PC* Espaces préhilbertiens réels

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1 I. Espace préhilbertien réel I.1 Produit scalaire dans un espace vectoriel réel I.2 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski I.3 Norme euclidienne I.4 Continuité du produit scalaire II. Orthogonalité dans un espace préhilbertien réel II.1 Généralités II.2 Orthogonal d un sev de E II.3 Bases orthogonales - Bases orthonormales III. Espaces vectoriels euclidiens III.1 Expression matricielle du produit scalaire en dimension finie III.2 Bases orthonormales IV. Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie IV.1 Projecteur orthogonal IV.2 Projection orthogonale IV.3 Procédé d orthogonalisation de Gram-Schmidt /12

2 Tester ses connaissances 1. (a) Qu est-ce qu un produit scalaire? (b) Qu est-ce qu une norme? Lien entre produit scalaire et norme? (c) Donner des exemples de produits scalaires et de normes. 2. Soit (E,, ) un espace préhilbertien réel ; soit (n, p) N 2, (λ 1,..., λ n ) R n, (µ 1,..., µ p ) R p, (x 1,..., x n ) E n, (y 1,..., y p ) E p, n p que vaut λ i x i, µ j y j? j=1 3. Qu est-ce que l inégalité de Cauchy-Schwarz? 4. (a) Expression du produit scalaire dans une b.o.n. (e 1,..., e n ). Et la norme? (b) Expression des coordonnées du vecteur x dans cette b.o.n.? 5. Comment définit-on deux vecteurs orthogonaux? Et l orthogonal d un sev? 6. Méthodes pour montrer qu une famille de vecteurs est libre? 7. Qu est-ce que le théorème de Pythagore? 8. Si a est un vecteur non nul, comment construire un vecteur unitaire colinéaire à a? 9. (a) Expression du projeté orthogonal du vecteur x sur la droite vectorielle D = Vect(a)? (b) Soit F un sev dont on connaît une b.o.n. (e 1,..., e q ) ; expression du projeté orthogonal de x sur F? (c) Procédé d orthogonalisation de Gram-Schmidt? Dans tout ce chapitre, E désigne un R -ev. 2/

3 I. Espace préhilbertien réel I.1 Produit scalaire dans un espace vectoriel réel I.1.a Définition Soit E un R-ev. On appelle produit scalaire sur E toute application ϕ : E 2 R telle que : (x, y) E 2, ϕ(x, y) = ϕ(y, x) (ϕ est symétrique) λ R, (x, y, y ) E 3, ϕ(x, y + λy ) = ϕ(x, y) + λϕ(x, y ) (linéarité./. à la 2 ème variable ou linéarité à droite) λ R, (x, x, y) E 3, ϕ(x + λx, y) = ϕ(x, y) + λϕ(x, y) (linéarité./. à la 1 ère variable ou linéarité à gauche) x E, ϕ(x, x) 0 (ϕ est positive) x E, ϕ(x, x) = 0 x = 0 (ϕ est définie). (E, ϕ) est appelé espace préhilbertien réel. Si E est de dim. finie, (E, ϕ) est dit euclidien. Soient x et y quelconques dans E : on ne sait rien, pour ϕ forme bilinéaire positive, du signe de ϕ(x, y)! Remarque. Dans la pratique, on commence par vérifier le caractère symétrique de ϕ, et alors (ii) implique (iii) et réciproquement. Donc on ne fait que l une des deux vérifications. Notations. On note un produit scalaire (x y) ou x, y ou x.y Remarque de calcul. Si (E,, ) est un espace préhilbertien réel, alors (n, p) N 2, (λ 1,..., λ n ) R n, (µ 1,..., µ p ) R p, (x 1,..., x n ) E n, (y 1,..., y p ) E p, n λ i x i, p n p µ j y j = j=1 j=1 λ i µ j x i, y j = i,j λ i µ j x i, y j I.1.b Exemples usuels de produits scalaires 1. Sur R n : le produit scalaire canonique est défini par : n x = (x 1,..., x n ) R n, y = (y 1,..., y n ) R n, x, y = x i y i Si X et Y désignent les matrices colonnes des composantes de x et de y dans la base canonique, on remarque que (x, y) (R n ) 2, x, y = t XY 2. Sur M n (R) : le produit scalaire canonique est défini par n n (A, B) (M n (R)) 2, A, B = a i,j b i,j = tr( t AB) j=1 3. Sur C([a, b], R) avec a < b : soit m est une fonction continue sur [a, b] telle que t ]a, b[, m(t) > 0 (f, g) (C([a, b], R)) 2, f, g = b a f(t)g(t)m(t)dt /12

4 Exemple. (f, g) b a f(t)g(t)dt, (f, g) 1 1 f(t)g(t) 1 t 2 dt sont des pdts scalaires 4. Sur R[X] : le produit scalaire canonique est défini par : P = a k X k, Q = b k X k, P, Q = a k b k k N k N k N On définit aussi par exemple un autre produit scalaire par (P, Q) P, Q = 1 0 P (t) Q(t)dt. 5. Suites de carré sommable : On note l 2 (R) l ensemble des suites réelles de carré sommable, c est-à-dire les suites réelles (u n ) n N telles que la série u 2 n soit convergente. On sait que l 2 (R) est un R-espace vectoriel ; d autre part, en utilisant l inégalité ab 1 2 (a2 +b 2 ), on déduit : (u, v) couple d éléments de l 2 (R), u, v = scalaire sur l 2 (R). + n=0 u n v n existe, et cette formule définit un produit 6. Fonctions continues de carré intégrable sur un intervalle quelconque : Soit E l ensemble des fonctions f continues sur I, intervalle de R, à valeurs réelles, de carré intégrable sur I, c est-à-dire telles que f 2 soit intégrable sur I. De l inégalité fg 1 ( f 2 + g 2) on déduit que le produit de deux fonctions de carré intégrable 2 est intégrable : on peut donc définir pour deux éléments f et g de E le réel fg. De plus, si f et g sont de carré intégrable, si λ est un réel quelconque, f + λg est de carré intégrable, car (f + λg) 2 = f 2 + λ 2 g 2 + 2λfg. Comme la fonction nulle est de carré intégrable, E est un R-espace vectoriel. Enfin, en posant pour f et g dans E, (f g) = fg, on définit ainsi un produit scalaire sur E. I.2 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski Soit (E,, ) un espace préhilbertien réel. Pour tout x E, on note x =» x, x. Inégalité de Cauchy-Schwarz.(1) I I (x, y) E 2, x, y x y Cas d égalité : (x, y) E 2, x, y = x y (x, y) liée Inégalité de Minkowski = Inégalité triangulaire.(2) (x, y) E 2, x + y x + y Cas d égalité : (x, y) E 2, x + y = x + y (x, y) positivement liée. I.3 Norme euclidienne 4/

5 Proposition. (3) Soit (E,, ) un espace préhilbertien réel. L application. : E R définie par x E, x =» x, x est une norme sur E, appelée norme euclidienne associée au produit scalaire,. L application d : E 2 R définie par (x, y) E 2, d(x, y) = x y est appelée distance euclidienne associée à,. Un vecteur x est unitaire (ou encore normé) ssi x = 1. Exemples. Écriture des normes euclidiennes et de Cauchy-Schwarz pour les exemples précédents de produits scalaires. Ã Ã 1. Pour tous éléments x = (x 1,..., x n ) et y = (y 1,..., y n ) de R n n n, on a : x i y i x 2 n i yi 2. Ã Ã n n Et aussi, d ailleurs : x i y i x 2 n i yi 2. n La norme est définie par x = x 2 i = t X X. 2. Pour tous éléments f et g de C([a, b], R) (a < b), on a Et, également : fg f 2 g 2. [a,b] [a,b] [a,b] La norme est définie par N 2 (f) = [a,b] f 2. [a,b] fg [a,b] 3. Soit u, v deux suites réelles, telles que les séries u 2 n et vn 2 convergent. Alors la série de + Ã Ã + + terme général u n v n est absolument convergente et u n v n u 2 n vn 2 n=0 n=0 n=0 Ã Ã + (et également u nv n n=0 + u 2 n n=0 + vn). 2 n=0 Proposition. (4) Identité du parallélogramme. x E, y E, x + y 2 + x y 2 = 2 ( x 2 + y 2). Identité de polarisation. Soit (E,, ) un espace préhilbertien réel et. la norme euclidienne associée. (x, y) E 2, x, y = 1 4 ( x + y 2 x y 2 ) = 1 2 ( x + y 2 x 2 y 2 ). I.4 Continuité du produit scalaire Proposition. (5) Soit (E,, ) un espace préhilbertien réel ; on munit E de la norme associée à, ). Alors l application, : (x, y) E E x, y R est continue sur E E. f 2 [a,b] g 2. II. II.1 II.1.a Orthogonalité dans un espace préhilbertien réel Généralités Orthogonalité de deux vecteurs /12

6 Soit (E,, ) un espace préhilbertien réel ; Deux vecteurs x et y sont orthogonaux ssi x, y = 0. II.1.b Familles orthogonales, orthonormales Soit (v i ) i I une famille d éléments de E, espace préhilbertien réel. (v i ) i I est orthogonale ssi (i, j) I 2, (i j = < v i, v j >= 0). (v i ) i I est orthonormale ssi (i, j) I 2, < v i, v j >= δ i,j. Proposition. (6) Toute famille orthogonale ne «contenant» pas 0 E est libre. A fortiori, toute famille orthonormale est libre. Théorème de Pythagore.(7) Soit (E,, ) un espace préhilbertien réel ; Les vecteurs x et y sont orthogonaux ssi x + y 2 = x 2 + y 2. p 2 Si (v 1, v 2,..., v p ) est un famille orthogonale de E, alors v i = p v i 2. II.2 II.2.a Orthogonal d un sev de E Définition Soit (E,, ) un espace préhilbertien réel ; soit F un sous-espace vectoriel de E ; L ensemble {x E/ a F, a, x = 0}, noté F, est l orthogonal de F. Proposition. (8) Soient F et G deux sev de E, espace préhilbertien réel. 1. F est un sous-espace vectoriel de E. 2. {0} = E E = {0} F Ä F ä. 3. F G = G F. 4. F F = {0}. 5. Si B est une base de F, un vecteur est orthogonal à F (donc appartient à F ) ssi il est orthogonal à tous les vecteurs de B. II.2.b Existence d un (ou du?) supplémentaire orthogonal? 6/

7 En général, l orthogonal d un sev n est pas un supplémentaire de ce sev. Par exemple, soit E = C([0, 1], R), muni de son produit scalaire usuel, et F le sev des fonctions polynômes réelles sur [0, 1]. On montre (à l aide du premier théorème de Weierstrass (H.P.)) que F = {0 E }. Et donc que F F = F E. On retiendra donc que la somme F F est toujours directe, mais que ce n est en général pas E, donc l orthogonal de F n est pas nécessairement un supplémentaire de F. MAIS Cas particulier important : Proposition. (9) a E {0 E }, E = R.a (R.a) Preuve. La somme est directe d après ce qui précède. a, x Et on remarque que x E, x = a a a, x + x } {{ 2 a a } } {{ 2 } R.a (R.a) II.3 Bases orthogonales - Bases orthonormales Soit (E,, ) un espace préhilbertien réel ; (e i ) i I est une base orthogonale ( resp. orthonormale ) de E ssi (e i ) i I est une base de E et la famille (e i ) i I est orthogonale ( resp. orthonormale ). Remarque. Puisqu on a vu que toute famille orthonormale est libre, on a : (e i ) i I est une b.o.n. ssi c est une famille orthonormale génératrice. Théorème.(10) Si B = (e i ) i I est une b.o.n. de E, alors x E, x = i I e i, x e i. Si B = (e i ) i I est une base orthogonale de E, alors x E, x = i I e i, x e i, e i e i. III. Espaces vectoriels euclidiens On appelle espace vectoriel euclidien un espace préhilbertien réel de dimension finie. III.1 Expression matricielle du produit scalaire en dimension finie Soit (E,, ) un espace euclidien et B = (e 1,..., e n ) une base de E. On appelle matrice associée au produit scalaire, relativement à la base B la matrice M de M n (R) de terme général m i,j = e i, e j. Remarque. Si M est une matrice associée à un produit scalaire euclidien, alors M est symétrique et tous les termes de sa diagonale sont strictement positifs /12

8 III.2 III.2.a Bases orthonormales Existence Théorème.(11) Tout espace vectoriel euclidien admet au moins une b.o.n. Exemple. A, B = tr( t AB) dans M n (R) ; est une b.o.n pour ce produit scalaire. Ç (E i,i ) 1 i n, Å ã Å ã å (E i,j + E j,i ), 2 (E i,j E j,i ) 1 i<j n 1 i<j n Remarque. Il existe des bases orthonormées en dimension non finie ( (X n ) n N dans R[X] pour le produit scalaire canonique), mais ce n est pas systématique, contrairement à la dimension finie. Théorème de la b.o.n. incomplète.(12) Si (e 1,..., e p ) est une famille orthonormale de E euclidien de dimension finie n, alors on peut la compléter en une b.o.n. (e 1,..., e p, e p+1,..., e n ) de E. III.2.b Expression du produit scalaire, de la norme et de la distance dans une base orthonormée Théorème.(13) Soit E est un espace euclidien et B = (e 1,..., e n ) une b.o.n. de E. i {1,..., n}, x i = e i, x n n n x, y = x i y i = XY t = t Y X Si x = x i e i et y = y i e i alors à à n x = x 2 n i d(x, y) = x y = (x i y i ) 2 IV. Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie Dans ce, E est un préhilbertien réel, de dimension finie ou non. IV.1 Projecteur orthogonal On dit que p L(E) est un projecteur orthogonal ssi { p est un projecteur (p p = p) (Im p) = Ker p donc (x, y) Ker p Im p, x, y = 0 Exemple. Soit u E {0} ; soit D = Vect(u) ; u, x alors x E, x = x u 2 u u, x + u 2 u, donc E = D + D et comme D D, E = D D ; } {{ } } {{ } D D 8/

9 en notant p D le projecteur orthogonal sur D et p H le projecteur orthogonal sur H = D, u, x p D (x) = u x E, 2 u. u, x p H (x) = x u 2 u IV.2 Projection orthogonale Théorème-(14) Soit F un sous-espace de dimension finie d un espace préhilbertien réel E (E n est pas nécessairement de dimension finie). Alors F et F sont supplémentaires orthogonaux (i.e F F = E, donc F est le supplémentaire orthogonal de F ). On peut alors définir p F = la projection sur F parallèlement à F (appelée projection orthogonale sur F ). q Si (e 1,..., e q ) est une b.o.n. de F, alors x E, p F (x) = e i, x e i. Remarque. Pour trouver p F (x) connaissant une famille génératrice de F, on peut aussi traduire que x p F (x) est orthogonal à tout vecteur de cette famille génératrice et résoudre ainsi un système linéaire traduisant cette orthogonalité. Remarque. Si F n est pas de dimension finie, il se peut que F F ne soit pas E tout entier : alors F n a pas de supplémentaire orthogonal, et il n y a pas de projection orthogonale sur F. Mais il se peut aussi que F F = E. Alors la projection orthogonale sur F est bien définie. Théorème.(15) Soit F un sous-espace de dimension finie d un espace préhilbertien réel E (E n est pas nécessairement de dimension finie). Soit x un vecteur de E. Alors le projeté orthogonal de x sur F est l unique vecteur de F minimisant la distance de x à F. Autrement dit, p F (x) est l unique vecteur y 0 tel que x y 0 = Min x y = d(x, F ). y F Donc d(x, F ) = x p F (x) =» x 2 p F (x) 2. Exemple. Dans E = R n, si H est l ev d équation α 1 x α n x n = 0 relativement à une b.o.n., alors H = Vect(u) = D où u = (α 1,..., α n ), u, x donc pour tout x de E, p H (x) = x p Vect(u) (x) = x u 2 u, u, x donc d(x, H) = x p H (x) = p Vect(u) (x) = = α 1x α n x n». u α αn 2 Remarque. Le théorème de Pythagore montre que x 2 = p F (x) 2 + x p F (x) 2, donc p F (x) 2 x 2 : on en déduit l inégalité de Bessel : x, p F (x) x /12

10 Théorème.(16) Soit E un espace euclidien (on est donc en dimension finie) ; pour tout sev F de E, dim F + dim F = dim E et Ä F ä = F et F F = E Rappel : Si F n est pas de dimension finie (et donc E n est pas de dimension finie), il se peut que F F ne soit pas E tout entier, et il se peut aussi que F (F ). IV.3 Procédé d orthogonalisation de Gram-Schmidt Il consiste à transformer une famille libre (v i ) en une famille (e i ) orthogonale selon l algorithme : { e 1 = v 1 k 2, e k = v k p k 1 (v k ) où p k 1 désigne la projection orthogonale sur Vect Ä {e 1,..., e k 1 }ä Autrement dit k 1 e k = v e j k, v k e j=1 j, e j.e j On constate que chaque matrice T k de passage de (v 1,..., v k ) à (e 1,..., e k ) est triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale, ce qui montre que Vect{e 1,..., e k } = Vect{v 1,..., v k } Remarque. Quand on voudra construire concrètement une base orthonormale d un espace euclidien : on partira d une base quelconque de E, qu on orthogonalisera par Schmidt, puis en quotientant par la norme des vecteurs orthogonaux obtenus (i.e e k e k ), on obtiendra une b.o.n. Exemple. Déterminer une b.o.n. du sev F de R 4 engendré par les vecteurs v 1 (1, 1, 0, 0), v 2 (1, 0, 1, 1), v 3 (0, 1, 1, 1). 10/

11 /12 Faire des dessins. Lorsque des hypothèses sont données faisant intervenir la norme, penser à élever au carré : le carré de la norme euclidienne se manipule beaucoup plus facilement que la norme euclidienne. Jusqu à présent, lorsque l on devait démontrer qu un extremum était atteint, on pensait à des arguments de continuité sur un segment. Il faut maintenant penser, pour des problèmes de minimum, au théorème de projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie. Si on pense que c est cela qu il faut appliquer, on définit un produit scalaire convenable et un sous-espace qui permet de résoudre le problème. Les problèmes de polynômes orthogonaux interviennent dans de nombreux énoncés. L orthonormalisation de Schmidt peut souvent être remplacée par une orthogonalisation, plus légère. Il faut avoir présente à l esprit l interprétation de l orthonormalisation de Schmidt en termes de projection orthogonale. Exo 1 Montrer que A M n (R), tr(a) n» tr(a A). Exo 2 Sur R 2 [X], on définit < P, Q >= P (1)Q(1) + P (1)Q (1) + P (1)Q (1). (1) Vérifier que <, > est un produit scalaire. (2) Trouver une base orthonormale (P 0, P 1, P 2 ) telle que deg(p k ) = k. (3) Déterminer la projection orthogonale de X 2 sur R 1 [X]. Exo 3 Soit F le sev de R 3 engendré par (1, 0, 1) et (1, 2, 1). (1) Donner une équation de F. (2) Déterminer une base de l orthogonal de F. (3) Déterminer le projeté orthogonal de (1, 1, 1) sur F. Exo 4 (1) Soit h une fonction continue et positive de [a, b] dans R. Démontrer que b a h(x)dx = 0 = h = 0. (2) Soit E le R-espace vectoriel des fonctions continues de [a, b] dans R. On pose, pour tout f et tout g de E, (f g) = b f(x)g(x)dx. Démontrer que l on définit ainsi un produit a scalaire sur E. 1 (3) Majorer xe x dx en utilisant l inégalité de Cauchy- Exo 5 Schwarz. 0 Soit E un espace euclidien et F, G des sous-espaces vectoriels de E. (1) Démontrer que (F + G) = F G. (2) (F G) = F + G. Exo 6 Montrer que l endomorphisme Öp de R, dont la èmatrice relativement à la base canonique est A = est une projection orthogonale dont on déterminera l image. Exo 7 Soit E l ev des applications continues et 2π-périodiques de R dans R. (1) Montrer que (f g) = 1 2π sur E. 2π 0 f(t)g(t)dt définit un pdt scalaire (2) Soit F le sev engendré par f : x cos(x) et g : x cos(2x). Déterminer le projeté orthogonal sur F de la fonction u : x sin 2 (x). 2016

12 12/ Exo 8 Soient F(R; R) l espace vectoriel des applications de R dans R, E le sous-espace engendré par les cinq applications : f 1 : x 1 2, f 2 : x cos(x), f 3 : x sin(x), f 4 : x cos(2x), f 5 : x sin(2x) et F le sous-espace vectoriel engendré par (f 1, f 2, f 3 ). π (1) Démontrer que f g = 1 f(t)g(t)dt définit un pdt scalaire π π sur E. (2) Vérifier que f 4 et f 5 sont unitaires et orthogonaux. On admettra pour la suite que B = (f i ),...,5 est une base orthonormée de E. (3) Déterminer le sev F orthogonal de F pour ce produit scalaire. Exo 9 On définit dans ÇM 2 (R) å M 2 (R) l application 2 ϕ(a, A ) = tr( t AA ). a b On note F = / (a, b) R. b a On admet que ϕ est un produit scalaire sur M 2 (R). (1) Démontrer que F est un sous-espace vectoriel de M 2 (R). (2) Déterminer une base de F. Ç å 1 1 (3) Déterminer la projection orthogonale de J = sur F 1 1. Exo 10 { x + y z t = 0 (1) Montrer que le système définit un plan x + 3y + z t = 0 P de R 4. (2) Construire une base orthonormale (ε 1, ε 2 ) de P. (3) Écrire la matrice dans la base canonique de R 4 de la projection orthogonale sur P, puis de la symétrie orthogonale par rapport à P. (4) Soit v = (1, 1, 1, 1) : calculer d(v, P ). Exo 11 Ç å a b Si A = et A c d = aa + bb + cc + dd. Ç a b å c d, alors on pose A, A = (1) Démontrer que, est un produit scalaire sur M 2 (R). Ç å 1 0 (2) Calculer la distance de la matrice A = au sousespace vectoriel F des matrices triangulaires 1 2 supérieures. Exo 12 Montrer que (f, g) 1 C([0, 1], R) et calculer Inf (a,b) R 2 Exo 13 0 tf(t)g(t)dt est un produit scalaire sur 1 0 t(t 2 at b) 2 dt E est un espace euclidien de dimension n pour le produit scalaire <, > et u L(E) tel que x E, < u(x), x >= 0. Montrer que Ker u et Im u sont supplémentaires orthogonaux et que le rang de u est pair. Exo 14 On note E = R [X] et on considère l application ϕ : donnée par ϕ(p, Q) = + 0 P (t)q(t)e t dt E E R (1) Justifier que l application ϕ est bien définie de E E vers R. (2) Montrer que l application ϕ définit un produit scalaire sur E. (3) Pour p, q N, calculer ϕ(x p, X q ). (4) Orthonormaliser par le procédé de Gram-Schmidt la famille (1, X, X 2 ). 2016