3D Compléments de cours. Guy GREISEN

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "3D Compléments de cours. Guy GREISEN"

Transcription

1 3D Compléments de cours Guy GREISEN 14 septembre 2009

2

3 3D 3 Table des matières 1 SECOND DEGRÉ Introduction Formule générale Produit des racines Somme des racines Factorisation Simplification des fractions et résolution d équations avec fractions Équations bicarrées Signe du trinôme du second degré Résolution d inéquations Équations et Inéquations irrationnelles DISTANCES Distances Équation cartésienne d un cercle Paraboles Manipulations Application au trinôme du second degré TRIGONOMÉTRIE Cercle trigonométrique Repérer un point sur le cercle trigonométrique Conversion Radians Degrés Fonctions trigonométriques Angles remarquables Angles associés Démonstration des formules trigonométriques Relation du sinus et du cosinus dans le triangle quelconque FONCTIONS Relation, fonction, application, injection, surjection, bijection Fonctions usuelles Parité, périodicité et variations Manipulations de fonctions

4 3D Fonction homographique Composition de fonctions Relation, fonction et bijection réciproque DROITES, PARALLÉLISME, PERPENDICULARITÉ Vecteurs Définition et notations Vecteurs égaux Opérations et propriétés Base orthonormée et composantes Vecteurs colinéaires et critère Vecteurs orthogonaux et critère Équations d une droite Équation d une droite passant par un point et de direction donné Équation d une droite passant par un point et de direction perpendiculaire donnée Critères de droites parallèles Critères de droites perpendiculaires Probabilités Introduction Exemple Univers et événements Opérations sur les événements Probabilités Exemple Définition Disjonction Evénement contraire Probabilité conditionnelle Événements indépendants Suites Introduction au suites Définition Exemple Notations Suites arithmétiques Définition Formule du n-ième terme Formule de la somme des n premiers termes Exemple Suites géométriques Définition

5 3D Formule du n-ième terme Formule de la somme des n premiers termes Exemple STATISTIQUES Introduction Activité 1 page Activité 3 page Exercice 539/340/a)

6 Chapitre 1 SECOND DEGRÉ 1.1 Introduction x 2 2x 3 = 0 (x 1) 2 4 = 0 (x 3)(x + 1) = 0 x 2 2x + 1 = 0 (x 1) 2 = 0 x 1 = 0 x 2 2x + 4 = 0 (x 1) = 0 x 1.2 Formule générale Equation du second degré : Discriminant : ax 2 + bx + c = 0 = b 2 4ac { b + > 0 = S = ; b } 2a 2a = 0 = S = { } b 2a < 0 = S = 1.3 Produit des racines p = αβ = c a 1.4 Somme des racines s = α + β = b a

7 3D Factorisation ax 2 + bx + c = a(x α)(x β) = a(x 2 sx + p) 1.6 Simplification des fractions et résolution d équations avec fractions Simplifier : domaine d existence factoriser numérateur et dénominateur simplifier par les facteurs communs Résoudre une équation : domaine d existence multiplier par le plus petit commun multiple terminer la résolution sans dénominateurs 1.7 Équations bicarrées Poser t = x n ax 2n + bx n + c = 0 avec n N, a R Signe du trinôme du second degré Discriminant : > 0 ax 2 + bx + c = b 2 4ac = α = b + β = b 2a 2a = ax 2 + bx + c = a(x α)(x β) Règle : Le signe du trinôme du second degré est celui du coefficient de x 2, c est à dire le signe de a, sauf entre les racines α et β = 0 = α = b = ax 2 + bx + c = a(x α) 2 2a Règle : Le signe du trinôme du second degré est celui du coefficient de x 2, c est à dire le signe de a, et il s annule en α [ ( < 0 = ax 2 + bx + c = a x + b ) ] 2 + 2a 4a 2 } {{ } >0 Règle : Le signe du trinôme du second degré est celui du coefficient de x 2, c est à dire le signe de a 1.9 Résolution d inéquations Domaine d existence ou de définition Dénominateur commun Comparer à 0 Tableau des signes

8 3D Équations et Inéquations irrationnelles L inconnue se trouve sous un ou plusieurs radicaux. Si les deux membres sont positifs alors on obtient une (in)équation équivalente en élevant au carré les deux membres. Exemple x 4 < x 2 4 (I) Conditions d existence: x ], 2] [2, + [ si x 4 0 c est à dire si x 4 alors (I) est équivalente à : (x 4) 2 < x 2 4 x 2 8x + 16 < x 2 4 8x + 20 < 0 x > 5 2 S 1 = [4, + [ si x 4 < 0 c est à dire si x < 4 alors (I) est vérifié de façon évidente car un nombre strictement négatif est inférieur à un nombre positif. S 2 =], 2] [2, 4[ Solution : S = S 1 S 2 =], 2] [2, + [

9 3D 9 Chapitre 2 DISTANCES 2.1 Distances Les points A(x A, y A ) et B(x B, y B ) sont donnés par leurs coordonnées dans un repère orthonormé d(a, B) = (x B x A ) 2 + (y B y A ) Équation cartésienne d un cercle Soient Ω(α, β) le centre et r le rayon du cercle. Soit M(x, y) un point quelconque du cercle : d(ω, M) = r d(ω, M) 2 = r 2 (x α) 2 + (y β) 2 = r 2 x 2 2αx + α 2 + y 2 2βy + β 2 r 2 = 0 On en déduit la proposition : Proposition L équation cartésienne d un cercle est de la forme : x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 Les trois nombres a, b et c renseignent sur le centre et le rayon du cercle C(Ω(α, β), r) Réciproquement, une équation du type n est pas nécessairement un cercle. Condition : α = a 2 β = b 2 r 2 = α 2 + β 2 c x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 α 2 + β 2 c > 0 ou ( a 2 ) 2 + ( b 2 ) 2 c > 0

10 3D Paraboles Soient p un réel strictement positif F (0, p 2 ) un point et d y = p 2 une droite dans un repère orthonormé (O, ı, j) L ensemble des point équidistants du point fixe F et de la droite fixe d est une parabole P de foyer F, de paramètre p et de directrice d. Si M(x, y) est un point de la parabole et P la projection orthogonale de M sur d son équation cartésienne est obtenu par : (x 0) 2 + d(f, M) = d(m, d) d(f, M) = d(m, P ) d 2 (F, M) = d 2 (M, P ) ( y p 2 ( = (x x) 2) 2 + y + p ) 2 2 x 2 + y 2 2 p 2 y + p2 4 = y2 + 2 p 2 y + p2 4 x 2 py+ = py x 2 = 2py y = 1 2p x2 Le nombre positif p est appelé paramètre de la parabole et mesure la distance du Foyer à la directrice de la parabole. exemple : y = 1 4 x2 est la parabole de paramètre 2, son foyer est le point F (0, 1) et sa directrice à pour équation y = Manipulations Soit une fonction usuelle f 0 : R R : x f(x) et k ou a un réel non nul. Soit f 1 la fonction définie par f 1 (x) = f 0 (x + k) On passe du graphe de f 0 au graphe de f 1 par une translation de vecteur v ( ) k 0. Soit f 2 la fonction définie par f 2 (x) = af 0 (x). On passe du graphe de f 0 au graphe de f 2 par une affinité de base Ox, de direction Oy et de rapport a. Soit f 3 la fonction définie par f 3 (x) = f 0 (x) + k. On passe du graphe de f 0 au graphe de f 3 par une translation de vecteur u ( 0 k). Soit f 4 la fonction définie par f 4 (x) = f 0 (ax). On passe du graphe de f 0 au graphe de f 4 par une affinité de base Ox, de direction Oy et de rapport 1 a. 2.5 Application au trinôme du second degré La forme générale du trinôme du second degré est : f(x) = ax 2 + bx + c a 0 On peut mettre le trinôme f(x) sous forme a(x x S ) 2 + y S et les manipulations précédentes permettent de passer du graphe de la fonction usuelle f 0 : R R : x x 2 au graphe de la fonction f.

11 3D 11 Chapitre 3 TRIGONOMÉTRIE 3.1 Cercle trigonométrique Le plan est muni d un repère orthonormé (O, ı, j) Rayon 1 Centre origine du repère Sens de rotation positif 3.2 Repérer un point sur le cercle trigonométrique 1. degrés 2. radians 3. coordonnées cartésiennes 3.3 Conversion Radians Degrés La conversion radians vers degrés se fait en multipliant par 180 π Exemple : 1 rad correspond à 180 π 57, Fonctions trigonométriques 3.5 Angles remarquables 3.6 Angles associés 3.7 Démonstration des formules trigonométriques 3.8 Relation du sinus et du cosinus dans le triangle quelconque

12 3D 12 Chapitre 4 FONCTIONS 4.1 Relation, fonction, application, injection, surjection, bijection 4.2 Fonctions usuelles 4.3 Parité, périodicité et variations 4.4 Manipulations de fonctions 4.5 Fonction homographique 4.6 Composition de fonctions 4.7 Relation, fonction et bijection réciproque

13 3D 13 Chapitre 5 DROITES, PARALLÉLISME, PERPENDICULARITÉ 5.1 Vecteurs Définition et notations Vecteurs égaux Opérations et propriétés Base orthonormée et composantes Vecteurs colinéaires et critère Vecteurs orthogonaux et critère 5.2 Équations d une droite Équation d une droite passant par un point et de direction donné Équation d une droite passant par un point et de direction perpendiculaire donnée Critères de droites parallèles Forme implicite d ax + by + c = 0 et d a x + b y + c = 0 d d n d n d det(a, b, a, b ) = 0 Forme explicite d y = px + q et d y = p x + q d d p = p

14 3D Critères de droites perpendiculaires

15 3D 15 Chapitre 6 PROBABILITÉS 6.1 Introduction N importe quel processus où intervient le hasard, comme lancer en l air une pièce de monnaie, lancer un dé, tirer une carte d un jeu de cartes ou mesurer la tension artérielle d un individu, est une expérience. La conséquence d une expérience est une issue. Nous n allons considérer que des expériences dont les issues sont équiprobables. Par exemple si un dé est jeté nous supposons que le dé n est pas pipé Exemple Considérons l expérience "Jeter un dé" et désignons par Ω l ensemble des cas possibles. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. L événement "Jeter un nombre pair" se représente par l ensemble A = {2, 4, 6}. L événement "Jeter un nombre inférieur à 4" se représente par l ensemble B = {1, 2, 3}. L événement "Jeter le plus grand nombre 6" se représente par l ensemble C = {6}. L événement "Jeter un nombre impair" se représente par l ensemble D = {1, 3, 5}. On dit que les événements A et D sont incompatibles Univers et événements Pour une expérience donnée on appelle univers l ensemble Ω de tous les résultats possibles. (Ω ne peut être ) On appelle événement tout sous-ensemble de Ω. On appelle événement élémentaire tout élément de Ω. Ω est l événement certain (probabilité de 100% ou 1) est l événement impossible (probabilité de 0% ou 0) Opérations sur les événements A et B sont des sous-ensembles de Ω La disjonction : A ou B A B La conjonction : A et B A B contraire de A C Ω A = Ω\A A et B incompatibles A B =

16 3D Probabilités Exemple Soit l expérience : "Jeter un dé" et l événement A "Jeter un nombre supérieur ou égal à 4" et désignons par P (A) la probabilité de l événement A, alors : On a : A = {4, 5, 6} et card A = 3 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et card Ω = 6 p(a) = card A card Ω Définition P (A) = 3 = 0, 5. 6 Pour une expérience ou tous les événements élémentaires sont équiprobables on appelle probabilité d un événement A le nombre : P (A) = card A card Ω = # A # Ω. On dit encore nombre de cas favorables divisé par nombre de cas possibles. Conséquences : P (Ω) = 1 (premier axiome de Kolmogorov) P ( ) = 0 A Ω 0 P (A) Disjonction Exemple : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {3, 4, 5, 6} P (A B) = 5 6 P (A) = 3 6 P (B) = 4 6 P (A B) = 2 6 On a : P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Démonstration Cas particulier d événements incompatibles : (Deuxième axiome de Kolmogorov) P (A B) = card (A B) card Ω = card A + card B card (A B) card Ω = card A card Ω + card B card (A B) card Ω card Ω = P (A) + P (B) P (A B) A B = = P (A B) = P (A) + P (B) En général : Soit (A n ) n 0 une suite d événements deux à deux incompatibles : P ( A n ) = P (A n ) n 0 n 0 (Troisième axiome de Kolmogorov)

17 3D Evénement contraire Exemple : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A "jeter le 6" B "ne pas jeter le 6" A = {6} B = {1, 2, 3, 4, 5} P (A) = 1 6 P (B) = 5 6 On a : Démonstration : P (B) = 1 P (A) P (Ω) = 1 P (A C Ω A) = 1 P (A) + P (C Ω A) = 1 P (C Ω A) = 1 P (A) Probabilité conditionnelle Exemple : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A "jeter un nombre pair". B "jeter un nombre inférieur ou égal à trois". B/A "jeter un nombre inférieur ou égal à trois sachant que l événement A a eu lieu". A = {2, 4, 6} B = {1, 2, 3} A B = {2} P (B/A) = 1 3 P (A) = 3 6 P (A B) = 1 6 On a pour A : P (A B) P (B/A) = P (A) Démonstration : P (B/A) = Événements indépendants card (A B) card A = card (A B) card Ω card A card Ω = P (A B) P (A) Exemple : On jette un dé deux fois de suite : il est clair que le résultat du premier jet n influence pas le résultat du second jet. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6} A "jeter la première fois un nombre égal à 6". B "jeter la deuxième fois un nombre égal à 6". A B "jeter la première et la deuxième fois un nombre égal à 6". A = {6} {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} {6} A B = {(6, 6)} P (A) = #A #Ω =...

18 3D 18 P (B) = #B #Ω =... P (A B) = #(A B) #Ω =... On a : Démonstration : P (A/B) = P (A B) P (B) prob. cond. P (A/B) = P (A) év.indépendants P (A B) = P (A) P (B) } = P (A B) P (B) = P (A) P (A B) = P (A)P (B) Ne confondez pas incompatibles A B = et indépendants P (A B) = P (A)P (B)

19 3D 19 Chapitre 7 SUITES 7.1 Introduction au suites Définition Une suite est une application de N 0 ou N dans R Exemple s : N 0 R : n 1 n f : R R : x 1 x fonction associée à la suite s Notations u 1 = 1 est le premier terme de la suite

20 3D 20 u 3 = 1 3 est le troisième terme de la suite u n est le terme général de la suite (u n ) est la suite Exemples : 1. (1 + (n 1)2) n N 0 ( 2. 3 ( ) ) 1 n 1 2 n N 0 3. ( ) 1 n n N 0 4. ( ) n 1 n n N 0 5. ( 2 + Σ n 1 ) i=1 n N Suites arithmétiques Définition Étant donné un réel u 1 et un réel non nul r on appelle suite arithmétique la suite de terme général : u n = u n 1 + r avec n R Formule du n-ième terme u n = u 1 + (n 1)r avec n R 0 Démonstration : u 2 = u 1 + r u 3 = u 2 + r u 4 = u 3 + r u 5 = u 4 + r. u n = u n 1 + r ajouter les membres de gauche et les membres de droite u 2 + u 3 + u 4 + u u n = u 1 + r + u 2 + r + u 3 + r + u 4 + r + + u n 1 + r Le tableau a n 1 lignes donc u 2 + u 3 + u 4 + u u n = u 1 + u 2 + u 3 + u u n 1 + (n 1)r u n = u 1 + (n 1)r Formule de la somme des n premiers termes Σ n i=1u i = S n = u 1 + u n n 2

21 3D 21 Démonstration : S n = u 1 + u 2 + u u n 1 + u n S n = u n + u n u 3 + u 2 + u 1 ajouter les membres de gauche et les membres de droite 2S n = u 1 + u n + u 2 + u n u n 1 + u 2 + u n + u 1 2S n = (u 1 + u n ) + (u 2 + u n 1 ) + + (u n 1 + u 2 ) + (u n + u 1 ) Chaque parenthèse vaut u 1 + u n et il y en a n u i +u n i+1 = u 1 +(i 1)r +u 1 +(n i+1 1)r = u 1 +u 1 +(n i+1 1+i 1)r = u 1 +u 1 +(n 1)r = u 1 +u n Donc 2S n = (u 1 + u n )n S n = (u 1 + u n ) n Exemple 7.3 Suites géométriques Définition S 20 = (1 + u 20) 2 1, 4, 7, 10,... u 1 = 1 et r = 3 u 2 0 = = = = Étant donné un réel u 1 et un réel non nul q on appelle suite géométrique la suite de terme général : u n = u n 1 q avec n R Formule du n-ième terme u n = u 1 q n 1 avec n R 0 Démonstration : u 2 = u 1 q u 3 = u 2 q u 4 = u 3 q u 5 = u 4 q. u n = u n 1 q

22 3D 22 multiplier les membres de gauche et les membres de droite u 2 u 3 u 4 u 5 u n = u 1 q u 2 q u 3 q u 4 q u n 1 q Le tableau a n 1 lignes donc u 2 u 3 u 4 u 5 u n = u 1 u 2 u 3 u 4 u n 1 q n 1 u n = u 1 q n Formule de la somme des n premiers termes Démonstration : D une part Σ n i=1u i = S n = u 1 1 q n 1 q S n = u 1 + u 2 + u u n 1 + u n S n = u 1 + u 1 q + u 1 q u 1 q n 1 D autre part : S n = u 1 + u 2 + u u n 1 + u n S n q = u 1 q + u 2 q + u 3 q + + u n 1 q + u n q S n q = u 1 q + u 1 q 2 + u 1 q u 1 q n 1 + u 1 q n retrancher membres de gauche et les membres de droite S n S n q = u 1 u 1 q n (1 q)s n = u 1 (1 q n ) S n = u 1 1 q n 1 q Exemple 1 + 0, 1 + 0, u 1 = 1 et q = 10 1 S 9 = (1 (10 1 ) = 1,

23 3D 23 Chapitre 8 STATISTIQUES 8.1 Introduction

24 3D 24

25 3D Activité 1 page Activité 3 page 221

26 3D Exercice 539/340/a)

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S )

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Mesure d angles et trigonométrie

Mesure d angles et trigonométrie Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi

Plus en détail

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Chapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul

Chapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul DERIVEES ET REGLES DE CALCULS 69 Chapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul Prérequis: Généralités sur les fonctions, Introduction dérivée Requis pour: Croissance, Optimisation, Études de fct.

Plus en détail

1S Modèles de rédaction Enoncés

1S Modèles de rédaction Enoncés Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE

COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 : Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1

Plus en détail

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :

Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique : Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de

Plus en détail

Deux disques dans un carré

Deux disques dans un carré Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................

Plus en détail

Calculs de probabilités

Calculs de probabilités Calculs de probabilités Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 13 mars 2008 1. Définitions et notations 1 L origine des probabilités est l analyse de jeux de hasard, tels que pile

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

Mathématiques I Section Architecture, EPFL

Mathématiques I Section Architecture, EPFL Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Chapitre 0 Introduction à la cinématique

Chapitre 0 Introduction à la cinématique Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre : Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide

Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide I Rappels : Référentiel : Le mouvement d un corps est décris par rapport à un corps de référence et dépend du choix de ce corps. Ce corps de référence

Plus en détail

Du Premier au Second Degré

Du Premier au Second Degré Du Premier au Second Degré Première Bac Pro 3 ans November 26, 2011 Première Bac Pro 3 ans Du Premier au Second Degré Sommaire 1 Fonction Polynôme du second degré 2 Fonction Polynôme du Second Degré: Synthèse

Plus en détail

Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014

Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014 Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014 EXERCICE 1 Cet exercice est un Q.C.M. 4 points 1. La valeur d une action cotée en Bourse a baissé de 37,5 %. Le coefficient multiplicateur associé

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Séquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire

Séquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1 1 Prérequis

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES

INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Quelques contrôle de Première S

Quelques contrôle de Première S Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage

Plus en détail

Probabilités. C. Charignon. I Cours 3

Probabilités. C. Charignon. I Cours 3 Probabilités C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Dénombrements 3 1.1 Cardinal.................................................. 3 1.1.1 Définition............................................. 3

Plus en détail

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11 Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

Qu est-ce qu une probabilité?

Qu est-ce qu une probabilité? Chapitre 1 Qu est-ce qu une probabilité? 1 Modéliser une expérience dont on ne peut prédire le résultat 1.1 Ensemble fondamental d une expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience dont

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

Catalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands.

Catalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands. Catalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands. Pourquoi un autre catalogue en Suisse romande Historique En 1990, la CRUS (Conférences des

Plus en détail

Fonctions de deux variables. Mai 2011

Fonctions de deux variables. Mai 2011 Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs

Plus en détail

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail

Etude de fonctions: procédure et exemple

Etude de fonctions: procédure et exemple Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine.

Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. TABLE DES MATIÈRES 1 Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. Paul Milan LMA Seconde le 12 décembre 2011 Table des matières 1 Fonction numérique 2 1.1 Introduction.................................

Plus en détail

Fonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme

Fonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme Fonctions linéaires et affines 3eme 1 Fonctions linéaires 1.1 Vocabulaire Définition 1 Soit a un nombre quelconque «fixe». Une fonction linéaire associe à un nombre x quelconque le nombre a x. a s appelle

Plus en détail

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires

Plus en détail

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x = LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste

Plus en détail

Mathématiques Première L, ES, S, Concours Post-Bac Equations et inéquations du second degré FORMAV

Mathématiques Première L, ES, S, Concours Post-Bac Equations et inéquations du second degré FORMAV Mathématiques Première L, ES, S, Concours Post-Bac Equations et inéquations du second degré Méthode et exercices corrigés générés aléatoirement Pour un meilleur rendu ouvrir ce document avec TeXworks FORMAV

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)

Plus en détail

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

DURÉE DU JOUR EN FONCTION DE LA DATE ET DE LA LATITUDE

DURÉE DU JOUR EN FONCTION DE LA DATE ET DE LA LATITUDE DURÉE DU JUR E FCTI DE LA DATE ET DE LA LATITUDE ous allons nous intéresser à la durée du jour, prise ici dans le sens de période d éclairement par le Soleil dans une journée de 4 h, en un lieu donné de

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 % 23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Equations différentielles linéaires à coefficients constants

Equations différentielles linéaires à coefficients constants Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I

Plus en détail

Cours de Mécanique du point matériel

Cours de Mécanique du point matériel Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels

Plus en détail

Michel Henry Nicolas Delorme

Michel Henry Nicolas Delorme Michel Henry Nicolas Delorme Mécanique du point Cours + Exos Michel Henry Maître de conférences à l IUFM des Pays de Loire (Le Mans) Agrégé de physique Nicolas Delorme Maître de conférences à l université

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Proposition de programmes de calculs en mise en train

Proposition de programmes de calculs en mise en train Proposition de programmes de calculs en mise en train Programme 1 : Je choisis un nombre, je lui ajoute 1, je calcule le carré du résultat, je retranche le carré du nombre de départ. Essai-conjecture-preuve.

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

I. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème.

I. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème. I. Introduction. 1. Objectifs. Le but de ces quelques séances est d introduire les outils mathématiques, plus précisément ceux de nature probabiliste, qui interviennent dans les modèles financiers ; nous

Plus en détail

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R

Plus en détail

315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux

315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation

Plus en détail

Probabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2

Probabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2 Probabilités Table des matières I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 s................................................... 2 I.2 Propriétés...................................................

Plus en détail

FONCTION DE DEMANDE : REVENU ET PRIX

FONCTION DE DEMANDE : REVENU ET PRIX FONCTION DE DEMANDE : REVENU ET PRIX 1. L effet d une variation du revenu. Les lois d Engel a. Conditions du raisonnement : prix et goûts inchangés, variation du revenu (statique comparative) b. Partie

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ

L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ INTRODUCTION Données : n individus observés sur p variables quantitatives. L A.C.P. permet d eplorer les liaisons entre variables et

Plus en détail

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image

Plus en détail

Probabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie...

Probabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie... 1 Probabilité Table des matières 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables........................... 2 1.2 Définitions................................. 2 1.3 Loi équirépartie..............................

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail