DEFINITIONS ET PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA RDM

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1 DEFINITIONS ET PRINCIPES FONDMENTUX DE L RDM 1 OJET DE L RDM PRINCIPES DE L STTIQUE.1 Défnton de l équlbre statque.1.1 Epresson du torseur des actons, moment d une force.1. Sstèmes de forces dvers 3. Les actons (ou forces etéreures) 4.3 Les dfférentes natures d appus (ou lasons) ppu smple glssant (sstème plan) 4.3. ppu smple fe (ou rotule ou artculaton) Encastrement 7.4 Dfférents tpes d actons Charge ponctuelle 8.4. Charges répartes Couple ponctuel 10 3 ISOSTSTISME, HYPERSTSTISME Défnton Eemples Structures sostatques Structures hperstatques Mécansmes Hperstatcté et sécurté 1 4 METHODE DES COUPURES Prncpe Eemple Généralsaton 15 TP1 C01 Défntons et prncpes fondamentau Page 1 sur 17

2 1 OJET DE L RDM La Résstance des Matérau a pour objet l étude de la stablté et de la résstance des constructons. Elle consttue l outl ndspensable à l ngéneur-constructeur pour concevor et réalser des ouvrages économques qu ne rsquent n de se rompre n de se déformer ecessvement sous les actons qu leur sont applquées (charges ou déformatons mposées). Mots clés : ctons ; calcul des efforts la structure ; calculs des déformatons ; matérau. PRINCIPES DE L STTIQUE On ne s ntéressera qu au structures supposées mmobles et en équlbre sous l effet des dfférentes actons qu leur sont applquées. En partculer, la dnamque des structures ne sera pas abordée. Nous verrons même plus lon que les actons dovent être applquées au structures de manère lente, progressve (applcaton quas-statque des charges). La résstance des matérau fat donc en premer leu appel à la Statque..1 Défnton de l équlbre statque Un solde est en équlbre s l est soums à un sstème de forces ou de couples formant un torseur nul, c est à dre dont les composantes : de la résultante générale R et du moment résultant général Γ sont nulles Le moment résultant général Γ comprend les couples applqués au solde ans que les moments des forces, dont la valeur dépend du pont d applcaton..1.1 Epresson du torseur des actons, moment d une force Le sstème (R ; Γ ) est appelé torseur des actons ou des efforts. On pourrat penser que la composante en moment du torseur dépend du pont où l équlbre est eprmé car la résultante Reerce un moment varable en foncton du pont consdéré. En effet, s l on suppose une force Fapplquée en un pont P, celle-c eerce en un pont dstnct de P un moment : M = P F Son ntensté vaut M = F.P.sn( P,F) =F.δ Le moment de la force en est nul s la force F est nulle ou s le support de F passe par. F δ P Le moment de la même force en un pont dfférent de s écrt : M = P F = + F M Supposons que le solde est en équlbre sous l acton de forces F seules. S l on écrt l équlbre de ce solde par rapport à un pont, l vent : TP1 C01 Défntons et prncpes fondamentau Page sur 17

3 F = 0 et P = 0 F Ecrvons cet équlbre par rapport à un pont, l vent : F = 0 et P = 0 F Or : P F = ( + P ) F = F + P F. Comme F = 0, P F = P F. Proprété fondamentale : Le moment d un sstème de forces en équlbre peut s écrre en n mporte quel pont..1. Sstèmes de forces dvers Les équatons de la statque, qu eprment l équlbre, sont au nombre : - de 6, pour une structure spatale, sot, en prenant pour repère un repère orthonormé OXYZ : R = R = R = 0 ; Γ = Γ = Γ = 0 ; - de 3, pour une structure plane et chargée dans ce plan (OXY) : R = R = 0 ; Γ = 0 ; - de, pour une structure plane drote de drecton OX soumse à des forces parallèles à une même drecton OY (eemple des forces de pesanteur) : R = 0 ; Γ = 0 ; ttenton! Nous verrons que dans les cas d arcs et de portques, qu se déploent dans drectons, cela n est plus le cas : un sstème de forces vertcales applqué à un portque ou un arc pourra fare apparaître des réactons horontales. L écrture des équlbres se fat dans un repère dans lequel les forces et couples sont orentés. Γ R R R Γ Γ Le cho des orentatons est lbre ; ce qu mporte, c est de se fer une orentaton et de la garder dentque pour toutes les résultantes et tous les moments lors de l écrture des équlbres. TP1 C01 Défntons et prncpes fondamentau Page 3 sur 17

4 . Les actons (ou forces etéreures) Elles comprennent : - les charges permanentes : pods propre du solde, pods des superstructures d un ouvrage (chaussée, trottor, garde corps, canalsatons, etc) ; - les charges varables : vent, véhcules, pétons, température, etc ; - des déformatons ou déplacements mposés : gradent de température, tassement d appu, etc ; - les réactons d appu du solde qu, du pont de vue du solde, sont des charges etéreures. Elles sont en général nconnues et peuvent se dédure de l applcaton du prncpe de la statque..3 Les dfférentes natures d appus (ou lasons) Un sstème matérel est au contact d autres soldes (le sol, un massf de fondatons, des ples de pont, etc) par l ntermédare de lasons. Les appus sont des obstacles, empêchant ou lmtant la lberté de mouvement du sstème matérel en ces endrots. Tout mouvement entravé par la lason entraîne l apparton d une réacton d appu (ou acton de lason) dans la drecton du mouvement gêné ou bloqué. tout mouvement de translaton entravé dans une drecton donnée correspond une force de lason ou acton d appu aant cette drecton ; tout mouvement de rotaton autour d un ae donné entravé correspond un torseur de forces de lason équvalent à un couple. Le vecteur représentatf du couple a pour support l ae précté. Pour les sstèmes plans, les mouvements possbles se ramènent à une rotaton autour d un ae normal au plan du sstème et à une translaton dans une drecton quelconque du plan, sot tros degrés de lberté. {S} {R}.3.1 ppu smple glssant (sstème plan) Un solde S 1 est en appu smple sur un solde S, s le contact entre S 1 et S est ponctuel et permet deu degrés de lberté de S 1 par rapport à S : - une translaton d ae : - une rotaton d ae. La réacton d appu en est donc perpendculare au plan tangent en, seule son ntensté suvant est nconnue : TP1 C01 Défntons et prncpes fondamentau Page 4 sur 17

5 [ R ] 0 V 0 S 1 Mouvements possbles de S 1 par rapport à S. S Représentaton : L appu smple glssant est représenté par le smbole suvant : S 1 La ponte du trangle smbolse le fat que l appu est ponctuel, permettant ans la rotaton autour de la ponte du trangle, tands que les deu rouleau sgnfent que ce derner est glssant. Eemples d appus smples glssants (ou lbres) : S.3. ppu smple fe (ou rotule ou artculaton) Par rapport à l appu smple glssant, l appu smple fe offre un degré de lberté en mons : l appu est toujours ponctuel, mas l ne permet plus que la rotaton, autour de l ae, du solde S 1 par rapport au solde S. La réacton d appu de S sur S 1 a donc deu composantes, une horontale et une vertcale : TP1 C01 Défntons et prncpes fondamentau Page 5 sur 17

6 [ R] H V 0 S 1 Mouvement possble de S 1 par rapport à S. S Représentaton : L appu smple fe est représenté par les smboles suvants : S 1 S 1 S S L appu smple fe est appelé également rotule ou artculaton, comme l llustre le second dessn. Eemples d appus smples fes (ou rotules ou artculaton) Eemple d applcaton à grande échelle : la dgue de Monaco La dgue de Monaco est un casson flottant en béton précontrant, de 400m de long envron, destné à accroître les capactés portuares et sécurser le port de la Prncpauté. Cette dgue est relée à la terre par une lason rotule. Vue aérenne de la dgue en phase d accostage TP1 C01 Défntons et prncpes fondamentau Page 6 sur 17

7 Organes composant la rotule : à gauche côté terre ; à drote côte dgue.3.3 Encastrement L encastrement ne permet plus aucune degré de lberté de S 1 par rapport à S. La réacton d appu de S sur S 1 a alors tros composantes : - une force horontale H suvant la drecton ; - une force vertcale V suvant la drecton ; - un couple C d ae. [ ] R H V C S 1 S Représentaton : L encastrement est représenté par le schéma suvant : S 1 S TP1 C01 Défntons et prncpes fondamentau Page 7 sur 17

8 Eemples d appus encastrés.4 Dfférents tpes d actons.4.1 Charge ponctuelle C est une charge unque applquée en pont de la structure et représentée par un vecteur. Unté : N, MN, t Eemple : camon roulant sur un pont. Le pods du camon se répartt sur les esseu, qu eercent des forces ponctuelles sur le pont : 6 t 1 t 1 t 4 m 3 m 9 m 4 m Calcul des réactons d appus : Σ F v = 0 => V + V -30 = 0 Σ M/ = 0 => V 0 = 0, sot V = 15 t. On dédut alors V = 15 t. Rem : Le groupe de charges ponctuelles peut être remplacé, pour l écrture de l équlbre général de la structure, par leur résultante postonnée au centre de gravté des tros charges. Poston du centre de gravté par rapport à l esseu de 6 tonnes : g = = 6 m. Le schéma du chargement précédent est donc équvalent au chargement suvant : 30 t 4 m 6 m 10 m TP1 C01 Défntons et prncpes fondamentau Page 8 sur 17

9 Ce schéma de chargement est smétrque, on dédut drectement que V = V = 15 tonnes. ttenton cependant! le chargement équvalent n est pas le chargement réel de la structure, l n a pas de charge ponctuelle au mleu de la poutre, ce n est qu un schéma statque aant les mêmes résultantes et engendrant les mêmes réactons que le chargement réel..4. Charges répartes.4..1 Charges unformément répartes C est une charge d ntensté constante qu s applque sur une certane étendue de la structure. Unté : MN/ml, N/ml, t/ml Eemple : vent applqué sur la façade d un mmeuble : p = 100 dan/m² p = 100 dan/m² R = 1 MN H = 100 m 0,5H w = 1000 dan/ml R L mmeuble est soums à une presson due au vent, égale à p = 100 dan/m², unformément réparte sur une façade de largeur = 10m. Il en résulte une charge unformément réparte d ntensté w = 1000 dan/ml applquée à la tour, consdérée encastrée sur ses fondatons. Les réactons d appus sont données par les équatons d équlbre : H ΣF = 0 => R w ( ) d = 0, sot R - wh = 0, sot R = wh = dan = 1 MN 0 H ΣM = 0 => C - 0 C H w ( ). d. = 0, sot C - w = 0 sot C = w H = dan.m = 50 MN.m La charge unformément réparte peut être remplacée, pour l écrture de l équlbre global de la structure, par une sa résultante R = wh stuée au barcentre de la charge sot l abscsse H/. Ces deu schémas de charges sont statquement équvalents pour la détermnaton des réactons d appus. Ils ne le sont pas en ce qu concerne le comportement même de la tour, en partculer ce qu est «ressent» à chaque étage : ans, dans le cas du deuème cas (résultante ponctuelle stuée à m-hauteur de la tour), les étages stués au dessus de la résultante ne sont pas soums à des pressons, ce qu n est pas le cas du 1 er cas..4.. Charge réparte d ntensté varable Les charges répartes peuvent vor leur ntensté varer le long de la structure sur laquelle elles s applquent. Eemple : mmeuble soums à une charge de vent trangulare. Reprenons l eemple précédent avec une presson nulle au nveau du sol et d ntensté p= 100 dan/m² au sommet : TP1 C01 Défntons et prncpes fondamentau Page 9 sur 17

10 p = 100 dan/m² R=0,5wH H = 100 m /3H L écrture de l équlbre de l mmeuble amène : H ΣF = 0 => R w ( ) d =0, sot R - wh/ = 0, sot R = wh/ = dan = 0,5 MN 0 H H H ΣM = 0 => C - w ( ). d. =0, sot C - w = 0, sot C = w = dan.m = 33,3 MN.m La charge trangulare peut être remplacée, pour l écrture de l équlbre global de la structure, par une sa résultante R = wh/ stuée au barcentre de la charge sot l abscsse H/3. Consel : lorsqu une charge w est varable suvant une abscsse, l mporte en premer leu d établr la lo de varaton w() de cette charge..4.3 Couple ponctuel Eemple : R C C V a L Consdérons une poutre de longueur L sur deu appus smples soumse à un couple d ntensté C stué à l abscsse a. L écrture de l équlbre de la poutre amène : ΣF = 0 => V + V = 0 sot V = - V ΣM / = 0 => C +V L = 0 sot V = - C/ L. On dédut alors que V = + C/L. On remarquera que les réactons d appus ne dépendent pas, dans ce cas, de la poston du couple. b V TP1 C01 Défntons et prncpes fondamentau Page 10 sur 17

11 3 ISOSTSTISME, HYPERSTSTISME 3.1 Défnton Consdérons une structure plane, soumse à un chargement etéreur. Cette structure a des appus qu ont au total r composantes de réactons, à détermner. La structure étant plane, on dspose de 3 équatons pour écrre l équlbre global de la structure et donc détermner les réactons d appus. Notons h = r -3. S h = 0 alors la structure est dte sostatque, l écrture des équatons de la statque sufft seule à détermner les réactons d appus. S h> 0, la structure est dte hperstatque d ordre h ; l écrture des équatons d équlbre ne sufft pas seule à détermner les réactons d appus. Il faudra écrre d autres équatons. Nous verrons plus lon que ces équatons supplémentares seront trouvées en rasonnant sur les déformatons de la structure. S h< 0, la structure est un mécansme, elle n est pas stable. 3. Eemples 3..1 Structures sostatques Réactons : H, V, V Réactons : H, V, C Réactons : H, V, V 3.. Structures hperstatques h = 1 h = 3 h = 1 TP1 C01 Défntons et prncpes fondamentau Page 11 sur 17

12 3..3 Mécansmes C-dessous des eemples de structures nstables et de leur schéma cnématque. 3.3 Hperstatcté et sécurté Les structures fréquemment rencontrées, surtout dans le bâtment, sont fortement hperstatques. ns, un bâtment à n poteau encastrés à leur base possède un degré d hperstatsme égal à 6(n-1), dans le cas d une structure non plane. Ce fort degré d hperstatsme est un facteur de sécurté : la dsparton accdentelle d un appu n entraîne pas sstématquement la rune totale du bâtment, celle-c peut n être que locale. Pour eemple, lors de la tempête de fn décembre 1999, un des bâtments du projet «Cœur Défense» a perdu un poteau à sa base par sute de l effondrement d une grue. u leu d avor des travées espacées de 8m, le bâtment de 10 étages a dû franchr une portée double, de 16 m, au drot du poteau dsparu. Le bâtment ne s est pourtant pas effondré ; les planchers des dfférents nveau se sont affassés : l affassement du premer nveau état de l ordre de 10 cm au nveau du premer étage, au derner étage l n état que de quelques mllmètres. La structure s est adaptée, elle a adopté un autre comportement, en l occurrence, un fonctonnement en poutre-échelle. daptaton d un portque complee à la rune d un de ses appus Une autre llustraton de la sécurté amenée par une structure hperstatque peut être trouvée dans le cas d une poutre contnue dont une travée est soumse au feu : supposons que le feu entraîne la rune d une travée, cellec a leu en général vers le mleu de la travée. Mécanquement, la rune se tradut par le changement de la nature de la travée en cause ; d une travée contnue, elle passe à deu consoles en contnuté avec les travées adjacente. La poutre contnue devent ans un ensemble de deu poutres se termnant par des consoles. Cette structure est cependant encore stable, ben que son degré d hperstatsme sot mons élevé. TP1 C01 Défntons et prncpes fondamentau Page 1 sur 17

13 Les fgures c-dessous donnent les déformatons d une poutre contnue soumse à une charge unformément réparte. Dans le premer cas, la structure est complète ; dans le second, la secton au mleu de la poutre est soumse à la rune, par le feu par eemple. Les allures des déformées sont ben sûr très dfférentes, la flèche au mleu est notamment ben plus mportante dans le second cas. Néanmons, malgré la rune de la secton médane, la structure reste stable. Poutre soumse à une charge unformément réparte. En vert : allure de la déformée Même poutre dont la secton centrale est runée par le feu par eemple - déformée l nverse, une structure sostatque offre peu de sécurté en cas d accdent : une rune locale peut entraîner la rune de l ensemble de la structure. L eemple le plus smple peut être trouvé dans le cas d une poutre sur deu appus smples soumse au feu. La rune d une secton quelconque de la poutre causée par le feu entraîne l nstablté de toute la poutre et donc sa rune. Un eemple récent est la rune de la voûte de la jetée (hall d embarquement) de l aérogare Charles de Gaulle E. Cette voûte n étant pas fortement hperstatque, une rune locale (un ponçonnement trop mportant au drot des bracons etéreurs) a entraîné une rune de l ensemble de la secton de la voûte. TP1 C01 Défntons et prncpes fondamentau Page 13 sur 17

14 Pont de rupture par ponçonnement de la voûte raquon Câble sous-tendeur Coque en béton Schéma de la secton transversale de la voûte de la jetée de l aérogare CDG E Rune de la secton entraînant la rune générale de la coque N : ce derner eemple est prs non pas pour dre que l ouvrage a été mal conçu, mal dmensonné ou mal construt, mas pour llustrer le fat qu une structure sostatque ou peu hperstatque offre mons de sécurté en cas de rupture d un appu ou d une rune locale. TP1 C01 Défntons et prncpes fondamentau Page 14 sur 17

15 4 METHODE DES COUPURES 4.1 Prncpe Le prncpe sur lequel repose cette méthode est le prncpe suvant lequel, pour un solde soums à un chargement et en équlbre, toutes ses partes sont alors en équlbre. La méthode des coupures consste, comme l ndque son nom, à procéder à une coupure fctve du solde pour fare apparaître des efforts nternes. 4. Eemple Consdérons une poutre drote soumse à un chargement unformément répart. p G O D V L équlbre de la structure mplque pour les réactons d appus : V = V D = pl/. G O H D V D C D Isolons mantenant G,la moté gauche de la structure. Celle-c est en équlbre sous l effet de : - la charge p qu lu est applquée ; - la réacton d appu V ; - les actons eercées par D, la moté drote de la structure. L écrture de l équlbre de G permet de détermner les efforts eercés par D sur G : ΣF H = 0 => H D = 0 ; ΣF V = 0 => V pl/ - V D = 0 => V D = 0 ; ΣM/ O = 0 => -V L/ + pl²/4 + C D = 0 => C D = pl²/8. La méthode des coupures est très souvent emploée, elle permet d accéder au efforts nternes qu se développent dans une structure et de calculer les contrantes qu en résultent. 4.3 Généralsaton De manère plus générale, l est possble, selon le même procédé de mettre en évdence ces efforts nternes dans toute secton Σ d abscsse, en procédant à une coupure. S l on note N(), T() et M() la projecton sur les tros aes des actons de la parte Drote sur la parte Gauche et s l on écrt l équlbre de la parte gauche, on obtent alors : F = 0 N( ) = 0 F = 0 V p T ( ) = 0 d où T( ) = V p = p p M / = 0 p T ( ). + M ( ) = 0 L M ( p L d où ) = ( ) Ces tros efforts sont appelés respectvement effort normal, effort tranchant et moment fléchssant. TP1 C01 Défntons et prncpes fondamentau Page 15 sur 17

16 p G Σ D M() G T() N() V rem : l epresson du moment aurat également être obtenue en écrvant l équlbre des moments non pas par rapport au pont, mas par rapport à l endrot où la coupure a été fate (plus eactement le centre de gravté de la secton de coupure). Cette équaton donne : M / = 0 V + p + M ( ) = M ( p L Σ 0 d où ) ( ) On obtent évdemment la même epresson que précédemment. =. Il est alors possble de tracer les évolutons des tros composantes N(), T() et M(). Ces tros fonctons sont tracées séparément sur la structure. Evoluton de N() O Evoluton de T() pl/ + - Evoluton de M() -pl/ M ma =pl²/8 + Pour ben tracer la foncton M(), l convent d étuder le sgne de sa dérvée. TP1 C01 Défntons et prncpes fondamentau Page 16 sur 17

17 dm ( ) d pl p T Or, = = ( ). On généralsera par la sute ce résultat que la dérvée du moment fléchssant est l effort tranchant. Il est donc consellé de tracer en premer leu les évolutons de l effort tranchant, dont le sgne nous permettra de tracer correctement les évolutons du moment fléchssant. TP1 C01 Défntons et prncpes fondamentau Page 17 sur 17