) = n. ) = 2n. D - Inférence Statistique - Estimation et Tests d hypothèses 5. Tests du Khi-deux (non paramétrique) Loi du Chi-deux (χ 2 n

Transcription

1 5. Tests du Kh-deux (non paramétrque) Lo du Ch-deux (χ n ) à n degrés de lberté (ddl) S X 1, X,..., X n, sont n varables ndépendantes, suvant toutes une lo normale N (0,1), la varable χ n = X 1 + X + + X n sut une lo du χ à n degrés de lberté (ddl). n=1 n= n=3 n=4 n=5 L'expresson de la densté de probablté est un peu complquée Pour n>, maxmum à (n-) S n > 30, la lo tend vers une N (n,(n) 1/ ) Espérance : E(χ n ) = n Varance : V(χ n ) = n (démonstraton mons asée que pour l espérance)

2 TABLE P(X ν > 1,59) = 0,05 α=5% EXCEL foncton LOI.KHIDEUX(x;dll) LOI.KHIDEUX(1,59 ;6) renvoe 0.05 Fare attenton aux conventons d Excel!

3 5. Tests du Kh-deux (non paramétrque) L ntervalle de confance d une varance Emprunte à la lo du Ch-deux (χ n ) à n degrés de lberté (ddl)

4 5. Tests du Kh-deux (non paramétrque) Tests concernant des varables qualtatves Tests de conformté (échantllon à populaton donnée) Tests d'ajustement à une lo de probablté Tests d'homogénété de pluseurs dstrbutons (échantllons) Avantage : non paramétrque Tests unlatéraux Traval sur les effectfs observés (échantllons) et attendus (populaton) sous l'hypothèse nulle Ho Résoluton tests hypothèses avec EXCEL & R

5 5. Tests du Kh-deux Test de conformté / ajustement - Tableau de contngences Ho : lo de dstrbuton des classes connue ou supposée connue unlatéral Caractère Dstrbutons classe 1 classe classe j classe N Sommes partelles échantllon O 1 O O j O N ΣO j fréquences attendues sous Ho f 1 f f j f N 1 effectfs attendus sous Ho χ obs = (O C C ) C 1 C C j C N ΣC j Nombre de degrés de lberté ddl ν = N-1 (Test d ajustement cf transp. suvant) S χ obs < χ ν,α alors Ho est acceptable au rsque seul α tous les C Le rsque de 1ere espèce αo est lu sur la table à ν ddl, pour la valeur de χ obs 5

6 5. Tests du Kh-deux Exemple : Test de conformté On compare un échantllon à une populaton pour la quelle la répartton pour la couleur des yeux est connue unlatéral Ho : l'échantllon provent de la populaton (dfférences dues au hasard) Tableau de contngences Classes Couleur Yeux Bleus Marrons verts autres sommes observaton probabltés dans la poulaton effectfs attendus sous Ho coeffs du kh-deux χ obs 9.77 α o.06% ν (ddl) 3 Calculs Conluson α seul 5.00% χ 3; 5% 7.81 décson : Ho est rejetée au seul 5.0% avec un rsque 1ère espèce de.1% α o < α Le rsque de 1ere espèce α o est lu sur la table à ν ddl, pour la valeur de χ obs

7 5. Tests du Kh-deux Exemple : Ch-deux d ajustement à une lo de dstrbuton (unforme) On cherche à savor s le dé utlsé est ppé. On dspose des résultats de 90 lancés du dé : On teste Ho : Π=1/6 pour tout résultat 1 à 6 (lo unforme) d où n Π =15 pour chaque classe (condton C >5 remple) Calcul : ( )/15=76/15=5,07 Lecture table α=5%, ν=5 ddl : rejet s χ 5, 0.05 > 11,07 Le test est donc non sgnfcatf au rsque seul α=5%

8 5. Tests du Kh-deux Tests d ajustements détermnaton du nombre de ddl Ho : lo de dstrbuton à n par paramètres dont k sont déduts de l échantllon Test ajustement : Nombre de degrés de lberté (ddl) ν = N-1-k -1 car Σn=N une relaton lant les observatons, donc 1 degré de lberté de mons. (N-1) valeurs permettent de détermner la N ème valeur, connassant leur somme. Lo bnomale : caractérsée par N (Σn=N) et Π s Π donnée k=0 ν = N-1 s Π dédute des données de l échantllon k=1 n = N-3 Lo normale : caractérsée par µ et σ S µ et σ donnés k=0 ν = N-1 S µ ou σ dédut(e) de l échantllon k=1 ν = N- S µ et σ dédut(e) de l échantllon k= ν = N-3

9 5. Tests du Kh-deux Test d homogénété - Tableau de contngences Ho : Homogénété des échantllons Il exste une populaton commune d où sont ssus tous les échantllons χ obs = j (O C C )

10 5. Tests du Kh-deux Test d homogénété - Tableau de contngences Ho : lo de dstrbuton des classes connue ou supposée connue unlatéral Nombre de degrés de lberté ddl ν = (N classes - 1)*(N échantllons -1) Il exste, en effet, (N classes + N échantllons ) sommes partelles lant les observatons pour le calcul des fréquences attendues sous l hypothèse d une populaton commune Ho : Homogénété des échantllons Il exste une populaton d orgne commune d où sont ssus tous les échantllons χ obs = j (O C C ) S χ obs < χ ν,α alors Ho est acceptable au rsque seul α Le rsque de 1ere espèce αo est lu sur la table à ν ddl, pour la valeur de χ obs

11 5. Tests du Kh-deux Exemple : Test d homogénété Ho : les échantllons sont homogènes pour l'expresson des gènes dans les 9 catégores Il exste une populaton commune (d où sont ssus les échantllons) Nous allons construre un tableau de contngence sous Excel pour effectuer ce test Calculer le crtérum : χ obs = j (O C C )

12 5. Tests du Kh-deux Exemple : Test d homogénété Nous allons effectuer ce test sous Excel et ensute avec R