Fonctions usuelles : Exercices

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1 1.II.1 - Chap. 02 Fonctions usuelles : Exercices 1 / 5 Fonctions usuelles : Exercices Exercice 1 Fonctions polynômiales 1. Étudier les variations et les ites des fonctions polynômiales suivantes : f(x) = 2x 2 4x + 1 g(x) = x2 x + 1 h(x) = x 2x 2 x À l aide de racines évidentes, étudier les variations et les ites des fonctions polynômiales suivantes : f(x) = x4 2 5x2 + 8x + 2 g(x) = x x5 x 4 + 8x x x 5 Exercice 2 Soit (α, β, γ) R et P la fonction polynômiale définie par : x R, P (x) = (x α)(x β)(x γ) On suppose que : α + β + γ = 0 1 α + 1 β + 1 γ = 2 α 2 + β 2 + γ 2 = 6 1. Quel est le degré de P? Quelles sont ses racines? Développer P (x) pour tout x R. 2. Déterminer les coefficients de P.. En déduire α, β et γ. Exercice fonctions rationnelles Soit f la fonction définie par : f(x) = x2 1 2x Donner l ensemble de définition D de la fonction f et déterminer les ites de f aux bornes de cet ensemble. 2. Démontrer qu il existe (a, b, c) R tel que : x D, f(x) = ax + b + c 2x + 1. (a) Démontrer que la courbe C f représentative de f admet une asymptote oblique d. (b) Étudier la position relative de C f et d. Exercice 4 Pour chacune des fonctions rationnelles suivantes, préciser l ensemble de définition, simplifier si possible, puis étudier les ites et variations : f(x) = x2 1 x 4 1 g(x) = x4 + 2x 1x x 6 x + x 2 5x +

2 1.II.1 - Chap. 02 Fonctions usuelles : Exercices 2 / 5 Exercice 5 Fonction exponentielle Étudier les variations et les ites des fonctions suivantes : Exercice 6 f(x) = ex x g(x) = x + 1 h(x) = e x2 i(x) = x 1. Étudier la position de la courbe représentative de la fonction exponentielle par rapport à chacune de ses cordes. 2. En déduire que : (a, b) R 2, e a+b 2 ea + e b 2 Exercice 7 Fonctions réciproques 1. (a) Établir que f : x x2 + 5x est croissante sur un intervalle I à préciser. (b) Calculer les ites de f(x) aux bornes de I. 2. (a) Justifier que f admet une fonction réciproque sur I. (b) Quel est l ensemble de définition de cette fonction réciproque? (c) Est-elle dérivable? Quelle est sa dérivée? Exercice 8 On considère la fonction f définie par f(x) = x 2 + ex (a) Démontrer que f admet une fonction réciproque dérivable. (b) Déterminer les ites de f en et Calculer f 1 ( 1 2 ), f 1 ( 1 2 ),f 1 (e) et f 1 (e).. Donner les équations des tangentes à la courbe représentative de f 1 au point d abscisse 1 2 d abscisse e. et au point Exercice 9 Résoudre les équations suivantes : + 6e x = 5 e 4x 1e 2x + 6 = 0 4e 2x + 15e x = 19 Exercice 10 Fonction logarithme népérien Résoudre dans R 2 le système Exercice Résoudre dans R les équations : ß e x = 10y = 5y ln(x 2) = 2 ln(x 1) ln(x + 1) ln ((x + )(x + 1)) = 2 ln(x 1) ln ln x = 1 2. Résoudre dans R inéquations suivantes : 1 2 ln(x 1) < ln(x + 1) ln(x2 4) ln ((x 1)(2x 6))

3 1.II.1 - Chap. 02 Fonctions usuelles : Exercices / 5 Exercice 12 Résoudre les systèmes suivants : ß x + y = 8 ln x + ln y = ln 15 ß ln xy = 7 ln x y = 1 ß x 2 + y 2 = 1 ln x + ln y = ln 6 Exercice 1 On considère la fonction f définie ci-dessous dont on note C la courbe représentative : f(x) = ln(ln x) 1. Préciser son ensemble de définition et étudier son sens de variation. 2. Soit (a, b) R 2 tel que 1 < a < b. (a) À l aide de deux dérivations successives, étudier les variations de : g : x f(x) f(b) f(a) (x a) f(a) b a (b) En déduire le signe de g puis étudier la position de C par rapport à chacune de ses cordes. (c) En déduire que : (a, b) ]1, + [ 2, ln a + b 2 ln a ln b Exercice 14 Pour tout m R, on considère la fonction f m définie par : f m (x) = mx 1. Étudier les variations et ites de f m. 2. Tracer Γ m, courbe représentative de f m pour m = 2.. On suppose dorénavant que f m admet un minimum atteint en x m. (a) Déterminer les coordonnées de A m Γ m d absciss m. (b) Déterminer l ensemble des points A m. Exercice 15 On considère la fonction f définie par : f(x) = ln(1 + x) x Exponentielle et logarithme népérien en base a 1. (a) Déterminer l ensemble de définition de f puis étudier ses variations. 2. Démontrer que : Exercice 16 n N, x ] n, n[, 1. Étudier les ites et variations de f : x x x. 2. Étudier les ites et variations de f : x 2 x 2x. Exercice 17 Résoudre le système ß xy = e 2 log x y + 2 log y x = 5 ( 1 + n) x n ( 1 x ) n n

4 1.II.1 - Chap. 02 Fonctions usuelles : Exercices 4 / 5 Exercice 18 Démontrer que le nombre de chiffres dans l écriture décimale d un entier n N est E(log n) + 1. Exercice 19 Soit n N et a R Étudier les variations de la fonction f définie sur [a, + [ par : f(x) = n x n a n x a 2. En déduire que : (a, b) R 2 +, n b n a n» b a Exercice 20 Calculs de ites 1. Calculer les ites suivantes : 2. Même question : x + ln x ln(x 2 + 1) x ln x x ln x x + x2 e x x 1 + x. Calculer les ites en + et des trois expressions suivantes : ln 2 x x + x + 1 ex ln x x + (x 4 e2x x2 1)e 2x 2 2 x 1 x Exercice Établir que : 2. Que dire si x R? x R +, x x 6 sin x x Exercice Résoudre les équations suivantes : sin x = cos x = 0 sin 2x = 0 cos 2x 1 = 1 2 Fonctions circulaires 2. Résoudre les inéquations suivantes : Exercice 2 cos x sin x > 0 tan x 1 1. Transformer les fonctions ci-dessous sous la forme A cos(x + ϕ), A et ϕ étant des réels à déterminer : 2. (a) Résoudre f(x) = 0. f(x) = cos x + sin x g(x) = cos x sin x h(x) = cos x + 4 sin x (b) Même question avec g et h.

5 1.II.1 - Chap. 02 Fonctions usuelles : Exercices 5 / 5 Exercice 24 Étudier (ensemble de définition, périodicité, variation, courbe) les fonctions suivantes : f(x) = cos x f(x) = ln(1 + 2 cos x) f(x) = e sin2 x Fonctions circulaires réciproques Exercice 25 Simplifier arccos cos x pour x [0, 2π] et arcsin sin x pour x [ π 2, 5π 2 Exercice 26 Exprimer arcsin 1 + arcsin 1 4 Exercice 27 Résoudre dans R les équations suivantes : sous la forme arcsin θ où θ R. arcsin 1 = arcsin arcsin x arccos x2 = arcsin(2x) ]. Exercice 28 Formules d addition et de duplication Établir que : x R +, x x th x x fonctions hyperboliques Exercice Simplifier l expression : ch ln x + x sh ln x. 2. Résoudre l équation ch ln x + x sh ln x = 1 x. Exercice 0 On considère la fonction f définie par f(x) = 1. (a) Déterminer l ensemble de définition de f. (b) (c) ch x+1 ch x 1. Étudier la parité de f et ses ites aux bornes de son ensemble de définition. Préciser la présence d asymptotes. Étudier les variations de f. (d) Donner l allure de sa courbe représentative. 2. Mêmes questions avec g définie par g(x) = 2 sh x + th x. Exercice 1 1. (a) Simplifier l expression ch argsh x pour tout x R. (b) Simplifier l expression th argsh x pour tout x R. 2. Donner la valeur exacte de argsh 1 + argsh 1 4.