BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL SUJET

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1 SESSION 2013 Antilles - Guyane - Polynésie BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE E4 CULTURE SCIENTIFIQUE ET TECHNOLOGIQUE : MATHÉMATIQUES Toutes options Durée : 2 heures Matériel(s) et document(s) autorisé(s) : Calculatrice Le sujet comporte 6 pages Les annexes A/B et C/D sont à rendre avec la copie SUJET EXERCICE 1 (5 + 2 points) Le salaire annuel d un technicien s élevait pour l année 2010 à Son employeur décide de l augmenter sur plusieurs années. Il lui propose deux choix possibles : Choix A : une augmentation annuelle de 420 ; Choix B : une augmentation annuelle de 2 %. Les résultats seront donnés à l euro près. Pour le choix A : on désigne par U 0 le salaire du technicien pour l année Pour tout entier naturel n, on désigne par U n son salaire pour l année ( n). On admettra que la suite U n pourra être modélisé par : U n+1 = U n et U 0 = Pour le choix B : on désigne par V 0 le salaire du technicien pour l année Pour tout entier naturel n, on désigne par V n son salaire pour l année ( n). On admettra que la suite V n pourra être modélisé par : V n+1 = 1,02V n et V 0 = Compléter le tableau de l annexe A (à rendre avec la copie) en calculant pour les deux choix le salaire du technicien de 2011 à Le choix A pouvant être modélisé par une suite U n quelle est la nature de cette suite? Vous justifierez votre réponse. 3. Le choix B pouvant être modélisé par une autre suite V n quelle est la nature de cette suite? Vous justifierez votre réponse. 4. a. Déterminer dans les deux cas le salaire prévu pour l année b. Quel choix semble le plus intéressant? c. En est-il de même pour l année 2016? 2013-PRO12-NOR-AN-GU-PO 1/6

2 Les questions 5) et 6) de l exercice 1 sont facultatives (elles sont cependant notées sur 2 points) 5. a. Calculer la somme des salaires gagnée pendant 10 ans par le technicien entre 2010 et 2019 s il choisit le choix A. b. Calculer la somme des salaires gagnée pendant 10 ans par le technicien entre 2010 et 2019 s il choisit le choix B. 6. Quelle conclusion pouvez-vous faire? Vous justifierez votre réponse. EXERCICE 2 (7 points) Le but de l exercice est de déterminer la surface d une parcelle délimitée par une route et une rivière. On considère la fonction f définie sur l intervalle [-1 ; 4,5] par : f(x) = -x 3 + 4x². La courbe C représentative de la fonction f et les tangentes horizontales aux points A(0 ; 0) et B ; sont données en annexe B (à rendre avec la copie) Le repère est orthogonal et les unités sur chaque axe du repère représentent 100 mètres. Partie A 1. Montrer que la fonction dérivée, dans l intervalle [-1 ; 4,5], est définie par : f (x) = x(8-3x). 2. Résoudre l équation f (x) = 0 dans l intervalle [-1 ; 4,5]. Les résultats seront arrondis à 10-2 près. 3. Pourquoi les points A et B sont des extremums locaux de la fonction f? 4. Compléter le tableau de variation de la fonction f sur l annexe C (à rendre avec la copie). Partie B La courbe C représente une rivière vue en plan et on considère une parcelle de terrain délimitée par la courbe C, l axe des abscisses (représentant une route nationale) et les droites d équation x = 0 et x = Hachurer sur le graphique de l annexe B cette parcelle. 2. Soit F une fonction définie sur [-1 ; 4,5] par : F(x) = x + x Monter que la fonction F est une primitive de la fonction f sur [-1 ; 4,5]. 3. Calculer par la méthode de votre choix l aire de cette parcelle en hectare à 10-1 près. EXERCICE 3 (8 points) Pour le boisement de la parcelle de l exercice précédent, le service technique a opté pour du chêne, il s est adressé à trois pépiniéristes locaux pour en sélectionner que deux. Les deux critères choisis pour la sélection de deux pépiniéristes sont l homogénéité et la hauteur moyenne des arbustes. Pour cela, une étude statistique est menée. Les résultats sont présentés dans le tableau ci-dessous PRO12-NOR-AN-GU-PO 2/6

3 Hauteur des arbustes (cm) Centre de classe Effectif Pépiniériste 1 Effectif Pépiniériste 2 Effectif Pépiniériste 3 [ 100 ; 110 [ [ 110 ; 120 [ [ 120 ; 130 [ [ 130 ; 140 [ [ 140 ; 150 [ [ 150 ; 160 [ Total Partie A 1. Quel est le pourcentage d arbuste inférieur à 130 cm pour chaque pépiniériste? Arrondir à l unité. 2. Pour le pépiniériste 1, calculer la hauteur moyenne h 1 et l écart type σ 1 à 10-2 près. (Le détail du calcul n est pas exigé et l usage de la calculatrice est souhaité). Pépiniériste 1 Pépiniériste 2 Pépiniériste 3 Hauteur moyenne h (cm) 139,. 133,83 140,83 Écart-type σ (cm) 13,. 17,33 12,69 3. En utilisant les valeurs du tableau ci-dessus, justifier le choix des pépiniéristes 1 et 3 pour la livraison des arbustes. Partie B Pour le boisement de la parcelle il nous faut 100 chênes. 60 % des arbustes proviennent du pépiniériste 1 (P1), le reste provient du pépiniériste 3 (P3). 5 % des arbustes provenant du pépiniériste 1 sont abîmés (racines séchées) 10 % des arbustes provenant du pépiniériste 3 le sont aussi. On choisit un arbuste au hasard dans cette population de chênes. Soient les évènements suivants : Évènement P1 : «l arbuste provient du pépiniériste 1». Évènement P3 : «l arbuste provient du pépiniériste 3». Évènement A : «l arbuste est abîmé». 1. Définir par une phrase l événement A. 2. Avec les informations de la partie B, compléter le tableau 3 de l annexe D (à rendre avec la copie). 3. Compléter le QCM entourant la bonne réponse sur le tableau 4 de l annexe D (à rendre avec la copie). Pour chaque question du QCM, une seule réponse est exacte PRO12-NOR-AN-GU-PO 3/6

4 FORMULES UTILISABLES POUR LA RÉALISATION DU SUJET SUITE Suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r: u 0 + u u n = u 0 + n r et S = u 0 + u u n = (n+1) n 2 Suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q: n 1 q u n = u 0 q n et S = u 0 + u u n = u0 1- q + 1 ANALYSE f (x) f (x) x 1 x n nx (n-1) b Intégrale d une fonction f entre a et b : a f x) dx ( = F(b) F(a) où F est une primitive de F sur [a ;b] PROBABILITES P A = Nombre de cas favorables Nombre de cas possibles P B (A) = P A B P ( B) 2013-PRO12-NOR-AN-GU-PO 4/6

5 MINISTÈRE DE L AGRICULTURE M. EX. EXAMEN : N ne rien inscrire Nom : Spécialité ou Option : (EN MAJUSCULES) Prénom(s) : ÉPREUVE : Date de naissance : 19 Centre d épreuve : Date :... ANNEXE A/B (à compléter et à rendre avec la copie) N ne rien inscrire ANNEXE A Année Rang Salaire choix A Salaire choix B y ANNEXE B y B A x C 2013-PRO12-NOR-AN-GU-PO 5/6

6 MINISTÈRE DE L AGRICULTURE M. EX. EXAMEN : N ne rien inscrire Nom : Spécialité ou Option : (EN MAJUSCULES) Prénom(s) : ÉPREUVE : Date de naissance : 19 Centre d épreuve : Date :... ANNEXE C/D (à compléter et à rendre avec la copie) N ne rien inscrire ANNEXE C x -1 4,5 Signe de f (x) Variation de f Tableau n 3 ANNEXE D P1 P3 Total A 7 A 57 Total 100 Tableau n 4 Choix 1 Choix 2 Choix 3 Choix 4 Quelle est la probabilité de l évènement A : «l arbuste est abîmé» Quelle est la probabilité de l évènement P1 : «l arbuste provient du pépiniériste 1» Sachant que l arbuste provient du pépiniériste 1, quelle est la probabilité l arbuste ne soit pas abîmé? Quelle est la probabilité que l arbuste provienne du pépiniériste 1 et qu il ne soit pas abîmé? 0,07 0,93 1,07 0,03 0,4 0,6 0,57 1 0,05 1,1 0,9 0,95 0,57 0,43 0,95 0, PRO12-NOR-AN-GU-PO 6/6

7 SESSION 2013 Antilles-Guyane-Polynésie BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE E4 CULTURE SCIENTIFIQUE ET TECHNOLOGIQUE : MATHÉMATIQUES Toutes options EXERCICE 1 1) Année Rang Salaire choix A Salaire choix B ) Suite arithmétique de premier terme et de raison r = ) Suite géométrique de premier terme et de raison q = 1,02 4) a) Salaire prévu 2015 A : U 5 = (5 420) = b) B : u 5 = ,02 5 = Pour 2015, le choix A est encore le meilleur mais la différence s amenuise. c) En 2016 : A = B = Cette fois, c est le choix B qui devance de peu le choix A. 5) U S A 9 = 10 9 avec U 9 = (9 420) 2 = S A 9 = 10 = ,02 S B 9 = U 0 10 = ,02 6) Sur une longue période, il vaudra mieux choisir la formule d augmentation B car la somme des salaires est supérieure.

8 EXERCICE 2 Partie A 1) f (x) = - 3x² + 8x f (x) = x (- 3x + 8) 2) f (x) = 0 x = 0 ou -3x + 8 = 0-3x = x = 3 2,67 3) Parce que A et B représentent des valeurs qui ne sont, ni les plus petites, ni les plus grandes de f(x). Sur un intervalle précis, A présente une inflexion minimum et B présente une inflexion maximum. x ,67 4,5 Signe de f (x) Variation de f ANNEXE C Partie B

9 2) F (x) = - 1 4x³ x² = - x³ + 4x² F(x) est donc primitive de f(x) 4 0 3) Aire = f(x) dx = F(4) - F(0) = ³ Aire = ,33 = 21,33 unités d aire Soit 21,3 hectares à 10-1 près EXERCICE 3 PARTIE A 1) Pépiniériste 1 : Pépiniériste 2 : Pépiniériste 3 : = 22 % = 35 % = 17 % 2) hauteur moyenne h 1 = 139, 83 cm σ 1 = 13,72 cm 3) Ce sont ceux qui ont les arbres de plus hautes tailles avec un minimum d écart dans leurs séries. h 1 et h 3 > à h 2 σ 1 et σ 3 < à σ 2 PARTIE B 1) A : «l arbuste est sain» 2) Tableau n 3 P1 P3 Total A A Total ) Tableau n 4

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