ESSENTIEL DE GEOMETRIE PLANE

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1 ESSENTIEL DE GEOMETRIE PLNE I ngles - Somme des angles d un triangle Théorème : Quel que soit le triangle BC, + B + C = 80 - ngles opposés par le sommet On considère deux droites sécantes en O Définition : Des angles tels que les angles O et O ci-contre sont dits opposés par le sommet Théorème : Des angles opposés par le sommet ont même mesure O - ngles alterne-interne, angles correspondants (d) et (d ) sont deux droites La droite (d ) coupe (d) en et (d ) en B Définition : Les angles et B 4 ainsi que les angles et B sont dits alterne-interne ; Les angles i et i B, avec i { ;;;4 } sont dits correspondants (d) (d'') 4 Théorème : Si (d) et (d ) sont parallèles, alors = = B = B ET = 4 = B = B 4 Réciproquement, si deux angles alterne-interne OU deux angles correspondants ont même mesure, alors les droites (d) et (d ) sont parallèles (d') 4 B 4- ngles inscrits, angles au centre C est un cercle de centre O, B, M et N sont des points de C M N Définition : On dit que l angle MB est inscrit dans le cercle C, et que les angles inscrits MB et NB interceptent le même arc L angle OB est appelé angle au centre O B Théorème 4 : Théorème de l angle inscrit Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont même mesure : MB = NB La mesure d un angle inscrit est égal à la moitié de la mesure de l angle au centre : MB = OB Sophie Touzet Essentiel de géométrie plane

2 II Triangles - Droites et points remarquables du triangle a) Médianes et centre de gravité Définition 4 : On appelle médiane d un triangle une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé Théorème 5 : Les trois médianes d un triangle sont concourantes Leur point d intersection G est appelé centre de gravité du triangle Sur chaque segment reliant un sommet du triangle au milieu du côté opposé, G est situé au deux tiers en partant du sommet b) Hauteurs et orthocentre Définition 5 : On appelle hauteur d un triangle une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé Théorème 6 : Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes Leur point d intersection est appelé orthocentre du triangle c) Médiatrices et centre du cercle circonscrit Définition 6 : La médiatrice d un segment est la droite coupant perpendiculairement ce segment en son milieu Propriété : La médiatrice d un segment est l ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment Théorème 7: Les trois médiatrices des côtés d un triangle sont concourantes Leur point d intersection est équidistant de chacun des sommets du triangle Il est appelé centre du cercle circonscrit d) Bissectrices et centre du cercle inscrit Définition 7 : La bissectrice d un angle xoy est la droite partageant cet angle en deux angles de même mesure, c est-à-dire que pour tout point M de la bissectrice, xom = MOy Théorème 8: Les trois bissectrices des angles d un triangle sont concourantes Leur point d intersection est équidistant de chacun des trois côtés du triangle Il est appelé centre du cercle inscrit - Théorème des milieux, théorème de Thalès et sa réciproque Théorème 9: Théorème des milieux Dans un triangle, un segment reliant les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté, et en mesure la moitié Dans un triangle, une droite passant par le milieu d un côté et parallèle à un autre côté coupe le troisième côté en son milieu Théorème 0 : Théorème de Thalès Si BC et MN sont deux triangles tels que : le point M est sur la droite (B), le point N est sur la droite (C), les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors M N MN = = B C BC Sophie Touzet Essentiel de géométrie plane

3 Théorème : Réciproque du théorème de Thalès BC est un triangle M un point de la demi-droite [B) et N est un point de la demi-droite [C), ou M est un point de la demi-droite [B) et N est un point de la demi-droite [C) Si M = N, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles B C - Triangles rectangles a) Théorème de Pythagore et sa réciproque Théorème : Si BC est un triangle rectangle en, alors BC² = B² + C² Réciproquement, si BC est un triangle tel que BC² = B² + C² alors il est rectangle en b) Triangle rectangle et cercle Théorème : le centre du cercle circonscrit d un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse Réciproquement, si le côté [BC] d un triangle BC est un diamètre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle en c) Trigonométrie Définition 8 : BC désigne un triangle rectangle en On appelle cosinus de l angle B le nombre : B côté adjacent à B cos B = = BC hypoténuse On appelle sinus de l angle Ble nombre : C côté opposé à B sin B = = CB hypoténuse On appelle tangente de l angle B le nombre : C côtéopposéà B tan B = = B côtéadjacent à B Valeurs remarquables : Mesure de l angle B en degrés cos B sin B tan B Sophie Touzet Essentiel de géométrie plane

4 III Symétries - Définitions Définition 9 : Par une transformation du plan, on associe à tout point M du plan un unique point M, appelé image de M par la transformation Définition 0 : Etant donnée une droite (d), on appelle symétrie axiale d axe (d) (ou réflexion d axe (d)) la transformation : qui à tout point de (d) associe lui-même, qui à tout point M n appartenant pas à (d) associe le point M tel que (d) soit la médiatrice du segment [MM ] Définition : Etant donné un point O, on appelle symétrie de centre O la transformation qui à tout point M associe le point M tel que O soit le milieu du segment [MM ] - Effet sur les figures: Propriété : Par une symétrie une figure se transforme en une figure de même nature et de mêmes dimensions : L image d une droite est une droite (conservation de l alignement); L image d un segment est un segment de même mesure (conservation des longueurs); L image d un cercle de centre C est un cercle de même rayon dont le centre est l image de C Deux droites parallèles se transforment en deux droites parallèles (conservation du parallélisme) et deux droites perpendiculaires se transforment en deux droites perpendiculaires (conservation de l orthogonalité) Un angle se transforme en un angle de même mesure (conservation des angles) IV Repérage - Repère sur un axe Définition : On dit que l on munit une droite (d) d un repère (O ; I) par la donnée de deux points distincts de (d) : O et I O s appelle l origine du repère La droite ainsi repérée est appelée l axe gradué (O ; I) Définition : La longueur du segment [OI] représente l unité de longueur sur l axe gradué (O ; I) Définition 4 : M est un point de l axe gradué (O ; I) On appelle abscisse de M le nombre : OM si M est sur la demi-droite [OI), OI OM sinon OI Sophie Touzet 4 Essentiel de géométrie plane

5 - Repère du plan Définition 5 : On dit que l on munit le plan d un repère (O ; I ; J) par la donnée de trois points non alignés O, I, et J O s appelle le centre du repère ; la droite (OI) s appelle l axe des abscisses ; la droite (OJ) s appelle l axe des ordonnées Définition 6 : On dit qu un repère (O ; I ; J) est orthogonal si le triangle OIJ est rectangle en O On dit que le repère est normé si OI = OJ On dit que le repère est orthonormé s il est orthogonal et normé, c est-à-dire si le triangle OIJ est rectangle isocèle en O - Coordonnées On munit le plan d un repère (O ; I ; J) M est un point du plan Par M, on mène la parallèle à (OJ) et la parallèle à (OI) qui coupent respectivement (OI) et (OJ) en P et Q Sur l axe gradué (O ; I), on note x l abscisse du point P Sur l axe gradué (O ; J), on note y l abscisse du point Q Définition 7 : Le couple (x ; y) s appelle le couple des coordonnées de M dans le repère (O ; I ; J) x s appelle l abscisse du point M, y s appelle l ordonnée du point M Remarque : si M est un point de (OI) son ordonnée est nulle ; si M est un point de (OJ) son abscisse est nulle 4- Propriétés Le plan est muni d un repère (O ; I ; J) et B sont des points du plan On note ( x, y ) et (x B, y B ) leurs coordonnées respectives x + x B y + yb Propriété : Le milieu du segment [B] a pour cordonnées ; Propriété 4 : Si le repère (O ; I ; J) est orthonormé, la longueur B vaut B B (x x )² (y y )² + (avec pour unité de longueur la longueur des segments [OI] et [OJ]) Sophie Touzet 5 Essentiel de géométrie plane