Corrigé Exercice 1 : PORTES RETRACTABLES

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1 TD 03 corrigé - Performances e Modélisaion des SCI (équa. dif. + aplace) Page 1/6 Corrigé Exercice 1 : PORTES RETRACTABES Quesion 1 : Évaluer, dans chacun des cas e en uilisan les crières proposés, les performances du sysème de pores réracables. Quesion : Donner le réglage qui perme d avoir le sysème le plus rapide. Donner aussi celui qui perme d avoir le sysème le plus précis. Quesion 3 : Indiquer les risques liés au fai d avoir une valeur du 1 er dépassemen rop élevée sur un el sysème. Réglage N 1 Erreur saique : ( ) 1 ( ) 1m Temps de réponse à 5% : r 5% 3s D1 s( 1) s( ) D1 0m 1 er dépassemen relaif : D 0% Réglage N Erreur saique : ( ) 10,95 ( ) 0,05m Temps de réponse à 5% : r 5% 0,1s D1 s( 1) s( ) D1 0m 1 er dépassemen relaif : D 0%

2 TD 03 corrigé - Performances e Modélisaion des SCI (équa. dif. + aplace) Page /6 Réglage N 3 Erreur saique : ( ) 11 ( ) 0m Temps de réponse à 5% : r 5% 5,s D1 s( 1) s( ) D1 1,3 1 D1 0,3m D1 D s( ) 0,3 D 1 1 er dépassemen relaif : D 0,3 30 D 100 D 30% Réglage N 4 Erreur saique : ( ) 11 ( ) 0m Temps de réponse à 5% : r 5% 5,1s D1 s( 1) s( ) D1 1,7 1 D1 0,7m D D 1 er dépassemen relaif : D D D D1 s( ) 0,7 1 0, % e réglage donne une meilleure rapidié au sysème, mais es moins précis que d aures réglages. Pour obenir une précision irréprochable, il fau mieux s oriener vers les réglages 3 e 4. En conreparie, ces réglages renden le sysème moins sable Enfin, le risque avec de grands dépassemens, es que les deux pores renren en collision.

3 TD 03 corrigé - Performances e Modélisaion des SCI (équa. dif. + aplace) Page 3/6 Corrigé Exercice : MODÉISATION D UN FOUR. Quesion 1 : Déerminer la ransformée de aplace de l équaion précédene. En déduire S(p) en foncion de E(p). d s( ) ds( ) s( ) e( ) d d. p. S( p) 6. p. S( p) 4. S( p) E( p) E( p) Soi Sp ( ). p 6. p 4 Quesion : Sachan que e() es un échelon d ampliude, déerminer e() puis E(p). e( ) pour 0 e( ). u( ) E( p) e( ) 0 pour 0 p (en uilisan la foncion d Heaviside u()) Quesion 3 : En déduire S(p) en foncion des consanes, K e. Sp ( ) (. p 6. p 4 ). p e( ). u( ) Quesion 4 : Déerminer les limies de s() en 0+ e selon les héorèmes de la valeur iniiale e finale. Puis déerminer la pene de la angene à l origine, e enfin racer l allure de s(). Ordonnée à l origine : s(0 ) lim s( ) lim p. s( ) lim p. S( p) 0 0 p p s( ) lim s( ) lim p. s( ) lim p. S( p) p0 p0 4 Ordonnée en : s '(0 ) lim s '( ) lim p. s '( ) lim p. ps( p) s(0 ) lim p. S( p) 0 0 p p p a angene à l origine es donc horizonale. Pene de la angene à l origine : NB : Heureusemen que l'on rerouve s(0)=s'(0)=0 car ces condiions avaien éé posées en débu de problème 4 s() 0 Quesion 5 : Que fau-il faire pour que le sysème soi précis? Il fau que ende vers donc que K 4 4 Quesion 6 : Quelle aurai éé l'allure de la courbe de s(), si s() e s'() avaien eu des condiions iniiales (exemple, le four déjà chaud, es dans une phase de monée en empéraure, puis à =0s on lui donne comme consigne une valeur de empéraure plus faible que celle qu'il a à =0s). En régime permanen, la réponse es indépendane des condiions iniiales. s(0) 4 0 Pene de la angene : s'(0) s() (avec condiions iniiales) s1() (sans condiion iniiale)

4 TD 03 corrigé - Performances e Modélisaion des SCI (équa. dif. + aplace) Page 4/6 Quesion 7 : A ire indicaif, déerminer précisémen la ransformée inverse s() de S(p) selon la méhode du cours. Sp ( ) (. p 6. p 4 ). p avec p qui a pour racines e. p 6. 4 A B C Sp ( ).( p ).( p ). p p p p A : muliplier S(p) par (p+ ) e faire endre p vers lim ( p ). S( p) A A p.( ).( ). B : muliplier S(p) par (p+ ) e faire endre p vers lim ( p ). S( p) B B p.( ).( ) 4. C : muliplier S(p) par (p) e faire endre p vers 0 lim ( p). S( p) C C p0.( ).( ) 4. A B C 1.. s( ) A. e B. e C pour 0.. S( p) s( ) A. e B. e C. u( ) p p p s( ) 0 pour 0 (en uilisan la foncion d Heaviside u()) Corrigé Exercice 3 : RÉSOUTION D ÉQUATION DIFFÉRENTIEE 1. Quesion 1 : Résoudre l équaion différenielle d y( ) dy( ) y( ) 3. e d d avec y(0) 1 e y '(0) 5.. p. Y( p) p. y(0) y '(0) 8. py. ( p) y(0) 8. Y( p) p 1 3. p. Y( p) p 5 8. py. ( p) 1 8. Y( p) p 1 3 Y( p).. p 8. p 8. p p (. p ).( p 1) Y( p).. p 8. p 8 p 1 3. p. p. p Yp ( ) ( p 1).(. p 8. p 8). p 1 Yp ( ).( p1).( p)

5 TD 03 corrigé - Performances e Modélisaion des SCI (équa. dif. + aplace) Page 5/6. p 1 A B C Yp ( ).( p 1).( p ) p1 p ( p ) A : muliplier Y(p) par (p+1) e faire endre p vers -1.( 1) 1 lim ( p 1). Y( p) A p1.( 1) C : muliplier Y(p) par (p+) e faire endre p vers -.( ) 1 lim ( p ). Y( p) C p.( 1) B : muliplier Y(p) par (p+) e faire endre p vers lim ( p ). Y( p) A B p 3 A C B 9 1 Rappel : 5 8. x 3. x 8 lim x 5 4. x x x 3. x lim x 5 4. x x 5 8. x 3. x lim 0 x 6 4. x x A B C 1.. y( ) A. e B. e C.. e pour 0.. Y( p) y( ) A. e B. e C.. e. u( ) p 1 p ( p ) y( ) 0 pour 0 (en uilisan la foncion d Heaviside u()) Quesion : Revalider les condiions iniiales selon le héorème de la valeur iniiale. Puis, déerminer la limie de y() en selon le héorème de la valeur finale.. p 1 y(0 ) lim y( ) lim p. y( ) lim py. ( p) lim p. 1 0 p p p.( p1).( p). p 1 y '(0 ) lim y '( ) lim p. y '( ) lim p. py( p) y(0 ) lim p. p. 1 0 p p p.( p1).( p) 3 p.(. p 1).( p 1).( p ). p p.( p 1).( p 4. p 4) y '(0 ) lim p. lim p. p.( p 1).( p ) p.( p 1).( p ) 3 3. p p. p 8. p 8. p. p 8. p p 15. p 8 10 y '(0 ) lim p. lim p. 5 p.( p 1).( p ) p.( p 1).( p ). p 1 y( ) lim y( ) lim p. y( ) lim py. ( p) lim p. 0 p0 p0 p0.( p1).( p) Corrigé Exercice 4 : TRANSFORMÉE DE APACE INVERSE.. p 5. p Xp ( ) 1 1. p 11. p 11. p ( p ) 1 5,5. x( ) ( ) 3. e pour 0 Avec () x( ) 0 pour 0 impulsion de Dirac

6 TD 03 corrigé - Performances e Modélisaion des SCI (équa. dif. + aplace) Page 6/6 Corrigé Exercice 5 : DÉRIVATION. Quesion 1 : rire les ransformées de aplace de f '( ) e ''( ) déduire "logiquemen" f '''( ), f ''''( ) e f '''''( ). '( ). ( ) (0 ) ''( ). ( ). (0 ) '(0 ) f p F p f f p F p p f f f '''( ) p. F( p) p. f(0 ) p. f '(0 ) f ''(0 ) f ''''( ) p. F( p) p. f(0 ) p. f '(0 ) p. f ''(0 ) f '''(0 ) f '''''( ) p. F( p) p. f(0 ) p. f '(0 ) p. f ''(0 ) p. f '''(0 ) f ''''(0 ) Explicaion pour déerminer f ''( ) à parir de '( ) f : ( f ')'( ) p. f '( ) f '(0 ) p. p. F( p) f(0 ) f '(0 ) p. F( p) p. f(0 ) f '(0 ) f avec leurs condiions iniiales. En Corrigé Exercice 6 : RÉSOUTION D ÉQUATION DIFFÉRENTIEE. C B A qui a pour asympoe en +, 1 la droie y () 9 3