Dérivation : Résumé de cours et méthodes

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1 Dérivation : Résumé de cours et méthodes Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION (a + h) (a) Etant donné est une onction déinie sur un intervalle I contenant le réel a, est dérivable en a si lim eiste et est égale à un réel que l on appelle alors nombre dérivé de en a et que l on note (a). Si est dérivable pour tous les éléments de I, on dit que est dérivable sur I et on appelle dérivée de la onction, notée, qui à tout a de I associe (a), le nombre dérivé de en a. Eemple : Soit déinie sur R par () = 2. (a + h) (a) (a + h) 2 a 2 a 2 + 2ah + h 2 a 2 Pour tout a, lim = lim = lim = lim 2a + h = 2a. est donc dérivable en a et h 0 (a) = 2a. On dit que est dérivable sur R et que sa onction dérivée est déinie par 2. 2 Dérivées des onctions usuelles : Fonction Fonction dérivée pour tout de Eemples () = a 0 R () = 3 0 () = a + b a R () = () = () = n (n entier 2) n n R () = 2 2 () = () = 2 R () = n (n entier 2) n n+ R () = () = () = ]0; + [ () = sin cos R () = cos sin R S - Dérivation c P.Brachet -

2 3 Etude orme par orme des opérations sur les onctions dérivables : Avertissement : Nous utiliserons par souci de simpliication le traditionnel et areu abus de langage qui consiste par eemple à dire que la dérivée de 2 est égale à 2 (alors que nous devrions dire en ait que la dérivée de la onction qui à associe 2 est la onction qui à associe 2). Il ne aut jamais oublier que l on ne doit pas conondre une onction avec () (l image de par qui est un réel) et que la dérivée est elle-même une onction qui à tout associe () (le nombre dérivé de en, qui est un réel). Toujours par souci de simpliication, nous ne nous préciserons pas dans les eemples les intervalles où les onctions sont dérivables ain de nous concentrer sur l utilisation des ormules. 3- Forme + g Si et g sont deu onctions dérivables sur un intervalle I alors la onction + g est aussi dérivable sur I et ( + g) = + g. ) La dérivée de la onction déinie par () = 2 + est déinie par : 2 + dérivée de 2 dérivée de 2) La dérivée de la onction déinie par () = est déinie par : dérivée de 3 dérivée de 4 3) La dérivée de la onction déinie par () = + est déinie par : () = 2 + ( ) }{{ 2 } dérivée de dérivée de 3-2 Forme k (k réel) Si est une onction dérivable sur un intervalle I et si k est un réel alors la onction k est aussi dérivable sur I et (k ) = k. ) La dérivée de la onction déinie par () = 3 2 est déinie par : 3 2 = 6 dérivée de 2 2) La dérivée de la onction déinie par () = 5 3 est déinie par : dérivée de 3 = 5 2 3) La dérivée de la onction déinie par () = 2 = 2 est déinie par : 2 ( ) }{{ 2 = 2 } 2 dérivée de 3-3 Forme g Si et g sont deu onctions dérivables sur un intervalle I alors la onction g est aussi dérivable sur I et ( g) = g + g. 2 c P.Brachet - S - Dérivation

3 ) La dérivée de la onction déinie par () = est déinie par : + dérivée de dérivée de 2) La dérivée de la onction déinie par () = 2 (3 + ) est déinie par : () = 2 (3 + ) + 2 dérivée de 2 dérivée de 3+ 3) La dérivée de la onction déinie par () = 2 sin est déinie par : 2 sin + 2 cos dérivée de 2 dérivée de sin 3-4 Forme 2 Si est une onction dérivable sur un intervalle I alors la onction 2 est aussi dérivable sur I et ( 2) = 2. ) La dérivée de la onction déinie par () = (3 + ) 2 est déinie par : 2 3 dérivée de 3+ (3 + ) = 6(3 + ) 2) La dérivée de la onction déinie par () = ( ) 2 est déinie par : 2 ( ) dérivée de 3 +4 ( 3 + 4) 3) La dérivée de la onction déinie par () = (cos) 2 est déinie par : 2 ( sin) (cos) = 2 sin cos dérivée de cos 3-5 Forme Si est une onction dérivable sur un intervalle I (où () ne s annule pas) alors la onction ( ) = 2. est aussi dérivable sur I et ) La dérivée de la onction déinie par () = dérivée de 5 5 (5 ) 2 est déinie par : 5 2) La dérivée de la onction déinie par () = 2 est déinie par : + 3 dérivée de () = ( 2 + 3) 2 3) La dérivée de la onction déinie par () = est déinie par : sin dérivée de sin cos () = (sin) 2 S - Dérivation c P.Brachet - 3

4 3-6 Forme g Si et g sont deu onctions dérivables sur un intervalle I (où g() ne s annule pas) alors la onction ( ) g et = g g g g 2. est aussi dérivable sur I ) La dérivée de la onction déinie par () = 7 est déinie par : dérivée de 7 dérivée de 2+3 (7) (2 + 3) (7) (2) () = (2 + 3) 2 = (2 + 3) 2 = 2 (2 + 3) 2 2) La dérivée de la onction déinie par () = 2 est déinie par : 3 + dérivée de 2 dérivée de 3+ (2) (3 + ) ( 2 ) (3) () = (3 + ) 2 = (3 + ) 2 = (3 + ) Forme (a + b) (a et b réels) Soit déinie sur un intervalle I, a et b deu réels et J un intervalle tel que, pour tout de J, a + b I. Si est dérivable sur I alors la onction g déinie par g() = (a + b) est dérivable sur J et g () = a (a + b). ) La dérivée de la onction déinie par () = (4 + 5) 3 est déinie par : 4 dérivée de 4+5 3(4 + 5) 2 on dérive comme 3 mais avec 4+5 = 2(4 + 5) 2 2) La dérivée de la onction déinie par () = 3 + est déinie par : () = = dérivée de 3+ on dérive comme mais avec 3+ 3) La dérivée de la onction déinie par () = sin( 2) est déinie par : 2 dérivée de 2 cos( 2) on dérive comme sin mais avec 2 = 2 cos( 2) 4 c P.Brachet - S - Dérivation

5 4 Tableau récapitulati des opérations sur les onctions dérivables : Fonction Fonction dérivée + g + g k (k R) k g g + g 2 g (a + b) (a et b réels) 2 2 g g g 2 a (a + b) 5 Eemples de dérivation nécessitant l utilisation de plusieurs ormes : La première chose à aire avant de dériver une onction est de déterminer sa structure (somme, produit, quotient...) ain de déterminer quelles sont les ormes à utiliser. Eemples : ) Dérivée de la onction déinie par () = : La onction se présente d abord comme une somme de termes, on utilise donc la orme + g (de dérivée + g ) et pour dériver 2 3 et 5 2 on utilise la orme k. Ce qui donne : 2 (3 2 ) dérivée de 3 +5 (2) + (7) dérivée de 2 dérivée de 7 5 = ) Dérivée de la onction déinie par () = ( ) : La onction se présente sous la orme d un produit, on utilise donc la orme g (de dérivée g + g ). La dérivée de 8 2 (orme k ) est égale à 8 ( dérivée de 2 ) = 8 (2) = 6. La dérivée de 5 est elle égale à 0. Donc la dérivée de est égale à 6. D où le résultat inal : 6 dérivée de ( ) dérivée de 3) Dérivée de la onction déinie par () = : = La onction se présente sous la orme d un inverse, on va donc utiliser la orme (de dérivée ). On aura donc besoin 2 de la dérivée de : La dérivée de 7 2 (orme k ) est égale à 7 ( dérivée de 2 ) = 7 (2) = 4. La dérivée de 4 étant nulle, la dérivée de sera donc égale à 4. D où le résultat inal : dérivée de ( 4) 4 (4 7 2 ) 2 = (4 7 2 ) 2 S - Dérivation c P.Brachet - 5

6 DÉFINITION 6 Calcul d une équation de la tangente à une courbe en un point : Si est une onction déinie et dérivable sur un intervalle I contenant le réel a, alors la tangente à la courbe de au point d abscisse a est la droite passant par le point A(a, (a)) et dont le coeicient directeur est égal à (a). Si est une onction déinie et dérivable sur un intervalle I contenant le réel a, alors une équation de la tangente à la courbe représentative de au point d abscisse a est : y = (a) + (a)( a). Eemples : ) Soit T la tangente à la courbe représentative de la onction déinie par () = au point d abscisse 2. Une équation de T est : y = (2) + (2)( 2) - on calcule d abord (2) : (2) = = =. - on dérive : on en déduit la valeur de (2) : (2) = =. Une équation de T est donc : y = + ( 2) y = 3 2) Soit T la tangente à la courbe représentative de la onction déinie par () = 2 au point d abscisse. + 3 Une équation de T est : y = ( ) + ( )( ( )) y = ( ) + ( )( + )) - on calcule d abord ( ) : ( ) = 2( ) + 3 = on dérive : 2 ( + 3) (2 ) () = ( + 3) 2 = ( + 3) 2 = ( + 3) 2. - on en déduit la valeur de ( ) : 7 ( ) = ( + 3) 2 = 7 4. Une équation de T est donc : y = ( + ) y = y = c P.Brachet - S - Dérivation