Université de Cergy-Pontoise Calcul Diff S6 M. Topologie

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1 Université de Cergy-Pontoise Calcul Diff S6 M Topologie 1 Espaces métriques 1.1 Distance Dans toute cette partie E représente un ensemble qui n est pas forcément un espace vectoriel. Définition 1.1 On appelle distance sur E tout application de E E dans R + telle que i) x, y E, d(x, y) = 0 ssi x = y, ii) x, y E, d(x, y) = d(y, x), iii) x, y, z E, d(x, y) d(x, z) + d(z, y). On dit alors que (E, d) est un espace métrique. Exemples : 1) Les espaces vectoriels normés. 2) Les distances sur une sphère. 3) La distance grossière. 4) Définir sur une distance sur les mots d un dictionnaire. sup x,y A Pour tout ensemble non vide A E on appelle le diamètre de A diam(a) = d(x, y) [0, + ]. Pour tous A, B E, deux ensembles non-vides, on appelle distance entre A et B d(a, B) = d(x, y). Attention contrairement à son nom, cette application inf (x,y) A B n est pas une distance mais signalons le résultat suivant, pour tout A, B, C E, 1.2 Topologie métrique d(a, C) d(a, B) + diam(b) + d(b, C). Sur tout espace métrique (E, d) on peut définir une topologie en définissant: 1) Les boules ouvertes (notée B(x, r)) et les boules fermées (notées B(x, r)). 2) Les ensembles ouverts (O est ouvert ssi pour tout x O, il existe r > 0 tel que B(x, r) O). 3) Les ensembles fermés (F est fermé ssi c F est ouvert). 1

2 On remarquera que toute union (infinie ou pas, dénombrable ou pas) d ouverts est un ouvert et que toute intersection de fermés est un fermé. Toute intersection finie d ouverts est un ouvert, toute union finie de fermés est un fermé. On peut alors définir l intérieur et l adhérence d un ensemble: Pour tout ensemble A de E, on définit l intérieur de A comme le plus grand ouvert contenu dans A, on le note A (On montre son existence en prenant l union de tous les ouverts contenus dans A). Pour tout ensemble A de E, on définit l adhérence de A comme le plus petit fermé contenant A, on le note A (On montre son existence en prenant l intersection de tous les fermés contenant A). Signalons que x A ssi d(x, A) = 0. On peut définir la notion de suite convergente dans (E, d). Il est alors facile de montrer qu un ensemble A est fermé ssi toute suite d éléments de A, (x n ) convergente, a sa limite dans A. 1.3 Continuité Enfin si (E, d) et (F, d ) sont deux espaces métriques, on peut définir les notions de limites ou de continuité d une fonction f : E F en un point x E: f est continue en x ssi ε > 0, η > 0, f(b E (x, η)) B F (f(x), ε) Proposition 1.2 Soit f : (E, d) (F, d ). Les propositions suivantes sont équivalentes: i) f est continue en tout point de E. ii) L image réciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert de E. iii) L image réciproque de tout fermé de F est un fermé de E. On montre que i) et ii) sont équivalentes dans cette propriété en notant que la définition de la continuité en un point x 0 peut se traduire par: ε > 0, x 0 { }} { f 1 (B F (f(x 0 ), ε)). Enfin on montre que ii) et iii) sont équivalentes en notant que pour tout ensemble B F, f 1 (F \ B) = E \ f 1 (B). 1.4 Compacts Dans toute cette partie (E, d) est un espace métrique. 2

3 Définition 1.3 On dit que K E est compact si et seulement de recouvrement de K par des ouverts, il existe un sous-recouvrement fini. On montre facilement que si F K, avec K compact et F fermé, alors F est compact (On complète les recouvrements de F par c F pour construire un recouvrement de K). On montre aussi facilement que si K est compact alors K est fermé (on montre que son complémentaire est ouvert, en prenant x / K, on note que K c B(x, 1 )) et que son diamètre est fini (on écrit que pour x K, n K n N n N B(x, n)). Proposition 1.4 Si K est un compact de E, alors (K, d) est complet. Preuve : Soit (x n ) une suite de cauchy de K, on peut extraire une sous-suite (x ϕ(n) ) telle que B n = B(x ϕ(n), 1 ) soit une suite emboitée de fermée. On étudie B n n. Cet n N ensemble a un diamètre nul, soit il est vide, soit il est restreint à un point. S il est restreint à un point x alors (x n ) converge vers x de manière immédiate. Si il est vide alors on peut recouvrir K par c B n. K étant compact, on peut en extraire un sous-recouvrement fini. La suite (B n ) étant emboitée on aurait donc il existe n 0 tel que K c B n0, ce qui est absurde puisque pour tout n n 0, x n K B n0. Proposition 1.5 Si f est une application continue de E dans F deux espaces métriques, alors pour tout K compact de E, f(k) est un compact de F Si on recouvre f(k) par une famille d ouverts (O i ), alors on a un recouvrement de K par les ouverts (f 1 (O i )). En extrayant un sous-recouvrement fini de K, on obtient un sous-recouvrement fini de F (K). Si (E 1, d 1 ) et (E 2, d 2 ) sont des espaces mètriques, on peut munir E 1 E 2 de la mètrique définie par d((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = min{d 1 (x 1, y 1 ), d 2 (x 2, y 2 )} (on parle de mètrique (topologie) produit). Proposition 1.6 Si K 1 est un compact de (E 1, d 1 ) et K 2 est un compact de (E 2, d 2 ), alors K 1 K 2 est un compact de (E 1 E 2, d). Il suffit de remarquer qu un ouvert de E 1 E 2 s écrit comme le produit O 1 O 2 de deux ouverts de E 1 et E 2. Donc tout recouvrement de K = K 1 K 2 par des ouverts peut s crire comme le recouvrement par des ouverts du type (O 1 i O 2 j ). On conclut en notant que (O k i ) forme un recouvrement de K k. Proposition 1.7 Un ensemble K est compact si et seulement si de toute suite de K on peut en extraire une sous-suite convergente. 3

4 Preuve : Soit K un compact de E, soit (x k ) une suite de K, on note X l adhérence de {x k, k N}. Pour tout n, on remarque que B(x k, 1 ) forment un recouvrement n de X qui est compact, on en déduit que pour tout n, il existe k n et une sous-suite (x ϕn(k)) qui soit dans B(x kn, 1 ). On conclut en utilisant un procédé itératif et n diagonal. On suppose que de toute suite de K on peut extraire une sous-suite convergente. Soit (O i ) une famille d ouverts recouvrants K. On va raisonner par l absurde, on suppose donc qu aucune réunion finie par des ouverts O i ne contienne K. Il existe x 0 K tel que d 0 = sup{d(x 0, c O i ), i I} > 0, on se fixe alors i 0 tel que d(x 0, c O i0 ) d 0 2. Par récurrence on construit alors une suite (x n) tel que x n+1 K et x n+1 / k n O ik, d n+1 = sup{d(x n+1, c O i ), i I} et on se fixe alors i n+1 tel que d(x n+1, c O in+1 ) d n+1 2. La suite (x n) admet donc une sous-suite convergente vers une limite x. On conclut en considérant un ouvert O j contenant x, en notant que d = sup{d(x, c O i ), i I} > d(x, c O j ) > 0. Proposition 1.8 Si f est une application continue de K un compact dans F un espace métrique, alors f est uniformément continue sur K. En raisonnant par l absurde, on peut construire deux suites de K, (x n ) et (y n ) telles que (d(x n y n )) converge vers 0 mais (d(f(x n ), f(y n ))) est minorée par une constante strictement positive. On conclut en extrayant des sous-suites de (x n ) et (y n ) communes et convergentes. 2 Espaces vectoriels normés Définition 2.1 Soit E un espace vectoriel. On appelle norme sur E toute application N de E dans R + qui vérifie les trois points suivants: 1) N(x) = 0 ssi x = 0 E. 2) Pour tout λ R et pour tout x E, N(λx) = λ N(x). 3) Pour tous x, y E, N(x + y) N(x) + N(y). On dit que (E, N) un espace vectoriel normé. Lemme 2.2 (Lemme de Riesz) Soit M un s.e.v fermé de E distinct de E. Il existe une suite (u n ) telle que u n = 1 et ( d(u n, M) ) tend vers 1. On note que si d(v, M) = 0 alors v M car M est fermé. Soit v / M alors d(v, M) = d > 0. Pour tout n > 0, il existe x n M tel que (n + 1)d d v x n <. On pose u n = v x n n v x n. Pour tout m M, u n m = v (x n + v x n m), v x n 4

5 et m x n + v x n m définit une bijection de M dans M. On en déduit immédiatement que d(u n, M) = converge vers 1. d v x n et on a bien (d(u n, M)) n N Théorème 2.3 (Riesz) La boule unité fermée de E est compacte si et seulement si E est de dimension finie. Attention, cela ne veut pas dire que tout compact est inclus dans un espace vectoriel de dimension fini. On montre l implication avec une construction par récurrence. On admet la réciproque pour l instant qui nécessite l équivalence des normes en dimension finie ce qui sera démontré ultérieurement. Proposition 2.4 Soit E un espace vectoriel normé de dimension infinie et K un compact de E, alors E \ K est connexe par arc. Soit x / K. On sait que E \ K est ouvert donc il existe r > 0 tel que B(x, r) K =. Si pour tout y B(0, 1), il existe λ > 0, x + λy K alors de toute suite de (y n ) de B(0, 1), on peut associer une suite (z n ) de K telle que z n = x + λ n y n avec λ n > r. K étant compact (z n ) admet une sous-suite convergente, or ( 1 λ n ) est bornée, on peut donc extraire une sous-suite convergente de toute suite de B(0, 1) ce qui est absurde. Donc il existe y B(0, 1) tel que pour tout λ > 0 x + λy / K. Pour tout x 1, x 2 E \ K, il existe donc y 1 et y 2 des vecteurs de E tels que pour tout λ > 0, x i + λy i / K. De plus K étant compact, il existe R > 0 tel que K B(0, R). Si x i < R on peut alors construire le point z i = x i + λy i tel que z i = R, si x i R alors on pose z i = R x i x i et les segments [x i, z i ] sont dans E \ K. On conclut en rejoignant z 1 et z 2 sur la sphère. Définition 2.5 Soit E un espace vectoriel muni de deux normes N 1 et N 2. On dit que N 1 et N 2 sont équivalentes si et seulement si il existe deux constantes β > α > 0 telles que x E, αn 1 (x) N 2 (x) βn 1 (x). Proposition 2.6 La relation précédente est une relation d équivalence sur les normes. Si N 1 et N 2 sont équivalentes, alors elles définissent une même topologie, i.e que les ouverts et les fermés sont les mêmes (les convergences sont les mêmes). 5

6 3 Espaces de Banach Définition 3.1 Soit (E,. ) un espace vectoriel normé. On dit que (E,. ) est un espace de Banach si et seulement si il est complet. Proposition 3.2 Soit (E,. ), un espace de Banach. Si B n est une suite de boule emboitée, alors n N B n est non-vide. Si on note (x n ) et (r n ) les suites des centres et des rayons des boules B n, alors par décroissance des boules la suite (r n ) est décroissante et donc convergente. De plus par emboitement des boules pour tout n, m on vérifie x n x m r n r m. On en déduit immédiatement que la suite (x n ) est de Cauchy. Pour conclure il suffit de noter que pour tout n 0, la suite (x n ) n n0 est une suite de B n0. Proposition 3.3 Soient E, F deux espaces vectoriels normés et f une fonction de E dans F. On dit que f vérifie le critère de Cauchy au voisinage de x 0 E ssi ε > 0, η > 0, x, y B E (x 0, η), f(x) f(y) < ε. Si F est un espace de Banach, alors f admet une limite au point x 0 ssi elle vérifie le critère de Cauchy au voisinage de x 0. Théorème 3.4 Théorème du point fixe Soit (E,. ) un espace de Banach. Soit F un fermé de E et f une application de F dans F contractante alors f admet un unique point fixe dans F. De plus pour tout x 0 F, la suite (f n (x 0 )) converge vers ce point fixe. On montre l unicité dans un premier temps puis on montre que les suites définies par x 0 F et (f n (x 0 )) sont de Cauchy. Corollaire 3.5 Soit E un espace de Banach et f une application de E dans E. On suppose qu il existe un entier n > 0 tel que f n = f.. f est contractante. Alors f admet un unique point fixe. On remarque que tout point fixe de f est forcément un point fixe de f n. On en déduit l unicité en appliquant le théorème précédent à f n qui admet un unique point fixe x 0. Pour montrer que x 0 est un point fixe de f, on remarque que f(x 0 ) est aussi un point fixe de f n. 6

7 Proposition 3.6 Soient E un espace vectoriel normé et F un espace de Banach. Soit A une partie dense de E. On considère f : A F une application uniformément continue. Il existe une unique application g : E F continue telle que g A = f. De plus g est uniformément continue. Soit x E \A. Par densité, x Ā. Comme f est uniformément continue (il suffit en fait qu il existe r > 0 tel que f soit uniformément continue sur B(x, r) A), f vérifie le critère de Cauchy au voisinage de x, donc f(y) admet une limite quand y tend vers x. On pose alors g(x) = f(x) si x A et g(x) = lim f(y). Pour conclure il reste à y x montrer la continuité de g qui se déduit immédiatement de l uniforme continuité de f. 4 Applications linéaires Dans toute cette partie E et F désigneront des espaces vectoriels normés. 4.1 Continuité Proposition 4.1 Soit f une application linéaire de E dans F. f est continue sur E si et seulement elle vérifie l une des conditions suivantes i) f est lipschitzienne sur E. ii) f est uniformément continue sur E. iii) f est continue en un point. iv) f est continue en O E. v) f est bornée sur la boule unité. vi) Il existe une constante k telle que pour tout x E, f(x) F k x E. Par la linéarité, le seul point difficile est de montrer que le point iv) implique le point v). On peut raisonner par contraposée. Si le point v) n est pas vérifié, alors il existe une suite (x n ) bornée (par 1) de E, telle que ( f(x n ) ) soit une suite strictement ( croissante ) qui diverge vers +, on constate alors que la suite 1 (y n ) = f(x n ) x n converge vers 0 E alors que (f(y n )) (qui est de norme 1) ne converge pas vers f(0 E ) = 0 F. Proposition 4.2 Pour toute application linéaire f continue de E dans F on vérifie que sup{ f(x) F, x B(0, 1)} = inf{k, x E, f(x) F k x E } = f Si on note L(E, F ) (à ne pas confondre avec L(E, F )) l ensemble des applications linéaires continues, alors l application f f est une norme. 7

8 Proposition 4.3 Si F est un espace de Banach alors L(E, F ) est un espace de Banach. On montre que si (f n ) est une suite de Cauchy pour la norme de L(E, F ) alors on vérifie un critère de Cauchy uniforme sur tout borné de E. Remarques: En dimension infinie 1) La continuité d une application linéaire dépend du choix des normes. 2) Une application peut-être continue bijective sans que sa réciproque ne soit continue. 3) Une application peut-être injective sans être surjective. 4) Une application peut-être surjective sans être injective. 5) Une application linéaire de E dans E peut-être une isométrie sans être bijective. Théorème 4.4 Soient E un espace de Banach et u L(E, E). Si u < 1 alors Id E u est un isomorphisme. On prouvera ce théorème en utilisant la série u k. On en déduit alors des résultats similaires à la dimension finie. Si on note Isom(E) l ensemble des isomorphismes de E dans E, on peut énoncer: Théorème 4.5 L ensemble Isom(E) est un ouvert de L(E, E), de plus l application u u 1 est une application continue de L(E) dans lui-même. Pour la première partie, on montrera que pour u 0 un isomorphisme, si u u 0 < 1 alors u est encore un isomorphisme (plus précisément u 1 0 u = Id E v est u 1 0 un isomorphisme). On démontre la deuxième partie en utilisant v = Id E u 1 0 u. On peut alors facilement généraliser ce dernier théorème aux cas de deux espaces E et F de Banach. 4.2 Cas de la dimension finie Théorème 4.6 Sur un espace vectoriel de dimension finie toutes les normes sont équivalentes. Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. On se donne (e i ) une base de E et on définit pour tout x E, x = sup{ λ i, 1 i n} où x = i = 1 n λ i e i. On va montrer que toutes les normes sur E sont équivalentes à.. On pourra conclure puisqu il s agit d une relation d équivalence. 8

9 Soit donc. une norme sur E. On montre que. : (E,. ) R est une application lipschitzienne. En effet pour tout x, y E, un simple calcul nous donne n x y x y x y e i. En remarquant que K = {x, x = 1} est un compact de (E,. ), par continuité on en déduit que. atteint ses bornes sur K ce qui achève la démonstration. i=1 Corollaire 4.7 Si E est un espace vectoriel normé de dimension finie alors toutes les applications linéaires définies de E dans un espace vectoriel normé F sont continues. 4.3 Applications multilinéaires Définition 4.8 Soit (E i ) 1 i n une famille d espaces vectoriels. On dit qu une application f de E 1.. E n dans F est n-linéaire (ou multilinéaire) si et seulement si pour tout i fixé et tout (x j ) j i fixé, x i f(x 1,.., x n ) est linéaire sut E i. On dit que f est linéaire par rapport à chacune de ses variables. Remarque: On peut identifier l ensemble des applications multilinéaires à L(E 1, L(E 2, L(E 3,..L(E n, F ))..)). Il suffit juste d identifier F(E 1.. E n, F ) avec F(E 1, F(E 2, F(E 3,..F(E n, F ))..)). Proposition 4.9 Une application multilinéaire est continue si et seulement si il existe une constante k telle que (x i ) 1 i n E 1.. E n, f(x 1,.., x n ) k x x n n. 9