Biostatistiques et statistiques appliquées aux sciences expérimentales

Transcription

1 Biosttistiques et sttistiques liquées ux sciences exérimentles ANOVA à deux fcteurs Pscl Bessonneu, Christohe Llnne et Jérémie Mttout* Cogmster A * jeremiemttout@yhoo.fr. 1/16

2 Progrmme de l sénce Princies générux des dessins exérimentux multi-fctoriels Modèle d ANOVA à deux fcteurs Notion d intérction Tleu d ANOVA et tests. 2/16

3 Princies générux 2 tyes d effet our le fcteur effet fixe: les modlités du fcteur sont choisies r l exérimentteur (e.g. dose d un roduit dministré, durée de résenttion d une cile à l écrn) effet létoire: les modlités du fcteur sont issues d un rocessus d échntillonnge (e.g. dose d un roduit dministré, sujet) Conséquence à 2 niveux: u niveu de l formultion du modèle du oint de vue des effets que l on eut «générliser» à l oultion rente Distinction entre 3 modèles d ANOVA: tye I: modèle à effet(s) fixe(s) tye II: modèle à effet(s) létoire(s) tye III: modèle à effets mixtes. 3/16

4 Princies générux Pln fctoriel: lusieurs vriles indéendntes/fcteurs Cellule ou loc: unité d intersection entre les modlités de chque fcteur Pln équiliré: chque cellule contient le même nomre d oservtions (lus générlement: même nomre d oservtions r cellule, de fçon indéendnte our chque modlité d un des deux fcteurs) Pln vec réétitions: chque cellule contient lusieurs oservtions Mesures réétées: les mêmes sujets ont été utilisés our les oservtions u sein de différentes cellules (riement) Dns le cdre de lns fctoriels équilirés, on s intéresse ici u cs générl, vec réétitions et sns riement (mesures non réétées).. 4/16

5 Princies générux 2 fcteurs A et B à 2 niveux (groues indéendnts) A B Nottion: dessin exérimentl 2x2. 5/16

6 Modèle d ANOVA à 2 fcteurs Formultion: A + B (sns interction) A + B + AxB (vec interction) Interction: modifictions d un effet rincil du fit de l vriilité de l utre fcteur Modèle comlet: y µ + $ + # + " +! " ~ N(0,! ) i j ij µ moyenne générle! i écrts à l moyenne des moyennes de groue our le fcteur A! j écrts à l moyenne des moyennes de groue our le fcteur B! ij écrts à l moyenne des moyennes our les tritements A x B! erreur (vrince non exliquée ou résiduelle). 6/16

7 Modèle d ANOVA à 2 fcteurs Hyothèses sous-jcentes - modèle linéire - les fcteurs A et B gissent sur l moyenne de fçon dditive - les données suivent une loi normle de vrince! (l erreur exérimentle) - les effets et! des vrintes des fcteurs A et B sont certins (effets fixes)! i j Conditions d lictions: - indéendnce des oservtions - homogénéité des vrinces - normlité des résidus µ 2 Estimteurs sns iis des effets: m x - our i xi! x x - our x - our i j! c x! x!! - our ij ij i j µ! i! i! ij. 7/16

8 Modèle d ANOVA à 2 fcteurs Tleu des oservtions 1 2 i j X 111 X 121 X 211 X 221 X ij1 X 112 X 122 X 212 X 222 X ij2 X 11k X 12k X 21k X 22k X X 11n X 12n X 21n X 22n X ijn Nottions X ij! x k X! x X X i j! x! jk j! x! ik i X X i ij X x N 1 xij n X ij 1 n x i X 1 n x j X i j. 8/16

9 Modèle d ANOVA à 2 fcteurs Vrition ddl CM Totle t 2 ( x x)! " N 1 Fcteur A Fcteur B Inter. AxB Erreur c n i n j! i " ( x x) 1 1 ( 1)( 1) (n-1) i: niveu de A ; j: niveu de B ; k: numéro d oservtion n: nomre de réétitions ; N n : nomre totl d oservtions 2 2 ( x x)! j " 2 ( x " x " x x) n! ij i j + ij! 2 r e CM CM CM c CM r!1!1 (!1)(!1) c r ( n!1) ddl de l résiduelle otenus r soustrction (ddl t [ddl + ddl + ddl c ]). 9/16

10 Modèle d ANOVA à 2 fcteurs Eqution de l nlyse de l vrince t c r Interréttion - Indéendmment des effets rinciux des fcteurs et de leur interction, CM e est une estimée de l erreur σ 2 - Si les α i sont nuls, CM est une estimtion de σ 2, indéendnte de CM e - Si les β j sont nuls, CM est une estimtion de σ 2, indéendnte de CM e - Si les γ ij sont nuls, CM c est une estimtion de σ 2, indéendnte de CM e 3 Hyothèses à tester grâce à l sttistique de Fisher-Snedecor: l interction doit être testée vnt les effets rinciux!. 10/16

11 Notion d interction B 1 B 2 Ps d interction Interction croisée Interction ordonnée effet B effet A A 1 A 2 A 1 A 2 A 1 A 2. 11/16

12 Tests Tests: 3 hyothèses conduisnt à trois estimées différentes de l erreur résiduelle - L interction ou effet d ordre 2 (A x B) H 0 : s d interction ; H 1 : interction cs 2x2 H 0 : x! x x! - L effet rincil du fcteur A H 0 : α i 0 i ; H 1 : i tq. α i 0 cs 2x2 H 0 : - L effet rincil du fcteur B H 0 : β j 0 j ; H 1 : j tq. β j 0 cs 2x2 H 0 : x22 x 1. x2. x. 1 x.2 Sttistiques ssociées CM c - Interction A x B: F c est comré à l vleur critique CM e F [! 1! 1, CM - Effet rincil A: F est comré à l vleur critique CM e F " [! 1, CM - Effet rincil B: F est comré à l vleur critique CM e F [! 1, ( )( ) ( 1)] 1!" n! ( ) ( 1)] 1! n! ( ) ( 1)] 1!" n! On distingue les deux cs ossiles. 12/16

13 Tests L interction n est s significtive Les effet de A et de B sont dits «urs» et on eut surimer le terme d interction du modèle qui se restreint lors à: y µ + # + " +! et l erreur exérimentle est estimée r: CM r t N! i!! ce qui conduit à un test lus uissnt des effets rinciux. Si de lus, l effet rincil du fcteur A (ou B) se révèle non significtif, l effet du fcteur B ourr être estimé r le modèle simlifié: j y µ + " +! j! /16

14 Tests L interction est significtive - Cel signifie que l effet du fcteur A n est s le même selon les modlités du fcteur B - Si les deux effets rinciux sont significtifs, s de rolème. - Si un seul des effets rinciux est significtifs (e.g. A), il fut nlyser les données sur chcun des niveux de l utre fcteur (B): on rle d effets simles our A. - Il se eut que seule l interction soit significtive En moyenne et our le domine exérimentl considéré, les effets de A et de B s nnulent.. 14/16

15 Tests Anlyse des effets - Effets rinciux effet A effet B - Effets simles effet A B 1 effet A B 2 x! x22 x11! 2 2 x! x22 x11! Effet d interction 21 x12 12 x21 x! 21 x 11 x! 22 x 12 Interction croisée: l effet du fcteur A s inverse en fonction des niveux du fcteur B, e.g. et x > x 11 < x x22 Interction ordonnée: l effet du fcteur A est consistnt quelque soit le niveu du fcteur B, e.g. x x j 1 j > 2 j!. 15/16

16 Tests Comrisons multiles - Même rincie que our les lns à un fcteur - Attention: le nomre totl de ires de moyennes est (!1) 2. 16/16