4. Equation de Schröninger

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1 4. Equation de Schröninger Introduction Particule libre Paquets d ondes Particule libre localisée Puits de potentiel de profondeur infinie Puits de potentiel de profondeur finie Barrière de potentiel Microscope à effet tunnel Oscillateur harmonique à une dimension 1 FSAB 13 - Physique quantique Introduction Besoin d un outil mathématique pour déterminer les valeurs moyennes de la position, de la vitesse, de la quantité de mvt, de l énergie, de la quantité de mvt angulaire, etc. d une particule à partir de sa fonction d onde (x,y,z,t) Cet outil est décrit par la théorie quantique des champs Une forme simplifiée : l équation de Schrödinger (démarche phénoménologique) Hypothèses : Vitesse des particules v << c (non relativiste) Pas de création de particules virtuelles de masse au repos non nulle FSAB 13 - Physique quantique 1

2 Interprétation de la fonction d onde La fonction d onde décrit la distribution d une particule dans l espace similaire à la fonction d onde pour les ondes EM décrit la distribution des champs électrique et magnétique. ² calculé en chaque point représente la probabilité de trouver la particule autour de ce point. Pour une particule en mouvement, (x,y,z,t) ²dV est la probabilité de trouver la particule au temps t dans un volume dv autour du point (x,y,z). 3 FSAB 13 - Physique quantique Ondes stationnaires La valeur de (x,y,z,t) ² varie en fct du temps, ex. e - dans un tube de télévision allant de la cathode vers l écran. Un grand nombre de cas pour lesquels la particule est un état d énergie défini, càd ² est indépendant du temps état stationnaire, ex. e - autour d un noyau d atome. iωt ( x, y,z,t) = ( x, y,z).e i πft = ( x, y,z).e ( x, y,z,t) = ( x, y, z ) / h = ( x, y,z).e iet Pour décrire une onde stationnaire nous devons connaître (x,y,z) et son énergie E FSAB 13 - Physique quantique 4

3 Ondes stationnaires CM5 Diffraction et ondes stationnaires Prof. Piotr Sobieski 5 FSAB 13 - Physique quantique Equation de Schröninger Mécanique classique : Loi de Newton Electromagnétisme : Equations de Maxwell Physique quantique : Equation de Schröninger Pour une particule de masse m et d énergie E (constante) se déplaçant suivant un axe x, caractérisée par une fct d onde et sous l influence d une force au quelle correspond un potentiel d énergie U(x) : h d ( + U(. ( = E. ( m Indépendant du temps Energie Cinétique Energie Potentielle Energie Totale 6 FSAB 13 - Physique quantique 3

4 FSAB 13 - Physique quantique 4.1. Particule libre Supposons une particule libre (pas de force appliquée), càd U(x) = constant suivant x, par exemple U(x) =, de masse m, de quantité de mvt finie p et donc d énergie cinétique définie E = p /m onde stationnaire de longueur d onde λ = h/p ou de fréquence finie f = E/h. iet / h ( x,t) =.e = π Fonction d onde du système de forme : π p k = λ h d Schröninger + k = Solution générale : ω = πf =.hf = h me k = h ikx ikx = A.e + B.e E h A et B sont des constantes arbitraires Particule libre Pas de condition sur k, fonction propre générale : ( = C( k).e ikx Avec C(k) constante arbitraire indépendante de x et k pouvant varier de - à + Spectre continu d énergie : E = h k m Fonction d onde totale : Et i kx ( ) ( ) h x,t = C k.e = C( k).e hk t i kx m π λ = k ; ω = πf hk = m ; h k E = m = hω 8 FSAB 13 - Physique quantique 4

5 Particule libre non-localisée Particule libre de quantité de mvt bien déterminée p suivant x p x = et donc suivant le Principe d Heisenberg nous avons alors x = * * ikx iωt ikx iωt ( x,t) = ( x,t). ( x,t) = C ( e e ).C ( e e ) * = C.C = C x. p x h La probabilité de distribution ne dépend pas du temps, ni de la position de la particule, càd que l on peut retrouver la particule avec la même probabilité n importe où dans l espace. Cela n est pas étonnant, vu que la fonction d onde est une sinusoïdale qui s étend de x = - à x = + 9 FSAB 13 - Physique quantique 4.. Paquets d ondes En pratique, on a toujours une idée concernant la position de la particule, elle est localisée dans un espace connu. Pour ce faire, nous pouvons sommer un certain nombre de fonctions d onde définies par des k différents, on parle alors de paquets d ondes. FSAB 13 - Physique quantique = C( k).e ikx dk 1 5

6 4.. Paquets d ondes Si la fonction A(k) résulte seulement de la superposition d un nombre limité de nombres d onde autour de k, le paquet d ondes est étalé. k petit p petit x grand Si la fonction A(k) résulte de la superposition d un grand nombre de nombres d onde autour de k, le paquet d ondes est étroit. k grand p grand x petit 11 FSAB 13 - Physique quantique 4.3. Particule libre localisée Particule localisée est représentée par un parquet d ondes ( x,t) = C( k).e hk t i kx m k ne prenant que des valeurs notables qu autour d une valeur moyenne k dk Vitesse de déplacement = vitesse de groupe hk ω = m v g dω = dk k = k hk = m = p m 1 FSAB 13 - Physique quantique 6

7 Particules aux conditions limites Par exemple : particule liée à un atome U(x) dans certaines régions de l espace Pour U(x), l equation de Schröninger va être utilisée pour non seulement calculer les possibles états d énergie du système, mais aussi la probabilité de trouver une particule dans une région donnée h d ( + U(. ( = E. ( m Energie Cinétique Energie Potentielle Energie Totale 13 FSAB 13 - Physique quantique 4.4. Puits de potentiel infini Une particule confinée entre deux murs rigides (U(x) = ) Entre x = et x = L, U(x) = h d ( = E. ( m Solution générale : FSAB 13 - Physique quantique ikx ikx = A.e + B.e A et B définies aux conditions limites 14 7

8 4.4. Puits de potentiel infini = A.e = ikx + B.e ikx ( A + B) cos kx + i( A B) sin kx Conditions limites : En x =, (x) = B = -A (x) = C sin kx En x = L, (x) = kl = nπ, n = 1,, 3, nπ k = L ; π L λ = = k n 15 FSAB 13 - Physique quantique 4.4. Puits de potentiel infini et avec h d ( = E. ( m = C sin kx h k E = m nπ k = L Spectre discret d énergie : n h E n = 8mL 16 FSAB 13 - Physique quantique 8

9 4.4. Puits de potentiel infini La quantité (x) est proportionnelle à la probabilité que la particule se trouve dans le petit intervalle autour de x nπx L = C sin FSAB 13 - Physique quantique Contrairement à la mécanique classique, la probabilité de trouver la particule à un endroit donné entre les deux murs n est pas constante suivant x 17 Probabilité et normalisation La particule doit se trouver quelque part dans l univers, donc : L = 1 Dans le cas de la particule dans un puit de potentiel infini : nπx C sin = 1 L La normalisation permet de déterminer la constante C : C = L n = nπx sin L L 18 FSAB 13 - Physique quantique 9

10 4.5. Puits de potentiel fini U(x)= U(x)= Entre a/ < x < a/= U(x) = -U Et U(x) = ailleurs U(x)=-U -a/ a/ Energie totale : E Particule libre Spectre continu d énergie e - se déplaçant librement à la surface d un métal mais qui doit surmonter une énergie de potentiel correspondant au travail de sortie du métal (U ) pour sortir de celui-ci. FSAB 13 - Physique quantique Energie totale : -U E < Particule liée au puit de potentiel Mécanique classique : - spectre continu d énergie - particule strictement localisée dans [-a/, a/] Physique quantique??? Puits de potentiel fini Equation de Schröninger indépendante du temps h d ( = E. ( m h d ( U = E. ( m pour x > a/ pour x a/ Fonction d onde totale ( x,t) =.e iet h FSAB 13 - Physique quantique 1

11 4.5. Puits de potentiel fini Posons : me α = h m E β = h mu γ = h ( + U ) -U E < α, β, γ sont réels On considère α, β, γ > Equation aux valeurs propres : FSAB 13 - Physique quantique d ( α ( = d ( + β = pour x > a/ pour x a/ Puits de potentiel fini Solutions générales : = A.e = C sinβx + D cosβx = A.e αx αx + B.e + B.e αx αx pour x < -a/ pour a/ x a/ pour x > a/ A, A, B, C, D, B : 6 constantes d intégration Valeurs déterminées par : - Conditions aux limites (4) - Interprétation physique de la fonction d onde () FSAB 13 - Physique quantique 11

12 4.5. Puits de potentiel fini Interprétation physique de fonction d onde : Valeur finie de la densité de probabilité lorsque x tend vers + ou - A = B = Conditions aux limites Continuité de et de d/ en a/ et a/ α A.e α B.e α αa.e αb.e a / a / a / αa / + C.sin / + D.cos / = C.sin / + D.cos / = + βc.cos / βd.sin / = + βc.cos / + βd.sin / = Système d équations homogène Solutions non nulles si déterminant = (méthode des mineurs sur les éléments de la 1 ère colonne) FSAB 13 - Physique quantique β = a βtan α β cot + α Puits de potentiel fini β = a βtan α β cot + α Soit βtan α = = β cot + α tan = 1 Solution inacceptable car β est réel Donc, seulement deux cas distincts : βtan = α ; βcot = α 4 FSAB 13 - Physique quantique 1

13 4.5. Puits de potentiel fini Cas I : βtan = α C = et A = B = D.cos.e αx A.e = D.cosβx αx B.e αa / pour x < -a/ pour a/ x a/ pour x > a/ Normalisation D = α + αa FSAB 13 - Physique quantique Fonctions symétriques Puits de potentiel fini Cas II : βtan = α D = et A = B = C.sin.e αx B.e = C.sin βx αx A.e αa / pour x < -a/ pour a/ x a/ pour x > a/ Normalisation C = α + αa FSAB 13 - Physique quantique Fonctions antisymétriques 6 13

14 4.5. Puits de potentiel fini Valeurs de l énergie tan = αa ou tan = αa Equations implicites de E en fct de a et de U Valeurs possibles de E données par résolution numérique de : ( αa ) + ( ) = ( γa) = mu h a 7 FSAB 13 - Physique quantique 4.5. Puits de potentiel fini Détermination graphique tan = αa cot = αa ( αa ) + ( ) = ( γa) = mu h a Spectre discret d énergie : α E = h m Valeurs de α données par l intersections des courbes αa vs. et des arcs de cercles de rayon γa fonctions de a et U FSAB 13 - Physique quantique 8 14

15 4.5. Puits de potentiel fini Pour n = 1, 3, 5, fonctions d onde symétriques Pour n =, 4, 6, fonctions d onde antisymétriques Niveaux d énergie discrets pour E n < U Mais la particule libre (E > U ) présente un spectre continu d énergie FSAB 13 - Physique quantique Puits de potentiel fini Probabilité de présence hors du puit non nulle même si E < U contrairement à la mécanique classique FSAB 13 - Physique quantique «Pénétration de barrière» 3 15

16 4.6. Barrière de potentiel a Entre < x < a = U(x) = U Et U(x) = ailleurs Couche de diélectrique entre deux plaques métalliques dans lesquelles les e - peuvent se déplacer librement Particule venant de la gauche rencontre la barrière de potentiel Si l énergie totale : E < U Mécanique classique : - la particule est réfléchie par la barrière Physique quantique??? - la particule est réfléchie ou passe la barrière ou les deux? FSAB 13 - Physique quantique Barrière de potentiel Equation de Schröninger indépendante du temps h d ( = E. ( m h d ( + U = E. ( m h d ( = E. ( m pour x < pour x a pour x > a Fonction d onde totale ( x,t) =.e iet h 3 FSAB 13 - Physique quantique 16

17 4.6. Barrière de potentiel Posons : k α me = h m U = h ( E) avec k, a > Equation aux valeurs propres : d ( + k ( = d ( α = d ( + k = pour x < pour x a pour x > a 33 FSAB 13 - Physique quantique 4.6. Barrière de potentiel Solutions générales : = A.e = C.e = F.e ikx αx ikx + B.e + D.e + G.e ikx αx ikx pour x < pour x a pour x > a A, B, C, D, F, G : 6 constantes d intégration Valeurs déterminées par : - Conditions aux limites (4) - normalisation de la densité de probabilité (1) - Interprétation physique de la fonction d onde (1) 34 FSAB 13 - Physique quantique 17

18 4.6. Barrière de potentiel Interprétation physique x < ikx A.e ikx B.e x > a ikx F.e ikx G.e Seconde particule venant de +, physique impossible G = 35 FSAB 13 - Physique quantique 4.6. Barrière de potentiel Continuité de et de d/ en x = et x = a A + B = C + D ika ikb = αc αd αa αa ika C.e + D.e = F.e αa αa αc.e αd.e = ikf.e ika Système 4 équations à 5 inconnues Résolution : - division par A - substitutions successives 36 FSAB 13 - Physique quantique 18

19 4.6. Barrière de potentiel On obtient : B = A H C 1 = ik A H D 1 = ik A H F 1 = 4iαk e A H αa αa ( α + k )[ e e ] 1 ( α + ik) ( α ik) ika e e αa αa Avec H = αa αa ( α + ik) e ( α ik) e 37 FSAB 13 - Physique quantique 4.6. Barrière de potentiel Normalisation de la densité de probabilité : Détermination de A Spectre d énergie Pas de condition sur k et a Spectre continue d énergie entre et U Densité de probabilité en x > a F.F* probabilité non nulle pour la particule de traverser la barrière même si E < U contrairement à la mécanique classique «Effet tunnel» 38 FSAB 13 - Physique quantique 19

20 4.6. Barrière de potentiel Sinusoïdale Exponentielle Sinusoïdale 39 FSAB 13 - Physique quantique Microscope à effet tunnel d FSAB 13 - Physique quantique Principe : Mesure variations I t en fct du déplacement de la pointe Valeurs typiques : I t =.1 à 1 na, V bias = 1 mv à V, d = 1 nm Résolution :.1 nm (latérale) et.5 nm (vertical) 4