p (t) R th Milieu extérieur C th 0 C Elément chauffant

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1 Donner, en conduction thermique, les grandeurs analogues aux grandeurs électriques suivantes: potentiel V, intensité de courant I, résistance électrique R. Préciser leurs unités. -Endéduireunéquivalentdelaloid'Ohmpourlaconductiondelachaleur. - Existe-t-il, en régime permanent, une loi de l'électricité analogue à la loi de Fourier pour la conduction thermique? - Les matériaux bons conducteurs de l'électricité sont-ils, en général, bons conducteurs de la chaleur, ou est-ce le contraire? Proposer une explication. Donnerl'expressiondelacapacitéthermique C th d'uncorpsdemasse m etdechaleur massiqueàpressionconstante c p.ecrireuneloideconductionéquivalenteàcellequiexprime, en électricité, le courant de charge dq/dt d'un condensateur portant la charge q(t) en fonction de la dérivée du potentiel à ses bornes. Quelle grandeur thermique est-elle l'analogue de la charge électrique q emmagasinée dans ce condensateur? Préciser les unités. Une résistance électrique r = 10 ohms est incorporée dans la masse d'une éprouvette dont la capacitéthermiqueest C th =250J/K.Cetteéprouvetteestenferméedansunboîtierdepuis l'intérieur duquel on peut considérer qu'elle est en contact avec le milieu extérieur à travers une résistancethermiqueégaleà R th =8K/W.Lemilieuextérieurétantà ext =20 C,onveut porterl'éprouvettejusqu'à unetempératurefinale =40 C.Pourcefaire,onconnectela résistance électrique r à une source de tension de manière à dissiper dans l'éprouvette une puissance p.onsupposeraquelatempérature (t) del'éprouvettedemeureuniformedans toute sa masse. LeschémaélectriqueproposéFigure1 estl'imagedusystèmethermiqueétudié. Préciserlavaleurnumériqueetl'orientationdelafemdugénérateuréquivalentdetension qui symbolise le milieu extérieur. Elément chauffant p (t) R th Milieu extérieur C th 0 C

2 QuelleloideKirchhoffappliquéeau,traduit-ellelebilanthermiquedu ""? Lorsquelerégimepermanentestatteint,expliquerpourquoil'onpeutfaireabstractionde la capacité C th. En déduire directement, en fonction de ext, de et de R th exclusivement,lapuissance(flux)thermique p nécessaireaumaintiendelatempérature finale. En préciser la valeur numérique. Lapuissancethermiqueestmaintenueconstante,àlavaleurp calculéeprécédemment. Al'instant t=0,onconnectelarésistanceélectrique r surunesourcedetension continue E 1.Quelledoitêtrelavaleurdelatension E 1 pourquelarésistance r dissipecette puissancep? Afind'étudierlamontéeentempératuredel'éprouvettesousl'actiondecechauffage, effectuer un bilan thermique pour celle-ci, entre les dates t et t+dt. En déduire l'équation différentiellerégissantl'évolutionde (t). -Exprimerl'évolutiondelatempérature (t) del'éprouvetteensupposantsatempérature initialeégaleà o = ext =20 C,lorsquelechauffageestmisenroute. Evaluer,enfonctiondelaconstantedetemps dusystème,letemps t r auboutduquel lavariationdetempératuredepuisledébutdelachauffeatteint 95% delavaleurthéorique nécessaire pour arriver au régime stationnaire. -Calculer puis t r. Latempérature (t) del'éprouvetteestmesuréeàl'aided'uncapteurélectroniquequidélivre unetension u(t)=0,1 (t),lesunitésétantlevoltpour u(t) etledegrécelsiuspour (t). Cettetension u(t) estcomparéeàunetensionpériodique w(t) endentsdescie(figure2) décroissantde U o =4,5voltsàzéropendantunepériodeT o.celle-ciestchoisiesuffisamment petitepourconsidérerque,danstoutintervalle[nt o,(n+1)t o ],latempératuredel'éprouvetteet donc la tension u(t) demeurent pratiquement constantes. tensions U=4,5V o w(t) u(t) 0 t* T o 2T o 3T o temps t Le chauffage de l'éprouvette s'effectue en reliant la résistance r à une source de tension continue E 2, par l'intermédiaire d'un interrupteur électronique K. Cet interrupteur est commandé(figure 3) par un comparateur à amplificateur opérationnel(supposé idéal) dont la tensiondesortiev out satureà V sat aumoindreécartsensibleentrewet u.

3 L'interrupteurKestfermési V out =+V sat ; ilestouvertsi V out =V sat. _ + u(t) w(t) V out K E2 r=10 Vch TracerlacaractéristiqueV out enfonctiondeladifférence wu,puisreprésenteren fonctiondutempslatensionv ch appliquéeàlarésistancedechauffager. -Aucoursd'unepériode [0,T o ],exprimerl'instant t*,lorsdubasculementdel'interrupteur, enfonctiondeu,u o et T o.pendantquellapsdetempslechauffagefonctionne-t-il? Lapuissancethermiquemoyennedissipéedanslarésistance r,calculéependantune périodet o,étantnomméep moy (),l'exprimerenfonctiondee 2, r,u o etde. Enconsidérantque P moy () correspondàlapuissancethermiquedissipéedansl'éprouvette lorsquecelle-cisetrouveàlatempérature,écrirelanouvelleéquationdifférentiellequirégit la montée en température. Préciserlavaleurnumériquedelatension E 2 desorteque P moy ( ) soitégaleàla puissance p précédemmentcalculéeen(2.1),lorsque = =40 C.Danscecas,résoudre lanouvelleéquationdifférentiellepourobtenir (t). -Déterminerlanouvellevaleurdestemps et t r.définirl'avantagedecettedeuxième méthode par rapport à la précédente. ) Onconsidèreunesonde,composéededeuxdiodes,accoléesde manièreàdemeurercesdiodessontconnectées,selonleschéma donné, Figure 4, à un dispositif contenant un amplificateur opérationnel. On mesure la tension V M surl'entréeinverseusemdel'amplificateur. I D1 1 M A Leur fonctionnement est simplement caractérisé par lecourantquilestraverseet dont l'expression est donnée dans le texte. Eo R 1 R 2 I 2 D2 B R 3

4 L'amplificateuropérationnelestalimentéaumoyendedeuxsourcessymétriques(15volts,0) et(0,15volts).onsupposeraqu'ilestidéaletqu'ilfonctionneenrégimelinéaire. D1 : I 1 I s e exp V A V 2kT e=1, C k=1, J/K T I s T, Exprimerl'intensité I 2 traversantladiode D2,paranalogieavecl'expressionde I 1,en faisantapparaîtreladifférence(v B V M ). Exprimer,enfonctionde (V A V B ),delatempérature T etdesconstantes e et k, lerapporti 1 /I 2 desintensitésdecourantdanslesdiodes.endéduireuneexpressionde(v A V B ) fonctiondelatempérature T,desrésistances R 1 et R 2 dumontageetdesconstantes e et k, maisindépendanteducoefficient I s. Etablirunedeuxièmeexpressionde (V A V B ).Endéduirelatension V M,mesuréeau nud M,enfonctiondelatempérature T,delatension E o,desrésistancesduréseauetdes constantes eet k. Onimposeàl'entréeunetensionnégative E o = 15volts etl'onfixelavaleurdes résistances R 1 =10k et R 2 =20k.Quellevaleurfaut-ilchoisirpour R 3 sil'onveut obtenirunetension V M nulleà0 C? OnprendraT=+273,15. Quelleest,danscesconditions,l'expressionnumériquedelatension V M enfonctiondela température expriméeen C? Onsouhaiteréaliseruncapteurdélivrantunetensionproportionnelleàlatempérature Celsiusàraisonde 1volt pour 10 C,soit :u=0,1.pourcefaireoncâblelemontage schématisé Figure 5 où l'amplificateur opérationnel(supposé idéal et utilisé en régime linéaire) mesurelatension V M sansprélèvementdecourant.calculerlavaleurdelarésistance R 5 sachantquer 4 =10k. R 5 M R 4 M V M u=0,1

5 Pour obtenir un signal de la forme de w(t) représenté figure 2, on peut utiliser le multivibrateur schématiséfigure6.onynoteraenparticulierunesourcedecourant I orientéedemanièreà abaisserlepotentiel V c =V,référencéparrapportàlamasse. Cettesourcedecourantdébite,danslesensdelaflèche,uncourantd'intensitéI=10A. La capacité du condensateur branché entre la borne inverseuse de l'amplificateur opérationnel et lamasse,apourvaleurc=1f. D R D Vc 1k V D I D I 10A I D C 1F R o 1k C o 1F V s 0 V D Auninstant (t=0 ),partonsd'unesituation où V =0 et V =0,cequientraînequelatensiondesortiedel'amplificateuropérationnel soitensaturationnégative: V s = V sat.ladiode D neconduitpas.cependant,dèsl'instant t=0,lasourcedecourant IrendlepotentielV sensiblementnégatif,cequisuffitpourfaire basculerl'amplificateuropérationnelensaturationpositive: V s =+V sat. Quelleestladifférencedepotentiel V s V + entrelesbornesducondensateur C o au temps t=0?endéduireautemps t=0 lavaleurdecettedifférencedepotentiel puisla valeurdev +. Ecrirel'équationdifférentiellequirégitlacroissancedupotentiel V + aucoursdutemps puislarésoudre,sachantquer o =1k,C o =1Fet V sat =15volts. Lecouranttraversantladiodedèsl'instant t=0 + étantnettementsupérieuraucourant I, lecondensateur C sechargealorsprogressivementsousunetension V c =V croissanteà partirdezéro.ecrirel'équationdifférentiellequirégitl'évolutiondupotentiel V aucoursdu tempspuislarésoudre,sachantque R=1k, C=1 F et V sat =15volts.Pourcefaire,on feraabstraction(figure6)delasourcedecourant Idontledébit(10A)esttrèsfaible. Représentersurunmêmegraphel'évolutiondestensions V + et V enfonctiondutemps puisdéterminerletemps t o auboutduquelcesdeuxtensionss'égalisent,ainsiqueleurvaleur numérique commune en cet instant. Que se passe-t-il immédiatement au-delà de ce temps?

6 Ladiodecessantmaintenantdeconduire,lasourcedecourant I agitseule;elleabaisse alorstrèslentementlepotentiel V c depuislavaleurcalculéeprécédemmentjusqu'àlalimite atteintependantcetteévolutionparlepotentiel V +.Cettelimitecorrespondraàunetension nulle,silatension V + tendbeaucoupplusrapidementverszéroque V c.ilseradoncnécessaire devérifierquelaconstantedetemps R o C o estbiennégligeabledevantletemps t nécessaire à la décharge complète du condensateur C. Expliquerpourquoiladécroissancedelatension V c estlinéaireenfonctiondutemps. -Apartirdesvaleursnumériquesdonnées(I=10A;C=1F),calculerlavaleurnumérique del'intervalledetemps t. -Montrerqu'immédiatementfranchieladate t o + t, latensionv c tendàdevenirlégèrement négative,cequiramèneàlasituationdécriteinitialementautemps t=0. Que se passe-t-il alors? Expliquerpourquoi,dansl'intervalledetemps [t o ; t o +t],lepotentiel V + tendvers zéroavecuneconstantedetempségaleàr o C o et vérifierquecetteconstantedetempsestbien négligeabledevant t. Comparer t autemps t o.endéduirelapériodet o desdentsdescieobtenues. Tracerl'évolutionaucoursdutempsdelatension V c auxbornesducondensateur C à l'échelledequelquessecondes,ennégligeantl'intervalledetemps[0,t o ]. Expliquercommentobtenirlatension w(t) décritesurlafigure2,àpartirdumontage dessinésurlafigure6.faireunschémadumontageadditifayantpourentréelatension V c.