Contrat didactique Finance stochastique

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Pierre-Yves Leduc
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1 Contrat didactique Finance stochastique Les compétences de ce cours sont à placer dans le contexte général de l appropriation de la notion de modèle mathématique et de son utilisation pratique en gestion ce qui implique : L appropriation du contenu des modèles de façon à les utiliser optimalement en gestion en toute connaissance de leur contenu et de leurs hypothèses implicites L acquisition d une certaine indépendance visant à chercher éventuellement d autres modèles mieux appropriés Objectifs de l activité d enseignement Le but est d amener l étudiant à poser un problème de gestion financière en univers stochastique à mettre en place différentes techniques de résolution d un problème : paramétrisation d un fonds, valorisation de produits dérivés, établissement d une couverture par acquisition d un portefeuille bien diversifié, comprendre et appropriation des éléments mathématiques sous-jacents aux techniques de valorisation des actifs comme les mouvements browniens et browniens géométriques L'étudiant doit s initier aux méthodes de mises en équation financière et aux techniques de simulations afin de mettre en place algorithmes et heuristiques Les compétences sont à placer dans le contexte général de l appropriation de l utilisation pratique de modèles mathématiques de gestion et leur application dans un domaine concret Il faut viser l appropriation du contenu des modèles de façon à les utiliser optimalement en gestion en toute connaissance de leur contenu et de leurs hypothèses implicites et l acquisition d une certaine indépendance visant à chercher éventuellement d autres modèles mieux appropriés Le but est d amener l étudiant à poser un problème de valorisation d un produit financier complexe pour lequel aucune formule directe n est disponible. Des méthodes de calcul algorithmiques et heuristiques doivent donc être mises en place. Présentation du contenu, du contexte Le cours comprend les chapitres suivants : Théorie des équations différentielles stochastiques Processus de capitalisation et d'actualisation Valorisation d'indices et de paniers d'actions, Valorisation de Sicavs, Valorisation d'options : Modèles de Black et Scholes et modèle de Cox Ross Rubinstein, Modélisation des courbes de rendement sur le marché obligatoire, Processus d'ornstein-uhlenbeck Modèle de Black et application à la valorisation de swaption Organisation du travail / attentes vis-à-vis des étudiants : Cours magistral et séances d'exercices au labo d informatique Mise en place de modèles financiers stochastiques et de procédures de résolution de problèmes non encore résolus et de calculs en utilisant un tableur

d une certaine indépendance visant à chercher éventuellement d autres modèles mieux appropriés Objectifs de l activité d enseignement Le but est d amener l étudiant à poser un problème de gestion

2 Modalités et critères d évaluation Épreuve orale comprenant trois types d évaluation : Des questions théoriques évaluant le niveau de savoir approprié Des questions pratiques évaluant la compétence des étudiants à appliquer des techniques de calcul et à critiquer les ordres de grandeur des résultats obtenus Des questions d interprétation portant sur des fichiers de bases de données, sur leur représentation, ou encore sur des fichiers de calcul Les étudiants préparent leur examen en cours d années en recherchant les bases de données financières et des produits présentés dans les cours. Ils construisent eux-mêmes les fichiers de calculs de produits dérivés dans un tableur Les étudiants remettent chacun deux dossiers de résolution de problème. Ces dossiers sont constitués d une part d un fichier de calculs, d autre part d un texte analysant les procédures mises en place du point de vue numérique et interprétant les résultats obtenus. Deux autres dossiers sont construits pendant les cours. L interrogation orale porte sur ces dossiers et ces fichiers de calcul Support(s) de cours et bibliographie Notes de cours fournies en support pdf Introduction à la mathématique financière - Daniel Justens et Jacqueline Rosoux - De Boeck Finance stochastique - Devolder, Pierre - Editions de l'université de Bruxelles-1993 Modélisation de produits financiers à risque réduit - Esch, Justens, Geuskens, Moeremans - Luc Pire/ Ferrer-2001 Ouvrages de référence classiques (Eléments de calcul numérique de Démidovitch ou encore Méthodes numériques de Bakhvalov) Présentations powerpoint Nombreux documents d actualité transmis sous forme de pdf Tous les documents, notes, powerpoints, bases de données et tous les fichiers de calculs se trouvent sur le site et sont disponibles à tout moment et pour tous. Une information régulière quant aux problèmes à résoudre et aux dossiers à remettre peut y être trouvée. Les étudiants ne pouvant participer activement aux cours peuvent passer une épreuve écrite selon les modalités du contrat de confiance. Des questions «types» suivent.

représentation, ou encore sur des fichiers de calcul Les étudiants préparent leur examen en cours d années en recherchant les bases de données financières et des produits présentés dans les cours.

3 Contrat de confiance Finance stochastique Gestion de sicavs Donner l axiomatique du mouvement brownien standard et interpréter cette dernière économiquement. Attention : il faut procéder en deux temps : donner l axiomatique du brownien, donner une propriété de sa variance et puis standardiser. Présenter intuitivement l évolution d un produit financier au cours du temps. Montrer comment justifier, à partir du théorème central limite, la lognormalité du processus sous-jacent. Etudier les processus de capitalisation et d actualisation. Etudier moyenne et variance des processus de capitalisation et d actualisation. Montrer l irréversibilité du temps en univers stochastique. Expliquer comment on peut paramétrer une distribution lognormale, interpréter sa moyenne et montrer comment on peut interpréter la capitalisation stochastique. Le placement du groupe FORTIS B FIX Equity 54 a les caractéristiques suivantes. Lancement: 22 décembre Date d'échéance : 7 janvier Taxe boursière: 1% à l'achat et 0.5 % à la vente. Droit d'entrée : 1.5%. Droit de sortie: aucun. Il donne un rendement suivant le top 20 des actions du groupe. On modélise ce sous-jacent au moyen d un brownien géométrique de tendance r = 0.17 et de volatilité = La hausse est plafonnée à 110 %. On place une barrière absorbante en 0 pour limiter les risques de perte. Construire la distribution de probabilité du rendement annuel du FORTIS B FIX Equity 54 en choisissant les rendements annuels maximum et minimum et un point intermédiaire. Justifier vos calculs. La Deutshe Bank propose aujourd hui le contrat suivant. Une Sicav donnant 150 % de l indice Dow Jones Eurostoxx50 avec maximum 32 % brut. La durée est de 4 ans et le capital est garanti à 100% à l échéance. Les conditions du marché sont identiques à celles présentées plus haut : taxe boursière: 1% à l'achat et 0.5 % à la vente. Droit d'entrée : 1.5%. Droit de sortie: aucun. Le CD en annexe donne l historique de l indice. A vous de le représenter, d étudier son taux de rendement journalier, de le paramétrer, et enfin de construire sur base de ces paramètres la fonction de répartition du taux de rendement annuel net de la Sicav.

Présenter intuitivement l évolution d un produit financier au cours du temps. Montrer comment justifier, à partir du théorème central limite, la lognormalité du processus sous-jacent.

2. Théorie des options Enoncer les hypothèses utilisées par Black et Scholes pour arriver à la modélisation de la valeur d'une option européenne. Considérer un actif de valeur actuelle 35.

4 2. Théorie des options Enoncer les hypothèses utilisées par Black et Scholes pour arriver à la modélisation de la valeur d'une option européenne. Considérer un actif de valeur actuelle 35. Soit une croissance et volatilité historiques égales respectivement à 0.19 et Etudier la valeur d une option de type call sur cet actif en fonction de l horizon (de 3 à 6 mois) pour une valeur K= Les paramètres non communiqués sont au choix mais doivent être justifiés. Comparer ces valeurs avec celles que l'on aurait obtenues en univers déterministe. Interpréter la valorisation de Black et Scholes à partir de l expression déterministe. Soit un actif du type action de valeur actuelle et de croissance et volatilité historiques égales respectivement à 0.12 et Calculer la valeur actuelle d'une option à 4 mois sur cet actif pour les valeurs K 1 = 2500 et K 2 = 2600 lorsque le taux sans risque est de 3.5%. Comparer ces valeurs avec celles que l'on aurait obtenues en univers déterministe. Justifier. Les fichiers suivants calculent des valeurs d options en fonction de la volatilité. Commenter les trois situations et donner une interprétation des fonctions de crédibilité associées aux flux financiers.

Etudier la valeur d une option de type call sur cet actif en fonction de l horizon (de 3 à 6 mois) pour une valeur K= 34.5. Les paramètres non communiqués sont au choix mais doivent être justifiés.

6 A quelle situation se rapporte le graphe suivant des «valeurs temps» Justifier : valeur temps de l'option 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, ,2

7 3. Gestion de portefeuilles obligataires Construire les processus d Ornstein-Uhlenbeck à partir d une équation différentielle stochastique interprétée. Interpréter la mise en équation différentielle stochastique et expliquer comment l appliquer dans la gestion de portefeuille obligataire. Soit une obligation d échéance 3 ans 6 mois, de taux nominal (précompte 0.15) de valeur de remboursement calculée à 101 %. Le marché estime cet actif à Calculer son rendement net. Considérons une courbe de tendance de taux (yield curve) de paramètres Taux court S(0) = Taux long R = Vitesse de croissance λ = 0.45 Comparer le taux calculé au point précédent à celui correspond au même horizon sur cette courbe de taux. La comparaison est-elle réaliste?

Soit une obligation d échéance 3 ans 6 mois, de taux nominal 0.055 (précompte 0.15) de valeur de remboursement calculée à 101 %. Le marché estime cet actif à 100.5. Calculer son rendement net.

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