France métropolitaine Enseignement spécifique. Corrigé

Transcription

1 EXERCICE Franc métropolitain 0. Ensignmnt spécifiqu. Corrigé ) a) Rprésntons la situation par un arbr. 0,8 C 0,5 0,5 0,4 H H 0, 0,5 0,5 0, F C F C H 0,7 F b) La probabilité dmandé st pc H ). pc H ) = ph ) p H C) = ph ) ph )) p H C) = 0,5 0,5) 0, = 0,4 0, = 0,. pc H ) = 0,. c) D après la formul ds probabilités totals, pc) = pc H )+pc H )+pc H ) = ph ) p H C)+pH ) p H C)+pH ) p H C) = 0,5 0,8+0,5 0,5+0, = 0,8+0,5+0, = 0,55. pc) = 0,55. d) La probabilité dmandé st p C H ). p C H ) = pc H ) pc) = ph ) p H C) pc) = 0,5 0,8 0,55 = 0,5 arrondi à 0. p C H ). ) a) X suit un loi binomial. En fft, 0 xpérincs idntiqus t indépndants sont ffctués choisir un arbr 0 fois); chaqu xpérinc a dux issus à savoir «l arbr choisi st un conifèr» avc un probabilité p = 0,55 d après la qustion )c)) t «l arbr choisi n st pas un conifèr» avc un probabilité p = 0,475. Donc, X suit un loi binomial d paramètrs n = 0 t p = 0, 55. b) La probabilité dmandé st px = 5). La calculatric fournit px = 5) = 0,4 arrondi à 0. c) La probabilité dmandé st px 8). La calculatric fournit px 8) = 0,984 arrondi à 0. http :// c Jan-Louis Rougt, 04. Tous droits résrvés.

2 EXERCICE ) a) f) st l ordonné du point B à savoir. f ) st l cofficint dirctur d la tangnt à C n B. Ctt tangnt st la droit BC) d cofficint dirctur 0. Donc, f ) = 0. f) = t f ) = 0. b) La fonctionf st dérivabl sur]0,+ [ n tant qu quotint d fonctions dérivabls sur ]0,+ [ dont l dénominatur n s annul pas sur ]0,+ [. D plus, pour tout rél strictmnt positif x, b f x) = x x a+blnx)) x = b a blnx) x = b a) blnx) x. Pour tout rél x > 0, f x) = b a) blnx) x. c) L égalité f) = s écrit a+bln) = ou ncor a =. L égalité f ) = 0 s écrit b a) bln) = 0 ou ncor b a = 0 ou nfin b = a =. Pour tout rél x > 0, fx) = +lnx) x. ) a) D après la qustion b) appliqué avc a = b =, pour tout rél x > 0, on a f x) = lnx) x. Pour tout rél x > 0, on a x > 0 t donc, pour tout rél x > 0, f x) st du sign d lnx). L sign d lnx) étant connu, on n déduit qu la fonction f st strictmnt positiv sur ]0,[, strictmnt négativ sur ],+ [ t s annul n. b) Limit n 0. Pour tout rél x > 0, fx) = +lnx)). On sait qu lim lnx) = t donc lim+lnx)) = x. D autr part, lim = +. En multipliant, on obtint x lim fx) =. Limit n +. Pour tout rél x > 0, fx) = x + lnx). D après un théorèm d croissancs comparés, x lnx) lim = 0. D autr part, lim = 0. On n déduit qu x + x x + x lim fx) = lim x + x + lnx) + x x lim fx) = 0. x + ) = 0+ 0 = 0. c) Ds dux qustions précédnts, on déduit l tablau d variations d l fonction f. x 0 + f x) f 0 http :// c Jan-Louis Rougt, 04. Tous droits résrvés.

3 ) ] a) La fonction ] f st continu t strictmnt croissant sur ]0,]. On sait alors qu pour tout rél k d l intrvall lim fx),f) =],], il xist un rél x 0 t un sul d l intrvall ]0,] tl qu f x 0 ) = k. Comm l rél appartint à ],], il xist un rél d ]0,] t un sul, noté α, tl qu fα) =. b) La calculatric fournit f5) =,04... t f6) = 0,9... Donc, f5) > fβ) > f6). Puisqu la fonction f st strictmnt décroissant sur [,+ [, on n déduit qu 5 < β < 6. 4) a) étap étap étap étap 4 étap 5 a 0 0 0, 5 0, 75 0, 475 b 0,5 0,5 0,5 0,5 b a 0,5 0,5 0,5 0,065 m 0,5 0,5 0,75 0,475 b) Ls valurs finals d a t d b affichés par ct algorithm sont ls borns d un ncadrmnt d α d amplitud au plus 0. La méthod utilisé pour obtnir ct ncadrmnt st la méthod par dichotomi. c) Algorithm modifié. Variabls : a, b t m sont ds nombrs réls Initialisation : Affctr à a la valur 5 Affctr à b la valur 6 Traitmnt : Tant qu b a > 0, Affctr à m la valur a+b). Si fm) > alors affctr à a la valur m. Sinon affctr à b la valur m. Fin d Si. Fin d Tant qu Sorti : Affichr a. Affichr b. 5) a) L air du rctangl OABC, xprimé n unités d airs, st égal à =. La moitié d ctt air st égal à. Détrminons maintnant l absciss du point d intrsction d la courb C t d l ax Ox). Soit x un rél strictmnt positif. fx) = 0 +lnx)) = 0 +lnx) = 0 lnx) = x = x = x. [ ] ) Enfin, la fonction f st croissant sur, t, puisqu f = 0, on n déduit qu la fonction f st positiv sur [ ] l intrvall,. Par suit, l air, xprimé n unités d airs, du domain du plan délimité par la courb C, l ax Ox) t la droit d équation x = st fx) dx. Finalmnt, la courb C paratg l rctangl OABC n dux domains d airs égals si t sulmnt si b) Calculons fx) dx =. fx) dx. La fonction x x lnx) st d la form u u avc pour tout x > 0, ux) = lnx). On sait qu un primitiv d la fonction u u st la fonction u t donc http :// c Jan-Louis Rougt, 04. Tous droits résrvés.

4 fx) dx = x + x ) [ lnx) dx = lnx)+ lnx)) ) ) = ln)+ ln)) ln/)+ ln/)) = + ) ) =. ] fx) dx =. On a ainsi démontré qu la courb C partag l rctangl OABC n dux domains d airs égals. http :// 4 c Jan-Louis Rougt, 04. Tous droits résrvés.

5 EXERCICE ) VRAI ) FAUX ) VRAI 4) VRAI Justification. Soint A t B ls points du plan d affixs rspctivs i t. Soit M un point du plan dont l affix st noté z. z i = z + z z A = z z B MA = MB M md[ab]. L nsmbl chrché st la médiatric du sgmnt [AB] qui st ffctivmnt un droit. La proposition st vrai. Justification. +i 4 ) = +i ) ) = +i ) = +i ) = +i ) = 4 i ) = 8 8i. La parti imaginair d +i ) 4 st 8 t n particulir n st pas null. On n déduit qu +i ) 4 n st pas un nombr rél. La proposition st fauss. Justification. èr solution. Tout d abord EC. ) BG = EF + FC. BG = EF. BG+ FC. BG. Puisqu ABCDEFGH st un cub, la droit EF) st prpndiculair aux droit FB) t FG) qui sont dux droits sécants du plan BFG). On n déduit qu la droit EF) st orthogonal à tout droit du plan BFG) t n particulir, la droit EF) st orthogonal à la droit BG). Par suit, EF. BG = 0. D autr part, la fac BCFG st un carré. Ss diagonals, à savoir [FC] t [BG] sont prpndiculairs. Par suit, FC. BG = 0. Mais alors, EC. BG = EF. BG+ FC. BG = 0+0 = 0. Cci montr qu ls droits EC) t BG) sont orthogonals. La proposition st vrai. èm solution. On s plac dans l rpèr A, AB, AD, AE ). L point E a pour coordonnés 0,0,) t l point C a pour coordonnés,,0). Donc l vctur EC a pour coordonnés,, ). L point B a pour coordonnés,0,0) t l point G a pour coordonnés,,). Donc l vctur BG a pour coordonnés 0,,). Ensuit EC. BG = 0+ + ) = 0. On rtrouv ainsi l fait qu ls droits EC) t BG) sont orthogonals. Justification 4. Soint D la droit passant par S,, ) t prpndiculair au plan P t la droit d rprésntation paramétriqu y = +t, t R. x = +t z = +t Un vctur normal au plan P st l vctur n,,). La droit D st donc la droit d vctur dirctur n,,) passant par l point S,, ). D autr part, la droit admt pour vctur dirctur l vctur d coordonnés,,) t pour t =, on obtint x = y = qui sont ls coordonnés du point S. Donc st aussi la droit d vctur dirctur n,,) passant z = par l point S,, ). Finalmnt, D =. La proposition 4 st vrai. http :// 5 c Jan-Louis Rougt, 04. Tous droits résrvés.

6 EXERCICE 4 ) a) u = u = 4 + = 7 =, à 0 près. u = u = = 9 =,88 à 0 près. u = u = = 7 =,59 à 0 près. u 4 = u = + = 8 8 = 4,9 à 0 près. b) Il smblrait qu la suit u n ) soit strictmnt croissant. ) a) Montrons par récurrnc qu, pour tout ntir naturl n, u n n+. u 0 = t 0+. Donc l inégalité à démontrr st vrai quand n = 0. Soit n 0. Supposons qu u n n+ t montrons qu u n+ n+)+. u n n+ u n n+) u n n+ u n + n+ n++ n+ u n+ n+ On a montré par récurrnc qu u n+ n+)+ car n+ n+)+). pour tout ntir naturl n, u n n+. b) Soit n un ntir naturl. u n+ u n = u n + n+ u n = u n + n+ = u n +n+) = n+ u n). Pour tout ntir naturl n, u n+ u n = n+ u n). c) Soit n un ntir naturl. D après la qustion précédnt, u n+ u n = n+ u n). Mais d après la qustion )a), u n n+ t donc n+ u n 0 puis n+ u n) 0 puis u n+ u n 0 t finalmnt u n u n+. On a montré qu pour tout ntir naturl n, u n u n+ t donc la suit u n ) n N st croissant. ) a) Soit n un ntir naturl. v n+ = u n+ n+) = u n + n+ n = u n n = u n n) = v n. Ainsi, pour tout ntir naturl n, v n+ = v n t donc la suit v n ) st un suit géométriqu d raison q =. b) v 0 = u 0 0 =. On sait alors qu pour tout ntir naturl n Mais alors, pour tout ntir naturl n, v n = v 0 q n = ) n. u n = v n +n = ) n +n. http :// 6 c Jan-Louis Rougt, 04. Tous droits résrvés.

7 Pour tout ntir naturl n, u n = ) n +n. c) Puisqu < <, on a lim v n = 0. D autr part, u n = v n +n, n additionnant, on obtint lim u n = +. lim n = +. Puisqu pour tout ntir naturl n, 4) a) Soit n un ntir naturl. ) 0 S n = u 0 +u +...+u n = +0) + ) ) ) n = n) ) n+ = = + nn+) car ) ) ) n+ + nn+) = 6 Pour tout ntir naturl n, S n = 6 ) +) ) ) n+ + nn+) ) ) n+ + nn+). ) n +n) b) Soit n un ntir naturl non nul. ) ) n+ 6 = 6 ) ) n+ n = 6 ) ) n+ n S n n = n ) + nn+) = 6n + n+ n + + n. ) ) n+ + nn+) n lim ) n+ = 0 t donc lim En multipliant, on obtint lim Comm lim ) n+ =. D autr part, lim ) ) n+ = 0 = 0. 6 n n = 0, on obtint finalmnt S n lim n = =. 6 n = 0. S n lim n =. http :// 7 c Jan-Louis Rougt, 04. Tous droits résrvés.