I. ÉTUDE DES FONCTIONS SIN ET COS

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1 I. ÉTUDE DES FONCTIONS SIN ET COS Les propriétés mises en évidence au thème précédent vont permettre d étudier les fonctions trigonométriques { { R R R R cos : et sin : x cosx) x sinx). On fixe un repère orthogonal O ; ı, j ) du plan et on note respectivement C et S les courbes des fonctions cos et sin dans ce repère. A) Étude de la fonction cosinus Périodicité : cos est définie sur R et : pour tout réel x, cosπ + x) = cosx). On en déduit que cos est π-périodique et que C est invariante par translation de π i. On peut donc restreindre l étude à un intervalle d amplitude π ; on choisit, pour des raisons de symétrie, [ π; π. Parité : cos est définie sur R symétrique par rapport à 0) et : pour tout réel x, cos x) = cosx). La fonction cosinus est donc paire et C est symétrique par rapport à Oy). On peut donc restreindre l étude à l intervalle [0; π. Symétrie centrale : pour tout réel x, cosπ x) = cosx). On en déduit que C est symétrique par rapport au point A π ;0). On peut donc restreindre l étude à l intervalle [0; π. Variations sur [0; π : cos est positive et strictement décroissante sur [0; π et { cos0) = 1 cos π ) = 0. Signe sur R : cosx) > 0 π + k π < x < π + k π k Z). D après le tableau de valeurs donné au thème 9A, on en déduit la courbe C sur [0; π ci-contre. L étude des symétries et de la périodicité permet d obtenir enfin la courbe globale ci-dessous. Exercice 1 Applications : études de signe) Résoudre : cos 3x + π ) > 0 ; cosπ x) 0 ; cos x ) > 0 et cos x 0. 6 Hypokhâgne B/L 010/011 1/5 Lycée Félix Éboué, le 6/01/11

2 B) Application à l étude de la fonction sinus Translation : pour tout réel x, sinx) = cos π x) = cosx π ). On en déduit que la courbe S est l image de C par la translation de vecteur π i. Propriétés analogues de sin Périodicité : pour tout réel x, sinπ + x) = sinx). sin est π périodique et S est invariante par translation de vecteur π i. Parité : pour tout réel x, sin x) = sinx). sin est impaire et S est symétrique par rapport à l origine du repère. Symétrie : pour tout réel x, sinπ x) = sinx). S est symétrique par rapport à la droite d équation x = π. Variations sur [0; π : sin est strictement croissante et positive sur [0; π et { sin0) = 0 sin π ) = 1. Signe sur R : sinx) > 0 k π < x < k + 1)π k Z). Remarque 1 Relation cos/sin) pour tout réel x, cosx) = sin π x). Cette relation montre aussi que C est l image de S par la reflexion d axe : x = π. II. DÉRIVATION ET APPLICATIONS A) Fonctions dérivées Exercice Introduction) Partie 1 : Un lemme trigonométrique Le plan est rapporté à un repère orthonormal Ω, u, v). On note Γ le cercle trigonométrique de centre Ω et T la droite tangente à Γ au point I 1;0). On considère un réel h appartenant à l intervalle 0; π [ et, sur le cercle Γ : le point M d abscisse curviligne h, le projeté C de M sur Ω, u), le projeté S de M sur Ω, v) et le point d intersection T de T avec la droite OM). 1. Exprimer, en fonction du réel h, les grandeurs suivantes : l aire Ah) de ΩMC l aire Bh) de ΩI M l aire Ch) de ΩI T l aire Dh) de ΩI M. secteur angulaire).. Par des considérations d aires, justifier que : Ah) Bh) Dh) Ch). 3. En déduire que : cosh sinh h 1 1 cosh. sinh Puis que : lim h 0 + h = 1. Partie. Aspect fonctionnel 1. Dérivabilité de sin en 0 sinh 1) En raisonnant par parité, justifier que lim h 0 h. ) Que peut-on en déduire quant à la dérivabilité de sin en 0? Quelle-est la tangente à S au point d abscisse 0? Hypokhâgne B/L 010/011 /5 Lycée Félix Éboué, le 6/01/11

3 . Dérivabilité de cos en 0 ) X On admet que, pour tout réel X, cosx ) = 1 sin cosh 1. Calculer lim. Conclure. h 0 h Proposition 1 Comportement local en 0) sinx) Comme lim = 1 alors la fonction sin est dérivable en 0 et sin 0) = 1. Par suite : x la droite d équation y = x est tangente à S en O ; sinx) < x si x > 0 et sinx) > x si x < 0. cosx) 1 Comme lim = 0 alors la fonction cos est dérivable en 0 et cos 0) = 0. Par suite : x la droite d équation y = 1 est tangente à C au point A0;1) ; Exercice 3 Application au calcul de limite) Calculer : sinx) cosx) 1 lim + x + x sinx ) x cosx) 1 sinx) cosx ) 1 sin x) 1 cos5x + x ) sin. 3x) Exercice Dérivation sur R) On admet que sinx + Y ) = sinx ) cosy ) + cosx ) siny ), pour tous réels X,Y. Soit a un nombre réel quelconque. sina + h) sin a 1. Montrer que, si h 0, alors = sin a cosh 1 + cos a sinh h h h.. En déduire que la fonction sin est dérivable en a et calculer sin a). 3. En utilisant cosx ) = sin π X ), prouver que cos est dérivable en a et calculer cos a). Proposition Fonctions dérivées) 1. Les fonctions sin et cos sont dérivables sur R et. Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. { sin = cos cos = sin. Alors les fonctions sinu et cosu sont dérivables sur I et : { sinu) = u cosu cosu) = u sinu. Remarque Cas particulier) Si u : x m x + p est une fonction affine m, p R) alors x sinm x + p) et x cosm x + p) sont dérivables sur R avec : d dx [ sinm x + p) = m cosm x + p) et d dx [ cosm x + p) = m sinm x + p). Exercice 5 Applications directes) Calculer les dérivées des fonctions suivantes : α : x cos 3 x + π ) ; β : x 5sin x π ) 3 ; γ : x 1 sinx + sin x sin6x) ; ε : x sin x ) ; θ : x sin x) ; χ : x 1 3 µ : x lncos x ; κ : x sinln x ; ξ : x 1 sin x sinx cos 3 6x ) ; e sin x 1 ) sinx + cos3 x ). Hypokhâgne B/L 010/011 3/5 Lycée Félix Éboué, le 6/01/11

4 Exercice 6 Un classique : dérivées successives) Montrer par récurrence sur n N que : cos n) x = cos x + n π ) et sin n) x = sin x + n π ) Exercice 7 Etudes de fonctions) 1. On considère la fonction u : x sin3x + π 6 ), définie sur R. a) Donner sa période, sa fréquence et sa pulsation. b) Dresser le tableau de signe de sin sur l intervalle [ π, π. En déduire celui de u sur [ π 3, π 3. c) Suivre une démarche similaire pour dresser le tableau de variation de u sur [ π 3, π 3.. On considère la fonction v : x cos5x π ), définie sur R. a) Pourquoi peut-on restreindre l étude à l intervalle [ π 5, π 5? b) Calculer la dérivée de v. c) A l aide du tableau de signe de sin, dresser celui de v. En déduire le tableau de variation de v sur [ π 5, π 5. Exercice 8 IEP 005) { [0;3π R Soit la fonction f : x x + cos x. 1. Montrer que f est continue, croissante de [0;3π dans R.. Quelle-est l image de [0;3π par f? 3. Résoudre l équation f x) = x sur [0; 3π. B) Fonctions tangente et cotangente Exercice 9 Introduction) 1. 1) En utilisant tanx) = sinx) cosx), montrer que tan x) = 1 + tan x). ) En utilisant cos x) + sin x) = 1, en déduire que 1 + tan x) =. Établir de même formules concernant la fonction cotangente. Proposition 3 Dérivées) tan est dérivable sur tout intervalle de la forme π + k π;+ π + k π [ 1 cos x). k Z) et : tan = 1 + tan = 1 cos. La fonction cotan est dérivable sur tout intervalle de la forme k π;k + 1)π[ et : cotan = 1 + cotan ) = 1 sin. Exercice 10 Applications directes) Calculer les dérivées des fonctions suivantes : α : x tan x ) ; β : x 5cotan x π ) ; γ : x tan 3 x π ) ; ε : x tan x ) ; θ : x tan x) ; χ : x cotan x π). Proposition Propriétés de tan) La fonction tan est impaire et π périodique sur R \ Sur l intervalle π ;+ π [ : tanx) est du signe de x ; tan est strictement croissante ; lim tan = + et lim tan =. π/) π/) + { π + k π ; k Z }. Au voisinage de 0 : la droite d équation y = x est tangente à C tan en O ; si x 0; π [ alors tanx) > x, si x π ;0[ alors tanx) < x. Hypokhâgne B/L 010/011 /5 Lycée Félix Éboué, le 6/01/11

5 Remarque 3 Conséquences) 1. L équation tanx) = 0 admet pour ensemble solution {k π ; k Z} noté πz).. Toute droite d équation x = π + k π est asymptote de C tan. Proposition 5 Propriétés de cotan) La fonction cotan est impaire et π périodique sur R \ {k π ; k Z}. Sur l intervalle 0; π[ : cotanx) est du signe de π x ; tan est strictement décroissante ; lim π cotan = et limcotan = Au voisinage de π : la droite d équation y = π x est tangente à C cotan au point A π ;0) ; si x 0; π [ alors cotanx) > π x, si x π ;π[ alors cotanx) < π x. Conséquences 1. L équation cotanx) = 0 admet pour ensemble solution { π + k π ; k Z }.. Toute droite d équation x = k π est asymptote de C cotan. Hypokhâgne B/L 010/011 5/5 Lycée Félix Éboué, le 6/01/11