Université de Provence, C.M.I. Master de Mathématiques. T.E.R Equations Elliptiques Couplées

Transcription

1 Université de Provence, C.M.I. Master de Mathématiques T.E.R Equations Elliptiques Couplées Vincent BLAIN, Alain DOURDIL Mars 2005

2

3 Table des matières Introduction Outils d Analyse 3. Espaces L p () Espaces de Hilbert Distributions Espaces de Sobolev Définitions et quelques propriétés Densité et prolongement Théorème de trace Théorème de compacité Dualité Injection Problèmes Elliptiques Linéaires Problème de Laplace Définition Formulation faible de Laplace Formulation variationnelle de Laplace Théorèmes d existence et d unicité de la solution du problème de Laplace faible et variationnel er Cas : f L 2 () ème Cas : f H () ème Cas : f m() ème Cas : f L p () Régularité des solutions faibles Résolution théorique du problème de Laplace Problème de Dirichlet homogène Définition Formulation faible de Dirichlet Formulation variationnelle de Dirichlet Théorèmes d existence et d unicité de la solution du problème de Dirichlet faible et variationnel Résolution théorique du problème de Dirichlet Page 3

4 3 Problèmes Elliptiques linéaires à données mesures Introduction Cadre non-variationnel Résumé du problème de Dirichlet Sortir du cadre variationnel Lemme de Stampacchia Etude de l existence d une solution Méthode par approximation Méthode de dualité Liens entre les deux méthodes Etude de l unicité de la solution Cas régulier Contre-exemple de Serrin Etude d un système d équations elliptiques couplées Remarques préliminaires Existence d une solution A Application Numerique 87 Modélisation thermique : l équation de la chaleur Modélisation électro-thermique : le fil éléctrique Modélisation électro-thermique : dans un cercle Index 99 Bibliographie 99

5 Introduction La modélisation d un conducteur thermique - électrique fait apparaître un système d equations elliptiques couplées, de la forme : { div(σ Φ) = f div(λ T) = σ Φ. Φ Avec σ et λ représentant respectivement la conductivité électrique et la conductivité thermique. On pourra considérer que ce sont des constantes dans un premier temps. Il faut aussi rajouter les conditions de Dirichlet sur le bord du domaine, à savoir que Φ = 0 et T = 0 sur. Le terme Φ représente le potentiel électrique et satisfait l équation de Laplace. On a f L 2 (), donc la première ligne du système est bien définie et peut s ecrire sous forme variationelle. Cependant sachant que Φ L 2 on remarque alors que dans la deuxième ligne du système d équation que le terme σ Φ. Φ L (), où représentant l effet Joule. On a donc une équation elliptique à second membre dans L, ce qui n entre pas dans le cadre habituel des formulations variationnelles. Nous allons dans ce T.E.R. étudier un problème elliptique dans ce cas précis où le second membre est dans L puis prouver l existence de la solution de notre problème couplé électrique - thermique avec une technique de point-fixe. Ce document a été réalisé avec L A TEX, durant le mois de mars http ://maths.epsylon.org/ cblain2@wanadoo.fr

6

7 Chapitre Outils d Analyse Nous avons besoin de quelques outils d analyse pour la suite de notre travail que nous présentons dans ce chapitre.. Espaces L p () Définition.. (Espaces L p ()). Soit un ouvert de IR N, on définit alors les espaces suivants : { } L p () = f : K mesurable tel que f p dx < + L () = {f : K tel que M 0, f(x) M p.p. sur } ( ) f p = f p p dx est une norme sur l espace L p (). f = inf {M > 0, f(x) M p.p. sur } est une norme sur L (). Lemme..2 (Fatou). Soit (f n ) n IN une suite de fonctions de L () tel que sup n IN ( f n) < +, et f n (x) 0 p.p. sur, alors :. x lim inf fn(x) n + L () 2. lim inf fn(x)dx lim inf fn(x)dx n + n + Page 3

8 . Espaces L p () Théorème..3 (Convergence Monotone). Soient (f n ) n IN une suite de fonctions de L (), et f L (). On suppose que (fn(x)) n IN est croissante p.p. sur, et que sup n IN ( fn) < +, alors : fn(x) f(x) p.p. sur et f(x)dx = lim fn(x)dx n + Théorème..4 (Convergence Dominée dans L p (), p < + ). Soient (f n ) n IN une suite de fonctions de L p (), et f L p (), avec p < +. On suppose que fn(x) converge vers f(x) p.p.x, et qu il existe h L p (), tel que n IN fn(x) h(x) p.p.x, alors : f L p () et fn f p n + 0 Remarque : Le théorème de convergence dominée est faux pour p = +. Théorème..5 (Réciproque partielle de Convergence Dominée). Soient (f n ) n IN une suite de fonctions de L p (), et f L p (), avec p < +. On suppose que fn converge vers f dans L p (), c est à dire fn f p 0, alors n + φ : IN IN strictement croissante et h L p () tel que f φ(n) f(x) p.p. sur et n IN, f φ(n) (x) h(x) p.p. sur Théorème..6 (Densité). C c (), C c () sont denses dans L p () pour p < +, c est à dire que f L p (), ǫ > 0, ψ C c () tel que f ψ p ǫ Remarque : On peut aussi voir le résultat de densité de la façon suivante. Soit f L p () alors il existe (ψn) n IN un suite de C c () tel que ψn converge vers f dans L p (). Page 4

9 Chapitre : Outils d Analyse Théorème..7 (Structure des espaces L p ()). Soit p +, alors les espaces L p () sont des Banachs, et pour p=2 L 2 () est un Hilbert muni du produit scalaire < f g >= fg dx Théorème..8 (Inégalité de Hölder). Soient f L p (), g L q () avec p,q + tel que p + q =, alors fg L () et fg f p g q. Soient f j L pj () pour j = ;..;k avec pj + et p = k i= alors f = k i= f i L p () et f p f p... f k pk pi Soient f L p () L q (), et p r q + avec r = α p + α q, 0 α alors f L r () et f r f α p f α q Théorème..9 (Injection canonique des L p ()). Soit p,q +, alors L q () L p () est injective, de plus f L q (), c > 0 tel que f p c f q, et donc f L p () Remarque : En particulier pour f L q () f L p loc (), p q Proposition..0 (Convolution & Propriétés). Soient f L () et g L p () avec p +. On pose alors (f g)(x) = f(x y)g(y)dy, alors f g Lp () et f g p f g p Soient f L (), g L p (), h L q () avec p,q + tel que p + q =, alors (f g)h L () et (f g)h = g( f g) où f(x) = f( x) Soient f L (), g L p (), alors supp(f g) supp(f) + supp(g) Soient f C c (), g L loc (), alors f g C c() Soient f C k c (), g L loc (), alors f g Ck c () et de plus D α (f g) = (D α f) g Page 5

10 . Espaces L p () Définition.. (Suite Régularisante). On appelle suite régularisante de IR N noté (ρ n ) n IN une suite de fonction tel que : (ρ n ) n IN C c () ρ n (x) 0, x ρ n = supp(ρ n ) B(0;ǫ n ), avec ǫ n n + 0 Proposition..2. Soit (ρ n ) n IN une suite regularisante, et f C(IR N ) alors. ρ n f C (IR N ) 2. ρ n f f uniformement sur tout compact de IR N 3. De plus ρ n f f uniformement sur IR N si f est uniformement continue sur IR N Soit (ρ n ) n IN une suite regularisante, et f L p (IR N ) alors. ρ n f C (IR N ) L p (IR N ) 2. ρ n f f dans L p (IR N ) Théorème..3 (Dual de L p (), p < + ). Soient p < + et q le conjugué de p. On considère l application : ( T : L q () L p () où T(u)(f) = uf, f L u T(u) p () Alors T est une isométrie bijective, et donc (L p ()) = L q () Remarque : On a donc identifié le dual de l espace L p () par L q () où q est le conjugué de p. Cependant ce n est plus vrai pour p = + et q =, en effet on a une inclusion stricte entre L () et (L ()) et donc l application T : L () (L ()) n est pas surjective. Page 6

11 Chapitre : Outils d Analyse Proposition..4 (Structure des L p ()). L p () est separable pour p < + L () n est pas separable L p () est reflexif pour < p < + L () et L () ne sont pas reflexifs Remarque : Le caractère reflexif des espaces L p () pour < p < + est assuré par les égalités : (L p ()) = ((L p ()) ) = (L q ()) = L p (). Théorème..5 (Compacité faible dans L p ()). Soient < p +, et (f n ) n IN L p (). On suppose que (f n ) n IN est bornée dans L p (), c est à dire qu il existe M > 0, tel que n IN, f n p M, alors φ : IN IN strictement croissante, f L p () tel que : f φ(n) g dx f g dx, g L q () n + Remarque : Ce théorème est faux pour p =. Théorème..6 (Riez - Frechet - Kolmogorov). Soient < p +, un ouvert de IR N et (f n ) n IN L p (). On considère ω, on dit que ω est fortement inclus dans c est à dire que ω est un ouvert borné tel que ω, i.e. d(ω; ) > 0 On suppose que :. (f n ) n IN est bornée dans L p (), i.e. M > 0, tel que n IN, f n p M 2. (f n ) n IN est equi-integrable dans L p (ω), ie ǫ > 0 δ > 0, δ < d(ω; ), h IR N, h < δ n IN, τ h fn fn L p (ω) ǫ Alors il existe φ : IN IN strictement croissante, il existe f L p (ω) tel que f φ(n) ω f dans n + Lp (ω) Page 7

12 . Espaces L p () Théorème..7 (Compacité forte dans L p ()). Soient < p +, un ouvert de IR N et (f n ) n IN L p ().On suppose :. (f n ) n IN est bornée dans L p (), 2. ǫ > 0 ω 0 < δ < d(ω; IR N \), h < δ n IN τ h fn fn L p (ω) ǫ 3. ǫ > 0 ω n IN f n L p (\ω) < ǫ Alors il existe φ : IN IN strictement croissante, il existe f L p (ω) tel que f φ(n) ω f dans n + Lp (ω). On dit que la suite (f n ) n IN est relativement compact dans L p (). Page 8

13 Chapitre : Outils d Analyse.2 Espaces de Hilbert Définition.2. (Espaces de Hilbert). Un espace vectoriel H muni d un produit scalaire <.. > est un Hilbert si H est complet par rapport à la norme induite par le produit scalaire. = <.. >. Le produit scalaire est une application <.. >: H H K qui est bilineaire symetrique défini et positif. L 2 () est un exemple important d espace de Hilbert. Théorème.2.2 (Représentation de Riez). Soient H un hilbert et T H, c est à dire que T est une application linéaire continue sur H, alors! u 0 H tel que T(v) =< u 0 v >, v H De plus u 0 H = T H = sup v 0 T(v) v H Définition.2.3 (Convergence Forte & Faible dans un Hilbert). Soient H un Hilbert, (u n ) n IN H et u H. u n converge fortement vers u dans H si u n u H 0 u n converge faiblement vers u dans H si < u n u v > 0, v H On remarque que la convergence forte implique la convergence faible, cependant la reciproque est fausse en géneral sauf si u n H u H. De manière plus générale dans un Banach E, on dira que u n converge faiblement vers u dans E si T E on a T(u n ) T(u). Théorème.2.4 (Lax-Milgram). Soient H un Hilbert, a une forme bilineaire continue coercive sur H H et L une forme lineaire continue sur H, c est à dire : C > 0 tel que L(u) C u H u H, M > 0 tel que a(u;v) M u H v H u,v H, α > 0 tel que a(u;u) α u 2 H u H, Alors il existe une unique solution au problème a(u;v) = L(v), v H Page 9

14 .2 Espaces de Hilbert Théorème.2.5 (Lax-Milgram). On garde les mêmes hypothèses que celles de Lax-Milgram, de plus on suppose que la forme bilineaire continue coercive a est symetrique alors le problème dit de minimisation et celui de Lax-Milgram sont équivalents, c est à dire que ces deux problèmes sont équivalents :. Trouver u H tel que a(u;v) = L(v), v H 2. Trouver u H tel que E(u) E(v), v H avec E(v) = a(v;v) 2 L(v) Page 0

15 Chapitre : Outils d Analyse.3 Distributions Définition.3. (Derivée Faible). Soit f L loc (), où est un ouvert de IRN. On dit que f admet une derivée faible dans la direction i pour i N et sera notée D i f si on a : f φ = D i f φ, φ Cc () x i Remarque : La derivée faible d une fonction n existe pas tout le temps, cependant en cas d existence elle est unique, et D i f L loc (). Lemme.3.2 (Unicité de la Derivée Faible). Soient f,g L loc (), où est un ouvert de IRN. On suppose que φ Cc () on a : fφ = gφ, alors f = g p.p Lemme.3.3 (Derivée Faible & Usuelle). Si f C () et ouvert de IR N, alors sa derivée faible existe, et elle est égale à sa derivée usuelle, D i f = f x i. Preuve Soit f C (), φ Cc (), alors le support de φ est inclu dans l ouvert. Ainsi φ = 0 sur. On applique alors la formule de Green et elle nous donne : f φ x i + f φ x i = f φ = x i f φ x i fφx i = 0 Définition.3.4 (Distributions). Soient un ouvert de IR N et T : C c () IR une application. On dit que T est une distribution sur, si T est llinéaire et K compact de, m K IN, c K 0, φ C c () dont supp(φ) K T(φ) = < T,φ > c K max α m K D α φ Page

16 .3 Distributions Remarque : On notera D () l ensemble des distributions sur et D() = Cc () dit l ensemble des fonctions tests sur. On introduit les notations suivantes de multi-indices. α = (α ;...;α N ) IN N α = α α N α,β IN N, β α i = ;...;N, β i α i D α α φ φ = x α... x α = α+...+αn φ N N x α... x α N N T(φ) sera parfois noté < T,φ >, à ne pas confondre avec le produit scalaire. Proposition.3.5 (Formule de Leibniz). Soient f,g C k () alors α IN N tel que α k on a : D α (fg) = Cβ α D β fd α β g β IN N β α avec Cβ α α! = β!(α β!) Proposition.3.6 (Formule de Taylor avec reste Integrale). Soient x 0 IR N et φ de classe C sur V (x 0 ) un voisinage de x 0, alors, N IN, x V (x 0 ) on a : φ(x) = + α N 0 (x x 0 ) α D α φ(x 0 ) α! ( t) N α =N+ (N + )(x x 0 ) α D α φ(tx + ( t)x 0 )dt α! Proposition.3.7 (Injection L loc () dans D ()). On considère l application : ( A : L loc () D () f A(f) Avec A(f)(φ) = fφ, φ D() alors, A est bien définie linéaire et injective, ainsi f L loc (), A(f) D () Page 2

17 Chapitre : Outils d Analyse Proposition.3.8 (Convergence dans D ()). Soient (T n ) n IN D () et T D (), alors T n T dans D () φ D() T n (φ) T(φ) Définition.3.9 (Ordre d une distribution). Soit T D (), l ordre de la distribution T est le plus petit entier m independant du compact K de la définition d une distribution, c est à dire T est d ordre fini m si K compact, c K 0 φ D() dont supp(φ) K alors < T,φ > c K max D α φ α m Définition.3.0 (Multiplication d une fonction C () par T D ()). On prend une distribution T D () et une fonction f C (), on définit alors le produit ft par : ( ft : D() IR φ < ft,φ >=< T,fφ > alors on a ft D (), et l application qui a une distribution T associe le produit ft pour f C () est continue pour la topologie sur D (). Remarque : Il faut noter que la multiplication de deux distributions n est pas bien définie. Définition.3. (Dérivée au sens des distributions). Soit T D () et α = (α ;...;α N ) IN N, on definit alors ( D α T : D() IR φ < D α T,φ >= ( ) α < T,D α φ > alors on a D α T D (), et l application qui a une distribution T associe sa derivée D α T est continue pour la topologie sur D (). Page 3

18 .4 Espaces de Sobolev.4 Espaces de Sobolev.4. Définitions et quelques propriétés Définition.4. (Espaces de Sobolev). Soient m IN, p < + et un ouvert de IR N. L espace de Sobolev noté W m,p () est constitué des fonctions f L p () dont toutes les dérivées au sens des distributions D α f, d ordre α m, sont des fonctions de L p (). L espace W m,p () est muni de la norme : f m,p = D α f p α m L espace W m, () est muni de la norme : f m, = max D α f α m p W m,p () = { f L p () tel que D α f L p () α = (α ;...;α N ) IN N, α m } Remarque : Les dérivées des fonctions sont prises au sens des distributions. Si f L p (), on a vu que A(f) définit une distribution, par la suite on confondra les deux et on notera D α f à la place de D α A(f). Définition.4.2 (Sous-Espaces de Sobolev). Soient m IN, p < + et un ouvert de IR N. On définit alors le sousespace W m,p 0 () de W m,p () par la fermeture de D() dans l espace W m,p (), c est à dire : W m,p 0 () = D(). m,p Lorsque p = 2, on notera H m () = W m,2 () et H m 0 () = W m,2 0 (), on s interressera aussi au cas p = 2 et m =, c est à dire : H () = W,2 () H 0() = W,2 0 () H m () = { f L 2 () tel que D α f L 2 () α = (α ;...;α N ) IN N, α m } H () = {f L 2 () tel que i = ;...;N, D i f L 2 ()} Page 4

19 Chapitre : Outils d Analyse Théorème.4.3 (Structure des espaces de Sobolev). L espace de Sobolev W m,p (), muni de sa norme correspondante est un Banach qui est separable pour p < + et reflexif pour < p < +. L espace de Sobolev H m () est un Hilbert separable.en particulier H () est un Hilbert muni du produit scalaire : < f g > H = fg + N i= f g =< f g > L 2 + f. g x i x i Remarque : On a défini l espace H 0() comme etant la fermeture de C c () dans H () c est à dire qu on a l égalité : H 0() = C c (). H (). On pose alors f, comme semi-norme sur H () et une norme sur H 0() f, = f L 2 () = ( N i= D i f 2 ) 2 Lemme.4.4 (Inégalité de Poincaré). Soit un ouvert de IR N borné, alors c() IR + tel que f H 0(), f L 2 () c() f,. Preuve On a un ouvert borné de IR N, on note a,b les bornes de sur sa première composante, ie x = (x ;...;x N ) a x b. Pour montrer le résultat on raisonne par densité de C c () dans H 0(). On montre que l inegalité est vraie φ C c () et donc par densité ce sera aussi vrai f H 0(). Soient φ Cc () et x = (x ;...;x N ) = (x ;y). Donc comme est un ouvert, on a en particulier φ = 0 sur La dérivée faible se confond avec l usuelle, et on a D i φ = φ x i donc : x φ(a;y) = 0 et φ(x ;y) = a x φ(x ;y) 2 x a φ(t; y) a x φ(x ;y) 2 dy (b a) IR N IR N b ( ) φ(x ;y) 2 dy dx a IR N 2 φ x (t;y) dt dt φ(x) x (b a)2 2 2 dx IR N φ(x) x 2 dx Page 5

20 .4 Espaces de Sobolev IRN φ(x) 2 dx φ 2 L 2 () (b a)2 2 (b a)2 2 φ, ( N ( ) 2 φ(x) dx) i= x i Corollaire.4.5 (Equivalence des normes). La semi-norme., sur H () est une norme sur H 0() donnée par f, = f L 2 () est equivalent à la norme induite par le produit scalaire de H (). Preuve Soit f H 0(), par définition on a : f H () = ( α Dα f L 2 () ) 2 = ( f L 2 () + f L 2 () ) 2. ( ) f, = f L 2 () = N i= D if 2 2 Donc par Poincaré on a : c f 2 H ()+ () f, f H () Page 6

21 Chapitre : Outils d Analyse.4.2 Densité et prolongement Définition.4.6 (Ouvert à frontière lipchitzienne). Soit un ouvert borné de IR N, il est dit à frontière lipchitzienne si O ;...;O p des ouverts de IR N, φ ;...;φp des applications tel que :. = p i= O i 2. φ i : O i B(0; ) est bijective lipchitzinne ainsi que son inverse φ i 3. φ i (O i ) = B(0; ) IR N + 4. φ i (O i ) = { x B(0; ), x = (0;y), y IR N } De plus si φ i et φ i sont de classe C k, alors on dit que est un ouvert à frontière lipchitzienne de classe C k. Théorème.4.7 (Densité dans H ()). Soit un ouvert borné de IR N, à frontière lipchitzienne, alors C c () est dense dans H (). Remarque : Dans le cas particulier où = IR N alors on a C c (IR N ) qui est dense dans H (IR N ), ce qui n est pas le cas pour un ouvert quelconque. Théorème.4.8 (Meyers - Serrin). Soit p < +, alors l ensemble des fonctions φ C () tel que φ W m,p () < + est dense dans W m,p () Définition.4.9 (Ouvert ayant la propriété du segment). Soit un ouvert connexe de IR N, on dit qu il possède la propriété du segment si x, V x un voisinage de x, v x IR N un vecteur non nul tel que y + tv x, y V x et t ]0; [. Théorème.4.0 (Densité de W m,p ()). Soient p < +, et un ouvert verifiant la propriété du segment, alors C () = { f tel que f C (IR N ) } est dense dans W m,p (). Page 7

22 .4 Espaces de Sobolev Théorème.4. (Nikolski - Prolongement de W m,p ()). Soient p < +, et un ouvert à frontiére lipchitzienne de IR N, alors il existe un opérateur de prolongement linéaire et continue P : W m,p () W m,p (IR N ) Théorème.4.2 (Gagliardo - Nirenberg - Sobolev). Soient p < N, un ouvert de IR N, et f C c (), alors il existe une constante c p,n qui ne dépend que de p et de N telle que : f 0, Np N p c p,n f 0,p Remarque : On l appellera inégalité de Sobolev..4.3 Théorème de trace Théorème.4.3 (Opérateur de Trace dans H ()). Soit un ouvert borné de IR N à frontière lipchitzienne, alors l application : ( γ : H () L 2 ( ) f γ(f) = lim n + γ(φ n ) où φ n C c () donné par densité. est bien définie linéaire continue. Elle est appellée opérateur trace, et de plus elle vérifie, φ C c (), γ(f) = f. Remarque : On notera que dire que l opérateur γ est linéaire continu est équivalent de dire qu il existe c IR + tel que γf L 2 ( ) c f H (). De plus γ(h ()) L 2 ( ), on notera γ(h ()) = H 2() l espace des traces de H (). Théorème.4.4 (Opérateur de Trace dans W m,p ()). Soient p < N, un ouvert de IR N à frontière bornée et lipchitzienne, alors :! opérateur linéaire continu noté γ : W m,p () L p ( ), appelé opérateur de trace tel que f C c (), γ(f) = f, De plus si p alors l operateur de trace γ : W,p () γ(w,p ()) est linéaire continu. Page 8

23 Chapitre : Outils d Analyse Théorème.4.5 (Noyau de l opérateur de trace). Soient p < N, un ouvert de IR N à frontière bornée et lipchitzienne. On considére γ l opérateur défini par le théorème précedent, alors : Ker(γ) = W,p 0 () Remarque : En particulier H 0() = Ker(γ) = { f H (), tel que γ(f) = f = 0 } De plus si u W,p () alors u W,p 0 () si et seulement si u = 0 sur Corollaire.4.6 (Formules de Green).. Soit un ouvert de IR N à frontière bornée et lipchitzienne, alors f H (), g H (), on a : D i f g dx = f D i g dx + f g n i dσ,i = ;...;N n i est la ième composante de la normale à unitaire, exterieure à. 2. Soient < p < +, q le conjugué de p et un ouvert de IR N à frontière bornée et lipchitzienne, alors f W,p (), g W,q (), on a : D i f g dx = f D i g dx + f g n i dσ,i = ;...;N 3. Soit un ouvert de IR N à frontière bornée et lipchitzienne, alors f H 2 (), g H 2 (), on a : f f g dx = f. g dx + g dσ,i = ;...;N n Page 9

24 .4.4 Théorème de compacité Théorème.4.7 (Kolmogorov)..4 Espaces de Sobolev Soient un ouvert borné de IR N, p < + et A L p (). A est relaivement compact dans L p () si et seulement si il existe une application P : A L p (IR N ) tel que :. P(f) = f p.p sur. 2. (P(f)) f A est borné dans L p (IR N ) 3. ǫ > 0, δ > 0, h IR N h δ τ h P(f) P(f) L p (IR N ) ǫ, f A Remarque : On rappelle que τ h est appellé opérateur de translation par rapport au vecteur h IR N, et définit par τ h P(f)(x) = P(f)(x + h). De plus voici un résultat important pour τ h. Théorème.4.8 (Rellich). Si f L p (IR N ), alors τ h f f L p (IR N ) h 0 0 Soient un ouvert borné de IR N, p < + et A W,p 0 (). On suppose que A est borné dans W,p 0 (), alors A est relativement compact dans L p (). En particulier (f n ) n IN W,p 0 () supposée bornée alors il existe une soussuite (f φ(n) ) n IN et f L p () tel que f φ(n) f dans L p () Remarque : En fait, dans ce théorème on aura f W,p 0 () si p >, mais cela ne sera plus vrai pour p =. Théorème.4.9 (Rellich dans W,p ()). Soient un ouvert borné de IR N à frontiére lipchitzienne, p < + et A W,p (). On suppose que A est borné dans W,p (), alors A est relativement compact dans L p (). En particulier (f n ) n IN W,p () supposée bornée alors il existe une soussuite (f φ(n) ) n IN et f L p () tel que f φ(n) f dans L p () Théorème.4.20 (Opérateur de Trace). Soient un ouvert borné de IR N à frontiére lipchitzienne, < p < +, alors l opérateur de Trace γ : W,p () L p ( ) qui est linéaire continu, est aussi compact. Il transforme les bornés en partie relativement compact. Page 20

25 Chapitre : Outils d Analyse.4.5 Dualité On s intéresse au dual de l espace de Sobolev W,p (), et de W,p 0 (), c est à dire aux formes linéaires continues sur W,p (), et W,p 0 (). Théorème.4.2 (Dual de W,p ()). Soient un ouvert de IR N, p < + et q le conjugué de p. On considère alors L une forme linéaire continue sur W,p (), c est à dire que L est dans le dual de W,p (), on note L (W,p ()), alors :. V = (v 0 ;...;v N ) (L q ()) N+ tel que u W m,p () r u L(u) = v 0 u dx + v i dx x i i= 2. De plus V (L q ()) r+ vérifie : L (W,p ()) = inf ( V (L q ()) r+ ) Remarque : Attention la décomposition de ce théorème n est pas unique. Théorème.4.22 (Dual de W,p 0 ()). Soient un ouvert de IR N, p < + et q le conjugué de p. On considère alors L une forme linéaire continue sur W,p 0 (), c est à dire que L est dans le dual de W,p 0 (), on note (W,p 0 ()) = W,q (), et pour p = q = 2 on note (H0()) = H (), alors L W,q () si et seulement si L D (), i.e. L est une distribution sur et il existe V = (v 0 ;...;v N ) (L q ()) N+ tel que : La forme de dualité est : f = v 0 u W,p 0 (),L(u) =< f;u >= N i= x i (v i ) v 0 udx + r i= v i u x i dx Théorème.4.23 (Dual de H0()). L application Φ : H () H () u Φ(u) = u N i= 2 u x 2 i est une isométrie de H 0() sur H () Page 2

26 .4 Espaces de Sobolev Théorème.4.24 (Densite de H ()). L espace D() est dense dans H 0(). L espace D() est dense dans H (). Théorème.4.25 (Caractérisation de H () = (H 0()) ). Soit T H (), alors il existe f,...,f N L 2 () tel que : < T φ >= N i= f i D i φ φ H 0() De plus on peut choisir les f,...,f N L 2 () tel que il existe C et C2 deux constantes positives qui ne dépendent que de l ouvert, vérifiant : ( N C f i 2 L 2 () i= ) 2 ( N T H () C2 f i 2 L 2 () i= ) 2 Remarque : Autrement dit l application T C c () = divf avec f = (f,...,f N ) t (L 2 ()) N. Théorème.4.26 (Caractérisation de W,p ()). Soit T W,p () = (W,p 0 ) avec p = p p f,...,f N L p () tel que : < T φ >= N i= f i D i φ φ W,p 0 et < p + alors il existe De plus on peut choisir les f,...,f N L p () tel que il existe C et C2 deux constantes positives qui ne dépendent que de l ouvert, vérifiant : ( N C f i p L p () i= ) p ( N T W,p () C2 f i p L 2 () i= ) p Page 22

27 Chapitre : Outils d Analyse.4.6 Injection Théorème.4.27 (Injection de Sobolev en dimension un). Soit un ouvert de IR, autrement dit est un intervalle I ouvert de IR, alors on sait qu il existe i : W,p () L () une application injective et continue pour tout p, ie : c > 0 tel que u L () c u W,p (), u W,p () et p De plus si est bornée, alors l injection W,p () C() est compacte < p et l injection W, () L r () est compacte < p. On a donc pour de dimension que W,p () L () avec injection continue. On voit dans le prochain théorème que cette inclusion reste vraie seulement pour p > N, mais si p N alors on peut trouver des fonctions de W,p () qui ne sont pas dans L (). Cependant Sobolev nous donne aussi un résultat pour p < N, à savoir que W,p () L p () avec injection continue pour un certain p <. Théorème.4.28 (Injection de Sobolev). Soit un ouvert borné à frontière lipchitzienne, ou bien = IR N, on a :. Si p < N, alors W,p () L p (IR N ) avec p = Np N p 2. Si p > N, alors W,p () C 0, (), avec C 0,α () = {f C() k > 0 (x;y), f(x) f(y) k x k α } dit l ensemble des fonctions α-holdériennes de C. Et on a aussi W,p () L () 3. Si p = N, alors W,p () L r (IR N ), N r < + Théorème Soit un ouvert borné à frontière lipchitzienne, et p +. Si p < N, alors W,p () L p () avec p = Np N p 2. Si p = N, alors W,p () L r (), N r < + 3. si p > N, alors W,p () L () avec injections continues. Page 23

28 .4 Espaces de Sobolev Théorème.4.30 (Rellich - Kondrachov). Soit un ouvert borné à frontière lipchitzienne, et p +. Si p < N, alors W,p () L r (), r [,p [ où p = Np N p 2. Si p = N, alors W,p () L r (), r [, + [ 3. si p > N, alors W,p () C() avec injections continues et compactes. Page 24

29 Chapitre 2 Problèmes Elliptiques Linéaires 2. Problème de Laplace 2.. Définition Définition 2.. (Opérateur Elliptique). Soient α = (α ;...;α N ) IN d ordre α = α +...+α N, et x = (x ;...;x N ) IR N. On considère un polynôme P(x) = i l a ix i avec a i complexe, l un entier. On note alors A l opérateur différentiel défini par et on note : D α = α x α... x α N N = α+...+αn x α... x α N N f A(f) = P(D(f)) = i l a i D i f Alors on dit que l opérateur différentiel A est elliptique si x IR N \{0}, P 0 (x) = i =l a ix i 0 L operateur de Laplace f = N 2 f i= x 2 i est un opérateur elliptique d ordre 2. Définition 2..2 (Problème de Dirichlet). Soit un ouvert borné de IR N. Le problème de Dirichlet géneral homogène est donné par : f C(), a ij C () et le système : { ( ) N i,j= x i a ij (x) u x i + a 0 u = f, dans u = 0, sur Nous allons nous intéresser aux cas particuliers, où l opérateur differentiel choisit est l opérateur de Laplace. Page 25

30 2. Problème de Laplace Définition 2..3 (problème de Laplace). Soit un ouvert borné de IR N. Le problème de Dirichlet simple homogène appellé aussi problème de Laplace est donné par : f C() et le système : { u = f, dans (L) u = 0, sur 2..2 Formulation faible de Laplace Définition 2..4 (Solution classique). On appelle solution classique du problème de Laplace (L), toute fonction u C 2 () solution de ce problème. On s intéresse aux solutions dites faibles. On se place dans le cas du problème de Laplace. Soient u C 2 (), une solution classique du problème de Dirichlet simple, et φ C c () une fonction dite de test. On procéde alors comme suit. er Etape : φ C c () On multiplie l équation par φ, donc on obtient l équation, u φ = f φ. Ensuite on intègre sur l ouvert ce qui donne des intégrales bien définies car u, f, et φ sont continues sur, donc : u φ = f φ On utilise la formule de Green : N ( u φ dx = D i u D i φ dx i= u φ dx = u. φ dx + ) + u φ dσ,i = ;...;N n u φ dσ,i = ;...;N n Et comme φ Cc () et que est un ouvert, on a φ = 0 sur : u. φ dx = f φ dx Page 26

31 Chapitre 2 : Problèmes Elliptiques Linéaires 2nd Etape : φ H 0() On choisit maintenant la fonction test φ H 0(), par densité dans C c () il existe une suite φ n C c () qui converge vers φ dans H () c est à dire que φ n φ H () 0. On rappelle que : φ n φ H () ) 2 = ( φ n φ L 2 () + φ n φ L 2 () ( N = φ n φ L 2 () + D i φ n D i φ L 2 () Donc d apres la er étape, pour chaque fonction φ n Cc () on a : n IN, u. φ n dx = f φ n dx De plus par convergence de la suite φ n vers φ dans H () on a : u. φ n dx u. φ dx et f φ n dx f φ dx φ H0(), u. φ dx = f φ dx i= ) 2 Lemme 2..5 (Solution classique). Soit u solution classique du problème de Laplace (L), alors u H 0() Preuve Soit u C 2 (), alors u et D i u sont continues sur, donc u L 2 () et D i u L 2 (). En utilisant le théoréme du noyau de l operateur de trace noté γ, on en deduit que comme u est solution classique du problème de Dirichlet, alors u = γ(u) = 0, donc u Kerγ = H 0(). Définition 2..6 (Formulation faible de Laplace pour f L 2 ()). Soit f L 2 (), on dit que u est solution faible du problème de Laplace (L) si u est solution du problème (L) mise sous formulation faible, c est à dire si u solution de : u(x). φ(x) dx = f(x) φ(x) dx, φ H (L) 0() f u H0() Page 27

32 2..3 Formulation variationnelle de Laplace 2. Problème de Laplace Définition 2..7 (Formulation variationnelle de Laplace pour f L 2 ()). Soit f L 2 (), on dit que u est solution variationnelle du problème de Laplace (L) si u est solution du problème de Laplace mise sous formulation variatonnelle, c est à dire si u solution du problème de minimisation suivant : E(u) E(v) v H 0() u H (L) v 0() avec, E(v) = v(x). v(x) dx f(x) v(x) dx Théorèmes d existence et d unicité de la solution du problème de Laplace faible et variationnel Dans cette partie, nous allons montrer que le problème de Laplace faible (L) f, et le problème de Laplace variationnel (L) v admettent une unique solution, sous les hypothèses du terme source f, que l on va faire varier dans différents espaces. Pour le démontrer, à chaque fois on utilisera le théorème de Lax-Milgram, car les espaces fonctionnel utilisés sont des Hilberts. er Cas : f L 2 () Théorème 2..8 (Existence et unicité pour (L) f et (L) v avec f L 2 ()). Soit f L 2 (), alors il existe un unique u H 0() solution du problème de Laplace faible, et variationnel. Preuve Soit f L 2 (), on pose : a(u,v) = u(x). v(x) dx = L(v) = f(x) v(x) dx N ( ) D i u(x) D i v(x) dx i= La formulation faible du problème devient, trouver w H 0() solution de a(u,v) = L(v) v H 0(). Nous allons maintenant vérifier les hypothèses du théorème de Lax-Milgram. L espace H 0() est bien un espace de Hilbert, reste à vérifier que L est une forme linéaire continue bien définie et que a est une forme bilinéaire, continue, coercive, symetrique bien définie. Page 28

33 Chapitre 2 : Problèmes Elliptiques Linéaires Montrons que L est bien définie, linéaire et continue On a f L 2 (), v H0() L 2 (), donc d après l inégalité d Holder on a fv L (), donc l application L est bien définie, et par linéarité de l integrale elle est aussi linéaire. Reste à montrer que L est continue, pour cela on utilise la caracterisation de la continuité des applications linéaires et Holder : L(v) = f v dx f v dx f L 2 () v L 2 () c() f L 2 () v H 0 () par Poincar Montrons que a est bien définie, bilinéaire, continue et coercive On a u H0() L 2 (), v H0() L 2 (), donc d apres l inégalité d Holder on a uv L (), donc l application a est bien définie, et par linéarité de l integrale on peut voir qu elle est bilinéaire, de plus : a(u;v) = u. v dx u. v dx u L 2 () v L 2 () c() u H 0 () v H 0 () a(u; u) = = = u. u dx u 2 dx ( N ) 2 u x 2 i i= dx = u H 0 () Donc a est continue, et coercive de constante α =, ainsi le théorème de Lax-Milgram s applique et il nous donne qu il existe un unique u H 0() solution du problème faible (L) f. De plus comme la forme a est symetrique, on en deduit d apres le corollaire de Lax-Milgram que u H 0() est aussi l unique solution du problème de minimisation, dit variationnel (L) v. Page 29

34 2. Problème de Laplace 2ème Cas : f H () Nous allons maintenant nous interesser à la formulation faible du problème de Laplace (L) dans le cas où le terme source f H (). On sait par définition que H () = (H 0()), c est à dire que H () est le dual de H 0(). Il represente l ensemble des formes linéaires continues sur H 0(). On se donne un ouvert de IR N et f H (). On utilisera la notation suivante v H 0(), f(v) = < f v >. De plus on sait que f C c () est une distribution sur, ie f C c () D () et que C c () est dense dans H 0(). Lemme 2..9 (H () et D ()). Soient un ouvert borné de IR N et f une distribution sur, ie f D (), alors on a la caracterisation suivante pour les éléments de H () : f H () C > 0 tel que v C c () on a < f v > C v H () Définition 2..0 (Formulation faible et variationnelle de (L) pour f H ()). La formulation faible de (L) pour f H () est donnée par : u(x). φ(x) dx =< f φ >, φ H (L2) 0() f u H0() La formulation variationnelle de (L) pour f H () est donnée par : E(u) E(v) v H 0() u H (L2) v 0() avec, E(v) = v. v dx < f v > 2 Théorème 2.. (Existence et unicité pour (L2) f et (L2) v ). Soit f H (), alors il existe un unique u H 0() solution du problème de Laplace faible, et variationnel. Preuve Soit f H (), c est à dire que f est dans le dual de H 0(), c est donc une forme linéaire continue. On rappelle que l on utilise la Page 30

35 Chapitre 2 : Problèmes Elliptiques Linéaires notation f(v) = < f v >, on a donc pour f : f : ( H 0 () IR v f(v) = < f v > On pose alors : a(u,v) = u. v dx = L(v) = < f v > N ( ) D i u D i v dx i= La formulation faible du problème devient, trouver w H 0() solution de a(u,v) = L(v) v H 0(). Comme dans le precedent théorème nous allons vérifier les hypothèses du théorème de Lax- Milgram. L espace H 0() est un espace de Hilbert, a est bien définit, bilinéaire, continue coercive et symetrique, (voir la démonstration du théorème precedent) et L = f est une forme linéaire continue, donc les hypotheses sont vérifiées. Ainsi le théorème de Lax-Milgram s applique et il nous donne qu il existe un unique u H 0() solution du problème faible et variationnel. 3ème Cas : f m() Définition 2..2 (Espace des mesures). On se donne un ouvert de IR N. On note m(), l espace vectoriel normé des mesures sur, il est muni de la norme : u = φ(t) du(t) sup φ C() φ On rapelle que C() est l ensemble des fonctions continues sur à valeurs dans IR qui muni de la norme infinie, φ = sup t φ(t) est un espace de Banach. Page 3

36 2. Problème de Laplace Nous allons voir un résultat important sur le dual d un tel espace. Lemme 2..3 (Dual de C()). On a le résulat suivant : (C();. ) = m(), c est à dire que les formes linéaires continues de l espace (C();. ) sont des mesures sur. Théorème 2..4 (Cas en dimension N = et f m()). Soient f m() et un ouvert de IR donc N =, alors il existe un unique u H 0() solution du problème de Laplace faible, et variationnel. Preuve Soient un ouvert de IR et f m() = (C()). On sait d aprés les injections de Sobolev que pour N = il existe i : H 0() C() une application injective et continue. On pose alors : a(u,v) = u(x). v(x) dx = L(v) = v(x) df N ( ) D i u(x) D i v(x) dx i= La formulation faible du problème de Laplace (L) est donc, trouver w H 0() solution de a(u,v) = L(v) v H 0(). On utilise à nouveau le théorème de Lax-Milgram. L espace H0() est un Hilbert, a est bien définie, bilinéaire, continue coercive et symetrique, on peut voir la démonstration sur a dans le théorème et on remarque que L est bien définie, car v H0() L 2 () L () et donc l integrale v(x) df est bien définie. Il reste à vérifier que L est linéaire et continue. La linéarité de L est donnée par l integrale. De plus on a L(v) = v df c v c c v H 0 (), d où la continuité de L. Ainsi le théorème de Lax-Milgram s applique et il nous donne qu il existe un unique u H 0() solution du problème faible (L) f et variationnel (L) v. Attention, ce théorème est faux pour N >. Page 32

37 Chapitre 2 : Problèmes Elliptiques Linéaires 4ème Cas : f L p () Théorème 2..5 (Existence et unicité pour (L) f et (L) v avec f L p ()). Soient un ouvert de IR N, f L p () alors :. Si p > et N 2, alors!u H 0() solution de Laplace faible et variationnel. 2. Si p 2N N+2 et N 3, alors!u H 0() solution de Laplace faible et variationnel. Preuve Soient un ouvert de IR N et f L p (). On se donne : N ( ) a(u,v) = u(x). v(x) dx = D i u(x) D i v(x) dx i= L(v) = f(x)v(x) dx. On suppose que p > et N = 2 D aprés Sobolev, on sait que H0() L r (), r [; + [, et l injection est continue. On a f L p (), on choisit r comme etant le conjugue de p, ie + =. D aprés Holder v p r H0() L r l integrale f(x)v(x)dx est bien définie, de plus : fv dx f L p () v L r () c f L p () v H 0 () La formulation faible du problème devient, trouver u H 0() solution de a(u,v) = L(v) v H 0(). Comme dans le precedent théorème l espace H 0() est un Hilbert, a est bien définit, bilinéaire, continue coercive et symetrique. et L est bien linéaire, continue. Ainsi le théorème de Lax-Milgram s applique et il nous donne qu il existe un unique u H 0() solution du problème faible (L) f et variationnel (L) v. 2. On suppose que p 2N et N 3 N+2 D aprés Sobolev, on sait que H0() L 2 (), avec 2 = N, N 2 et l injection est continue. On a f L p (), et p 2N. On N+2 remarque que 2N est le conjugué de 2 ainsi d aprés Holder N+2 v H0() L m () l integrale f(x)v(x)dx est bien définie, de plus : Page 33

38 2. Problème de Laplace fv dx f L p () v L p () c f L p () v H 0 () La formulation faible du problème est bien posée et consiste à trouver w H 0() solution de a(u,v) = L(v) v H 0(). Comme dans le precedent théorème l espace H 0() est un Hilbert, a est bien définie, bilinéaire, continue coercive et symetrique. et L est bien linéaire, continue. Ainsi le théorème de Lax-Milgram s applique et il nous donne qu il existe un unique u H 0() solution du problème faible (L) f et variationnel (L) v. On a donc montré que le problème de Laplace faible (L) f et le problème de Laplace variationnel (L) v, ont des solutions uniques selon les hypothéses sur le terme source f. On voudrait en deduire que le problème de Laplace (L) admet lui aussi une unique solution, pour cela nous utiliserons un résultat dit de régularité des solutions faibles, on va voir que si u est une solution faible et suffisamment régulière ; on précisera le sens de régulier plus tard; alors u est aussi solution classique. Dans les precedents cas d etude, on a vu qu il arrive parfois que le problème faible soit mal-posé. L integrale n est plus définie, on dit alors que l on sort du cadre variationnel. Voici les cas qu il reste à étudier : N = 2 et f m() N = 2 et f L () N 3 et f m() N 3 et f L p (), avec p < 2N N+2 Nous ferons cette étude dans le prochain chapitre, en donnant tout d abord un sens au problème de Laplace dans le cadre non-variationnel. Page 34

39 Chapitre 2 : Problèmes Elliptiques Linéaires 2..5 Régularité des solutions faibles Une solution classique du problème de Laplace (L) est une fonction u C 2 () vérifiant le problème (L). { u(x) = f(x), x (L) u(x) = 0, x Une solution faible de Laplace (L) est une fonction u H0() vérifiant le problème (L) f. u(x). φ(x) dx = f(x) φ(x) dx, φ H (L) 0() f u H0() On rappelle que si u est une solution classique du problème de Laplace (L), alors u H 0(). En effet on a u C 2 (), alors u et D i u sont continues sur, donc u L 2 () et D i u L 2 (). En utilisant le théoréme du noyau de l operateur de trace noté γ, on en deduit que comme u est solution classique du problème de Laplace, alors u = 0, donc u = γ(u) = 0 ainsi u Kerγ = H 0(). Lemme 2..6 (Solution classique solution faible). Tout u solution classique du problème de Laplace (L) est une solution faible, c est à dire que u vérifie (L) f et que u H 0(). Preuve On se donne u solution classique de (L), donc u C 2 () et u vérifie (L). On a déjà vu qu alors u H0(). Reste à montrer que u vérifie le problème faible (L) f. Soit φ D(), alors les integrales suivantes sont bien définies. u(x). φ(x) dx = f(x) φ(x) dx Et par densité de C c () dans H 0() cette égalité reste vraie pour φ H 0(). Donc u vérifie (L) f. On en déduit immédiatement qu une solution classique de L est aussi une solution variationnelle. En effet on a vu précedemment que dans le problème de Laplace la forme bilinéaire a est symetrique, ce qui nous donne alors (L) f (L) v. Et donc d après ce lemme, si u est solution classique de (L), alors u est solution faible, et donc variationnelle. Page 35

40 2. Problème de Laplace Théorème 2..7 (Régularité des solutions faibles pour Laplace). Soient un ouvert bornée de IR N à frontière lipchitzienne et u une solution faible de Laplace, c est à dire que u vérifie (L) f : u(x). φ(x) dx = (L) f u H0() f(x) φ(x) dx, φ H 0(). On suppose que est de classe C 2 et f L 2 (). Alors u H 2 () et u H 2 () c f L 2 () avec c une constante qui dépend uniquement de l ouvert. 2. On suppose que est de classe C m+2, f H m (). Alors u H m+2 () et u H m+2 () c f H m () avec c une constante qui dépend uniquement de l ouvert. De plus si m > N 2 alors u C2 () 3. On suppose que est de classe C, f C (). Alors u C () Precedemment nous avons montré que pour certaines conditions sur le terme source f il existe une unique solution u au problème failde (L) f et variationnel (L) v. Ensuite nous avons vu que toute solution classique de (L) est aussi une solution faible et variationnelle, mais la réciproque est fausse en général. Cependant si on ameliore la régularité de la solution cette réciproque peut être demontrée. Lemme 2..8 (Solution faible régulière solution classique). On se donne u solution faible de (L), donc u H 0(). On suppose que u C 2 () et de classe C, alors u est une solution classique de (L). Preuve On veut vérifier que u la solution faible de (L) sous ces hypothèses est une solution classique de (L). C est à dire on veut montrer que u(x) = f(x), x et u(x) = 0, x. Or par hypothèse on a u H0() C ( ), et on sait alors que dans ce cas u = 0 sur. De plus on a : u(x)) φ(x) dx = f(x)φ(x) dx φ Cc () Donc on a u = f p.p.x, mais comme u C ( ) alors on a u = f partout sur. Donc u est une solution classique. Page 36

41 Chapitre 2 : Problèmes Elliptiques Linéaires 2..6 Résolution théorique du problème de Laplace Résumons un peut notre parcours.. On a considére le problème de Laplace u = f posé sur un ouvert borné ayant des conditions limites de Dirichlet au bord, u = 0 sur. On a considéré alors les solutions classiques pour f C() et u C 2 (). 2. Ensuite nous avons construit une formulation faible, aux niveaux des distributions au sens suivant. Pour φ Cc () on a obtenu l égalité uφ = fφ, ainsi en considerant ces applications : A : C c () IR φ A(φ) = < A φ >= u(x)φ(x) dx Tf : C c () IR φ Tf(φ) = < Tf φ >= f(x)φ(x) dx On voit que A D () et Tf D () c est à dire que A et Tf sont des distributions sur, ainsi on a l égalité au sens des distributions : φ C c () < A φ >=< Tf φ > On a appellé solution faible u de laplace, toute solution u vérifiant cette égalité au sens des distributions et appartenant á l espace H 0() pour vérifier la condition du bord. De plus on a vu que toute solution classique est automatiquement une solution faible. Le fait que cela reste vrai pour φ H () ou H 0() est donné par la densité de C c (). 3. Ensuite on a montré que le problème faible de Laplace est bien posé et qu il admet une unique solution faible qui varie avec le terme source donnée f donné dans un espace convenable. On a vu par exemple que pour le cas f L 2 () ça marchait bien. (tout ceci grace à Lax-Milgram) 4. Arrivé à cette étape, on utilise la régularité des solutions faibles pour retrouver une solution classique. En fait nous allons voir que les solutions faibles de ces problèmes sont en réalité des fonctions C () si le bord de est assez régulier, on verra cette définition plus tard qui peut être aussi facilement remplacée par l hypothese d ouvert borné à frontière lipchitzienne que l on a vu precedemment. De plus si on considère que le terme source f est continue, on voit que la solution faible coincide avec la solution classique, ainsi la formulation faible du problème de Laplace coincide avec le problème classique sous ces hypothèses. Page 37

42 2. Problème de Laplace Définition 2..9 (Ouvert de classe C m, régularité du bord). On dit qu un ouvert est de classe C m, si pout tout point x, il existe un voisinage U de x dans IR N et une application bijective h : Q U telle que : h C m (Q), h C m (U) h(q + ) = U Q, h(q 0 ) = U, où : Q = {x = (x ;x N ) tq x < et x N < } IR N + = {x = (x ;x N ) tq x N > 0} Q + = Q IR N + Q 0 = {x = (x ;x N ) tq x < et x N = 0} De manière équivalente on dira que le bord de à la régularité C m, cela signifie que sur tout voisinage d un point du bord, ce bord peut être paramétré par une fonction de classe C m. On remarque que les ouverts bornés à frontirère lipchitzienne sont un bon exemple d ouvert à bord régulier. Théorème (Existence, unicité d une solution classique de (L), N = ). On suppose que est un ouvert borné de IR de classe C 2. Alors pour tout f L 2 () il existe un unique u H 0() C () solution du problème de Laplace (L). Preuve Pour f L 2 (), on a vu qu il existe un unique u H 0() solution faible du problème de Laplace. Ensuite on voit que u est une fonction H 2 () sous l hypothèse de régularité de l ouvert et de l application du théorème de régularité nous allons montrer qu en fait u est une fonction C (). Par hypothèse on est en dimension N = donc est un intervalle ouvert de IR. De plus on sait d aprés le théorème de Rellich que pour un ouvert borné de IR N de bord suffisament régulier, alors on a H m () C k () pour m k > N 2 Appliqué à notre cas m = 2 et N = on a H 2 () C k () pour k < 2 2 = 3 2. Donc H2 () C () pour N = Donc u C () pour N =. On remarque que si on donne f C(), alors u C() ie (u ) C() donc u C () ainsi u C 2 (). Donc u H 0() C 2 () est solution faible de (L), et d aprés le lemme 2..8, on en deduit que u est aussi une solution classique de (L). Donc le problème de Laplace (L) admet une unique solution dans H 0() C 2 (). Page 38

43 Chapitre 2 : Problèmes Elliptiques Linéaires Théorème 2..2 (Existence, unicité d une solution classique de (L)). On suppose que est un ouvert borné de IR N de classe C m+2 avec m > N 2. Alors pour tout f H m () il existe un unique u H 0() C 2 () solution du problème de Laplace (L) Preuve Soit f H m (), donc en particulier f L 2 () on sait alors qu il existe un unique u H 0() solution faible du problème de Laplace. Sous ces hypothèses le théorème de régularité nous donne que u C 2 (). On suppose qu on est en dimension N = donc est un intervalle ouvert de IR. De plus on sait d aprés le théorème de Rellich que pour un ouvert borné de IR N de bord suffisament régulier, alors on a H m () C k () pour m k > N 2 Donc u H 0() C 2 () est solution faible de (L), et d aprés le lemme 2..8, on en deduit que u est aussi une solution classique de (L). Ainsi on vient de montrer que le problème de Laplace admet une unique solution dans H 0() C 2 (). La formulation faible de notre problème de Laplace donne la même solution que celle donnée par le sens classique, si on prend f continue. Cependant, il est beaucoup plus facile de montrer que le problème est bien posé et de prouver l existence d une unique solution en formulation faible. Ce qui n est pas le cas du problème classique. On admettra ces prochains théorèmes, on renvoit le lecteur à Brezis[] pour une idée des démonstrations. On peut aussi trouver de nombreux autres théorèmes d existence et d unicité du à Agmon-Douglis-Nirenberg, Schauder, Meyers. En voici quelques-un : Théorème (Agmon - Douglis - Nirenberg). On suppose que est un ouvert bornée de IR N de classe C 2. Alors pour tout f L p (), avec < p < + il existe un unique u W 2,p () W,p 0 () solution de l equation u = f sur. De plus, si est de classe C m+2, et si f W m,p (), alors u W m+2,p () et u W m+2,p () C f W m,p () Page 39

44 2. Problème de Laplace Corollaire Sous les mêmes hypothèses que Alors pour tout f L 2 (), il existe un unique u H 2 () H 0() solution de l equation u = f sur. Théorème (Schauder). Soient est un ouvert bornée de IR N de classe C 2,α avec 0 < α <. Alors pour tout f C 0,α, il existe un unique u C 2,α () solution du problème de Laplace (L). De plus, si est de classe C m+2,α, et si f C m,α () alors u C m+2,α () et u C m+2,α () C f C m,α () On a introduit dans Schauder, les espaces des fonctions holdériennes d ordre α, ils sont définis par 0 < α <, m IN : { } C 0,α () = u C 0 u(x) u(y) () tel que sup < + x y { x y α } C m,α () = u C m () tel que D β i u C0,α () β = m Page 40

45 Chapitre 2 : Problèmes Elliptiques Linéaires 2.2 Problème de Dirichlet homogène 2.2. Définition Définition 2.2. (Problème de Dirichlet). Soient un ouvert borné de IR N à frontière lipchitzienne. On considére la matrice A(x) = (a ij (x)) i,j N Mat(IR N ), avec a ij L (), i,j (;...;N) et f une fonction donnée. Le problème de Dirichlet homogène est donné par : { div(a(x) u(x)) = f(x), x (D) u(x) = 0, x On rappelle ici les notations utilisées : ( v(x) v(x) = grad(v(x)) = ;...; v(x) ) T x x N N w i (x) div(w) = avec w = (w ;...;w N ) T x i= i N ( ) u(x) N 2 u(x) div( u(x)) = = = u(x) x i x i x 2 i i= i= [ ( u(x) div(a(x) u(x)) = div (a ij (x)) i,j N ;...; u(x) ) ] T x x N u(x) a (x)... a N (x) x = div u(x) a N (x)... a NN (x) x N N i= a j(x) u(x) x j = div = N i,j=. N i= a Nj(x) u(x) x j x i ( a ij (x) u(x) x j On cherche u : IR, solution de ce problème avec f donné que l on appelle terme source, et sous certaines hypothéses pour A(x) = (a ij (x)) i,j N. De plus on voit que ce problème peut s ecrire sous la forme équivalente suivante : ) Page 4

46 2.2 Problème de Dirichlet homogène N ( (D a ) ij (x) u(x) ) = f(x), x x i,j= i x j u(x) = 0, x Définition (Uniforme Ellipticité). Soit a ij L (), on dit que a ij vérifie l hypothèse d uniforme ellipticité si α > 0, tel que p.p.x, t IR N N N a ij (x)t i t j α t 2 i i,j= i= On utlisera la notation suivante : N a ij (x)t i t j = (A(x)t) t i,j= Formulation faible de Dirichlet On rappelle que u est dite solution classique, ou forte du problème de Dirichlet si u C 2 () et u vérifie (D) ou (D ). On s interesse aux solutions dites faibles, nous allons procéder comme dans le problème de Laplace. On prend f L 2 (). er Etape : φ C c () On multiplie l équation par φ, donc on obtient l équation, div( u) φ = f φ. Ensuite on intègre sur l ouvert ce qui donne des intégrales bien définies donc : N ( a ij (x) u(x) ) x i,j= i x j div(a(x) u(x)) φ(x) = φ(x) dx = f(x) φ(x) dx f(x) φ(x) dx On utilise la formule de Green et que φ Cc (), est un ouvert, donc on a φ = 0 sur : div(a(x) u(x)) φ(x) dx = A(x) u(x). φ(x) dx A(x) u(x). φ(x) dx = f(x) φ(x) dx Page 42

47 Chapitre 2 : Problèmes Elliptiques Linéaires 2nd Etape : φ H 0() On prend la fonction test φ H0(), et par densité de Cc () il existe une suite φ n Cc () qui converge vers φ dans H () ie φ n φ H () 0. Ainsi d apres la er étape, on a montrer que pour chaque fonction φ n Cc () on a : n IN, A(x) u(x). φ n (x) dx = f(x) φ n (x) dx De plus par convergence de la suite φ n vers φ dans H () on a donc : φ H0(), A(x) u(x). φ(x) dx = f(x) φ(x) dx Définition (Formulation faible de (D) pour f L 2 ()). Soient un ouvert borné de IR N à frontière lipchitzienne, A(x) = (a ij (x)) i,j N Mat(IR N ), avec a ij L (), i,j (;...;N) et f L 2 (). La formulation faible de (D) et (D )est donnée par : A(x) u(x). φ(x) dx = f(x) φ(x) dx, φ H (D) 0() f u H0() Et si u est solution de (D) f, on dit alors que u est solution faible du problème de Dirichlet homogène (D). Nous allons maintenant nous interessé à la formulation faible de (D) dans le cas où f H (). On rappelle que H () = (H 0()), H () est le dual de H 0() il represente l ensemble des formes linéaires continues sur H 0(). On se donne un ouvert de IR N et f H (). On note v H 0() f(v) =< f v >. On sait alors que f C c () D (). De plus C c () est dense dans H 0(). Définition (Formulation faible de (D) pour f H ()). Sous les même hypothèses que la définition 2.2.3,la formulation faible de (D) et (D ) pour f H () est donnée par : A(x) u(x). φ(x) dx =< f φ >, φ H (D2) 0() f u H0() Et si u est solution de (D2) f, on dit alors que u est solution faible du problème de Dirichlet homogène (D). Page 43

48 2.2 Problème de Dirichlet homogène Formulation variationnelle de Dirichlet Définition (Formulation variationnelle de (D) pour f L 2 ()). Soit f L 2 (), on dit que u est solution variationnelle du problème de Dirichlet (D) si u est solution de (D) mise sous formulation variatonnelle, c est à dire si u solution du problème de minimisation suivant : E(u) E(v) v H 0() u H (D) v 0() avec, E(v) = A(x) v(x). v(x) dx f(x) v(x) dx 2 Définition (Formulation variationnelle de (D) pour f H ()). Soit f H (), on dit que u est solution variationnelle du problème de Dirichlet (D) si u est solution de (D) mise sous formulation variatonnelle, c est à dire si u solution du problème de minimisation suivant : E(u) E(v) v H 0() u H (D2) v 0() avec, E(v) = A(x) v(x). v(x) dx < f v > 2 Nous allons maintenant étudier les problèmes de Dirichlet Homogène faible et variationnel, à savoir l existence et l unicité d une solution. Page 44

49 Chapitre 2 : Problèmes Elliptiques Linéaires Théorèmes d existence et d unicité de la solution du problème de Dirichlet faible et variationnel Théorème (Existence et unicité pour (D) f avec f L 2 ()). Soient un ouvert borné de IR N, A(x) = (a ij (x)) i,j N avec a ij L () vérifiant l hypothèse d uniforme éllipticité et f L 2 (), alors il existe un unique u H 0() solution du problème de Dirichlet faible (D) f. Preuve Soit f L 2 (), on pose : a(u,v) = A(x) u(x). v(x) dx L(v) = f(x) v(x) dx On cherche si il existe un unique w H 0() solution de a(u,v) = L(v) v H 0(), pour cela nous utilisons le théorème de Lax-Milgram. L espace H 0() est bien un espace de Hilbert. Montrons que L est bien définie, linéaire et continue On a f L 2 (), v H0() L 2 (), donc d apres l inégalité d Holder on a fv L (), donc l application L est bien définie, et par linéarité de l integrale elle est aussi linéaire, de plus par Holder elle est continue : L(v) = f v dx f v dx f L 2 () v L 2 () f L 2 () c() v H 0 () par Poincar Montrons que a est bien définie, bilinéaire, continue On a u H 0(), v H 0(), a ij L () donc l application a est bien définie, et par linéarité de l integrale on peut voir qu elle est bilinéaire, de plus : a(u;v) = A(x) u. v dx N a ij u L 2 () v L 2 () i,j= N a ij ĉ() u H 0 () v H 0 () i,j= Page 45

50 2.2 Problème de Dirichlet homogène Montrons que a est coércive On veut montrer qu il existe α > 0 tel que u H 0() on a : a(u,u) α u 2 H 0 () a(u;u) = Par hypothèse d ellipticité on a : N i,j= i,j= a ij (x) u x j u x i α u 2 N a ij (x) u x j u x i dx A(x) u(x). u(x) dx a(u,u) α u 2 L 2 () = α u 2 H 0 () α u 2 dx = α u 2 L 2 () Donc le théorème de Lax-Milgram s applique et nous donne qu il existe un unique u H 0() solution du problème faible (L) f. Corollaire (Existence et unicité pour (D) v avec f L 2 ()). On considère le problème de Dirichlet faible (D) f, et on suppose que A = A T ie a ij = a ji, i,j (;...;N) c est à dire que la matrice A est symetrique, alors le problème de Dirichlet faible (D) f est équivalent au problème de Dirichlet variationnel, et donc il existe un unique u H 0() solution de (D) v. Preuve On garde les notations de la démonstration du théorème 2.2.8, il suffit donc de montrer que la forme bilinéaire continue coércive a est aussi symetrique. a(u; v) = = = A(x) u(x). v(x) dx ( ( u(x) (a ij (x)) i,j N ;...; u(x) ) ) T x x N a (x)... a N (x) a N (x)... a NN (x) u(x) x. u(x) x N ;...; v(x) ) T dx x x N ( v(x). v(x) x. v(x) x N dx Page 46

51 Chapitre 2 : Problèmes Elliptiques Linéaires a(u; v) = = = = i= N j= a j(x) u(x) x j. N j= a Nj(x) u(x) [( N N N i,j= N j,i= = a(v; u) j= x j a ij (x) u(x) x j. ) a ij (x) u(x) v(x) dx x j x i a ji (x) v(x) u(x) dx x i x j v(x) x. v(x) x N v(x) x i ] dx La forme a est bien symetrique dés lors le corollaire du théorème de Lax-Milgram s applique et nous donne qu il existe un unique u H 0() solution du problème variationnel (D) v. dx Théorème (Existence et unicité pour (D) f avec f H ()). Soient un ouvert borné de IR N, A(x) = (a ij (x)) i,j N avec a ij L () symetrique ie A = A T et vérifiant l hypothèse d uniforme éllipticité. Alors T H () il existe un unique u H 0() solution du problème de Dirichlet (D2) f et (D2) v. Preuve On a T H (), donc T est linéaire continue sur H 0(). T : ( H 0 () IR v T(v) = < T v > on pose : a(u,v) = A(x) u(x). v(x) dx L(v) = T(v) = < f v > a est toujours une forme bilinéaire continue coércive symetrique, donc Lax-Milgram s applique et nous donne qu il existe un unique u H 0() solution du problème de Dirichlet faible (D2) f et variationnel (D2) v. Page 47

52 2.2 Problème de Dirichlet homogène Théorème (Existence et unicité pour (D) f et (D) v avec f L p ()). Soient un ouvert de IR N, A symetrique vérifiant l hypothèse d uniforme ellipticité et f L p () alors :. Si p = et N =, alors!u H 0() solution de (D) f et (D) v. 2. Si p > et N 2, alors!u H 0() solution de (D) f et (D) v. 3. Si p 2N N+2 et N 3, alors!u H 0() solution de (D) f et (D) v. Preuve Soient un ouvert de IR N et f L p ().. On suppose que p = et N = D aprés Sobolev, on sait que i : H0() L () une application injective continue, donc c > 0 tel que v c v H 0 (). De plus f L () donc Holder donne que fv L (), et : f(x)v(x) dx f L () v L () f L ()c v H 0 () Tf : H 0() IR v Tf(v) = < Tf v >= f(x)v(x) dx Tf est bien définie, linéaire et continue sur H 0(), c est une forme linéaire continue sur H 0() donc Tf H (), ainsi d apres ce qu on a vu on sait qu il existe un unique u solution de (D) f et (D) v. 2. On suppose que p > et N = 2 D aprés Sobolev, on sait que i : H0() L r (), r [; + [ une application injective continue, donc c > 0 tel que v L r () c v H 0 (). De plus f L p (), v H0() L r () on choisit r comme étant le conjugué de p, ainsi Holder nous donne que fv L (), et : f(x)v(x) dx f L p () v L r () f L p ()c v H 0 () Page 48

53 Chapitre 2 : Problèmes Elliptiques Linéaires Tf : H 0() IR v Tf(v) = < Tf v >= f(x)v(x) dx Tf est bien définie, linéaire et continue sur H 0(), c est une forme linéaire continue sur H 0() donc Tf H (), ainsi d apres ce qu on a vu on sait qu il existe un unique u solution de (D) f et (D) v. 3. On suppose que p 2N N+2 et N 3 D aprés Sobolev, on sait que i : H0() L m (),m = 2N N 2 une application injective continue, donc c > 0 tel que v L m () c v H 0 (). On remarque que m = 2N est le conjugué de m = 2N. On a v N 2 H 0() L m (), f L p (),p m N+2 donc f L m () ainsi Holder nous donne que fv L (), et : f(x)v(x) dx f L m () v L m () f L m () c v H0 () Tf : H 0() IR v Tf(v) = < Tf v >= f(x)v(x) dx Tf est bien définie, linéaire et continue sur H 0(), c est une forme linéaire continue sur H 0() donc Tf H (), ainsi d apres ce qu on a vu on sait qu il existe un unique u solution de (D) f et (D) v. Théorème 2.2. (Existence et unicité pour (D) f et (D) v avec f m()). Soient f m() et un ouvert de IR donc N =, alors il existe un unique u H 0() solution du problème de Dirichlet faible (D) f. De plus si la matrice A(x) est symetrique ce résultat est aussi vraie pour le problème de Dirichlet variationnel (D) v. Preuve Soient un ouvert de IR et f m() = (C()). On sait d aprés les injections de Sobolev que pour N = il existe i : H 0() C() une application injective et continue. Page 49

54 2.2 Problème de Dirichlet homogène On pose alors : a(u,v) = A(x) u(x). v(x) dx L(v) = v(x) df La formulation faible du problème de Dirichlet (D) est donc, trouver w H 0() solution de a(u,v) = L(v) v H 0(). On utilise à nouveau le théorème de Lax-Milgram. L espace H0() est un Hilbert, a est bien définie, bilinéaire, continue coercive et symetrique si la matrice A l est. On peut voir la démonstration sur a dans le théorème et On remarque de plus que L est bien définie, car v H0() L 2 () L () et donc l integrale v(x) df est bien définit. Il reste à vérifier que L est linéaire et continue. La linéarité de L est donnée par l integrale. De plus on a L(v) = v df c v c c v H 0 (), d où la continuité de L. Ainsi le théorème de Lax-Milgram s applique et il nous donne qu il existe un unique u H 0() solution du problème faible (L) f et variationnel (L) v. Comme pour le problème de Laplace on a des cas qu il nous reste lorsque l on sort du cadre variationnel. On les résume ici : N = 2 et f m() N = 2 et f L () N 3 et f m() N 3 et f L p (), avec p < 2N N+2 Page 50

55 Chapitre 2 : Problèmes Elliptiques Linéaires Résolution théorique du problème de Dirichlet Une solution classique du problème de Dirichlet est une fonction u C 2 () vérifiant le problème (D) et une solution faible est une fonction u H 0() vérifiant le problème (D) f. On rappelle que si u est une solution classique du problème de dirichlet (D), alors u H 0(). En effet on a u C 2 (), alors u et D i u sont continues sur, donc u L 2 () et D i u L 2 (). En utilisant le théoréme du noyau de l operateur de trace noté γ, on en deduit que comme u est solution classique du problème de Dirichlet, alors u = 0, donc u = γ(u) = 0 ainsi u Kerγ = H 0(). Lemme (Solution classique solution faible). Tout u solution classique du problème de Dirichlet (D) est une solution faible, c est à dire que u vérifie (D) f et que u H 0(). Preuve On se donne u solution classique de (D), donc u C 2 () et u vérifie (D). On a déjà vu qu alors u H0(). Reste à montrer que u vérifie le problème faible (D) f. Soit φ Cc (), alors les integrales suivantes sont bien définies. A(x) u(x). φ(x) dx = f(x) φ(x) dx Et par densité de C c () dans H 0() cette égalité reste vraie pour φ H 0(). Donc u vérifie (D) f. Lemme (Solution classique solution variationnelle). On suppose que la matrice A est symetrique, alors tout u solution classique du problème de Dirichlet (D) est aussi une solution variationnelle, c est à dire que u vérifie (D) v et que u H 0(). Preuve On se donne u solution classique de (D), dans le lemme précedent on a vu que u est aussi une solution faible. De plus comme la matrice A est symetrique alors on sait la forme bilinéaire a est symetrique, ce qui nous donne alors (D) f (D) v. Et donc, si u est solution classique de (D), alors u est solution faible, et donc variationnelle. Page 5

56

57 Chapitre 3 Problèmes Elliptiques linéaires à données mesures 3. Introduction On se place dans le cas du problème de Dirichlet. { div(a(x) u(x)) = f(x), x (D) u(x) = 0, x On a vu dans le chapitre 2 que l on pouvait considérer alors une formulation faible à ce problème : A(x) u(x). φ(x) dx = (D) f u H0() f(x) φ(x) dx, φ H 0() Mais aussi une formulation variationnelle donnant un problème de minimisation équivalant à la formulation faible si la matrice A est symétrique. (D) v E(u) E(v) v H0() u H0() avec, E(v) = A(x) v(x). v(x) dx 2 f(x) v(x) dx Cependant pour utiliser cette formulation, la fonction source f doit etre suffisament régulière, par exemple on a vu que pour f L 2 (), f H () la formulation faible est cohérente. On a vu que l on pouvait aussi se ramener au solution classique via la régularité des solutions faibles. Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser à la résolution des équations elliptiques linéaires dans le cas où le terme source f est une mesure sur et donc peu régulière, c est à dire que f / H (). On dit que l on sort donc du cadre variationnel. Quel sens peut-on alors donner au problème div(a u) = f et à la condition limite u = 0 sur. Page 53

58 3. Introduction Aprés avoir répondu à ces questions on s interessera alors à l existence d une solution d un tel problème. Le premier résultat d existence a été donné par G. Stampacchia en 965 avec une méthode de dualité. Une autre approche plus récente, datant de 989, a été donnée par L. Boccardo et T. Gallouet à propos de l existence d une solution d un tel problème par une méthode d approximation par limite, c est à dire qu elle consiste à passer à la limite sur un problème approché et d étudier les convergences. Enfin on se penchera sur la question de l unicité d une solution d un problème elliptique à données mesures. En fait on verra que la solution n est pas forcément unique, il en existe parfois plusieurs. S. Serrin. donna en 964 un contre-exemple à l unicité d une solution de ce problème. Page 54

59 Chapitre 3 : Problèmes Elliptiques linéaires à données mesures 3.2 Cadre non-variationnel 3.2. Résumé du problème de Dirichlet Rappellons nous ce que nous avons vu avec le problème de Dirichlet homogène. Pour cela on considère : un ouvert borné de IR N à frontière lipchitzienne A(x) = (a ij (x)) i,j N une matrice avec a ij L (), i,j (;...;N) que l on suppose uniformement elliptique, et symetrique. f : IR une fonction donnée que l on appelle terme source. On a alors cherché à résoudre le problème de Dirichlet donné par : { div(a(x) u(x)) = f(x), x (D) u(x) = 0, x C est à dire trouver u : IR solution de ce problème. Pour cela on a utilisé la methode variationnelle. En supposant que le terme source f L 2 (), ou bien même f H (), on a montré l existence et l unicité d une solution faible avec Lax-Milgram. C est à dire une solution au problème mise sous forme faible suivante : A(x) u(x). φ(x) dx = < f φ >, φ H (D) 0() f u H0() De plus si la matrice A(x) est symétrique, on peut regarder le problème de minimisation dit formulation variationnelle qui est équivalent alors à la formulation faible, admettant aussi une unique solution. Si f H () la formulation variationnelle est donnée par : (D) v E(u) E(v) v H0() u H0() avec, E(v) = A(x) v(x). v(x) dx < f v > Sortir du cadre variationnel Nous avons alors étudié plusieurs cas, en faisant varier le terme source f dans différents espaces et la dimension de l ouvert. Rappelons ces résultats : Page 55

60 3.2 Cadre non-variationnel Pour f m() et N =. On a utilisé le fait que le dual de C() est justement m() et que l on a l injection continue de H 0() dans C(). On en fait ici m() H (), on est donc dans une formulation faible cohérente ou Lax-Milgram s applique bien et nous donne l existence et l unicité d une solution faible. Cependant des que f m() et N > on ne peut plus se ramener au cas où f H (). On est donc sorti du cadre variationnel. Pour f L p () et N = 2. On a utilisé les injections de Sobolev qui donne dans ce cas l injection continue de H 0() dans L r () et ce pour tout r [; + [. Ainsi en considérant f L p (), p > sachant que le dual de L p () est L p () il a suffit de prendre r = p, donc on a pu identifier f avec un élément de H (). Pour sortir du cadre variationnel en dimension N = 2, il faut donc considérer le cas f m() ou bien f L (). Pour f L p () et N 3. On considère cette fois l injection continue de H0() dans L 2N N 2 (). Ainsi en considérant f L p () si on veut l identifier avec un élément de H (), il suffit de supposer que p ( 2N N 2 ) = 2N = m. Dans ce cas on est dans le N+2 cadre variationnel. Pour sortir du cadre variationnel en dimension N 3, il faut donc considérer le cas où f m() et f L p () avec p < m. Ainsi en résumé voici les cas où on sort du cadre variationnel :. N = 2 et f m() 2. N = 2 et f L () 3. N 3 et f m() 4. N 3 et f L p (), avec p < 2N N+2 Page 56

61 Chapitre 3 : Problèmes Elliptiques linéaires à données mesures Une fois sorti du cadre variationnel, par exemple en considérant que f m() et N 2, la première question que l on se pose est donc de savoir quel sens on peut donner au problème de Dirichlet sous ces hypothèses pour le terme source, c est à dire que signifie div(a u) = f et u = 0 sur? On procède de cette façon :. On considère u W, loc (), on rappelle que : W, loc () = {u L loc () tel que D iu L loc () i (;...;N)} D i u est à prendre au sens des distributions, c est à dire que D i u D (). On sait que les fonctions L loc () s injecte dans D () via l application : ( T : L loc () D () f T(f) Avec T(f)(φ) = fφ, φ D() alors, T est bien définie linéaire et injective, ainsi f L loc (), T(f) D (). On confond alors f et T(f). Donc on a confondu D i u L loc () avec T(D iu) D (). 2. Ainsi l expression A u a bien un sens. En effet comme u W, loc () alors D i u L loc () i (;...;N) et donc A u (L loc ())N (D ()) N. On peut alors définir div(a u) dans D () 3. Ainsi pour f m(), comme on sait que Cc () s injecte dans C(), on peut alors donner un sens à div(a u) = f dans D (). Le problème consiste donc à chercher une fonction u W, loc () tel que : A(x) u(x). φ(x) dx = φ(x) df, φ Cc () 4. Par définition W, 0 () est l adhérence de C c () dans W, (). De plus on sait qu il existe un opérateur trace : γ : W, () L ( ) qui est linéaire continu surjectif tel que Ker(γ) = W, 0 (), et tel que u W, () C() on a γ(u) = u p.p.x. Ainsi la seconde condition du problème de Dirichlet, c est à dire u = 0 sur a bien un sens grâce à l existence de cet opérateur trace sur W, (). On a donc la formulation faible suivante pour f m() Page 57

62 3.2 Cadre non-variationnel Définition 3.2. (Formulation faible de (D) pour f m()). Soient un ouvert borné de IR N à frontière lipchitzienne, A(x) = (a ij (x)) i,j N Mat(IR N ), avec a ij L (), i,j (;...;N) supposé uniformement elliptique et f m(). On dit que u est solution faible du problème de Dirichlet si u vérifie : A(x) u(x). φ(x) dx = φ(x) df, φ Cc () (Dm) f u W, 0 () On se place dans le cas où f L (), on peut alors aisément écrire une formulation faible à notre problème. En effet il suffit de remarquer que si f L () alors f(x) dx m(), d où la formulation suivante : Définition (Formulation faible de (D) pour f L ()). Soient un ouvert borné de IR N à frontière lipchitzienne, A(x) = (a ij (x)) i,j N Mat(IR N ), avec a ij L (), i,j (;...;N) supposé uniformement elliptique et f L (). On dit que u est solution faible du problème de Dirichlet si u vérifie : A(x) u(x). φ(x) dx = φ(x)f(x) dx, φ Cc () (D) L,f u W, 0 () Pour résoudre le problème faible (Dm f ), on serait tenté de le rapprocher à une formulation variationnelle, et donc de résoudre le problème de minimisation associé. C est une erreur, en effet pour f m() = (C()) en considérant pour u H 0() C() l application : E(v) = 2 A(x) v(x). v(x) dx v(x) df Alors on peut montrer que inf { E(u) tel que u H 0() C() } = Ce résultat est en fait vrai dès que f / H (), et donc dès que l on sort du cadre variationnel, en particulier aussi pour f L (). Démontrons un tel résultat : Page 58

63 Chapitre 3 : Problèmes Elliptiques linéaires à données mesures Preuve Soit f m(), alors des que N > on peut alors montrer qu il existe pas c IR tel que : φ(x) df c φ H 0 () φ Cc () Il existe (φ n ) n IN C c () tel que φ n df n φ n H 0 (). On peut alors imposer que φ n H 0 () =, des lors φ n df n +. De plus A(x) φ 2 n(x).φ n (x) dx M avec M une constante indépendante de n. Car par hypothèse est un ouvert borné, et φ n une fonction Cc (). On en déduit que E(φ n ) = On ne peut donc pas employer une méthode de minimisation, autrement dit une méthode variationnelle, pour résoudre le problème de Dirichlet dans le cas où f m(), ceci est aussi vrai dès que f / H (), et en particulier pour f L (). Ce qui donne toute la signification à sortie du cadre variationnel. Page 59

64 3.3 Lemme de Stampacchia 3.3 Lemme de Stampacchia Lemme Soient un ouvert borné de IR N à frontière lipchitzienne et φ C (IR) tel que φ L () et φ(0) = 0, alors u H 0() on a : φ(u) H 0() et D i φ(u) = φ (u)d i u p.p.x i (;...;N) Preuve Soit u H 0(), par densité on sait qu il existe une suite (u n ) n IN C c () tel que u n u dans H 0() c est à dire que u n u dans L 2 () et D i u n D i u dans L 2 () i (;...;N) ainsi on peut extraire de toute suite convergente dans L 2 (), une sous-suite bornée qui converge presque partout, ainsi : u n u p.p. et u n G, G L 2 () D i u n D i u p.p. et D i u n G i, G i L 2 () Montrons que D i φ(u n ) D i φ(u) dans D (). Il est clair que φ(u n ) C () en tant que composé d applications C et que le supp(φ(u n )) supp(u n ) car u n = 0 φ(u n ) = 0 par continuité et φ(0) = 0. Ainsi D i φ(u n ) = φ (u n )D i u n p.p. et x on a : φ(u n (x)) φ(0) φ u n (x) 0 φ(u n (x)) φ u n (x) φ(u n (x)) φ G L 2 () Et comme φ(u n ) φ(u) p.p. par continuité de φ, d aprés le théorème de convergence dominée on en déduit que φ(u n ) φ(u) dans L 2 (). De la même facon comme D i φ(u n ) φ (u)d i u p.p. et que D i φ(u n ) φ D i u n φ G i L 2 (), donc d aprés le théorème de convergence dominée on en déduit que D i φ(u n ) φ (u)d i u dans L 2 (). Conclusion. Ainsi D i φ(u n ) D i φ(u) dans D () et D i φ(u n ) φ (u)d i u dans D (), donc D i φ(u) = φ (u)d i u p.p.. De plus φ(u) L 2 () et D i φ(u) L 2 (), donc φ(u) H 0() et comme φ(u) = 0 sur alors φ(u) H 0(). Page 60

65 Chapitre 3 : Problèmes Elliptiques linéaires à données mesures Lemme Soient un ouvert borné de IR N à frontière lipchitzienne. et une fonction φ C (IR {a ;...;a N )}) C(IR) tel que φ L (), φ(0) = 0 et φ admet une dérivée à droite et à gauche en chaque point a i alors u H 0() on a : φ(u) H 0() et D i φ(u) = φ (u)d i u p.p.x i (;...;N) Preuve Soit u H 0(), comme précedemment par densité on sait qu il existe une suite (u n ) n IN C c () tel que u n u dans H 0(). On peut trouver une suite (φ n ) n IN C (IR) vérifiant :. φ n φ 2. φ n (0) = 0 3. φ n (x) φ(x) x IR 4. φ n(x) φ (x) x IR {a ;...;a N )} 5. φ a i (x) φ +(a i ) On a u n u p.p. avec u n G, G L 2 () et on a aussi D i u n D i u p.p. avec D i u n G i, G i L 2 (). Ainsi on a φ n (u) = φ n (u) φ n (0) φ u L 2 () et D i φ n (u) φ D i u L 2 (). Donc la suite (φ n (u)) n IN est bornée dans H 0(). Ainsi il existe une sous-suite de (φ n (u)) n IN, que l on note de la même façon tel que φ n (u) φ(u) dans L 2 () et même dans H 0(). On a donc φ(u) H 0() et D i φ n (u) = φ n(u)d i u φ (u)d i up.p, avec φ (a i ) = φ +(a i ) et comme φ n(u)d i u φ D i u L 2 () d aprés la convergence dominée on a D i φ n (u) = φ n(u)d i u φ (u)d i u dans L 2 () donc D i φ(u) = φ (u)d i u p.p. Lemme (Stampacchia). Soient un ouvert borné de IR N à frontière lipchitzienne et φ : IR IR lipchitzienne tel que φ(0) = 0 alors u H 0() on a : φ(u) H 0() et D i φ(u) = φ (u)d i u p.p.x i (;...;N) On admettra la démonstration de ce lemme. Page 6

66 3.3 Lemme de Stampacchia Lemme Soit un ouvert borné de IR N.. On suppose que f L (), alors il existe une suite (f n ) n IN C c () telle que f n f dans L (), De plus f n L ()) f L () 2. On suppose que f m(), alors il existe une suite (f n ) n IN C c () telle que f n f dans (C()) faible*. et de plus f n L ()) f m() Preuve. Soit f L () On se donne une suite croissante de compact K n de le recouvrant complétement c est à dire tel que n IN K n =. On considère la fonction caractéristique sur K n noté χ (Kn), et on pose alors la fonction g n = χ (Kn)f. Clairement par convergence dominée on a g n f dans L (), et g n L () f L (). On considère alors la suite régularisante ρ m (x) = m N ρ(mx) où ρ Cc (), supp(ρ) B(0; ), ρ =. On choisit alors une suite d entier positif (m n ) n IN IN tel que m n < dist(k n ; c ). Ainsi on a g n ρ mn Cc (), g n ρ mn L () g n L () ρ mn L () et g n ρ mn g n dans L (). Il suffit donc de poser f n = g n ρ mn. 2. Soit f m() = (C()) D après le théorème de Riez, on sait qu il existe une unique mesure m σ-additive telle que φ C() < f φ > = φ dm par la suite on confondra m et f. On rappelle que : { } < f φ > f m() = = m () φ sup 0 φ C() Où m = m + + m est une mesure σ-additive donnée par la décomposition de la mesure m en deux mesures σ-additive m + et m verifiant m = ( m) +. Une telle décomposition de la mesure m existe toujours. On veut construire une suite (f n ) n IN C c () tel que : f n L () f m() = f () f n f dans C() faible*. On utilise l étape. et on cherche f n L (). Pour cela on Page 62

67 Chapitre 3 : Problèmes Elliptiques linéaires à données mesures considère = K B(IR) tel que K K = si K K et diam(k) K B(IR)., n On pose alors f n (x) = f(k) mes(k) Reste à montrer que f n vérifie bien les conclusions du lemme, c est à dire si f n vérifie f n L () f m() = f () et f n f dans C() faible*. f n L () = f n dx = f(k) K B(IR) K B(IR) f (K) = f () On veut montrer que f n f dans C() faible* il suffit donc de montrer que pour φ C() on a φfn dx φ df. φfn dx φ df = f(k) φ dx φ df mes(k) K B(IR) K K B(IR) K ( ) φ φ dx df K B(IR) K mes(k) K φ φ dx K B(IR) K mes(k) df K φ φ dx mes(k) d f K B(IR) K K Comme φ C(), alors φ est uniformement continue sur et sachant que le diam(k), on en déduit que x K, K B(IR) n φ φ dx mes(k) K ǫ(n) 0 φfn dx φ df ǫ(n) d f K B(IR) K ǫ(n) f () 0 Page 63

68 3.4 Etude de l existence d une solution 3.4 Etude de l existence d une solution 3.4. Méthode par approximation Hypothèse (H) : On se donne un ouvert borné de IR N à frontière lipchitzienne, une matrice A(x) = (a ij (x)) i,j N Mat(IR N ), avec a ij L (), i,j (;...;N) supposé uniformement elliptique, on note (H) ces hypothèses. Si f m() la formulation faible devient donc : A(x) u(x). φ(x) dx = (Dm) f u W, 0 () φ(x) df, φ C c () Pour montrer l existence d une solution à ce problème, on utilise alors pour le terme source f m() le lemme 3.3.4, qui donne une suite (f n ) n IN Cc () convergant vers f dans (C()) faible*. Mais pour tout n IN on sait déjà résoudre ce problème de Dirichlet en remplaçant le terme source par f n, donc pour tout n IN, il existe u n solution du problème suivant : A(x) u (Dm2) n (x). φ(x) dx = f u n H0() f n (x)φ(x) dx, φ H 0() La méthode d approximation consiste à effectuer un passage à la limite de ce problème. Ainsi pour φ Cc (), par définition de la suite (f n ) n IN on sait que (f n) n IN (x)φ(x) dx φ(x) df. Cependant le passage à la limite pour le premier terme A(x) u n(x). φ(x) dx pose de plus grande difficulté. Nous allons pour cela utiliser les lemmes suivants : Lemme Sous les hypothèses (H), soit f L 2 (), et u solution du problème : A u. φ dx = f φ dx, φ H (D f ) 0() u H0() alors u 2 dx f B n α n IN avec α la constante d uniforme ellipticité et B n = {n u n + } Page 64

69 Chapitre 3 : Problèmes Elliptiques linéaires à données mesures Preuve Soit n IN. On pose φ(x) = x n x + n x [ n, n] 0 x [ n,n] x n x [n,n + ] x n + Soit u la solution du problème (D), on a u H 0(), φ qui est lipshitzienne et φ(0) = 0 on peut donc appliquer le lemme de Stamppachia qui nous donne φ(u) H 0() et D i φ(u) = φ (u)d i up.p. Or φ (u) = 0 si x B n et φ (u) = si x B n donc D i φ(u) = 0 p.p. si x B n et D i φ(u) = D i u p.p. si x B n. On en déduit alors que φ(u) = uχ(b n )pp. De plus les hypothèses d ellipticité nous donnent : α u 2 dx B n = A u. u dx B n A u. φ(u) dx (car φ(u) = uχ(b n )pp) Or comme u est solution de (D f ) on sait que A u. v dx = f v dx v H0() Mais φ(u) H0(), on a donc en particulier A u. φ(u) dx = f φ(u) dx Ainsi α u 2 dx B n f φ(u) dx f φ(u) dx Page 65

70 α u 2 dx B n 3.4 Etude de l existence d une solution = f f φ(u) dx f dx (car φ ) D où u 2 dx f B n α n IN Lemme Sous les hypothèses (H), soit u H0(), N 2. On suppose qu il existe β > 0 tel que : n IN u 2 dx β B n N Alors q [, l ouvert vérifiant : N [ il existe C une constante qui dépend de q, β et de u(x) q dx C u(x) q dx C,avec q = qn N q Preuve N On a N 2 et q [, majoration suivante : N [, donc on a q < 2. De plus on la u q dx = = = + n=0 + n=0 + n=0 + n=0 u q dx B n u q χ (Bn) dx u q 2 q ( χ (Bn) q/2 u 2 dx) q 2 (mes(bn )) q 2 (parholder) Page 66

71 Chapitre 3 : Problèmes Elliptiques linéaires à données mesures u q dx = + n=0 n 0 β q 2 (mes(bn )) q 2 β q 2 (mes(bn )) q 2 + n=0 (par hyphothse) n=n 0 β q 2 (mes(bn )) q 2 On pose alors b = β q 2 (mes()) q 2, ainsi on obtient la majoration suivante : u q dx n 0 b + β q 2 + n=n 0 + (mes(b n )) q 2 De plus comme on sait que u n sur B n, alors : n q mes(b n ) u q dx B n ( ) q (mes(b n )) q 2 u q 2 dx n q B n Ainsi on a donc : u q dx n 0 b + β q 2 + n=n 0 n q ( q 2 ) + ( B n u q ) q 2 D aprés les injections de Sobolev on sait qu il existe une constante C qui depend de q et N tel que pour q = qn on a : N q ( ) ( ) u q q dx C u q q dx ( ) q u q q dx u q dx C ( C ) q u q q dx n0 b + β q 2 + n=n 0 n q ( q 2 ) + ( B n u q On applique alors une nouvelle fois Holder, et on trouve : ( ) q ( u q q + dx n0 b + β q 2 C n=n 0 n q (2 q 2 )2 q ) q 2 ( + n=n 0 ) q 2 B n u q )2 q 2 Page 67

72 3.4 Etude de l existence d une solution ( ) q ( u q q + ) q 2 ( )2 q dx n0 b + β q 2 u q 2 C n=n 0 n q (2 q q ) Pour avoir la convergence de la serie on a besoin que q ( 2 q ) >. q On rappelle que q < N et aprés un leger calcul on peut voir que, N q = qn N q < N N 2 et 2 q q On a 2 q 2 q N > 2 2 q 2 < q q que q ( 2 q 2 ) > qn N q er Cas : N 3 < N N 2 N q 2q N 2 Donc si q 2 q et si N = 2. On en déduit 2 q 2 > q < N N = q 2 q On a ainsi 2 q 2 < q q il suffit alors de prendre n 0 = et on obtient alors en divisant par ( u q dx) 2 q q. 2nd Cas : N = 2 u q dx C Et u q dx C On a alors 2 q 2 = q q, et on peut choisir n 0 tel que : ( ) q q C > ( n=n 0 n q (2 q 2 ) ) q 2 α q 2 ( C ) q q ( n=n 0 n q (2 q 2 ) ) q 2 α q 2 ( ) q u q q n0 b et donc u q dx C Et u q dx C Page 68

73 Chapitre 3 : Problèmes Elliptiques linéaires à données mesures Théorème (Existence par approximation avec f m()). Sous les hypothèses (H), soit f m() alors il existe une solution u au problème suivant : (A(x) u(x)). φ(x) dx = φ(x) df, φ Cc () (Da) f u W,q 0 () q < N N Preuve Soit f m(), d après le lemme on sait qu il existe (f n ) n IN C c () tel que f n f dans C( ) faible *. Pour n IN fixé on definit u n comme etant la solution de problème avec le terme source f n à la place de f, c est à dire que u n est solution du problème : (A(x) u n (x)). φ(x) dx = f n (x)φ(x) dx, φ H0() u n H0() D aprés les lemmes 3.4. et appliqués à f n, on en déduit que pour tout q < N, il existe une constante C > 0 qui depend N uniquement de q, et f m() tel que : u n q dx C Ce résultat étant vrai pour chaque n IN, on a donc que la suite (u n ) n IN est bornée dans W,q 0 () avec q < N. On peut alors N supposer que u n u dans W,q 0 faible q < N. Par définition de N la convergence faible on a u n u dans W,q 0 faible avec q < N si N T (W,q 0 ) on a < T u n > < T u >. Comme (u n ) n IN est une suite bornée de l espace reflexif W,q 0 () pour < q < alors il existe une sous-suite (u φ(n) ) n IN convergente vers u faiblement dans W,q 0, et par construction de la suite (u n ) n IN donné par les f n on peut choisir la suite (u n ) n IN comme étant cette sous-suite extraite (u φ(n) ) n IN. Donc u n u dans W,q 0 faible q < N. On rappelle que N W,r 0 () W,s 0 () des que r > s. On considère φ C c (), par définiton de la suite (f n ) n IN on Page 69

74 3.4 Etude de l existence d une solution sait déjà qu en passant à la limite on obtient : f n (x) φ(x) dx φ(x) df φ Cc () De même pour φ Cc (), par passage à la limite on a : A(x) u n (x). φ(x) dx A(x) u(x). φ(x) dx φ Cc () Donc on a bien l existence de la solution du problème suivant : (A(x) u(x)). φ(x) dx = φ(x) df, φ Cc () (Da) f u W,q 0 (), q < N N Corollaire Si u est solution du problème : (A(x) u(x)). φ(x) dx = (Da) f u W,q 0 () q < N N φ(x) df, φ C c () Alors u est aussi solution de notre problème : (A(x) u(x)). φ(x) dx = φ(x) df, φ Cc () (Dm) f u W, 0 () On remarque ici, que dans le cas précis ou N = 2 on aura même unicité de la solution, neanmoins on aura pas forcement l unicité dans d autre cas, on renvoie le lecteur à la partie etude de l unicité pour plus de détails. Page 70

75 Chapitre 3 : Problèmes Elliptiques linéaires à données mesures Corollaire Le problème : (A(x) u(x)). φ(x) dx = (Da) f u W,q 0 () q < N N φ(x) df, φ C c () est equivalent au problème : (A(x) u(x)). φ(x) dx = (Da2) f u W,q 0 () q < N N φ(x) df, φ r>n W,r 0 () Preuve Soit f m() = (C ( )). Soit r > N et φ W,r 0 (), alors d après les injections de Sobolev, on a φ C ( ), donc φ est intégrable pour la mesure f. De plus φ (L r ()) N, sachant que r > N, on note r son conjugué, et donc r = r < N. On a r N u (L r ()) N, ainsi le problème (Da2) f a bien un sens, car on a A u. φ L (). Montrons que u solution de (Da) f u solution de (Da2) f. Soit φ W,r 0 () pour un certain r > N, par densité on sait qu il existe une suite (φ n ) n IN Cc () qui converge vers φ W,r 0 (), en particulier on a φ n φ dans L r () et φ n φ uniformement sur, car par l injection de Sobolev on sait que W,r 0 () C(). Par hypothèse u est solution de (Da) f, donc u vérifie le problème (Da) f en particulier pour φ n et ce n IN, donc on a : A u φ n dx = φ n df Ainsi par passage à la limite on obtient : A u φ dx = φ df Et c est vrai, φ W,r 0 (), et r > N donc u solution de (Da2) f. Montrons que u solution de (Da2) f u solution de (Da) f. Comme C c () r>n W,r 0 (), alors si u est solution de (Da2) f, il est aussi solution de (Da) f. Page 7

76 3.4.2 Méthode de dualité 3.4 Etude de l existence d une solution La méthode de dualité de Stampacchia repose sur ce théorème de régularité. Théorème (Régularité). Sous les hypothèses (H), soit f H (). On sait qu il existe u solution du problème faible de Dirichlet : A(x) u(x). φ(x) dx = f(x) φ(x) dx, φ H (D) 0() f u H0() Si il existe p > N tel que la fonction f W,p (), alors la solution u C(). De plus pour tout p > N l opérateur Tp défini ci-desous est linéaire continu. ( Tp : W,p () C() f Tp(f) = u Voici une version simplifiée de ce théorème Théorème (Régularité). Sous les hypothèses (H), soit f H (). On sait qu il existe u solution du problème faible de Dirichlet : A(x) u(x). φ(x) dx = f(x) φ(x) dx, φ H (D) 0() f u H0() Si la fonction f W,p () avec N < p < +, alors la solution u L (). De plus pour tout p > N l opérateur Tp définit ci-desous est linéaire continue. ( Tp : W,p () L () f Tp(f) = u Page 72

77 Chapitre 3 : Problèmes Elliptiques linéaires à données mesures On peut alors à l aide de ce théorème, énoncer un premier résultat d existence et d unicité. Théorème (Existence - Unicité). Sous les hypothèses (H), soit f L (), alors il existe un unique u solution du problème : u W,q 0 (), q < N N (D2) f u div( t A φ) dx = f(x) φ(x) dx, φ H0() L () tel que div( t A φ) Cc () Théorème (Existence - Unicité). Sous les hypothèses (H), soit f m(). alors il existe un unique u solution du problème : (D3) f u q< N N W,q 0 () u div( t A φ) dx = φ df, φ H0() C() tel que div( t A φ) Cc () Liens entre les deux méthodes On se place dans le cas f m(). On a vu deux méthodes, une par approximation noté (A), l autre par dualité noté (D). On a alors les résultats suivants pour lier ces deux méthodes.. Si u est une solution donnée par (D), alors u est aussi solution de (A). 2. Par la méthode (A), on obtient des solutions de (A) et (D). 3. Si u est une solution donnée par (A), alors u n est pas solution de (D). Page 73

78 3.5 Etude de l unicité de la solution 3.5 Etude de l unicité de la solution Rappelons ce que nous avons fait precedement, on a montrer par la méthode d approximation que sous les hypothèses (H) alors pour tout f m(), il existe u solution du problème : (D) a u u W,q 0 () q< (D) N N a (A u). φ dx = q< N N φ(x) df, φ r>n W,r 0 () W,q 0 () tel que div(a u) = f dans D (). On s interresse alors à l unicité d une solution pour (D) a. On va voir que sous de bonne hypothèses il y a bien unicité de la solution. On verra aussi un contre exemple donnée par Serrin, pour montrer que la solution n est pas toujours unique Cas régulier Sous les hypothèses (H), en rajoutant que est un ouvert à bord régulier, de classe C 2 au minimum par exemple. On suppose de plus que les coefficients de la matrice A(x) données par a ij sont de classe C (). Alors on peut demonter l unicité de la solution pour la formulation (D) a. Il est du au théorème suivant de Agmon-Douglis-Nirenberg, que l on cite ci dessous : Théorème 3.5. (Agmon - Douglis - Nirenberg). Sous les hypothèses (H), on suppose de plus que est un ouvert bornée de IR N de classe C 2 et que a ij C (), i,j (;...;N). Alors pour tout f L p (), avec < p < + il existe un unique u W 2,p () W,p 0 () solution de l equation div(a u) = f p.p sur. De plus il existe C une constante qui dépend uniquement de, A et p vérifiant : u W 2,p () C f L p () Théorème Sous les hypothèses (H), on suppose de plus que est un ouvert bornée de IR N de classe C 2 et que a ij C (), i,j (;...;N), alors il existe une unique solution u de (Dm) f, et donc aussi de (D) a. Page 74

79 Chapitre 3 : Problèmes Elliptiques linéaires à données mesures Contre-exemple de Serrin Dans le cas particulier où N = 2, sous les hypothèses (H), alors pour tout f m(), il existe une unique solution u de D a. Cependant il n y a pas unicité de Dm f, c est le contre-exemple de Serrin, donné par 0 < ǫ <, N = 2, et = B, où B est la boule unité de IR 2. Le problème de Serrin est donné par : u W,q 0 () q< (S) 2 +ǫ ǫ (A u). φ dx = Théorème (Serrin, N = 2). φ(x) df, φ r>n W,r 0 () Soient 0 < ǫ <, N = 2, et = B, où B est la boule unité de IR 2, alors il exite une matrice A vérifiant les hypothèses (H) tel que pour tout f m() le problème (S) ǫ admet au moins deux solutions. Remarque : Ce théorème montre la non-unicité dans le cas où N = 2 pour 2 le problème Dm f, mais pas pour le problème D a, car < N = 2. Nous +ǫ N admetrons la démonsatration de ce théorème néanmoins voici la matrice A S,ǫ donnée par Serrin pour son contre-exemple : A S,ǫ = (a ij (x ;x 2 ) i,j 2 = ( 0 0 ) + ( ) ( x x 2 + x 2 ǫ 2 x x 2 2 x x 2 x ) Théorème (Serrin, N > 2). Soient 0 < ǫ <, N > 2, et = B, où B est la boule unité de IR N, alors il exite une matrice A vérifiant les hypothèses (H) tel que pour tout f m() le problème D a admet au moins deux solutions. Remarque : Ce théorème montre la non-unicité dans le cas où N > 2 pour le problème D a. Page 75

80

81 Chapitre 4 Etude d un système d équations elliptiques couplées Le but de ce chapitre est d établir à l aide des théorèmes précédents et sous certaines hypothèses, l existence d une solution au problème ci-dessous : (S) u p< N N v W,p 0 (), φ H 0() σ(x, u(x)) φ(x). ψ(x) dx = W,q 0 () q>n λ(x, u(x)) u(x). v(x) dx = f(x,u(x)) ψ(x) dx, ψ H 0() σ(x, u(x)) φ(x). φ(x)v(x) dx 4. Remarques préliminaires On se placera toujours sous les hypothèses suivantes qu on notera (H) :. est un ouvert borné de IR N à frontière lipschitzienne. On se restreint ici au cas N=2. 2. f,σ,λ sont des fonctions bornées de IR à valeurs dans IR, continues par rapport à y IR pour presque tout x, et mesurables par rapport à x pour tout y IR. 3. α > 0 tel que α σ(.,y) et α λ(.,y) y IR, pour presque tout x. Dans la suite nous allons être amenés à étudier les deux sous problèmes suivants : a) Soit u L (), () u φ u H0() σ(x,u(x)) φ u (x). ψ(x) dx = Page 77 f(x,u(x)) ψ(x) dx, ψ H 0()

82 4.2 Existence d une solution On notera par φ u H 0() l unique solution de ce problème (donnée par le théorème 2.2.8). b) Soit g u (x) = σ(x,u(x)) φ u (x). φ u (x), (2) u w p< N N W,p 0 () λ(x, u(x)) w(x). v(x) dx = g u (x)v(x) dx, v q>n W,q 0 () On notera par ū p< W,p N 0 () la solution de ce problème. N Soit F l opérateur qui à u L () associe ū. Cette opérateur est bien défini. En effet, soit u L () par le théorème on sait qu il existe une unique solution φ u H 0() au problème () u. On a donc g u = σ(.,u(.)) φ u (.). φ u (.) L (). et comme on l a vu dans le paragraphe 3.5 (Etant donné que est suffisament régulier), il existe alors une unique solution au problème (2) u. On peut alors remarquer que si F admet un point fixe u, alors le couple (φ u,u) est solution du système couplé. Pour montrer l existence de ce point fixe, on utilise le théorème suivant : Théorème 4.. (Point fixe de Schauder). Soit E un espace de Banach réel, C E non vide fermé borné et convexe. Si F : C C continue et telle que F(C) soit relativement compact alors F admet un point fixe. 4.2 Existence d une solution Lemme 4.2. (Rappel). Soit f,g L 2 (). Soit (f n ) n, (g n ) n L 2 (). Si f n f dans L 2 () et g n g faiblement dans L 2 (), alors g n f n dx gf dx Page 78

83 Chapitre 4 : Etude d un système d équations elliptiques couplées Preuve (g n f n gf) dx = = (g n f g n f + g n f n gf) dx (g n g)f dx + g n (f n f) dx Le premier terme tend vers 0 puisque g n g faiblement dans L 2 (). On remarque ensuite que g n (f n f) g n 2 f n f 2. Mais comme g n g faiblement dans L 2 (), g n 2 est borné. Le deuxième terme tend donc aussi vers 0 puisque f n f 2 0. Lemme (Convergence de φ un ). Soit u L (), Soit (u n ) n L () telle que u n u dans L (). n on définit φ un H 0() comme étant l unique solution de () un. Alors φ un φ u dans H 0(), où φ u est l unique solution de () u. Preuve Première étape : On montre que φ un est bornée dans H 0(). D après les hypothèses il existe α>0 tel que α φ u (x). ψ(x) dx σ(x,u(x)) φ u (x). ψ(x) dx, ψ H0() = f(x,u(x)) ψ(x) dx, ψ H0() Donc en particulier pour ψ = φ u on a, 2 α φ u 2 f(x,u(x)) φ u (x) dx f φ u (x) dx f φ u 2 mes() 2 (Holder) f C() φ u 2 mes() 2 (Poincare) Page 79

84 4.2 Existence d une solution Ainsi, φ u 2 C() α f mes() 2 où C() est la constante de Poincaré. Et donc φ un est bornée dans H 0(). Deuxième étape : Comme φ un est bornée, on peut en extraire une sous suite φ ul(n) qui converge faiblement dans H 0(). Soit φ la limite de cette suite. On va montrer que φ = φ u. Dans la suite pour simplifier les notations, on désignera par φ un la suite φ ul(n) et par u n la suite u l(n). Comme u n u dans L () il existe une sous suite (u nk ) telle que u nk u n pp, et donc σ(x,u nk (x)) σ(x,u n (x)) pp, car σ est continue par rapport à la deuxième variable. L 2 (), donc par conver- Mais ψ σ(.,u nk (.)) ψ σ gence dominée on obtient, σ(.,u nk (.)) ψ σ(.,u(.)) ψ dans L 2 () De plus on avait déjà, φ unk φ faiblement dans L 2 () On peut alors montrer (voir lemme 4.2.) que σ(x,u nk (x)) φ unk (x). ψ(x) dx σ(x, u(x)) φ(x). ψ(x) dx et donc que f(x,u nk (x)) ψ(x) dx σ(x, u(x)) φ(x). ψ(x) dx puisque σ(x,u n k (x)) φ unk (x). ψ(x)dx = f(x,u n k (x))ψ(x)dx. De la même facon on peut montrer qu il existe une sous suite Page 80

85 Chapitre 4 : Etude d un système d équations elliptiques couplées telle que f(x,u nk (x)) ψ(x) dx f(x,u(x)) ψ(x) dx On obtient donc l égalité, σ(x, u(x)) φ(x). ψ(x) dx = f(x,u(x)) ψ(x) dx Comme la solution à ce problème est unique, on a que φ = φ u. Supposons maintenant que φ un (la suite initiale) admette une deuxième valeur d adhérence φ, par le même raisonnement φ = φ u. La suite φ un ne possède donc qu une seule valeur d adhérence et c est donc toute la suite qui converge faiblement vers φ u. Trosième étape : On remarque que 2 I n = σ(x,u n (x)) (φ un φ u )(x). (φ un φ u )(x)dx α (φ un φ u ) 2 Il suffit donc de montrer que I n 0 pour conclure. L intégrale I n peut s écrire sous la forme I n = In + In 2 + In 3 avec, In = σ(x,u n (x)) φ un (x). φ un (x) dx In 2 = 2 σ(x,u n (x)) φ un (x). φ u (x) dx In 3 = σ(x,u n (x)) φ u (x). φ u (x) dx On note que In = f(x,u n k (x)) φ un (x) dx, en reproduisant les mêmes raisonnements qu précédement on peut donc montrer que In f(x,u(x)) φ u (x) dx Page 8

86 4.2 Existence d une solution De même on remarque que In 2 2 σ(x,u(x)) φ u (x). φ u (x)dx = 2 f(x,u(x))φ u (x)dx Et enfin, In 3 σ(x,u(x)) φ u (x). φ u (x) dx = f(x,u(x)) φ u (x) dx On a bien I n 0 d où φ un φ u dans H0() Page 82

87 Chapitre 4 : Etude d un système d équations elliptiques couplées Théorème (Existence d une solution). Sous les hypothèses (H), il existe un couple (u,φ) qui satisfait : u W,p 0 (), φ H0() p< N N σ(x, u(x)) φ(x). ψ(x) dx = (S) v W,q 0 () q>n λ(x, u(x)) u(x). v(x) dx = f(x,u(x)) ψ(x) dx, ψ H 0() σ(x, u(x)) φ(x). φ(x)v(x) dx Preuve Soit u L () et (u n ) n L () telle que u n u dans L (). Première étape : On montre qu il existe une sous suite (u j ) j telle que :. u j u pour presque tout x 2. g uj g u pour presque tout x 3. h L () telle que g uj h On a u n u dans L (), grâce au lemme (4.2.2) on sait que φ un φ u dans L 2 (). On peut donc en extraire une sous suite notée ( φ ui ) i telle que φ ui φ u pour presque tout x et telle qu il existe G L 2 () qui vérifie φ ui G. Mais u i u dans L (), on peut donc encore en extraire une sous suite qu on notera cette fois-ci (u j ) j et telle que u j u pour presque tout x. Par continuité de σ on a alors σ(.,u j (.)) σ(.,u(.)) pp. On rappelle que g u (x) = σ(x,u(x)) φ u (x). φ u (x), de plus sachant que φ uj φ u pp, on a donc g uj g u pp De plus g uj = σ(.,u j (.)) φ uj (.). φ uj (.) σ G 2 L () Page 83

88 4.2 Existence d une solution Deuxième étape : Montrons que ū n converge faiblement dans W,p 0. Soit p < N. Par un résultat de régularité du à Meyers, appliqué N à (2) uj on peut montrer (Cf. [2] ) qu il existe C p > 0 tel que ū j W,p 0 C p g uj L () D après la première étape, on sait que j, g uj σ G 2, donc la suite (ū j ) j IN est bornée dans W,p 0. On peut donc à nouveau en extraire une sous suite, noté (ū k ) k IN qui converge faiblement dans W,p 0. On notera w la limite faible de (ū k ) k IN. Troisième étape : Montrons que w = ū Soit v C c (). On a les propriété suivantes :. λ(x,u k (x)) v λ(x,u(x)) v pp par continuité de λ 2. ū k w faiblement dans W,p q conjugué de p tel que v W,q 0 car v C c (). On peut donc appliquer la convergence dominée, d où : λ(x,u k (x)) ū k v dx λ(x,u(x)) w v dx On a v L et g uk g u pour presque tout x, donc g uk v g u v pour presque tout x. De plus d après la première étape on a σ G 2 v L () et on rapelle que g uk v σ G 2 v. Ainsi par convergence dominée, on a donc : g uk v g u v Cependant sachant que λ(x,u k(x)) ū k v dx = g u k v, on en déduit par unicité de la limite : Page 84

89 Chapitre 4 : Etude d un système d équations elliptiques couplées λ(x,u(x)) w v dx = g u v v C c () La solution à cette équation étant unique (car N = 2) on en déduit que w = ū. D où ū n ū faiblement dans W,p 0. Quatrième étape : Soit F : L () L () l opérateur qui à u L () associe ū la solution du problème (2) u. On remarque que cet opérateur est bien défini, en effet, si u L () alors par le théorème on sait qu il existe une unique solution noté φ u H 0() au problème () u. On a donc g u = σ(.,u(.)) φ u (.). φ u (.) L (). et comme on l a vu dans le paragraphe 3.5 (Etant donné que est suffisament régulier), il existe alors une unique solution au problème (2) u. Nous allons montrer que l opérateur F admet un point fixe u pour montrer l existence d un couple solution de notre système. Pour cela nous allons utiliser le théorème de Schauder, vérifions ces hypothèses. Montons que F est continue Soit u L () et (u n ) n IN L () tel que u n u dans L (), montrons que F(u n ) F(u) dans L (). On a montré dans les étapes précédentes que si u n u dans L (), alors F(u n ) F(u) faiblement dans W,p N 0, pour p [, [. N Donc en particulier : F(u n ) F(u) faiblement dans W, 0 On considère alors l injection compacte de W, () dans L () que l on note i. Or quelque soit u L () par définition du problème (2 u ) on a que F(u) p< W,p N 0 () et donc F(u) W, (). N Comme F(u n ) F(u) faiblement dans W, 0 et que i est un Page 85

90 4.2 Existence d une solution opérateur compact, alors i(f(u n )) i(f(u)) fortement dans L (), d où : Et donc F est continue. F(u n ) F(u) dans L () Montons que F(L ()) est relativement compacte On a vu que quelque soit la suite u n L (), la suite (F(u n )) n IN L () admet une sous-suite convergente dans L (), ce qui revient à dire que F est bien compacte. Conclusion On a verifié les hypotèses du théorème de Schauder, donc l opérateur F admet un point fixe. On a donc trouvé un couple solution de notre système. Page 86

91 Annexe A Application Numerique En guise d ouverture à notre TER, nous nous sommes interressés à la modélisation numerique de divers problèmes. L objectif de ces modélisations est de résoudre numériquement, par la méthode des éléments finis, divers problèmes variationnels de dimension deux. Voici les modélisations auquel nous nous sommes intérréssés.. Modélisation thermique : l équation de la chaleur. 2. Modélisation électro-thermique : le fil éléctrique. 3. Modélisation électro-thermique : dans un cercle. Pour résoudre numériquement les problèmes variationels nous avons utilisé le logiciel FreeFem++, pour ensuite exporter les résultats calculés dans les logiciels Medit et Gnuplot pour sortir des graphiques. Nous n avons pas mis tous les résultats ici, ainsi nous invitons le lecteur à se rendre sur notre site internet, pour pouvoir visualiser tous les graphiques, les animations, et télécharger les sources FreeFem et ces logiciels. Voici l url de notre site : http ://maths.epsylon.org/latex/ter/ Modélisation thermique : l équation de la chaleur Tout d abord, pour une introduction à l utilisation de FreeFem++ nous avons choisi le problème modèle de Laplace dans un domaine carré, on se place donc en dimension 2. Le problème de Laplace répresente l équation de la chaleur en regime permanent, si on avait consideré le problème de Dirichlet on serait en regime transitoire. Pour le terme source f on a choisi plusieurs fonctions a deux variables differentes. Page 87

92 Fig. A. Résolution numérique de Laplace sous FreeFem++ Ensuite nous avons étudié la convergence de la solution donnée par Free- Fem++. C est à dire nous avons vérifié que la solution calculée par FreeFem++ converge bien vers la solution exacte lorsque le pas du maillage tend vers 0. Pour cela on a choisi un terme source f de sorte que la solution du laplacien u soit connue, en réalité on choisit plutot u, puis on calcule à la main f. On calcule alors la solution approchée uh avec FreeFem++, puis on affine la triangulation en augmentant le nombre de noeuds. Page 88

93 Chapitre A : Application Numerique On a pris f(x) = 2x( x) + 2y( y) pour le terme source f puis on a pris u(x) = x( x)y( y) pour la solution exacte calculée a la main. Nous avons alors exporté les données machines, dans le logiciel GNUPLOT pour tracer la courbe de l erreur et vérifier la décroissance de u u h L 2 () et de u u h L 2 (). Fig. A.2 Convergence de Laplace Page 89

94 Modélisation électro-thermique : le fil éléctrique On considere le problème électro-thermique couplé suivant, à savoir la répartition de la chaleur par effet Joule, dans un fil electrique,composé de trois couches de materiaux différents, lorsqu il est parcouru par un courant électrique. Fig. A.3 Fil électrique Fig. A.4 Coupe du fil électrique Page 90