Extrait du programme : Chapitre X : Géométrie dans l espace

Transcription

1 Extrait du programme : Chapitre X : Géométrie dans l espace

2 Chapitre X-B Vecteurs et repère de l espace Les définitions et les calculs des vecteurs du plan peut être étendus à l espace. I. Vecteurs La notion de vecteur vue dans le plan se généralise dans l espace : un vecteur de l espace est défini par une direction, un sens et une longueur. Etant donné un vecteur u de l espace et un point A, il existe un unique point B tel que u = AB. Le vecteur nul, noté 0 est tel que O = AA = BB = etc. Toutes les règles de calculs, addition (relation de Chasles, du parallélogramme), multiplication par un scalaire sont étendues à l espace En particulier : Propriété : soient A, B, C, D quatre points de l espace. AB = CD si et seulement si ABDC est un parallélogramme (de l espace) Exemple : Dans ce cube, Et EB + BC = EC u = AB = EF = DC = HG Définition : deux vecteurs u et v non nuls sont colinéaires lorsqu ils ont la même direction. Le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur de l espace. Propriétés : - deux vecteurs u et v sont colinéaires lorsqu il existe un nombre k tel que - Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si - Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si u = k v AB et AC sont colinéaires. ABet CDsont colinéaires. II. Caractérisation vectorielle d une droite et d un plan de l espace. Soit A un point de l espace et u un vecteur non nul de l espace. L ensemble des points M tels que AM = k u avec k réel quelconque, est une droite passant par A de vecteur directeur u. Soit A un point de l espace ; u et v deux vecteurs non colinéaires l ensemble des points M tel que AM = x u + y v (x et y étant deux réels quelconques) est un plan (P) passant par A. On dit que (P) est le plan de repère ( A; u ; v ) et que ( u ; v ) est une couple de vecteurs directeurs du plan qui détermine la direction de ce plan. ( u ; v ) est une base de (P).

3 Propriété : deux plans définis par deux points A et A et deux mêmes couples de vecteurs directeurs non colinéaires ( u ; v ) sont parallèles. III. Vecteurs coplanaires Définition : Les vecteurs u, v et w sont coplanaires si et seulement s ils peuvent être représentés l aide de points appartenant à un même plan. On peut choisir 3 représentants d origine O, on a alors : O, A, B et C quatre points de l espace tel que OA = u, OB = v, OC = w. Les vecteurs u, v et w sont coplanaires si et seulement si les points O, A, B et C sont dans un même plan. Propriété : - Si deux vecteurs parmi les vecteurs coplanaires - Si u, v et w sont colinéaires, alors u, v et w sont u, v et w sont tels que les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires, alors : u, v et w coplanaires si et seulement si il existe des réels a et b tels que w = a u + b v Point-méthode 52 : Montrer que des vecteurs sont coplanaires ABCD est un tétraèdre. Soit I le milieu de [AB] et J le milieu de [AC]. Les points E et F sont définis par les égalités vectorielles BE = 1,5 BC et AF = DE. 1. Exprimer DA + DB en fonction de DI. 2. Démontrer que DF 2 DI = 3 IJ 3. En déduire que DI, DJ et DF sont coplanaires. 4. Que peut-on dire des points D, I, J et F? Solution : 1. Pour démontrer une égalité vectorielle, il peut être utile d utiliser la relation de Chasles. DA + DB = DI + IA + DI + IB = 2 DI Car I milieu de [AB] donc 2. DF 2 DI = = DA + AF DB = DE + = BE = 1,5 BC DB AF DA DB Or d après le théorème des milieux dans ABC, on a Ainsi, DF 2 DI = 3 IJ On introduit I afin de faire apparaitre IA + IB = 0 on introduit A car on connait IJ = 1 2 BC DI AF

4 3. pour démontrer que trois vecteurs sont coplanaires, on peut en exprimer un en fonction des deux autres. DF 2 DI = 3 IJ donc DF 2 DI = 3 ID + 3 DJ DF = 5 DI + 3 DJ DF peut être écrit comme une combinaison des 2 autres donc DF, DI et DJ sont coplanaires. 4. Puisque DF, DI et DJ sont coplanaires, D, I, F et J le sont aussi. IV. Repérage de l espace Définition : Un repère de l espace noté ( O; i ; j ; k ) est formé d un point O de l espace et d un triplet de vecteurs non coplanaires. Coordonnées d un point : Soit ( O; i ; j ; k ) un repère de l espace. Pour tout point M de l espace, il existe un unique triplet ( x;y;z ) de nombres réels tels que OM = x i + y j + z k. x est l abscisse, y est l ordonnée et z la cote du point M de ce repère. Coordonnées d un vecteur : Soit ( O; i ; j ; k ) un repère de l espace. Au vecteur u associons le point M tel que OM = u. Par définition, les coordonnées de u sont les coordonnées ( x;y;z ) de M. x On note u y. Ainsi, tout vecteur u s écrit de manière unique u = x i + y j + z k z Calculs sur les coordonnées : Tous les résultats de géométrie plane concernant les coordonnées s étendent à l espace par l adjonction d une troisième coordonnée. x Soient u y et z u = u = u + k u x' v y' 2 vecteurs dans une base ( i ; j ; k ) z' 0 x = 0 y = 0 z = 0 v x = x y = y z = z x + x' v y + y' z + z' kx ky kz

5 Soient A ( x A ;y A ;z A ) et B ( x B ;y B ;z B ) et I le milieu de [AB] AB x B x A y B y A z B z A AB = ( x B x A ) ² + ( y B y A ) ² +(z B z A ) ² I= x A + x B y A + y B z A + z B Point-méthode 53 : Démontrer un alignement avec des coordonnées L espace est muni d un repère ( O; i ; j ; k ). On considère les points A ( 7; 3;0 ), B ( 0;4;7 ), C ( 0;0;5 ), D ( 5;5;0 ) et G ( 7;3;22 ). Calculer les coordonnées de L et K tels que CK = 0,6 CD. En déduire que les points G ; K ; L sont alignés. Solution : Pour démontrer que 3 points sont alignés, on peut démontrer la colinéarité de vecteurs. Soit L ( x L ;y L ;z L ). On a BL = Puisque 7 BL = BA on a : x L 0 y L 4 et BA= 7 7 z L 7 7 7x = 7 L 7y L 28 = 7 d où L ( 1;3;6 ) 7z L 49 = 7 Soit K ( x K ;y K ;z K ). A l aide de l égalité CK = 0,6 CD on obtient y K = 0,6 5 0,6 5 z K 5 0,6 ( 5 ) Et donc K ( 3;3;2 ). On a donc : GK = 10 0 et KL = donc GK = 5 KL. 4 Les vecteurs GKet KL sont colinéaires donc les points G, K, L sont alignés. x K BA= 7 BL et Point-méthode 54 : Démontrer la coplanarité de 4 points avec les coordonnées. L espace est muni d un repère ( O; i ; j ; k ). On considère les points A(1 ;0 ;1), B(2 ;2 ;4), C(3 ;0 ;5) et D ( 5; 4;7 ). Démontrer que les points A, B, C et D sont coplanaires. Solution : pour démontrer que des points A, B, C et D sont coplanaires, il suffit de prouver que les vecteurs AB, AC et AD sont coplanaires.

6 On a AB= 1 2, AC= et AD= Comme AB et AC ne sont pas colinéaires, démontrer que A, B, C, D sont coplanaires revient à trouver deux réels et tel que AB = AB + AC 4 = + 2 Ceci se traduit par : 4 = 2 6 = On obtient = 2 et = 3 avec les deux premières équations. Et on s addure que la troisième égalité est vérifiée avec ces valeurs. On a donc : Les vecteurs AD = 2 AB + 3 AC AB, AC et AD sont coplanaires, donc les points A, B, C et D également.