est réalisée. Définition : Quand une expérience est réalisée un très grand nombre de fois, la fréquence de réalisation d un événement se rapproche d une valeur théorique : la probabilité de cet événement. E. Calcul et Propriétés Conséquences : Définition : La probabilité d un événement est toujours comprise entre 0 et 1. Définition : La somme des probabilités de toutes les issues d une expérience aléatoire est 1. Définition : La probabilité d un événement qui se produit nécessairement (événement certain) est 1 Définition : La probabilité d un événement qui ne peut pas se produire (événement impossible) est 0 2

3 Séance 3 Activité 4: Applications Application 1 : vocabulaire sur les expériences aléatoires Un sachet contient 2 bonbons à la menthe, 3 à l orange et 5 au citron. On tire, au hasard, un bonbon du sachet et on définit les évènements : A : «le bonbon est à la menthe», B : «le bonbon est à l orange», C : «le bonbon est au citron». 1 / Quel est le nombre d issues possibles? 2 / Déterminer les probabilités p(a) puis p(b) et p(c). 3 / Représenter l expérience par un arbre pondéré. Application 2 : propriétés des probabilités Une roue de loterie est partagée en six secteurs identiques numérotés de 1 à 6. On la fait tourner et on s intéresse au chiffre du secteur désigné par le pointeur. a / Quelles sont les issues (ou résultats) possibles? Sont-elles équiprobables? b / Soit A l événement : «le chiffre est pair». Quelles sont les issues favorables à l événement A? En déduire la probabilité p(a) de cet événement. Application 3 : probabilité d un évènement élémentaire Dans un sac, on a placé 3 jetons numérotés 3 ; 4 : 5. On tire au hasard, successivement et sans les remettre dans le sac tous les jetons du sac. On écrit le nombre qui a comme chiffre des centaines le 1er nombre tiré, comme chiffre des dizaines le 2ème nombre tiré et comme chiffre des unités le 3ème nombre tiré. a / Si on tire le 3 puis le 5 et enfin le 4 quel nombre obtient-on? b / A l aide d un arbre, établir tous les résultats possibles. c / Quelle la probabilité de l événement : «obtenir 453»? d / Quelle est la probabilité de l événement : «obtenir un nombre inférieur à 453»? e / Quelle est la probabilité de l événement : «obtenir un nombre multiple de 3»? Pouvaiton prévoir le résultat? f / Quelle est la probabilité de l événement : «obtenir un nombre multiple de 2»? Application 4: probabilité d un évènement élémentaire Une urne contient 5 boules rouges dont 2 ont une tache noire et 4 boules jaunes dont une a une tache noire. On extrait une boule au hasard. Quelle est la probabilité de chacun des évènements suivants? a / A : «la boule extraite est jaune». b / B : «la boule extraite a une tache noire». c / C : «la boule extraite n est pas jaune et sans tache noire». Application 5: probabilité d un évènement élémentaire Un jeu de 32 cartes contient 4 familles : carreau, coeur, pique et trèfle de couleur rouge ou noire. Chaque famille contient 8 cartes : sept, huit, neuf, dix, valet, dame, roi et as. Valet, dame et roi sont trois figures. On tire au hasard une carte d un jeu de 32 cartes. La face des cartes étant cachée, toutes les cartes ont la même chance d être tirée. 1 / Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants : A : «obtenir la dame de coeur» B : «obtenir une dame» C : «obtenir un coeur» D : «obtenir une dame ou un coeur» E : «obtenir un carreau» F : «ne pas obtenir de carreau» G : «obtenir un as noir» H : «obtenir une figure». 2 / Les évènements B et C sont-ils incompatibles? Justifier. 3

4 Séance 4 Activité 5: Accompagnement Personnalisé. Marc est né le 30 juin. Son petit frère est aussi né un 30 juin. Quelle coïncidence! A votre avis, quelle était la chance qu il naisse le même jour? Il y a 365 jours dans une année, son petit frère avait donc une chance sur 365 de naître le 30 juin, soit 1 chance sur 365 de naître le même jour. Combien de personnes faut-il réunir pour être sûr qu au moins 2 personnes aient leurs anniversaires le même jour? Il y a 365 jours dans une année (non bissextile), il faut donc réunir au moins 366 personnes. Combien de personnes faut-il réunir pour qu il y ait une chance sur deux que deux d entre elles aient leurs anniversaires le même jour? On est tenté de dire 183 (366 : 2 = 183) mais non, ce n est pas une situation de proportionnalité. Pour répondre à cette question, les mathématiciens ont recours aux probabilités. On peut alors montrer qu il suffit de 23 personnes. On lance un dé et on note le nombre obtenu. On suppose que le dé est parfaitement équilibré, c est-à-dire que chaque face a autant de chance de sortir. 1) Combien y-a-t-il de possibilités? Il y a 6 faces, donc 6 possibilités. En probabilité, chaque résultat possible est appelé issue. Il y a ainsi 6 issues possibles. 2) Combien de chance a-t-on d obtenir 1? Nous avons 1 chance sur 6 d obtenir 1. Nous dirons que la probabilité d obtenir 1 est 1/6, et nous noterons : 4

5 Séance 5 Activité 6: TICE Objectif : Interpréter L aléa. + Calculer des valeurs grâce au Random Compétences : Utiliser un tableur grapheur et un logiciel d algorithmique Partie A : Objectif de l activité : Partie B : Objectif de l activité : Programmer un simulateur de lancer de dé Faites fonctionner votre programme. 5