TD3. Propagation des ondes électromagnétiques dans un diélectrique

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1 TD3 Propagation des ondes électromagnétiques dans un diélectrique On considère un milieu matériel globalement neutre, composé d une densité volumique n d ions de charge +e et d une densité volumique n d électrons de charge e. Ces derniers, de masse m, sont soumis à une force de rappel élastique, qui les ramène à leur position d équilibre, supposée confondue avec le noyau auquel ils sont rattachés. On se propose d étudier les propriétés d un tel milieu, soumis à la propagation d une onde plane électromagnétique, dont le champ électrique est donné par. 1) Equation du mouvement des électrons a) Ecrire l équation du mouvement des électrons et la résoudre en régime permanent. b) Calculer la vitesse des électrons ainsi que la densité de courant qui en résulte. c) En déduire l expression de la conductivité du milieu. 2) Equations de Maxwell a) Donner les équations de Maxwell dans le milieu. b) En utilisant la divergence du champ électrique, démontrer que ce dernier n a pas de composante selon x. En déduire que le champ magnétique non plus. c) Montrer que E est perpendiculaire à B et établir la relation : d) En déduire la relation de dispersion : 3) Propagation des ondes L onde ne peut se propager dans le milieu que lorsque l indice optique est réel, ce qui est équivalent à. a) On pose. Exprimer en fonction des seules fréquences,, et. b) Etudier le signe de en fonction de la pulsation. c) En déduire le comportement du diélectrique en fonction des différents domaines de fréquence. d) Application : Le sondeur vertical est une sorte de radar dont la fréquence est variable entre 1 et 30 MHz. L'émetteur envoie des impulsions très brèves qui sont réfléchies à une altitude dépendant de la fréquence et de la densité électronique dans l'ionosphère. La mesure du temps séparant l'impulsion émise et la réception de l'écho permet de calculer l'altitude à laquelle s'est effectuée la réflexion. Le tracé de cette altitude (virtuelle) en fonction de la fréquence est un ionogramme [Source : wikipedia]. Interpréter.

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3 TD4 Rappels de magnétostatique On rappelle qu il existe deux façons de calculer le champ magnétique créé par une distribution de courant : Le calcul direct par la formule de Biot-Savart : où est la contribution au champ d un élément de courant placé en P. Lorsque les symétries et les invariances du système s y prêtent bien, l application du théorème d Ampère peut se révéler plus immédiate : 1) Calculer le champ magnétique créé dans tout l espace par un fil infini parcouru par l intensité I. 2.a) Calculer le champ magnétique créé en un point quelconque de son axe par une spire de rayon R parcourue par un courant I, en fonction de l angle sous lequel elle est vue. α I 2.b) En utilisant la conservation du flux du champ magnétique, montrer que proche de l axe, les composantes du champ vérifient la relation Indication : on supposera la composante verticale du champ constante au voisinage de l axe. 3.a) Déduire de la question 2.a) le champ sur son axe créé par un solénoïde fini, constitué d une densité linéique de spires, en fonction des angles et.

4 3.b) En déduire que le champ créé sur son axe par un solénoïde infini s écrit 3.c) En utilisant le théorème d Ampère sur un contour intelligemment choisi, montrer que le champ magnétique est uniforme au sein du solénoïde, puis montrer qu il s annule en dehors de ce dernier. 4) Calculer le champ magnétique créé dans tout l espace par une sphère de rayon R, portant la charge surfacique et tournant autour de l axe Oz à la vitesse angulaire. 5) Calculer le champ magnétique sur l axe d un cylindre infiniment long de rayon a, parcouru par un courant surfacique axial orienté selon ce même axe.

5 TD5 Milieux aimantés (aspects macroscopiques) 1. Sphère uniformément aimantée Une sphère S de centre O et de rayon R est constituée d un milieu uniformément aimanté suivant la direction Oz : l aimantation s écrit M = M u z 1. Déterminer les courants d aimantation équivalents et les représenter. 2. Exprimer le champ démagnétisant B d au centre de la sphère en fonction de 0 et de l aimantation M (on pourra utiliser un résultat du cours 3. En déduire l expression de l excitation démagnétisante H d, toujours au centre de la sphère. 4. Le matériau est LIH (linéaire isotrope homogène), de susceptibilité magnétique et son aimantation uniforme est obtenue en le plongeant dans un champ magnétique extérieur uniforme B 0. a) Déterminer l excitation magnétique totale H au centre de la sphère. b) En déduire l expression de l aimantation M en fonction du champ extérieur B 0 et de c) Quels sont les ordres de grandeur de pour un diamagnétique et un paramagnétique? En déduire l ordre de grandeur du champ démagnétisant B d par rapport au champ extérieur B Cylindre à aimantation axiale Un barreau cylindrique très long, de rayon R, possède une aimantation axiale M = M u z, uniforme, parallèle à son axe. 1. Déterminer les courants d aimantation équivalents et les représenter. 2. Exprimer le champ démagnétisant B d et l excitation démagnétisante H d à l intérieur et à l extérieur du cylindre. 3. En déduire l expression de l excitation magnétique totale H. 4. Le barreau est placé à l intérieur d un solénoïde qui comprend n spires par unité de longueur. Ce solénoïde crée au sein du barreau un champ uniforme axial B 0. L aimantation M résulte de l application de ce champ B 0. a) Quelle est la relation entre M et B 0 si l on suppose le milieu LIH? b) Discuter l orientation respective de M et de B 0 selon le signe de. Faire un schéma. c) Rappeler l expression de B 0 en tout point intérieur ou extérieur au solénoïde en fonction de 0, n et I. d) Le courant I qui parcourt le solénoïde peut être décrit par une distribution de courants surfaciques «libres» j l. Quelle est la relation entre j l, n et I? e) Déterminer le champ magnétique total B et l excitation H au sein du barreau aimanté en fonction de j S et j l. f) En déduire que j S = j l. Commentaires.

6 TD6 Modèles microscopiques. Diamagnétisme. 1. Diamagnétisme et moment magnétique orbital 1. En l absence de champ magnétique appliqué, les électrons atomiques (masse m e, charge électrique e) décrivent, selon le modèle de Bohr, un cercle de rayon avec la vitesse angulaire autour du noyau. a) Faire le bilan des forces agissant sur l électron. Faire un schéma représentant ces forces. Ecrire le PFD. b) En déduire l expression de en fonction de e, m e et. Estimer numériquement cette fréquence. c) Calculer le courant I associé à la trajectoire de l électron, son moment cinétique m e v et son moment magnétique m IS d) En déduire qu il existe une relation de proportionnalité entre le moment cinétique et le moment magnétique de l électron. On notera la constante de proportionnalité. Déterminer l expression de. Représentez le moment cinétique et le moment magnétique sur un même schéma. e) Comment s appelle la constante? f) Expérimentalement, on trouve plutôt : m g Où g est le facteur de Landé. Quelles sont les prédictions de la mécanique quantique pour g? Comment s appelle la quantité e 2m? B 2. L atome précédent est plongé dans un champ magnétique axial B dirigé dans le sens du moment cinétique. a) Quelle est la nouvelle force qui s applique sur l électron? Représenter toutes les forces s exerçant sur l électron sur un même schéma. b) On considérera dans la suite que le rayon de la trajectoire n est pas modifié par la e présence du champ B. Montrer que la nouvelle vitesse de rotation angulaire vérifie l équation : C Où C est une fréquence que l on définira. c) Estimer quelle serait la valeur du champ B si C = 0 d) Déterminer une approximation pour lorsque 0 1 e) La vitesse angulaire est-elle augmentée ou diminuée par l application du champ magnétique? f) Quelle est la direction du moment magnétique induit par rapport au champ magnétique extérieur? 0 C

7 2.Susceptibilité diamagnétique On considère un matériau dont les atomes qui le composent ne possèdent pas de moments magnétiques orbitaux ou de spins. Ce matériau est placé dans un champ magnétique B. Chaque atome comprend Z électrons que l on supposera sans interactions. 1. Exprimer le moment magnétique induit moyen m de l atome en fonction de la distance quadratique moyenne 2 r des électrons au noyau. 2. Soit n le nombre d atomes par unité de volume dans le matériau. Quelle est la relation entre le moment magnétique atomique m et l aimantation macroscopique M? 3. Estimer numériquement la quantité 0 M / B dans le cas d un gaz. 4. En déduire la relation liant le champ magnétique B et l excitation H. 5. Donner l expression de la susceptibilité magnétique du matériau. Faire l application numérique.