OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES 2011 ACADEMIE DE BESANÇON

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Roger Brosseau
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1 OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES 2011 ACADEMIE DE BESANÇON Durée : 4 heures Les clcultrices sont utorisées. Le sujet comprend qutre exercices indépendnts qui peuvent être trités dns l'ordre que vous urez choisi. Recommndtions Il est importnt que vous rgumentiez vos ffirmtions. De plus, même si vous n boutissez ps à l solution complète d une question, vous êtes invité à décrire votre recherche et votre démrche, un résultt même prtiel pouvnt voir son intérêt. Corrigés Vous pourrez consulter les corrigés de ces exercices prochinement en vous connectnt à l dresse http : // ctice.c-besncon.fr/mthemtiques/olympides-1s

Recommndtions Il est importnt que vous rgumentiez vos ffirmtions.

Exercice ntionl 1 : Essuie-glces (les prties 1, 2 et 3 sont indépendntes) On se propose de clculer l ire de l surfce essuyée pr plusieurs modèles de blis d essuie-glce d un véhicule.

2 Exercice ntionl 1 : Essuie-glces (les prties 1, 2 et 3 sont indépendntes) On se propose de clculer l ire de l surfce essuyée pr plusieurs modèles de blis d essuie-glce d un véhicule. On considèrer que les pre-brises sont des surfces plnes. 1. Un premier véhicule est équipé d un seul bli porté pr une tige métllique de 60 cm, modélisée pr un segment [OB]. Soit A le point de [OB] tel que OA = 15 cm. Le bli en coutchouc est lors modélisé pr le segment [AB] (voir figure 1 ci-dessous). Déterminer l vleur excte de l ire de l surfce essuyée pr le bli, en dmettnt que celui ci décrit utour du point O un ngle de 180. En donner une vleur rrondie u cm 2 près. Fig Le pre-brise d un second véhicule possède deux essuie-glces modélisés pr deux segments [OB] et [O B ] de même longueur R, l un tournnt l un utour d un point O, l utre utour d un point O, tels que OO = R (voir figure 2 cidessous). Ces blis en coutchouc couvrent l longueur totle de chque segment. L extrémité de chque segment décrit un demi-cercle u-dessus de l droite (OO ). Déterminer l ire de l surfce du pre-brise essuyée pr les blis. Fig. 2

Soit A le point de [OB] tel que OA = 15 cm. Le bli en coutchouc est lors modélisé pr le segment [AB] (voir figure 1 ci-dessous).

3 3. Un troisième véhicule est équipé d un essuie-glce dont le support métllique est modélisé pr l réunion de deux segments (voir l figure 3 ci-dessous) : un segment [AB], qui porte le bli en coutchouc sur toute s longueur, et un segment [OC] qui relie le centre de rottion O à un point C du segment [AB] tels que OCA= 30, CB = 4 CA et OC = 3 CA. On pose CA =. Fig. 3. Démontrer que le tringle AOC est isocèle. b. Lorsqu il essuie le pre-brise du véhicule, l essuie-glce tourne utour du point O. En début de course le bli en coutchouc est en position horizontle : les points A, B et C coïncident respectivement vec les points M, N et P du pre-brise tels que [MN] est horizontl (voir l figure 4 ci-dessous). En fin de course A, B, C coïncident respectivement vec les points M, N et P du pre-brise tels que le segment [OM ] est horizontl. Déterminer l ngle dont tourné le dispositif utour du point O pour psser d une position à l utre, puis exprimer en fonction de l ire de l surfce essuyée pr le bli. Fig. 4

b. Lorsqu il essuie le pre-brise du véhicule, l essuie-glce tourne utour du point O.

Exercice Ntionl 2 : Le singe suteur J i un petit singe suteur qui psse son temps à fire des bonds sur une demi-droite grduée en choisissnt d ller vers l vnt ou vers l rrière.

4 Exercice Ntionl 2 : Le singe suteur J i un petit singe suteur qui psse son temps à fire des bonds sur une demi-droite grduée en choisissnt d ller vers l vnt ou vers l rrière. Le nombre n est dit tteignble si le singe peut, en prtnt de l origine (position d bscisse 0), tteindre l position d bscisse n en exctement n bonds successifs (en vnt ou en rrière) de longueurs 1, 2,, n (effectués dns cet ordre) et sns jmis sortir du segment [0 ; n]. Pr exemple : Le nombre 1 est tteignble en un bond. Mis le nombre 2 ne l est ps cr, près voir fit le bond de longueur 1 (qu il est obligé de fire vers l vnt), s il fit un bond de longueur 2 en vnt ou en rrière il sort de l intervlle [0 ; 2].. Le nombre 3 n est ps tteignble pour une utre rison : près voir fit un bond de longueur 1 et un utre de longueur 2 vers l vnt, il est obligé de fire un bond de longueur 3 vers l rrière (sinon il sort de l intervlle [0 ; 3]) et se trouve sur le nombre 0 u lieu de 3.

n (effectués dns cet ordre) et sns jmis sortir du segment [0 ; n]. Pr exemple : Le nombre 1 est tteignble en un bond.

5 Questions 1. Montrer que le nombre 4 est tteignble et ceci d une seule fçon. 2. Montrer que le nombre 5 n est ps tteignble. On peut montrer de l même fçon que les nombres 6, 7 et 8 ne sont ps tteignbles ; ce résultt est dmis. 4. Le nombre 9 est-il tteignble? Pour l suite, on rppelle que, pour tout nombre entier m, on :1 2 3 m m(m 1) Montrer que tous les nombres entiers qui sont des crrés sont tteignbles Montrer que si le nombre entier n est tteignble lors le produit n(n 1) est divisible pr 4. En déduire une condition sur l entier n pour qu il soit tteignble L réciproque de cette proposition est-elle vrie? 7. On suppose N 6 et tteignble pr une séquence qui commence pr Montrer que N+4 est ussi tteignble.

Pour l suite, on rppelle que, pour tout nombre entier m, on :1 2 3 m m(m 1) 2. 5. Montrer que tous les nombres entiers qui sont des crrés sont tteignbles. 6. 6.1. Montrer que si le nombre entier n est tteignble lors le produit n(n 1) est divisible pr 4.

6 Exercice cdémique 3 : L énigme du puzzle b $1$ Pièce n 1 b Pièce n 3 Pièce n 4 Pièce n 2 Dns un crré de côté c, on construit un puzzle de qutre pièces comme trcé ci-dessus. On donc c b. On essie lors d ssembler les qutre pièces en un rectngle comme trcé ci-dessous. Le rectngle souhité ur donc pour longueur L 2 b et pour lrgeur l. + b Pièce n 1 Pièce n 3 Pièce n 4 Pièce n 2 + b

On essie lors d ssembler les qutre pièces en un rectngle comme trcé ci-dessous.

7 1.. Reproduire les deux dessins vec 5 cm et b 3 cm. b. Le puzzle est-il exct (c est-à-dire à l ide des pièces du crré initil, ssemble-t-on exctement un rectngle)? Justifiez votre réponse. 2. On suppose dns cette question que le puzzle est exct.. Trouver une reltion lint et b. On pourr risonner sur l ire du rectngle à reconstituer. b. Déterminer quelle(s) vleur(s) peut lors prendre le quotient b. Les mthémticiens ont montré qu il n existe ps de solution excte u puzzle si on veut que les côtés soient tous les nombres entiers. 3. On recherche donc des couples b, d entiers pour lesquels le puzzle est stisfisnt visuellement sns être prfitement exct. 2 2 Une solution b, est dite «presque excte» si b b vut 1 ou 1.. Le puzzle rélisé en question 1. est-il presque exct? b. Démontrer que si, excte. b est une solution presque excte, lors b, est ussi une solution presque c. Trouver insi quelques solutions presque exctes.

Les mthémticiens ont montré qu il n existe ps de solution excte u puzzle si on veut que les côtés soient tous les nombres entiers. 3.

8 Exercice cdémique 4 Une corde tout utour de l Terre sommet de l tour Dns cet exercice, on estimer l circonférence de l Terre à km. On tend une corde tout utour de l Terre h Tour corde B (celle-ci est supposée ici prfitement sphérique). Question 1 (cf Fig.1) R De quelle longueur fut-il llonger l corde pour pouvoir à présent l fixer u sommet A de piquets d un mètre de hut réprtis tout utour de l Terre (on suppose que l Terre corde forme de l corde reste circulire). Question 2 (cf Fig.2) Terre L corde ynt été insi rllongée, on décide de supprimer les piquets et de Fig.1 Fig.2 tendre à nouveu l corde utour de l terre. On rrime lors l corde u sommet d une tour. Quelle est l huteur de l tour, schnt qu ux points de contct A et B, l corde est tngente u cercle? Indictions pour l question 2 : on noter O le centre du cercle, S le sommet de l tour et AOB. l moitié de l ngle u centre ) Clculer l longueur de chcun des deux segments AS et SB en fonction de. b) Clculer en fonction de l longueur de l rc de cercle d extrémités A et B où l corde reste en contct vec l terre. c) En déduire une éqution vérifiée pr l ngle. d) On dmettr que l ngle est suffismment petit pour utiliser l pproximtion : En déduire, à l ide de votre clcultrice, une vleur pprochée de l ngle et finir l exercice. tn 3 3.

1) R De quelle longueur fut-il llonger l corde pour pouvoir à présent l fixer u sommet A de piquets d un mètre de hut réprtis tout utour de l Terre (on suppose que l Terre corde forme de l corde

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