CLASSES PREPARATOIRES AUX GRANDES ECOLES TRONC COMMUN DES UNIVERSITES (TCT)

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1 E ETE UX NDE EE FF TN UN DE UNETE TT ENE TEHNQUE T seestre D ENQUE TNNEE ors & eercces résols ppels sr les ecters es Torsers ttqe es oles éoétre es sses nétqe ont et ole nétqe et Dnqe es oles. KD U NETE HED U - UEDE

2 et ovrge est estné étnts e eèe nnée es clsses préprtores grnes écoles et étnts tronc con e technologe es nverstés ns qe les étnts seestre es scences technqes sstèe D. l content es chptres e cors et es eercces résols à l fn e chqe chptre. es soltons sont sovent étllées et perette à l étnt e copléter s copréhenson cors et fre sot êe son évlton. es e preers chptres trtent les otls thétqes notent les torsers tlsés por splfer l écrtre es éqtons e l écnqe. e chptre tros écrt l éqlre sttqe es soles et les fférentes lsons entre les soles et les éqtons q les régssent. e chptre qtre est conscré à l géoétre es sses onc centres nerte et tensers nerte es soles. vor tlser le théorèe e Hgens peret e résore n on nore e prolèes en écnqe es soles et vrtons. es chptres cnq s et sept trtent l cnétqe pont térel et l cnétqe sole néforles ns qe les contcts entre les soles. e neent es ngles Eler et ler sslton sont nspensles por l copréhenson e l écnqe es soles. es chptres ht et nef écrvent l cnétqe et les théorèes fonent e l nqe et le prncpe e l cton et e l récton. e erner chptre trte l nqe es soles en oveents e rotton tor n e et e ler éqlrge sttqe et nqe. De nore eercces résols ns cet ovrge ontrent ss l nère ont l ft tlser les théorèes génér e l écnqe et coen l est portnt e fre n on cho es repères por l éternton es éléents cnétqes et cnétqes es soles. écnqe est l scence q écrt les los es oveents et e l éqlre. Elle est à l se ensonneent es écnses es chnes es strctres es ovrges et tres rélstons e l hoe. J espère qe le lecter nt tlsé l ovrge porr à l fn en tlsnt les torsers es ctons écnqes et les fférentes lsons écrre les éqtons e oveent n écnse qelconqe et résore le prolèe. Je tens à reercer totes celles et ce q vorons e fre prvenr lers crtqes rerqes ns qe lers sggestons fn élorer le conten e cet ovrge. ter El : [email protected]

3 réfce Qn l KD cleent ené écrre l préfce e cet ovrge je n ps hésté à réponre ffrtveent. occson q est onc offerte e peret e resser recteent étnts ensegnnts et ngéners concernés pr cet ovrge. Elle e peret ss e téogner tote reconnssnce à l ter q nos offert là n ovrge fort ntéressnt trtnt n one clé es scences e l ngéner à svor l «cnétqe et nqe es soles néforles» où chqe cors est sv ne sére eercces corrgés. ovrge est strctré en chptres copléentres les ns es tres trtnt en étl e l géoétre es sses jsq à l nqe es soles en pssnt pr les théorèes fonent e l nqe et prncpe e l cton et e l récton. l s resse ss en étnts es e preères nnées es nverstés étnts es clsses préprtores grnes écoles ns q ensegnnts et ngéners. hcn en trover ce ont l eson. étnt por pprofonr ses connssnces et ller -elà es concepts vs cors. ensegnnt por élorer s sorce e svor. ngéner por en fre ne référence nspensle. ovrge proposé ntègre n éléent nove : l pproche éthoologqe e résolton e prolèes. orollre ne nes nnées e trvl nverstre effectée pr l ter l pproche est constrte vec le soc constnt e proposer es eercces corrgés à ffclté crossnte perettnt l îtrse grelle es prncpes recters cors. Enfn l herese ée vor nclt ét e l ovrge ne sélecton es prncp otls thétqes connees à l copréhenson e l scence écnqe ne pet qe renforcer l notorété e cet ovrge. rofesser Kel DD Doen e l fclté es scences Unversté e oerès lgére

4 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD HTE E UT THETQUE 5

5 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD E UT THETQUE oélston e l espce réel conséré ns le cre e l écnqe clssqe coe étnt à tros ensons hoogène et sotrope sppose l ntrocton otls thétqes tel qe les vecters et les notons sr les torsers. Dns cette prte nos présenterons les rppels et l ensele es opértons thétqes sr les vecters. Nos évelopperons ss l éte sr les torsers q sont es otls thétqes très portnt en écnqe clssqe notent en écnqe es soles. tlston es torsers en écnqe peret e splfer l écrtre es éqtons reltves grners fonentles e l écnqe.. pértons sr les vecters Dns tot ce q st on s ntéresser à l ensele E es vecters e l espce sel. E est n espce Eclen à tros ensons.. Défnton Un vecter est n segent e rote sr leqel on chos ne orgne et ne etrété ; l est éfn pr : - son orgne ; - s recton ; - son sens ; - son ole. r conventon on opte l notton svnte : vecter :. lssfcton es vecters l este plsers tpes e vecters : - ecter lre : l recton le sens et le ole sont onnés s l rote spport et le pont pplcton orgne vecter ne sont ps connes ; - ecter glssnt : le pont pplcton orgne vecter n est ps fé ; - ecter lé : tos les éléents vecter sont éternés ; - ecter ntre : c est n vecter ont le ole est égl à. o 6

6 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 4. oposntes n vecter onsérons ne se e l espce notée : e e e. ette se est orthonorée s : e e j s s j j e se est e recte s n oservter se plçnt à l etrété vecter e verr le vecter torner vers le vecter e ns le sens contrre es glles ne ontre. e e e Dns cette se n vecter e coposntes s écrrt : e e e es qnttés réelles sont ppelées coposntes vecter ns l se notton optée est l svnte : 5. o e coposton nterne : oe vectorelle soe e e vecters et est n vecter W tel qe :. nos vons W ot les coposntes vecter où : e e et les coposntes vecter où : e vecter soe est éfn pr l relton : e e e e W e e e éléent netre o vecter nl est noté : 5. roprétés e l soe vectorelle - l soe vectorelle est cottve : ; 7

7 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD - l soe vectorelle est ssoctve : ; - l éléent netre est éfn pr : ; - tot vecter correspon n vecter opposé noté tel qe : 5. ltplcton pr n sclre λ est n nore réel et n vecter ler prot est n vecter. λ λ > e vecter W est colnére vecter. W le vecter por coposntes c tel qe : e e ; le vecter e W s écrrt : W λ e λ e λ e ltplcton n vecter pr n sclre vérfe les proprétés svntes : Dstrton pr rpport à l on es sclres : λ λ λ λ ; Dstrton pr rpport à l soe vectorelle : λ λ λ ; c ssoctvté por l ltplcton pr n sclre : λ λ λ λ 6. onson lnére es vecters ot les n vecters : n e l espce et λ λ λ... λ es n nores réels. es vecters λ λ λ... λ... λ n n sont ss es vecters e l espce ns qe ler soe éfn pr : W λ λ λ... λn n W e vecter W est ppelé conson lnére es vecters : 6.. Dépennce et népennce lnére entre les vecters 6... Défnton n λ... n n qe les n vecters : n e l espce sont lnéreent 8

8 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD népennt s et seleent s ls vérfent l relton svnte : λ entrîne qe tos les λ sont nls. n λ λ λ λ... λn n λ λ.. λ n les λ ne sont ps tos nls on qe les vecters sont lnéreent épennt entre e roprétés sr l népennce es vecters Un vecter est à l sel n vecter lnéreent népennt ; Dns n sstèe e vecters lnéreent népennts cn entre e ne pet être n vecter nl ; c Dns n ensele e vecters népennts tot sos ensele prélevé sr ces vecters fore n sstèe e vecters népennts. n 6... roprétés sr l épennce es vecters n vecters sont épennts entre e lors ons l n entre e est ne conson lnére es tres. ot les n vecters : n e l espce et λ λ λ... es nores réels s ces vecters sont lnéreent épennts l relton : λ n n λ plqe q l este es λ non nls e telle sorte qe l relton pse s écrre : λ λ... λ n n λ q onne pr eeple : λ λ λ... λ n n λ λ λ... λ n n n lors qe épen lnéreent es vecters : erqe : n sont lnéreent népennt lors les vecters n n n n le sont ss qel qe sot les vecters n... n 9

9 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Dns n ensele e vecters lnéreent népennts chqe vecter est ne conson nqe es tres vecters. ot W n et U n β e vecters népennts: églté entre les e vecters népennts est éqvlente à n égltés entre les nores réels : W β 7. rot sclre e e vecters n ppelle prot sclre e e vecters et ne lo e coposton eterne q ssoce e vecters n sclre nore réel noté : tel qe : ; le résltt n prot sclre est n sclre. e prot sclre est nl s : es e vecters sont orthogon ; n es vecters est nl. 7. roprétés prot sclre lnérté : W W W λ W λ W sétre pr rpport vecters : W W onc : > s e prot sclre est ne fore lnére sétrqe ssocée vecters et W. 7. Epresson nltqe prot sclre onsérons ne se e l espce notée : e e e. ette se est orthonorée s : e e j s s j j e se est e recte s n oservter se plçnt à l etrété vecter e verr le vecter e torner vers le vecter ns le sens contrre es glles ne ontre. e e e

10 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD oent e vecters et. ers epressons ns cette se sont : e e e e e e e prot sclre es e vecters est onné pr : e e e e e e 7.. Nore o ole n vecter n ppelle nore o ole n vecter noté : l rcne crrée postve prot sclre vecter pr l-êe. Nos vons en prtclers : λ λ : ppelé néglté trnglre ecters orthogon De vecters sont s orthogon s et seleent s ler prot sclre est nl : W W tros vecters non nls sont orthogon e à e ls sont lors lnéreent népennt et ls consttent ne se orthogonle ns se orthonorée Une se est e orthonorée s les vecters q l consttent sont perpenclres e à e et s lers nores sont égles à. est orthonorée nos vons lors : e e e e e e e e e e e e e e e e e e

11 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 8. rot vectorel e e vecters e prot vectorel e e vecters et e l espce est n vecter W perpenclre à et éfn pr : W sn n o n : est n vecter ntre perpenclre à et e prot vectorel est nl s : - es e vecters sont colnéres ; - n es vecters est nl. W n 8.. roprétés prot vectorel e ole prot vectorel est égl à l re prllélogre foré pr et ; e prot vectorel est strtf à gche et à rote por l soe vectorelle : W W W W W W c e prot vectorel est ssoctf por l ltplcton pr n nore réel : λ W λ W λw λ W e prot vectorel est ntsétrqe ntcottf on pplqe cette proprété prot vectorel n êe vecter nos rons : n ét à prtr e cette proprété qe : e vecters non nls sont colnéres s et seleent s ler prot vectorel est nl. lors En effet s on pet écrre : λ λ

12 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 8.. rot vectorel es vecters ntres ne se orthonorée est orthonorée nos vons : e e e ens rect : e e e e e e e e e ens opposé : e e e e e e e e e 8.. Epresson nltqe prot vectorel ns ne se orthonoré rect e prot vectorel e e vecters e coposntes respectves ns ne se orthonorée rect : et Z Y X et Z Y X X Y Y X Z X X Z Y Z Y Z Z Y X Z Y X 8.4. rot te n ppelle prot te e tros vecters prs ns cet orre le nore réel éfn pr : e prot te est onc n sclre égl vole prlléléppèe foré pr les tros vecters. e prot te est nl s : - les tros vecters sont ns le êe pln ; - e es vecters sont colnéres ; - l n es vecters est nl. n ontre fcleent qe ns ne se orthonorée recte le prot te est n vrnt sclre pr pertton crclre rect es tros vecters cr le prot sclre est cottf:

13 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD erqe : Une notton splfée ns lqelle les opérters n pprssent ps est optée ns ce cs por fclter l écrtre es éqtons vectorelles : est éqvlent à nos vons lors : 8.5. Dole prot vectorel e ole prot vectorel e tros vecters respectfs est n vecter W epré pr l relton : W. e vecter W est perpenclre vecter et vecter foré pr le prot : l est onc ns le pln foré pr les vecters et. e vecter W pet s écrre : W Nos povons présenter cette relton treent pr entfcton es sclres et on otent : l ft fre ttenton à l orre es vecters cr le prot vectorel n est ps cottf. or retenr cette forle l est pls sple e l écrre sos l fore : 9. rojecton es vecters 9.. rojecton orthogonle n vecter sr n e ot n vecter qelconqe et Δ n e e l espce éfn pr son vecter ntre. projecton orthogonle vecter est l coposnte e ce vecter cet e. 4

14 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 9.. rojecton orthogonle n vecter sr n pln ot n vecter qelconqe et π n pln e l espce éfn pr l norle n. projecton orthogonle vecter est l coposnte ns le pln. e vecter e coposntes l ne ns le pln et l tre perpenclre pln. n π ns : π n n n Q s écrt ss sos l fore : π n n n n n retrove l relton ole prot vectorel n n π π entre les vecters et n : n n π. Dvson vectorelle X W on qe X est le résltt e l vson vectorelle e W pr ne ot ps être n vecter nl ; W et ovent être orthogon l este ne solton prtclère X lors elle est l fore X W En replçnt cette vler ns l epresson X W on otent : W W W W W oe W lors W ; on otent : W W Nos vons ss : X X X X cette epresson ontre qe le vecter X X est prllèle à ns ce cs nos povons écrre qe : X X λ vec λ o X X λ fnleent : X W λ 5

15 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD. ègle es sns ns n trngle ot n trngle qelconqe nos povons étlr ne relton entre les tros côtés et les tros ngles trngle. Dns les trngles D et D nos vons : D sn et où : n ét : sn β sn sn β sn sn β D De êe por les trngles E et E nos vons : E sn et n ét : sn sn D β π E sn π où sn sn π sn n ét fnleent ne relton ppelée règle es sns ns n trngle:. pérters et vecters sn sn β sn. pérter grent ns n repère orthonoré j n éfn l opérter vectorelle noté : j l espce svnt les tros rectons es vecters ntres. E coe étnt l érvée ns e grent n sclre U est éfn coe étnt l érvée vectorelle svnt les tros rectons respectves j pr rpport vrles :. Eeple : U U U gru j o gr U U U U 5 : U 5 gru 5 j 5 e grent n sclre est n vecter. U 5 6

16 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 7.KD. pérter vergence ns n repère orthonoré j vergence n vecter est éfne coe étnt le prot sclre j e l opérter : j pr le vecter ; noté : v j j v vergence n vecter est n sclre.. pérter rottonnel ns n repère orthonoré j e rottonnel n vecter est éfne coe étnt le prot j vectorel e l opérter : j pr le vecter ; rot ; j j rot e rottonnel n vecter est ss n vecter. os l fore trcelle nos rons : rot erqe : f est n chp sclre et et e vecters qelconqes les reltons svntes sont vérfées : - grf fv f v ; - vec Δ v gr rot rot Δ ; - ; rot f grf f rot - ; rotgrf - ; rot v - rot rot v

17 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD EXEE ET UTN Eercce : De ponts et ont por cooronnées crtésennes ns l espce : - 57 Déterner les coposntes vecter olton : ns qe son ole s recton et son sens. e vecter est onné pr : 4 5 on ole : recton est éternée pr les ngles β q l ft vec chcn es es repère. es ngles se ésent pr le prot sclre vecter repère orthonoré : pr les vecters ntres : β j : j 4 j.. β β. 565 β : son sens : coe le prot sclre vecter vec les tros vecters ntres est postf lors l n sens postf svnt les tros es repère. j

18 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce : résltnte e e forces F et F est égle à 5 N et ft n ngle e vec l force F 5. Trover le ole e l force et l ngle entre les e forces. N F olton : 5 N ; 5 N ; n os vons : F F Dns le trngle rectngle: D rectngle en D nos vons : D D D D F F D F sn F F D n otent lors : F F F sn F F F F F F F F Nos vons ss : D sn D sn F D D sn F sn sn F sn D F F et en replçnt l epresson ns on ott à : F F F F F F F F F F F F où : F F F F F N 5 5 epresson nos onne :

19 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce : oent les vecters svnts : U j et U j lcler les prots sclres : U U U U U U n onne : j 5 5 j j lcler et ; ns fre e représentton grphqe qe pet-on re sens et e l recton vecter pr rpport à ; 4 lcler les prots svnts et ; 5 Déterner l srfce trngle foré pr les vecters et olton : U U U U U U oe le prot vectorel es e vecters est nl lors ls sont prllèles De pls ler prot sclre est négtf 45 lors les vecters et sont prllèles et e sens opposés on pet retrover ce résltt pr l éthoe vectorelle : Nos vons sot W W clclons W W

20 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD W W et W j srfce trngle foré pr les vecters est onnée pr l oté ole prot vectorel es e vecters : et Nos vons : lors : j c est l e srfce prllélogre : Eercce 4 : oent les vecters : U 6 j 8 et et j 4 j Q Déterner et por qe les vecters U soent colnéres ; Déterner l vler e por qe les vecters soent perpenclres; Q et olton : U sont colnéres lors:u sont perpenclres lors : Q et Q 4 Q

21 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce 5 : Trove le vole n prlléléppèe ont les cotés sont les vecters : U Q tel qe : U 6 j j 5 Q 4 j olton : e vole n prlléléppèe est n sclre postf. n ot tlser ne opérton vectorelle ont le résltt est n sclre postf : c est le ole prot te es tros vecters : v U Q 6 U Q ; 5 v U Q Eercce 6 : trjectore n ole ns n repère orthonoré recte t éqtons prétrqes svntes : 4t 4 t j est onnée pr les t t ontrer qe le vecter vtesse ft n ngle constnt vec l e o. Qelle est l vler e cet ngle. olton : vtesse ole est onnée pr : Nos vons en effet : tg 8t 4 t t j tg 64t 6 t t 64t 4 6t t t 6 4

22 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD tg 6 t t t 6 t t 4 t t 4 4 tg 5 l vler e l ngle est en constnte. Eercce 7 : lgne cton ne force F e 8 N psse pr les ponts et 74 ns n repère orthonoré. Déterner les coposntes e cette force 6 olton : Nos vons : vecter ntre porté pr l lgne cton. j j j 777 force F s écrr : F F j j 66 es coposntes e l force sont ns connes svnt les tros es repère. Eercce 8 : ot n repère orthonoré rect e e e ns l espce vectorel Eclen à tros ensons ns le corps es nores réels. ot n e Δ pssnt pr le pont et e vecter ntre tel qe : et n vecter qelconqe 5

23 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 6.KD n note π n pln orthogonl à l e Δ lcler les prots sclres svnts : ; Déterner les coposntes vecter ns le repère ; En ére ns cette se l trce représentnt l opérter prot vectorel noté : ; W e e e [ ] * Trover l epresson vecter : projecton orthogonle vecter sr l e ; En ére l trce Δ [ ] représentnt l opérter projecton orthogonle sr l e ; Δ 4 Trover l epresson vecter : projecton orthogonle vecter sr le pln π π ; En ére l trce [ représentnt l opérter projecton orthogonle sr sr le pln ] π π ; 5 Déterner l epresson e l stnce n pont à l e ; En ére l epresson trcelle représentnt l stnce crrée : ns le repère. Δ olton : lcl es prots sclres : ns le repère W e e e sos fore trcelle l epresson s écrr : W W W

24 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 7.KD [ ] W * vec : [ ] opérter prot vectorel. * Epresson vecter projecton e sr l e ns Δ Nos vons : e e e e e e [][ ] T Nos vons onc : [ ] [ ][ ] T 4 Epresson vecter projecton e sr le pln π π orthogonl à e vecter e coposntes l ne perpenclre pln elle est portée pr l e et l tre ns le pln Δ π. Nos vons lors : π π π on retrove l fore ole prot vectorel où :. e prot vectorel est ntcottf lors : ce q onne : π [ ] * [ ] [ ] * * π s nos svons qe : [ ] on fnleent : [ T * * ] [ ] [ ] [ ][ ] { } [ ] T T * * * * π

25 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 8 ].KD vec [ ] [ ][ ] T * * Développons cette epresson : [ ] [ ][ ] * * T schnt qe : lors : trce [ s écrr : [ ] [ ] [] [ ][ ] T p or nos vons [ ] [ ][ ] T * * [ ][ ] [ ] [ ][ ] T T * * fnleent : [ ][ ] [ ][ ] [ ] * * T T 5 Epresson e l stnce pont à l e Δ H H Δ lclons le prot vectorel : e vecter por coposntes : r H H H H H H 9 sn nos vons lors : nos llons tlser l règle prot te fn e évelopper cette epresson.

26 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 9.KD q s écrt sos fore : vec D près ce qe l on v précéeent nos povons écrre : * r [ ][ ] r r r r T * * or nos vons [ ] [ ] T r * r * [ ][ ] [ ] r r T T T * * vec [ ][ ] [ ] T r r * * [ ] en fsnt ntervenr l sse sole nos otenons ne trce e l fore : [ ] J q est ne trce très prtclère qe l on retrover ns les chptres sr l cnétqe et l nqe es soles. Elle est ppelée trce nerte sole.

27 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 4.KD Eercce : 9 ésore l éqton vectorelle : où sont e vecters non nls. et olton : éqton n et e solton qe s sont orthogon. ot et π n pln contennt les vecters lors le vecters est perpenclre à ce pln et π. n cherche or ne solton prtclère vec n vecter tel qe : soent e vecters perpenclres entre e : et lors on ss : ltplons vectorelleent à gche cette éqton pr le vecter on otent : nos vons ns : en fsnt l fférence entre ces e éqtons nos otenons l solton générle : oe le prot vectorel est nl lors lors où : λ n fnleent : λ λ eprésentton géoétrqe : λ π

28 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce : n spose e e forces l ne e 9 N l tre e 7 N. oent ot-on les sposer por otenr ne résltnte e : 6 N ; 4 ; N Eercce : lcler l srfce trngle où les soets ont por cooronnées ns n repère orthonoré : 4 Eercce : Déterner l résltnte es tros forces concorntes pont : F 7 j 5 ; F j 5 ; F j 4 lcler : F F F F F F En ére le ole l recton et le vecter ntre porté pr l résltnte F F Qe pet-on re e et. Eercce : ot le sstèe éqtons vectorelles ns n repère orthonoré rect j éterner les e vecters X et Y tels qe : X Y X Y vec 7 4 j 8 5 j n ltple vectorelleent à gche l éqton pr le vecter règle e vson vectorelle q on vent e vor ns l eercce 9. X ps on pplqe l X X Y X X Y X on replce cette epresson ns l éqton où : X on ét près ce qe l on ve ns l eercce 9 qe : X λ X 5 4 λ 7 4 j λ 7 4 j

29 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD X 8 7 7λ 4λ j λ n ét Y fcleent pr : 8 7 Y X 7 4 7λ 4λ j λ Y 7 λ 4 λ j λ Eercce 4 : Dns n repère orthonoré j on onne tros ponts e l espce nt por cooronnées : 4 4. ot π n pln éfn pr ces tros ponts et l norle n à cel-c. Déterner les coposntes vecter j 4 ns le pln π et svnt l norle à ce pln. olton : e vecter s écrrt : n π ù n π et π π e vecter ntre n est perpenclre pln et ss vecters lors : n n n Nos vons : j 6 j j ot 5 W e vecter W est perpenclre e vecters et onc ss vecter lors l est perpenclre pln π foré pr ces tros vecters. n ét le vecter ntre norl pln π pr : W n W

30 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 4.KD n pet vérfer fcleent : j n j n j n coposnte vecter svnt l norle pln s écrrt : n n j n n n n n coposnte ns le pln π se ét pr : j j n π Eercce 5 : Déterner l epresson générle es vecters orthogon vecters : et. En ére les vecters ntres porté pr. W j j 5 W Eercce 6 : oent tros vecters lres ; ontrer q l vérfent l relton svnte : W U U W U W W U olton : n tlse l forle e éveloppeent ole prot vectorel. U W W U W U

31 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 44.KD U W W U U W W U U W U W soe es tros teres onne : W U W U U W U W U W W U W U U W U W W U U W W U oe le prot sclre est cottf lors : W U U U W W U W Eercce 7 : oent e forces et fsnt chcne respectveent n ngle e 5 et 5 vec l résltnte F F q ne vler e 4 N. Déterner les oles es e forces. olton : F F Utlsons l règle es sns : sn sn 5 sn or nos vons : et F F D où : N F 95 sn sn 5 et N F 65 sn sn 5 Eercce 8 : ot Q t j t t 7 5 t j t t 4 érfer les reltons svntes : Q Q Q Q Q Q

32 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 45.KD lcler les prots svnts : et Q Q ot n vecter ; qelle est l vler e j t U por qe le vecter sot perpenclre à U. Déterner le vole prlléléppèe foré pr les vecters Q U ; 4 Déterner l coposnte e sr l e Q Δ pssnt pr les ponts et Eercce 9 : ot f n sclre et tros vecters qelconqes vérfer les reltons svntes : grf fv f v ; rot f grf f rot ; 4 Δ v gr rot rot ; 5 ; grf rot 6 rot v 7 rot rot v olton : f f f f v f f f f grf fv f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f rot

33 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 46.KD f f f f f f f f f rot f grf 4 rot rot Δ v gr

34 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 47.KD 5 f f f f f f f f f f f f f f f f gr rot D ne tre nère : f f f gr rot 6 rot v D ne tre nère : rot v sot les vecters sont perpenclres vecter résltt et. Nos vons lors : rot v oe où : rot v 7 v

35 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 48.KD rot rot v Eercce : ot n vecter epré ns n repère orthonoré. j r j lcler et r gr r gr ; Ur est n chp sclre à sétre sphérqe ontrer qe est n vecter rl ; U r gr lcler et en ére qe por n chp électrqe oloen : v r r r E on ; v E 4 ontrer qe Δ r vec r ; 5 lcler r rot olton : Nos vons : r et r j r j r r r gr r r j

36 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 49.KD r j r r r gr j r r j r r r U j r r r U r r U r U j r U r U r U gr r r r r U r j r r r r U j j r v 4. Δ r gr r r r r v r gr v r r j r r r r. nos vons : r r r r r r r r e êe por et : 5 5 r r r r lors nos otenons : Δ r r r r r r r r r r r r 5 r rot r : sont es vrles népenntes

37 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD HTE E TEU 5

38 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD E TEU es torsers sont es otls thétqes très tlsés en écnqe. tlston es torsers ns l éte es sstèes écnqes coplees est très cooe cr elle fclte l écrtre es éqtons vectorelles. Une éqton vectorelle représente tros éqtons sclres et ne éqton torsorelle est éqvlente à e éqtons vectorelles onc à s éqtons sclres. Nos verrons ns les prochns chptres qtre tpes e torsers fférents : le torser cnétqe le torser cnétqe le torser nqe et le torser es ctons.. oent n vecter pr rpport à n pont e oent n vecter orgne glssnt o lé pr rpport à n pont est égl prot vectorel vecter poston pr le vecter. l s écrt : e trère foré respectveent pr les vecters est rect. Δ erqe : e oent pont est népennt e l poston vecter sr l e Δ. En effet nos vons : Δ r nos vons : 5

39 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD e oent est perpenclre pln foré pr les vecters et. stnce est sovent ppelée rs e lever.. oent n vecter pr rpport à n e e oent Δ n vecter pr rpport à n e Δ éfn pr n pont et n vecter ntre est égl à l projecton oent sr l e Δ. Δ. es torsers.. Défnton e oent pr rpport à l e népennt pont. Un torser qe nos noterons [ T ] est éfn coe étnt n ensele e e chps e vecters éfns ns l espce géoétrqe et nt les proprétés svntes : e preer chp e vecters ft corresponre à tot pont e l espce n vecter népennt pont et ppelé résltnte torser [ T ] ; e secon chp e vecter ft corresponre à tot pont e l espce n vecter q épen pont. e vecter est ppelé oent pont torser [ T ]... Notton Δ est Δ Δ résltnte et le oent résltnt récton torser pont. pont consttent les éléents e ot l résltnte es n vecters glssnts :... pplqés n respectveent ponts :... n. Nos povons éfnr à prtr e ce sstèe e vecters e grners : n - résltnte es n vecters : ; - e oent résltnt en n pont e l espce est onné pr : n 5

40 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD es e grners consttent le torser éveloppé pont ssocé sstèe e vecters onnés. n opte l notton svnte : [ T ] erqe : Un torser n est ps égl à n cople e vecter s l est représenté pont pr ses éléents e récton. 4. roprétés es vecters oents 4.. Forle e trnsport es oents onnssnt le Torser [ T ] en n pont e l espce nos povons n éterner les éléents e récton e ce êe torser en n tre pont e l espce. e oent pont s epre en foncton oent pont e l résltnte et vecter. Nos vons en effet : n n n n n n ette relton très portnte en écnqe peret e éterner le oent en n pont en connssnt le oent pont. 4.. Eqprojectvté es vecters oents es vecters oents pont et pont ont l êe projecton sr l rote : n qe le chp es vecters oents est éqprojectf. 54

41 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD projecton vecter oent sr l e revent à fre le prot sclre vec le vecter à n fcter ltplctf près. Nos vons pr l forle e trnsport : ltplons cette relton sclreent pr le vecter. or est n vecter perpenclre à lors : on otent fnleent : o e prot sclre est cottf. ette epresson epre qe les projectons es vecters oents sont égles. et sr l rote 5. pértons vectorelles sr les torsers 5.. Eglté e e torsers De torsers sont ég éqvlents s et seleent s l este n pont e l espce en leqel les éléents e récton sont respectveent ég entre e. oent e torsers [ T ] et [ ] tel qe : T T ég pont cette églté se trt pr e égltés T [ ] [ ] vectorelles : [ ] [ T ] T 5.. oe e e torsers soe e e torsers [ ] T et [ ] T est n torser [ ] T ont les éléents e récton et sont respectveent l soe es éléents e récton es e torsers. [ T ] [ T ] [ T ] [ T ] 55

42 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 5.. ltplcton n torser pr n sclre λ [ T ] λ [ T ] [ T ] vec λ λ 5.4. Torser nl e torser nl noté [ ] est l éléent netre por l on e e torsers. es éléents e récton sont nls en tot pont e l espce. [] 6. nvrnts torser 6. Défnton n ppelle nvrnt n torser [ ] tote grner népennte pont e l espce où elle est clclée. T 6. nvrnt vectorelle n torser résltnte est n vecter lre népennt centre e récton torser elle constte l nvrnt vectorelle torser [ T ] 6. nvrnt sclre n torser o tooent nvrnt sclre n torser onné est pr éfnton le prot sclre es éléents e réctons en n pont qelconqe e ce torser. e prot sclre est népennt pont. Nos vons v précéeent l forle e trnsport : ; en fsnt le prot sclre e cette relton pr l résltnte on otent : 56

43 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD on vot en qe le prot sclre es e éléents e récton n torser est népennt pont où est esré le oent. 7. e centrl n torser 7.. Défnton ot n torser onné e résltnte non nlle. e centrl Δ est éfn pr l ensele es ponts e l espce tel qe le oent torser en ce pont sot prllèle à l résltnte. Δ vec e centrl n torser est prllèle à l rote spport e l résltnte torser : Déonstrton : oent et e ponts e l e centrl nos povons écrre : et ' cr les e oents sont prllèles à ' et nos vons ss pr l forle e trnsport : ' ' ' ' ' ' r éfnton le vecter résltt e ' est perpenclre à ' et o nl. sele posslté c est q l sot nl lors ns ce cs : ' et ' ' ' : où l e centrl est prllèle à l résltnte torser. Nos llons ontrer ss qe l e centrl est le le es ponts o le ole oent torser est n. ot n pont pprtennt à l e centrl et sot n pont qelconqe e l espce n pprtennt ps à l e centrl. Nos povons écrre pr l forle e trnsport : on ét lors : or nos vons : 57

44 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD > Qel qe sot pprtennt à l e centrl le oent en ce pont est n. 7.. étre chp es oents n torser ot n repère orthonoré rect ont l e vertcl est confon vec l e centrl Δ torser éfn pont pr : [ ] T v Δ n éfn n tre repère locl orthonoré rect en n pont qelconqe e l espce tel qe l e reste confon : v tel qe v e rencontre l e en n pont. n pose h et où h r l forle e trnsport nos povons écrre : h v 58

45 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD D près cette relton on constte qe les vecters oents tor e l e centrl sont stés ns le pln v. - te lors : ; - e ole oent est constnt s te : n rerqe qe les vecters oents stés à ne êe stnce e l e centrl Δ sont tngents clnre e révolton e êe e Δ. n constte ss qe lorsqe le pont où est esré le oent se éplce le long e l e le oent en ce pont ft es rottons. Nos vons lors - por est prllèle à - por est orthogonl à l e n constte onc ne torson oent lorsqe le pont s élogne e l e centrl torser c est e là qe vent l orgne ot torser. 7.. Eqton vectorelle e l e centrl ot l orgne es cooronnées ns n repère orthonoré et Δ l e centrl n ] torser [ T. Nos vons : Δ λ Et En tlsnt l proprété ole prot vectorel on ott à : 59

46 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD e preer tere e cette éqton est népennt pont on pet le noter coe étnt n vecter et le secon tere épen pont cr c est n vecter prllèle à. n pose [ ] λ T où : λ e centrl torser psse pr le pont éfn à prtr e pr l éqton : et prllèle à onc vecter ntre : s torser Nos svons qe por tot pont e l e centrl nos vons : λ e prot sclre e cette epresson pr l nvrle vectorelle onne : λ où : λ oe le prot est l nvrnt sclre torser l vler λ est népennte pont. λ est ppelée s torser elle n est éfne qe s : 8. Torsers prtclers 8.. lsser 8... Défnton Un torser e résltnte non nlle est n glsser s et seleent s son nvrnt sclre est nl. ette éfnton pet se trre pr :[ T ] est n glsser [ T ] vec n st qe l nvrnt sclre est népennt pont où l est clclé. oe l résltnte n est ps nlle lors on pet re qe : n torser est n glsser s et seleent s l este ons n pont en leqel le oent torser est nl. 6

47 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 8... oent en n pont n glsser ot [ T ] n glsser onné. l este ons n pont où le oent glsser est nl. ot ce pont nos povons écrre : r l forle e trnsport le oent en n pont qelconqe s écrt : ette relton epre le vecter oent en n pont qelconqe n glsser ont le oent est nl pont e n glsser ot [ T ] n glsser onné et n pont qelconqe tel qe : herchons l ensele es ponts por lesqels le oent torser est nl : ; cette relton ontre qe le vecter est colnére à l résltnte. ensele es ponts est éterné pr l rote pssnt pr le pont et e vecter ntre prllèle à l résltnte. ette rote est ppelée e es oents nl glsser o e glsser. Elle représente l e centrl glsser. Un torser e résltnte non nlle est n glsser s et seleent s son nvrnt sclre est nl. 8.. Torser cople 8... Défnton Un torser non nl est n torser cople s et seleent s s résltnte est nlle. ette éfnton se trre pr : [ T ] est n torser cople tel qe : 6

48 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 8... roprétés vecter oent e oent n torser cople est népennt es ponts e l espce où l est esré. Nos vons : tel qe : e oent en n pont qelconqe e l espce est onné pr : Q Q Q Q H Q n vot en qe le oent pont est népennt. on v ontrer q l est ss népennt es ponts et Q. En effet nos vons : Q QH H H H est l projecton orthogonle pont sr l rote spport vecter. En rélté le oent n torser cople ne épen qe e l stnce q sépre les e rotes spports es e vecters l est népennt le où l est esré Décoposton n torser cople ot [ n torser cople éfn pr : [ ]. e torser cople pet être écoposé T ] T en e glssers [ T ] et [ T ] tel qe : [ T ] [ T ] [ T ] coe st : [ T ] où les e glssers sont éfns où est n pont qelconqe es nvrnts es e glssers sont nls: ; l este ne nfnté e solton éqvlente à n torser cople. e prolèe est résol e l nère svnte : on choss n glsser [ T ] en se onnnt : - l résltnte glsser : ; 6

49 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD - l e glsser éfn pr n pont tel qe : Δ Δ e glsser [ T ] est éfn lors pr : - s résltnte ; - son e Δ est éterné fcleent cr l est prllèle à Δ ; l sfft lors e connître n pont e cet e. e pont est éterné pr l relton svnte : ette relton éterne l poston pont e fçon nqe. 9. Torser qelconqe 9.. Défnton Un torser est qelconqe s et seleent s son nvrnt sclre n est ps nl. [ T ] est n torser qelconqe 9.. Décoposton n torser qelconqe Un torser [ T ] qelconqe pet être écoposé ne nfnté e fçon en l soe n ] torser glsser [ T et n torser cople[ T ]. Nos procéons e l nère svnte : ho pont n chost n pont où les éléents e récton torser [ T ] sont conns :[ T ] e cho pont épenr prolèe à résore on chost le pont le pls sple à éterner. Une fos qe le cho est ft l écoposton torser qelconqe est nqe. onstrcton glsser [ ] T - l résltnte égle à l résltnte torser qelconqe : vec son e q psse pr le pont éjà chos ; - e oent est nl sr cet e : 6

50 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD [ T ] [ T ] e glsser r por éléents e récton : c onstrcton torser cople [ T ] - l résltnte est nlle : - e oent torser cople est égl oent torser qelconqe: [ T ] [ T ] e glsser r por éléents e récton : n otent ns [ T ] [ ] [ ] T T En chqe pont chos ntleent nos povons fre cette constrcton. Tos les glssers otens ront l êe résltnte. ls fférent pr lers es s grent l êe recton cr ls sont tos prllèles à l e portnt l résltnte torser qelconqe.. Tle récptltf sr les torsers Eléents e récton pont onstrcton n Tpe e torser Un vecter lé nqe Torser glsser De vecters lés fornt n cople Torser cople Un vecter lé vecters lés fornt n cople Torser qelconqe ecters nls Torser nl 64

51 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD EXEE ET UTN Eercce : Dns n repère orthonoré j e ponts et ont por cooronnées : - et 5 ; Déterner : e oent vecter glssnt pr rpport centre repère ; e oent vecter glssnt pr rpport à l rote Δ pssnt pr le pont et le pont olton : e oent vecter pr rpport pont est onné pr : 9 9 j ; oent vecter pr rpport pont à l rote Δ éfne pr le pont et le vecter ntre tel qe : j j Δ ; 4 65

52 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 66.KD Eercce : oent les tros vecters ; éfns ns n repère orthonoré et lés respectveent ponts j j j j onstrre le torser [ ] ssocé sstèe e vecters ; T En ére l tooent ; lcler le ps torser ; 4 Déterner l e centrl torser vectorelleent et nltqeent. olton : es éléents e récton torser [ ] T sont : résltnte : j e oent pont : tooent : 5 j j s torser : 5 5 p 4 Eqton vectorelle e l e centrl : l e est n e centrl lors : Δ Δ λ on éqton vectorelle est onnée pr : λ vec λ

53 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 5 λ λ λ j λ lors : ; λ et λ 9 D où : e centrl est ne rote ns n pln prllèle pln sté à éqton : et Eercce : T ] ot le torser [ éfn pr les tros vecters j 7 ; j j 8 éfns ns n repère orthonoré j respectveent ponts ; et le torser [ ] où j et j 7. T Déterner les éléents e récton torser [ T ] conclson; Déterner le ps et l e centrl torser [ T ] ; lcler l soe et le prot es e torsers ; 4 lcler l tooent torser soe. olton : Eléents e récton torser:[ T ] 67

54 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 68.KD j [ ] j T 6 s et e centrl torser [ ] T s torser : j j e centrl torser : λ λ λ λ λ λ oe et prot es e torsers oe es e torsers : [ ] [ ] [ ] j j T T T 7 8 rot es e torsers : [ ] [ ] 5 7 j j T T 4 tooent torser soe : j j F

55 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce : 4 n consère les ponts - et D - ns n repère orthonoré j. Déterner : es éléents e récton torser ssocé vecters et e centrl torser vectorelleent et nltqeent. D ; Eercce : 5 ot n pont e l espce ns n repère orthonoré j vec 4 j et n vecter j ont l e psse pr le pont T ] ot [ n torser éfn pont pr ses éléents e récton et tel qe : [ T ] 4 j 9 j Déterner les éléents e récton torser [ ] T ont l résltnte est le vecter ; or qelle vler e les e torsers sont ég ; En ére le ps et l e centrl torser [ T ] por cette vler e. 4 lcler le prot es e torsers por olton : Eléents e récton torser [ ] [ T ] [ T ] j j j ; où T es e torsers sont ég s lers éléents e réctons sont ég. [ T ] [ T ] j 4 j j 9 j 69

56 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD ette églté est vérfée por : [ ] 4 s et e centrl torser T por. e torser s écrt : [ T ] j j s torser : j j 9 e centrl torser : est l ensele es pont tel qe : 9 λ 57 λ λ 9 λ 9 λ s sont les cooronnées pont lors : nos rons les tros éqtons sclres: λ λ λ le pont écrt l core : 57 5 rot es e torsers por ] or le torser [ s écrt : T [ T ] j 6 j [ T ] [ T ] 7 7

57 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 7.KD Eercce : 6 oent e torsers et [ éfns êe pont pr lers éléents e récton ns n repère orthonoré : [ ] T ] T j [ ] j j T 7 4 et [ ] j j T 7 4 Déterner l e centrl et le ps torser [ ] T ; Déterner l tooent torser [ ] T ontrer q l est népennt pont ; onstrre le torser [ ] [ ] [ ] T T T vec et ; 4 Qelle relton ovent vérfer et por qe le torser [ ] T sot n torser cople ; 5 ontrer qe le torser cople est népennt pont o on le esre ; 6 Déterner le sstèe le pls sple e vecters glssnts ssocés torser soe : [ ] [ ] T T olton : e centrl et s torser [ T ] e centrl : l est éfn pr l ensele es ponts tel qe : λ λ λ λ λ λ s torser [ : ] T j j tooent torser [ : ] T j j

58 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD tooent est népennt pont. En effet près l forle e trnsport nos povons écrre : on vot en q l est népennt pont. [ T ] [ T ] [ T ] [ T ] [ T ] j 4 j 7 4 onon por qe [ T ] sot n torser cople : l ft qe l résltnte sot nlle : e oent ns ce cs ser égl à : e oent n torser cople où les résltntes ont le êe ole s e sens opposées et pplqées ponts qelconqe et s écrt : H H H H H H e oent n cople est népennt e l stnce entre les ponts et l épen nqeent e l stnce q sépre les e rotes spports es résltntes. ette stnce est ppelée rs e lever. 7

59 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD T T 6 stèe sple e vecters glssnts ssocés torser soe : [ ] [ ] e torser soe [ T ] est onné pr : [ T ] 8 résltnte pet être écoposées en e vecters qelconqe e êe ole et e sens opposé ont l n es vecters est plcé pont on otent lors : 5 sstèe e e vecters glssnts : et tel qe : Eercce : 7 [ ] oent e torsers T et [ T ] éfns êe pont ns n repère orthonoré j pr : sn j sn j [ T ] et [ T ] Déterner les ps es e torsers ; Qelle est l ntre es e torsers ; Déterner l e centrl torser [ T ] ; sn j sn j 4 Déterner l nvrnt sclre torser [ T ] éfn pr : [ ] [ T ] [ T et ; T ] où 5 En ére l éqton sclre e l srfce engenrée pr l e centrl qn vrent ; 6 lcler le prot es e torsers [ T ] et [ ] T ; et 7

60 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce : 8 n consère e ponts - et e vecters β ns n repère orthonoré j. β Déterner les éqtons e l e centrl torser éfn pr les vecters et ; Dére l éqton e l srfce lée pr cette e lorsqe et β vrent en grnt constnt. Eercce : 9 ot [ T ] n torser et n pont qelconqe e l espce. Déterner l ensele es ponts tels qe le oent torser [ T ] pont sot prllèle oent torser [ T ] pont. Eercce : n pplqe à n sole e fore qelconqe e forces tel qe : ponts et sole. Qelle est l ntre torser lé e forces ; ontrer qe le oent e ce torser est népennt es pont et. F F N 74

61 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD HTE TTQUE DE DE 75

62 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD TTQUE sttqe est l prte e l écnqe q éte l éqlre es sstèes térels sos à n ensele e forces. es sstèes pevent se rére à n pont térel n ensele e ponts térels n sole o à n ensele e soles. Dns ce chptre nos nlserons les ctons écnqes eercées sr ces sstèes à trvers l éte e l éqlre e cel-c. Un sstèe térel est en éqlre sttqe pr rpport à n repère onné s cors teps chqe pont e l ensele gre ne poston fe pr rpport repère.. es sstèes e forces ns l espce es sstèes e forces sont clssés en tros ctégores : oncornts : les lgnes cton e totes les forces sstèe pssent pr n êe pont. est ce qe l on ppelle forces concorntes en n pont. - rllèles : les lgnes ctons es forces sont totes prllèles on ss elles s nterceptent à l nfn - Non concorntes et non prllèles : les forces ne sont ps totes concorntes et ps totes prllèles... oposntes ne force ot ne force F pplqée à l orgne n repère orthonoré j. es coposntes e cette force sont éfnes pr : F F F H F F F F F F F F sn F F sn F sn sn F H F sn F sn sn j F F F F j F nos vons ss : F F F F 76

63 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD.. osns recters es projectons e l force F onnent respectveent les ngles : sr les tros es o o o F nos rons lors : F F F F F F j sont les vecters ntres repère nos rons : F F F j F F j F F λ vec λ j e vecter λ l êe recton qe l force F et por ole.. Force éfne pr son ole et e ponts sr s lgne cton oent e ponts et pprtennt à l rote Δ spport e l force F. e vecter s écrr : j j F ot le vecter ntre le long e l lgne cton e l force. l est onné pr : j j oe l force est onnée pr : F F F j oposntes svnt les tros es repère : F F F F F F. 77

64 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD. Eqlre n pont térel n ppelle pont térel ne prtcle sffsent pette por povor néglger ses ensons et repérer s poston pr ses cooronnées. F n F o F F Un pont térel est en éqlre sttqe lorsqe l soe e totes les forces etéreres qelles l est sos est nlle. es forces pevent être coplnre o ns l espce. F F F F4... F F Une prtcle sose à e forces est en éqlre sttqe s les e forces ont le êe ole l êe recton s e sens opposé tel qe ler résltnte sot nlle. F ; F F F F F F F 4. sons es soles 4.. sons sns frotteents Dns le cs ne lson sns frotteent entre n sole et n pln l récton est tojors norle pln pont e contct qelqes sot le nore e forces etéreres pplqées sole. r lsse N N récton cton F n N F n F N F N 78

65 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Dns le cs n contct ponctel sns frotteent l conon éqlre est rélsée s l soe e totes les forces etéreres pplqées en ce pont est égle à l récton norle en ce êe pont. F N 4.. sons entre soles vec frotteents n pose ne pèce e os en fore e prlléléppèe sr n pln horontl. ette pèce e os est en éqlre sttqe. récton pln horontl est égle et opposée pos e l pèce. Fgre :. N T N Fgre :. pplqons grelleent en n pont e cette pèce ne force horontle F fgre :. pèce ne oger ps tnt qe cette force est nférere à ne certne vler lte l este lors ne contre force T q éqlre et s oppose à cette force F. T est ppelée force e frotteent sttqe. Elle réslte n grn nore e prètres lés étts e srfces à l ntre es tér et forces e contct entre l pèce et l srfce consérée. ette force e frotteent sttqe oét à l vrton représentée sr l fgre svnte. μ est le coeffcent e frotteent sttqe épen nqeent e l ntre es srfces e contct nos povons écrre : F T T : force e frotteent sttqe rte sttqe T : force e frotteent nqe F or qe l éqlre sttqe sot rélsle l ft qe : T p μ N l éqlre lte on r : T μ N 79

66 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Dns le cs ne srfce vec frotteents fgre c-essos l conon éqlre s écrr : F N T l soe es ctons et es réctons est nlle T μ tg N T N F force e frotteent T est rgée ns le sens contrre oveent et l ngle est ppelé ngle e frotteent sttqe. T F f le sole se et en oveent e glsseent sr l srfce. T T N vec < μ et tg φ N e coeffcent népennt teps est ppelé coeffcent e frotteent nqe l est ss népennt e l vtesse. e tle repren qelqes coeffcents e frotteent sttqes et nqes es srfces e tér en contct : oeffcent e frotteent sttqe μ cer cer ollé. sec.6 oeffcent e frotteent nqe.5.4 os os ollé.5. étl glce.. Téflon cer.4.4 vre cer ec.5.4 8

67 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 5. stèe e forces 5. oent ne force pr rpport à n pont e oent F pr rpport à n pont ne force F pplqée pont est égle prot vectorel : F F. e trère foré pr les vecters F F est rect. F π F erqe : e oent ne force glssnt le long n e Δ pr rpport à n pont est népennt pont où elle s pplqe. F H H F vec H Δ H F H F coe H lors H F où F H F π F H F Δ 5. oent ne force pr rpport à n e ot n pont sr l e Δ et vecter ntre porté pr cet e. n éterne le oent pr rpport pont noté : F s projecton sr l e Δ est onnée pr : F Δ F F Δ F Δ F 8

68 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 5. Théorèe e NN e oent n sstèe e forces concorntes en n pont pr rpport à n pont est égl oent e l résltnte es forces pr rpport pont. Dns les e cs e fgre nos ontrerons qe le oent résltnt est égl oent e l résltnte es forces sstèe. F F n F F F F n n F F fgre : fgre : Fgre : Nos vons F et le oent pont est onné pr : F F F... Fn F F... Fn F Fgre : Nos vons F n n F F F... F F F n F n... r F > F ; on otent fnleent : F F F... Fn n F n 8

69 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 5.4. oent n cople e forces Un cople e force est éfn pr e forces e êe ole e sens opposée et portées pr e rotes prllèles tel qe : F F ; F F F F F F F F F F F F soe es forces est nlle s le oent n est ps nl. Un cople e force prot nqeent n oveent e rotton. e oent n cople est népennt pont où on le esre l épen nqeent e l stnce q sépre les e rotes spports es e forces. Un cople ne pet js être replcé pr ne force nqe ; Un sstèe force cople tel qe F pet tojors se rére en ne résltnte nqe. n chost l résltnte es forces pont où s pplqe le oent e telle sorte qe son propre oent sot nl et le oent en ce pont sert égl à l soe es oents e totes les forces sstèe. F F F F F F 8

70 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 6. ttqe sole Tos les soles qe nos éterons ns ce chptre sont consérés néforles : l stnce entre e ponts êe sole reste constnte qels qe sot les sstèes e forces etéreres pplqés. n consère n sole qelconqe sos à es forces : F F F... pplqées F n ponts :... n 6.. Eqlre sole or qe le sole sot en éqlre sttqe l ft et l sfft qe : - résltnte e totes les forces etéreres pplqées sole sot nlle ; - e oent résltnt e totes ces forces en n pont sot nl. F n F n F F F F Un sole sos à es ctons écnqes etéreres est en éqlre sttqe s et seleent s le torser représentnt l ensele e ces ctons est n torser nl. es e éqtons vectorelles se trsent pr les s éqtons sclres svntes : et e sstèe est coplèteent éterné s le nore nconnes est égl nore éqtons népenntes. 84

71 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 6..Eqlre n sole ns n pln Dns le cs n sole sos à es forces coplnres le sstèe précéent se rét à tros éqtons sclres. ot o le pln contennt les forces pplqées sole nos vons lors : et F et es éqtons éqlre se résent à : F ; F ; F F F ; F F F F F F F n n F 6.. éctons pps et lsons à e ensons 6... pp sple n sole sr ne srfce prfteent lsse es contcts entre les soles sont ponctels. ot n sole reposnt sr ne srfce on qe le pont sole est n pont pp s l reste contnelleent en contct e l srfce. le pln est prfteent lsse lors l force e lson l récton pont e contct est norle à ce pln. 85

72 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 6... rtclton n sole Un pont n sole est ne rtclton lorsq l reste en pernence en n pont fe e l espce. son verro rtclton clnrqe es soles sont en contct entre e svnt ne srfce clnrqe. e sole e egrés e lerté pr rpport sole : Une trnslton svnt l e et ne rotton tor êe e. vec récton svnt l e e l rtclton est nlle. son rotle rtclton sphérqe son sphérqe : egrés e lerté rottons récton pont e l rtclton sphérqe tros coposntes : c Encstreent n sole n q n sole est encstré lorsq l ne pet pls chnger e poston qels qe sot les forces etéreres pplqées. ette lson est représentée pr e grners : : l résltnte es forces etéreres pplqées sole et ctves pont : le oent résltnt es forces etéreres pplqées sole pr rpport pont 86

73 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD F F F F F n onsons e lsons vec ces fférents tpes e lsons pp sple rtclton clnrqe rtclton sphérqe et encstreent nos povons rélser es coonsons q perettent e rélser ontges écnqes sttqeent éternés. Eeples: pp sple e fos pp sple et ne rtclton 4 Encstreent et pp sple Encstreent sel es consons sont es sosttqes sttqeent éternées s le nore nconnes est nféreres nore éqtons népenntes q on pet étlr. ertnes consons ne sont ps torsées et ne pevent trover l solton pr l sttqe sele. Eeples : pps rtclés ne rtclton et n encstreent encstreent e fos. ertnes consons sont hpersttqes elles ne pevent trover solton pr l sttqe. 87

74 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eeple : pp sple tros fos Nos représentons ns le tle c essos les fférents tpes pps et e lsons et les coposntes es réctons ssocées à celles-c. Tpe e lsons pp sple role o rfce lsse sns frotteent : pp sple vec frotteents rtclton clnrqe e rtclton sphérqe Encstreent oposntes e l récton : l récton est norle pont pp. : e coposntes ns le pln e contct vec ; coposnte svnt l e e l rtclton est nlle : tros coposntes et tros coposntes pls le oent pont encstreent. 88

75 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD EXEE UTN Eercce : Déterner les tensons es câles ns les fgres svntes : 4 7 4N olton : Fgre : pont nos vons : T T projecton sr les es onne : T T 4 T sn 4 T sn 6Kg fgre: fgre : 4 T T 4 où : T 54 N. T 88 5 N Fgre : pont nos vons : T T projecton sr les es onne : T T sn 7 T 7 T sn où : T 9 N ; T 4 N T 7 T 89

76 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce : Une rre hoogène pesnt 8 N est lée pr ne rtclton clnrqe en son etrété à n r. Elle est retene sos n ngle e 6 vec l vertcle pr n câle netensle e sse néglgele à l tre etrété. e câle ft n ngle e vec l rre. Déterner l tenson ns le câle et l récton pont. olton : 6 6 D T e sstèe est en éqlre sttqe ns le pln o nos vons lors : F T T D ; D ; ; T sn sn T 6 T sn 6 éqton projetée sr les es onne : T 6 T sn 6 4 éqton s écrr : T 6 sn T sn 6 sn T s sn 6 T 6 sn 5 9

77 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 5 T 464N X T 6 7 N 4 T sn 6 N où Y 4. 64N et l ngle qe ft l récton vec l e o est onné pr : 5 6 Eercce : n ntent ne potre en éqlre sttqe à l e ne chrge sspene à n câle netensle e sse néglgele pssnt pr ne pole coe nqé sr l fgre. potre ne longer e 8 et ne sse e 5 Kg et ft n ngle e 45 vec l horontle et vec le câle. Déterner l tenson ns le câle ns qe l grner e l récton en ns qe s recton pr rpport à l horontle. 5Kg T 45 5Kg 45 olton : Totes les forces gssnt sr l potre sont ns le pln o. e sstèe est en éqlre sttqe où F T T 9

78 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Nos vons T et 4 ; 4 ; ; T ; T 5 T sn5 éqton projetée sr les es onne : T 5 T sn 5 4 éqton s écrr : 4 4 T 5 T sn5 4 T sn5 4T 5 5 T T 555N 4 5 sn5 4 5N et N où Y 68N et l ngle qe ft l récton vec l e o est onné pr : Eercce 4 : rre est lée en pr ne rtclton clnrqe et à son etrété elle repose sr n pp role. Une force e N gt en son le sos n ngle e 45 ns le pln vertcl. rre n pos e 5 N. Déterner les réctons etrétés et. F 45 olton : Totes les forces gssnt sr l potre sont stées ns le pln o. e sstèe est en éqlre sttqe nos vons lors : 9

79 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD F F F projecton e l éqton sr les es onne : F 45 F sn 45 4 En éveloppnt l éqton on ott à : F 45 F sn 45 F F N 4 4 N N ; où 7 76N Eercce 5 : Une échelle e longer pesnt 4 N est ppée contre n r prfteent lsse en n pont sté à 6 sol. on centre e grvté est sté à e s longer à prtr s. Un hoe pesnt 7 N grpe jsq le e l échelle et s rrête. n sppose qe le sol est rge et qe le sstèe reste en éqlre sttqe. Déterner les réctons ponts e contct e l échelle vec le r et le sol. Q 9

80 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD olton : 6 6 Q 7 N 4 N sn 8 5 échelle est en éqlre sttqe. résltnte es forces est nlle. e oent résltnt pr rpport pont est ss nl. F Q Q Nos vons ss : ; ; ; ; Q ; sn sn sn Q projecton e l éqton sr les es onne les éqtons sclres : Q 4 En éveloppnt l éqton on ott à : sn sn Q sn sn Q 5 Q 5 sn 6 N 5 où 6 5N 4 N ; on ét : 58 4N Eercce 6 : n pplqe tros forces sr ne potre e sse néglgele et encstrée pont. Déterner l récton à l encstreent. 8N 4N 5 5 N 94

81 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce 7 : Un plqe crrée e coté e pos est fée à n r à l e ne rtclton sphérqe pont et ne rtclton clnrqe pont. Un câle D netensle et e sse néglgele ntent l plqe en poston horontle. Une chrge Q est sspene pont E e l plqe. es onnées sont : ; Déterner les réctons es rtcltons en et ns qe l tenson ns le câle en foncton e et D D E E T Q Q olton : plqe est en éqlre sttqe ns le pln horontle nos povons écrre : F T Q T E Q rtclton sphérqe en : rtclton clnrqe en et e : e trngle D est rectngle en et l ngle DD lors l ngle D6 tenson r por coposntes : T 6 45 T T T 6sn 45 T T sn 6 T

82 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 96.KD Q ; ; ; ; ; rojetons l éqton sr les es repère : 4 T 4 T 4 T 5 éqton se trr pr : 4 4 T T T e éveloppeent e ce prot vectorel onner tros éqtons : 4 T 6 T 7 8 résolton e ce sstèe éqtons onne : 8 ; 7 T 5 ; 6 5 ; ; et Eercce 8 : Une ensegne lnese rectnglre e ensté nfore e enson 5 4 pèse Kg. Elle est lée ûr pr ne rtclton sphérqe et e câles q l ntenne en poston éqlre sttqe coe nqé sr l fgre. Déterner les tensons ns chqe câle et l récton pont.

83 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD n onne : ; ; --4 D ; 9 ; 6. D 8 6 Eercce 9 : Une porte étllqe rectnglre e ensté nfore e ensons e pos est ntene en poston vertcle pr e rtcltons l ne sphérqe pont et l tre clnrqe pont. Une force F est pplqée perpenclreent pln e l porte pont le e l longer. fn e ntenr cette porte en poston ferée on pplqe n oent pont. Déterner les réctons nve es rtclton et ns qe l force F nécessre por ovrr l porte. n onne : 4N 8N F F olton : Nos vons : ; ; 97

84 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD F Et ss : ; ; F ; ; porte est en éqlre sttqe nos povons écrre : F F F rojetons l éqton sr les es repère : F 4 5 éqton se trr pr : F 6 F 7 F 8 l résolton e ce sstèe éqton nos onne : 4 8N ; N F 7 F N ; 8 N N ; F N on ét : 849N ; 84 8N 98

85 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce : Une rre e sse néglgele spporte à son etrété ne chrge e 9 N coe nqé sr l fgre c-essos. Elle est ntene en pr ne rtclton sphérqe et en pr e câles ttchés ponts et D. Déterner l récton pont et l tenson ns chqe câle. Données : 5 ; ; ; 5 olton : D e sstèe est en éqlre sttqe. résltnte es fores est nlle et le oent résltnt e D totes les forces pr rpport pont est nl. Nos vons lors : Q 5 T D T D Q F T T Q D T TD No vons ne rtclton sphérqe en : Déternons les coposntes es tensons ns les câles et D : es vecters ntres svnt les es et D sont onnés pr : j j 5 D j5 D j D 5 99

86 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD es tensons ns les e câles s écrront sos l fore : T 66T 66T j T T D TD D 66TD 66TD j T D T projecton e l éqton sr les es onne les tros éqtons sclres : 66T 66T D 66T 66TD Q 4 T T 5 D éqton s écrr : 66T 66TD 5 Q 5 66T 5 66TD T T D En éveloppnt ce prot vectorel nos otenons les tros éqtons svntes : Q 5 T 66T 5 T 66T 6 T 66T T 66T 7 D Q 66 T 5 66 T 66 T 5 66 T 8 D D D D D prtr e l éqton 7 on ét qe : T 5T D En replçnt ns l éqton 6 on otent : Q T D 6 4N 56 D où : T 8 5N 66 T T 65 N D 4 Q 66 T T 64 N D 7 5 T T 56 N D D N

87 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce : Une plqe trnglre hoogène e pos est lé à n spport fe pr l nterére ne rtclton sphérqe pont et clnrqe pont. n onne. plqe est ntene en poston nclnée n ngle e pr rpport pln horontl o pr n câle netensle D ccroché pont D à n r vertcl. core ft n ngle e β 6 vec l vertcle. Une chrge e pos Q est sspene pont o. e centre e grvté e l plqe est sté e à prtr e.. Ecrre les éqtons éqlre sttqe ;. Déterner les réctons es lsons ponts et ns qe l tenson câle. D β o D β o T β olton : Nos vons ; Q ; Q ; β 6 e pont o ; ; ; T T β ; Q ; T sn β ; ; sn ; sn ; sn ; sn

88 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD e sstèe est en éqlre sttqe nos vons lors : F T Q T Q projecton e l éqton sr les es onne tros éqtons sclres : T β 4 T sn β 5 En éveloppnt l éqton vectorelle nos otenons tros tres éqtons sclres : sn T β sn sn T sn β T sn sn β T β 6 T sn β 7 T β 8 es s éqtons perettent e trover totes les nconnes : 6 T ; ; 5 ; 4 9 où : 58 ; 58

89 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce : Un sstèe écnqe coposé ne rre coée DE e sse néglgele et n sqe e ron e sse néglgele soé à celle-c pont coe nqé sr l fgre c-essos. rre est spportée pr e lsons clnrqes en et. n rele le sqe à ne pole fe pr n câle netensle e sse néglgele qel est sspene n pos. pont E ns n pln prllèle pln est pplqée ne force F nclnée pr rpport à l vertcle n ngle β. Un oent est pplqé à l rre fn e ntenr le sstèe en poston éqlre sttqe ns le pln horontl. n onne F et 6.. Ecrre les éqtons sclres éqlre sttqe ;. En ére les réctons ponts et ns qe l vler oent por ntenr le sstèe en poston éqlre sttqe ns le pln horontl H T F β E D olton : Nos vons D DE ; F ; 6 ; β 6 pole e ron r est ss en éqlre sttqe lors : T r r où : T ; ; H ; E ; sn

90 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD sn sn β ; ; T ; F ; β e sstèe est en éqlre sttqe nos vons lors : F T F H T E F rojetons l éqton sr les es : sn β sn 4 β 5 En éveloppnt l éqton vectorelle nos otenons tros tres éqtons sclres : sn sn β sn β 6 β 6 sn c osβ 7 sn 6sn β 8 e sstèe éqton peret e trover totes les nconnes. 7 c osβ 7 8 sn β sn β

91 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 5 β sn β sn 67 4 Eercce : ot le sstèe constté e e sses ponctelles lées entre elles pr ne tge hoogène e longer et e sse néglgele. e sstèe est sos à e lsons sns frotteent en et. on onne.. Trover l ngle q éterne l poston éqlre en foncton e. ;. En ére les oles es réctons ponts et ;. lcler les réctons et por c Kg et 5 c olton : tg sn ; sn ; ; ; ; 5

92 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD le sstèe est en éqlre sttqe : F projecton e l éqton sr les es onne : sn 4 éqton s écrr : sn tg sn sn 5 éqton 5 onne : sn g où En replçnt l éqton 4 ns l éqton 5 on otent : 4 D près l éqton 4 : 4 r 4g D près l éqton : 4g tg.n : por g s nos rons : N 4 N Eercce 4 : Un sqe e fle épsser e ron c et e pos 5 Kg ot psser esss n ostcle en fore escler e hter h 5 c sos l cton ne force F 6

93 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD horontle pplqée pont D sté à l êe hter qe le centre sqe. Qelle est l vler nle e l force F n por fre érrer e sqe? n consère qe les frotteents sons néglgeles et on prenr g s. F h Eercce 5 : Un rre hoogène horontl e sse néglgele est nten à ses etrétés pr ne lson sphérqe en et clnrqe en. pont est enchée ne roe e ron et e sse néglgele. Un fl netensle est enrolé tor e l roe et porte ne chrge Q. Une tge DE e sse néglgele est soée à l rre pont D. Elle spporte à son etrété E ne chrge e telle sorte q elle fsse n ngle e à l éqlre vec l vertcle ns le pln D. n onne : 5 N ; 5 ; ;. Déterner les réctons pps et ns qe l chrge Q à l éqlre sttqe. 4 D H E Q 7

94 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD olton : 5 N ; 5 ; DE ; ; D ; D4 sn Nos vons: 8 ; H ; E 6 ; ; ; Q ; Q le sstèe est en éqlre sttqe : F Q H Q E projecton e l éqton sr les es onne : 4 Q 5 éqton vectorelle se trt pr : 8 sn 6 Q En éveloppnt cette epresson on ott à tros éqtons sclres : 8 Q 6 6 Q sn n ét fcleent es s éqtons sclres l récton en et ns qe l chrge Q. 8 ; 7 Q sn 5N Q N ; 5 Q 95N 8 4 ; 95N ; 775N 8

95 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce 6 : Un covercle hoogène nt l fore n e sqe e ron e pos est nten pr n e horontl vec ne lson sphérqe en et clnrqe en. Une core netensle D e sse néglgele est ttché pont et solève le covercle e tel sorte q l fsse n ngle vec l e horontl o. tre etrété est ttché pont D -. n onne : e centre nerte covercle est sté sr l e et tel qe :. Ecrre les éqtons sclres éqlre ;. En ére les réctons es lsons et ns qe l tenson e l core. D 4 π D olton : Nos vons: ; ; sn 4 π 4 sn π Déternons les coposntes e T en effet nos povons écrre : T 866 j 5 T T 5T 4T j 75T T D D T D 5T où : ; ; T 4T ; 75T 9

96 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD e sstèe est en éqlre sttqe : F T T projecton e l éqton sr les es onne : 5T 4T 4 75T 5 éqton vectorelle se trt pr : 5T 4T π 75T π 4.75T T π 75T 5T 7 4T.5T 8 6 4T 67 T T 6 T T 4T 67 5T 5T T 4T 866T T

97 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD HTE EETE DE E

98 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD EETE DE E jectfs chptre fn e coprenre et e povor écrre les oveents es sstèes térels l est portnt e connître l réprtton géoétrqe fn e se préprer concepts e cnétqes et nqes es soles. ntérêt e cette prte est e nos perettre e connître n certn nore e onnées sr l réprtton es sses es sstèes. Nos nos ntéresserons à l éternton : - es centres e sse sole - es oents nerte es prots nerte pr rpport à es es et tensers nerte es soles qelconqes ns fférents repères. opérter nerte sert à crctérser l réprtton es sses n sole fn éter pr l ste n oveent qelconqe e cel-c.. Notons e sse n sstèe térel chqe sstèe térel est ssocé ne qntté sclre postve nvrle en écnqe clssqe ppelée : sse sstèe sse n sole ft référence à l qntté e tère contene ns le vole e ce sole. et nvrnt sclre oét proprétés thétqes svntes : vté es sses sse n sstèe térel est égle à l soe es sses q le coposent. Eeple : sse n lvre soe es sses es felles q l content. sse n sstèe térel est éfne pr l grner sclre svnte : éléent est l esre e l sse vosnge pont.

99 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Un sstèe térel est n ensele scret o contn es ponts térels o encore ne rénon enseles contns o screts e ponts térels... stèes screts sse n sstèe scret est l soe es n ponts térels screts e sses : n.. stèes contns le sstèe est constté n ensele contn e sses l sse sstèe s écrrt sos l fore ne ntégrle contne : - e sstèe est n vole sse s écrrt : ρ v ρ est l sse volqe pont et v n éléent e vole sole - e sstèe est ne srfce : cs es plqes fnes l épsser est néglgele evnt les e tres ensons. sse s écrrt : σ s σ est l ensté srfcqe pont et s n éléent e srfce sole - e sstèe est lnre : cs es tges fnes les e ensons sont néglgeles evnt l longer e l tge. sse s écrrt : λ l λ est l ensté lnéqe pont et -n éléent e longer sole Dns les sstèes hoogènes soles hoogènes l ensté es soles est constnte.

100 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD. entre nerte centre e sse es soles n ppelle centre nerte n sstèe térel le pont éfn pr l relton : où est n pont sole vec j et j ot le centre n repère orthonoré j nos povons écrre ns ce repère : lors nos otenons : 44 ; es cooronnées centre nerte n sstèe hoogène sont éternées pr es clcls tlsnt les éléents nfntés tel qe : l por les éléents lnéres s por les éléents srfcqes et v por les éléents volqes. ns nos povons écrre : erqes : - e centre nerte es sses hoogènes coïnce vec le centre nerte e lers voles s ls sont volqes o e lers srfces s ls sont srfcqes. - le sole présente es éléents e sétre es o plns son centre nerte est nécessreent sté sr ces éléents e sétre.

101 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD. entre nerte n sstèe coposé Dns l rélté c est le cs le pls sovent rencontré les clcls sont éléentres en résonnnt sr chcn es éléents q coposent les sstèes. n éterne or le centre nerte e chqe éléent Δ sstèe pont ps on éterne le centre nerte sstèe coe rcentre es ponts. oent les éléents n sstèe coposé : Δ Δ. Δ... n nt por centres nerte respectfs : n nt por vecters postons ns n repère j r n : r r... : e centre nerte e ce sstèe est onné pr : qntté. n r r n Elle pet être n éléent e longer e srfce e vole o e sse. e centre nerte sstèe r por cooronnées : Δ Δ èe ; où Δ est l n n Δ Δ n n Δ Δ n n Δ Δ où : sont les cooronnées es ponts où l éléent Δ est concentré. les Δ sont es éléents e sses lors on pet écrre : n n n n n n 4

102 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 4. Théorèe e ln Une secone éthoe por l éternton es centres nerte es soles lnéres o srfcqes hoogènes ft trovée pr ln. Elle consste à fre torner ces soles tor es es q ls n nterceptent ps. es soles lnéres écrront es srfces et les soles srfcqes écrront es voles. 4.. er Théorèe e ln srfce engenrée pr l rotton n rc e core e longer tor n e Δ sns l ntercepter ns son pln est égle prot e l longer e l rc pr l longer e l crconférence π écrte pr le centre nerte e l rc e core. ot l longer e l rc et sont centre nerte. longer pérètre écrte pr l rotton centre nerte pr rpport à l e Δ est onnée pr : π lors l srfce écrte pr cet éléent est égle à : Δ π où Δ π Δ Dns le cs n sstèe hoogène e plsers éléents on r : totle Δ π totle s l e Δ représente l e nos rons : o π s l e Δ représente l e nos rons : o π 4.. èe Théorèe e ln Une srfce plne hoogène ltée pr ne core ferée sple et tornnt tor n e Δ sns le rencontrer engenre n vole. e vole engenré est égl prot e l srfce pr l longer pérètre π écrt pr le centre nerte e cette srfce tor e l e Δ. Δ 5

103 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD ot l srfce et l stnce e son centre nerte à Δ. longer pérètre écrte pr l rotton centre nerte pr rpport à l e Δ est onnée pr : π lors le vole écrt pr cette srfce est égl à : Δ π où Δ π Dns le cs n sstèe hoogène coposé e plsers srfces on r : π totle Δ totle s l e Δ représente l e nos rons : totl o π totle s l e Δ représente l e nos rons : totl o π totle 5. pérter nerte tenser nerte : oent nerte et prot nerte noton opérter nerte peret eprer les vers torsers éjà ve précéeent fn e fclter l éte e l cnétqe et e l nqe es soles. 5. pérter prot vectorel onsérons e vecters et ont les coposntes sont eprées ns ne se orthonorée recte j : j X Y j Z e prot vectorel es e vecters s écrt : X Z Y Y X Z Z Y X 6

104 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 7.KD oe le vecter est conn et qelconqe on constte qe l on pet psser vecter vecter pr ne opérton lnére très sple à vérfer. e prot vectorel est strtf pr rpport à l on et à l ltplcton nos povons lors écrre : λ et on : λ λ on ss : on pet conclre qe l on psse vecter vecter pr pplcton n opérter lnére qe l on noter : [ ; où l écrtre : q se trt sos fore trcelle ns l se orthonorée pr : ] [ ] j [ ] Z Y X Z Y X X Y Z X Y Z trce est ntsétrqe ns cette se. or éterner le tenser nerte nos vons eson n novel opérter q est le ole prot ectorel : cr le prot vectorel est ntsétrqe. D près les reltons précéentes nos povons écrre cet opérter sos l fore :. [ ] [ ]

105 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD et opérter est ss n opérter lnére et son écrtre sos l fore trcelle ns l se j est l svnte : [ ] n vot en qe l trce [ ] est sétrqe et e êe por l trce [ ] [ ] lors nos tlserons cette ernère fn e représenter les tensers nerte n sole ns ne se orthonorée j. 5.. pérter nerte 5... Défnton oent nerte n sole ot n sole e sse lé à ne tge e sse néglgele en rotton tor n e Δ. on pplqe n cople sstèe tge sse l se ettr à torner lreent tor e l e Δ. éte nqe e ce sstèe se fer ns les prochns chptres. e teps nécessre à cet éléent e sse por ttenre ne vtesse e rotton onnée est proportonnel à l sse et crré e l stnce r q sépre l sse e l e Δ. est por cette rson qe le prot r est ppelé oent nerte e l sse pr rpport à l e Δ. r Δ 5... trce nerte : oents et prots nerte n sole ot n repère orthonoré j et n sole tel qe. e oent nerte e ce sole pr rpport pont est oten en ntégrnt l relton r. r 8

106 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD les ntégrles sont clclées sr le sole. el-c pet être lnére srfcqe o volqe. éléent ntégrton est sté en n pont sole. opérter nerte s écrt : le vecter est népennt pont. e pont est n pont qelconqe sole et est l éléent e sse entornt le pont. e tenser nerte sole pont est représenté ns l se j pr ne trce notée : ppelée trce nerte en ns l se j sole : D E D F E F trce est sétrqe réelle et gonsle. Elle et tros vlers propres réelles et tros rectons propres réelles et orthogonles. es vlers propres sont ppelées oents prncp nerte ; es rectons propres sont ppelées es prncp nerte. le pont por cooronnées ns l se j le vecter por epresson : j et près ce qe l on vent e vor précéeent les éléents e l trce nerte s écrrent sos l fore : oent nerte pr rpport à l e : oent nerte pr rpport à l e : oent nerte pr rpport à l e : 9

107 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD oent nerte pr rpport pln : oent nerte pr rpport pln : oent nerte pr rpport pln : : o prot nerte : o prot nerte : o prot nerte 5... oles présentnt es plns e sétre ertns soles présentent es fores prtclères ettnt es plns e sétre pr rpport es repère j chos. or chqe pln e sétre les prots nerte sr les e tres plns sont nls : pln e sétre > pln e sétre > pln e sétre > s est n pln e sétre sole est sétrqe pont - pr rpport pln où : et onc Dns ce cs l e q est perpenclre pln est n e prncpl nerte ; nos povons le ontrer fcleent pr le prot svnt : -

108 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD En effet tot e orthogonl à n pln e sétre térelle est e prncpl nerte sr tos les ponts pln. s est n pln e sétre sole est sétrqe pont - pr rpport pln où : et onc - Dns ce cs l e perpenclre pln est n e prncpl nerte. c s est n pln e sétre sole est sétrqe pont - pr rpport pln où : et onc - Dns ce cs l e perpenclre pln est n e prncpl nerte oles présentnt n e e sétre ot n e e sétre térelle n sole. or chqe éléent e sse sole nt ne cooronnée nos povons l ssocer n éléent sétrqe pr rpport à l e et e cooronnée - e telle sorte qe: et

109 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD n rerqe e l êe nère qe précéeent l e est n e prncpl nerte. Tot e e sétre térel est n e prncpl nerte sr tos les ponts e l e. erqes Tot repère orthogonl rect ont e e ses plns sont es plns e sétre térelle sole est n repère prncpl nerte sole. Tot repère orthogonl rect ont e e ses es sont es es e sétre térelle sole est n repère prncpl nerte sole. 5.. oles à sétre e révolton Dns le cs es soles nt n e e révolton tel qe clnre sqe cône etc l sse est réprte e fçon sétrqe tor e cet e. ot n clnre e e révolton ns n repère orthonoré. Tot pln pssnt pr l e est n pln e sétre près ce qe l on v précéeent tos les prots nerte sont nls oles à sétre sphérqes or tot sole à sétre sphérqe sphère plene où crese e centre tos les repères nt por centre le êe pont sont es repères prncp nerte. es tros es repère joent le êe rôle lors tos les oents nerte sont ég :

110 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD et tos les prots nerte sont nls cr tos les plns sont es plns e sétre : Nos povons écrre : 5.5. oles plns Dns le cs es soles plns l ne es cooronnées e l éléent est nlle. le sole est ns le pln lors. n ét éteent qe : où : ; et ; o e oent nerte pr rpport à l e perpenclre pln sole est égl à l soe es oents pr rpport e es pln sole oents nerte pr rpport à es et plns repère e oent nerte n sole éjà éfn précéeent pr rpport à n pont n e où n pln est onné pr l ntégrle : r où est n pont sole et r l stnce pont pr rpport pont pr rpport à l e o pr rpport plns repère.

111 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD oent nerte pr rpport pont. l est onné pr : où r r : représente l stnce lors : oent nerte pr rpport es.. e l est onné pr : où r r : représente l stnce pont à l e ; où ; lors :.. e r l est onné pr : où r r : représente l stnce pont à l e ; où ; lors :.. e r l est onné pr : où r r : représente l stnce pont à l e ; où ; lors : r 4

112 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD es oents nerte pr rpport plns sont onnés en foncton e l stnce q sépre le pont pln conséré ce q se trt pr les éqtons svntes : l réslte es fférentes reltons précéentes qe : soe es oents nerte n sole pr rpport tros es n repère orthonoré est égle ole oent nerte sole pr rpport centre repère. soe es oents nerte n sole pr rpport à e plns perpenclres est égle oent nerte sole pr rpport à l e ntersecton es e plns. 6. Déternton es es prncp et es oents prncp nerte ot ne trce nerte n sole ns ne se orthonorée e l fore : F E F D E D l este ons ne se orthonorée e êe centre et e vecters ntres e e e notée e e e ppelée se prncple o repère prncpl nerte pont. 5

113 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 6.KD Dns cette se prncple les es sont les es prncp nerte et l trce nerte est ne trce gonle. es éléents e cette gonle sont ppelés oents prncp nerte ns cette se. e e e trce nerte ns l se s écrrt : e e e vec oents prncp. es es étnt es es prncp nos povons écrre : e e e e e e e e e D ne fçon générle nos rons : e e e D E D F E F e e e e e e D E D F E F es vecters ntres ne sont ps nls lors ce sstèe et ne solton s le e e e éternnt e l trce est nl : D E D F E F solton e cette éqton sclre onne les tros vlers propres q sont les oents prncp nerte. En reportnt ces vlers propres ns l éqton on otent les vecters propres q ne sont tre qe les rectons prncples. e e

114 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 7. oent nerte pr rpport à n e Δ n qelconqe ns n repère orthonoré rect ot n pont sole e sse et n e Δ pssnt pr le centre repère e vecter ntre n. e oent nerte pr rpport à l e Δ est onné pr : Δ r H ; vec H H r ; stnce e l éléent térel à l e Δ H est l projecton orthogonle e sr cet e. Δ o H Nos vons : H H on ét qe : n H H n H n H oe n H n H et n lors : n n H r n et ont por cooronnées n β et γ es coposntes vecter ntre n porté pr l e Δ sont ppelées ns recters. Nos vons lors n β γ β γ γ β 7

115 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD D où : n n H β γ γ β r En replçnt Δ r ns l epresson : Δ r on ott à : β γ γ β Δ β β γ γ βγ β γ β γ βγ Δ ; cette epresson représente l ellpsoïe nerte elle pet se ettre sos l fore trcelle svnte :.. n γ T Δ β γ β n e oent nerte n sole pr rpport à n e Δ pssnt pr n pont et e n vecter ntre est égl prot oleent contrcté tenser nerte pr le n vecter ntre. 8. rot nerte pr rpport à e es orthogon Δ et Δ' v 8.. Défnton e prot nerte noté est éfn coe étnt l ntégrle es cooronnées et v v pont reltveent es Δ et Δ' v : v v : cooronnée e sr l e Δ tel qe : : cooronnée e sr l e Δ' v tel qe : v v v 8

116 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD e tenser nerte étnt conn pont le prot nerte pr rpport e es por epresson : v v Déonstrton De proprétés vectorelles seront tlsées ns l éonstrton e l epresson prot nerte : - le prot te ont on connît l règle e pertton : - le ole prot vectorel ont on connît le résltt. D D D on pose : D v cr : v v v v v v v v v v v v v v v v ot : ; ; v v v v 9

117 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD : v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v. e prot nerte est onné pr l ntégrle : où v v v v v v v v v v v v ette epresson s écrr sos fore trcelle : v v v v v v.. e prot nerte sole pr rpport es orthogon et est égl à l opposé prot oleent contrcté tenser nerte pr les vecters ntres et. Δ ' Δ v v

118 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 9. hngeent e repère. ot n repère orthonoré fe: et n repère en rotton pr rpport à cel-c. l e e l trce e pssge nos povons eprer le oent nerte ns l n es repères et le ére ns l tre repère et nverseent. En effet nos povons écrre : ; vec : T trce e pssge e vers notée : ; peret e ére l trce nerte sole ns le repère en l connssnt ns le repère et nverseent... T.. T Eeple pplcton : Déterner l trce nerte e l rre e longer e sse ns le repère en rotton pr rpport repère fe. En ére l trce nerte ns le repère. n éterne l trce nerte e l rre ns le repère : Nos vons n sole lnére : λ ; et où : et o

119 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD λ où : n éterne l trce e pssge e vers en eprnt les vecters ntres e en foncton e ce e :... sn. sn sn sn vec : et sn sn sn sn T trce nerte ns le repère ser égle à :.. T sn sn sn sn sn sn sn

120 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD. Trnslton repère e centre vers n centre n consère n sole ont l trce nerte est conne pont n repère fe. ot n pont e cooronnées centre repère en trnslton pr rpport à. trce nerte pont sole est onnée pr : es éléents e cette trce s otennent en replçnt le vecter coe précéeent pr le vecter ns l opérter nerte. Nos vons en effet : n otent ns les oents et les prots nerte en : ot l sse sole et son centre nerte. es cooronnées centre nerte ns le repère éjà epré ét chptre ont por epresson : ; ; ; ;

121 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD En replçnt ces teres ns l epresson e on otent : et pr pertton les tres teres De l êe nère por les prots nerte nos vons : et pr pertton les tres teres. Théorèe e HUYEN le tenser nerte est conn centre nerte sole ns l se ; lors on pet éterner le tenser nerte pont ns l êe se. eprenons le cs précéent vec le pont q coïnce vec le centre nerte sole nos rons ns le repère : 4

122 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD En replçnt pr les opérters nerte on otent : J En tlsnt les reltons trovées précéeent en chngent le centre repère en nos ésons fcleent : De l êe nère por les prots nerte nos vons : où : J es epressons perettent e éterner l trce nerte sole en : ns le repère en connssnt l trce nerte en : ns le êe repère cr elle est pls sovent fcle à éterner. J ette epresson peret e connître les s reltons e Hgens q lent les oents nerte et les prots nerte en n pont n repère et le centre nerte sole ns le êe repère. 5

123 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD e théorèe e Hgens est très prtqe cr l peret e éterner le oent nerte n sole ns n porte pont e l espce centre repère en connssnt le oent nerte centre nerte e cooronnées pr rpport êe repère. Eeple : Déterner le oent nerte pont e l plqe nce rectnglre e sse e longer et e lrger e centre nerte n éterne le oent nerte e l plqe pont ps pr le théorèe e Hgens on le ét pont. es plns et sont es plns e sétre lors tos les prots nerte sont nls : ; l trce nerte en est gonle. sse e l plqe : σ 4 Nos vons n sole pln : σ s σ σ σ. σ 4 σ s σ σ σ.. σ 4 6

124 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD trce nerte pont s écrt : n ét pr le théorèe e Hgens : 4 ; 4 ;. 4 ;. trce nerte pont est égle à :

125 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD EXEE ET UTN Eercce : Déterner le centre nerte es corps soles hoogènes svnts : Un e-cercle térel e ron ; Un e sqe térel e ron ; c Une e sphère térelle crese e ron ; Une e sphère térelle plene e ron. olton : e est n e e sétre onc : le centre e sse sole est sté sr l e e sétre. n : e sole est lnére nt l fore n e cercle s sse est onnée pr : λ l où : λ est l ensté lnére et l n éléent e longer. éléent e longer l por cooronnées : l vec : sn c π o sse sole est onnée pr : λl λ λπ l π π π λl sn λπ ; où : π π π 7

126 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD e est n e e sétre onc : le centre e sse sole est sté sr l e e sétre. n :. e sole est n e sqe s sse est onnée pr : σs où : σ est l ensté srfcqe et s n éléent e srfce. éléent e r srfce s por cooronnées : s vec : r sn π r r sse sole est onnée pr : π λs λrr λ rr π π σ o σs r snrr π r rsnr σπ π π 4 où : π 4 π c es plns et sont es plns e sétre onc : le centre e sse sole est sté sr l e e sétre. n : e sole est ne e sphère crese s sse est onnée pr : σ s où : σ est l ensté srfcqe et s n éléent e srfce. éléent e srfce s est onné pr : vec : constnt ; s et por cooronnées : π ; π s s sn sn 8

127 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD sse sole est onnée pr : σs σ σ π π π σ σ π π σs sn π π π snsn π π sn.π π ; où : es plns et sont es plns e sétre onc : le centre e sse sole est sté sr l e e sétre. n lors : e sole est ne e sphère plene s sse est onnée pr : ρv où : ρ est l ensté volqe et v n éléent e vole. éléent e vole pr : v r r r et por cooronnées : vec : r ; π ; π sse sole est onnée pr : π π ρv ρ r r on ét : ρ π r vr sn r sn v est onné s π π π 4 sn ρ v r r sn.. ρ ρ π 4 π ρ où :

128 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce : Déterner le centre nerte es sses lnéqes hoogènes svntes : Eercce : Déterner le centre nerte e l srfce trnglre hoogène svnte. h h D E F h Fgre Fgre Fgre sse sole pln : σ σ.. h lclons σ s fgre éléent e srfce est onné pr : s ; vec D Dns les trngles selles et D nos vons : D h h h h h ce q onne : s h vec h h h h h h s h σ h h h ; h lclons σ s fgre éléent e srfce est onné pr : s ; vec EF et 4

129 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Dns les trngles selles EF et nos vons : h. ce q onne : h s. EF h F h s σ h ; Eercce 4: Déterner pr ntégrton et pr le théorèe e ln les cooronnées es centres nerte es corps srfcqes hoogènes svnts : o Fgre Fgre olton : fgre : entre nerte pr ntégrton : r rson e sétre le centre nerte est sr l e lors n clcle or le centre nerte trngle ps cel e l porton e sqe enste on ét le centre nerte sole. entre nerte trngle : sse trngle : on chost n éléent e srfce :. σ σ ; s D. ; vec :.. es trngles ED et F sont senlles ; Nos povons écrre : E F ED F o D E F 4

130 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD s σ σ σ s s 4 entre nerte e l porton e sqe : sse e l porton e sqe : σs σ rr σ. s on chost n éléent e srfe s r. r r e cooronnées : r sn vec : et r o n ét lors : σ s σrr. s s σ r r..sn sn. ; sn. entre nerte sole :.... s s s s 4 sn.. 4 sn. entre nerte sole pr le théorèe e ln : rotton se ft tor e l e tot π. tot 4 sn.π..π. π. 4 sn. fgre : entre nerte pr ntégrton : n clcl le centre nerte es tros soles rectngle qrt e sqe sqe sépréent ps on ét le centre nerte sole enter. 4

131 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD entre nerte rectngle : sse rectngle : σ s σ vec ; ; σ. σ s σ σ σ s σ σ entre nerte qrt e sqe : n ft ne trnslton e repère e svnt l e ps on clcle les cooronnés centre e sse qrt e sqe. n chost n éléent e srfce : σ s σ r. r vec : r ; π ; où es cooronnées centre e sse seront onnées pr : π σ 4 r π σ σs r r π σ 4 4 π r π σ σs r r sn π σ 4 4 π c entre nerte sqe : sse sqe : σ. π es cooronnées centre e sse sont : et e sole est hoogène lors le centre nerte es sses est le êe qe le centre nerte es srfces. es cooronnées centre nerte sole q est n sstèe coposé seront onnées pr les reltons svntes : r l e es : s s s s s s 4

132 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 44.KD où : π π π π π π π π π π e êe sr l e es s s s s s s où : π π π π π π π π es cooronnées centre nerte sole coposé sont : π π π π π π π π r le théorèe e ln en fsnt torner le sole tor es es nos ésons le centre nerte sole coposé. rotton pr rpport à l e onne l cooronnée : tot tot. π ; π π π π π π π π π π π π π π rotton pr rpport à l e onne l cooronnée : tot tot. π ; π π π π π π π π π π

133 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce 5: En fsnt torner l srfce ltée pr l e o l core prolqe éqton 4 et l rote éqton nos otenons n vole coe représenté sr l fgre cessos. Déterner le centre nerte e ce vole. 4 v π olton : Nos vons 4 por : 4 rotton e cette srfce pr rpport à l e es onne n sole e révolton e. r rson e sétre le centre e sse ser sr l e lors : et n hter on chos n éléent e vole coronne v nt ne srfce crclre égle à π et épsser tel qe : v π vec e vole totl écrt pr l rotton e cette srfce est égl à : 4 5 π π π π 5 cooronnée centre e sse vole svnt l e est onnée pr : ρ ρv. π.. π 4. π 5 π π

134 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce 6: Déterner le centre nerte sqe hoogène près vor percé n tro e ron r coe nqé sr l fgre. r Eercce 7: Déterner les cooronnées centre nerte pr le théorèe e ln es soles hoogènes svnts : olton : fgre : Fgre Fgre e sole est constté n e sqe évé n trngle socèle ont l se est le ètre sqe et l hter le ron sqe. r rson e sétre le sole son centre nerte sr l e es où : r tot π. tot fgre : ol sphère olcônes π. sqe trngle 4 π. π π π.. π e sole est constté ne plqe rectnglre évée n e sqe.. r. r ol clnre ol π π π tot etorre πr r π. tot π. sqe trngle πr πr π. 4. r ol clnre ol π π tot sphère 4r π. tot π. sqe trngle πr πr π. 46

135 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce 8: Déterner pr le théorèe e ln le centre nerte es soles hoogènes svnts : Eercce 9: lcler les voles engenrés pr l rotton es srfces c-essos tor e l e? Eercce : Déterner le centre nerte n cône e hter h et e ron e se pr rpport à son soet. h h r v πr r rson e sétre le centre nerte cône est sté sr l e. n chost n éléent r e vole : v πr et sté à ne hter tel qe : r h h e centre nerte est onné pr : vec : h lclons or l sse cône. Nos vons : ρv h h ρ v ρπr ρπ ρπ. ρ π. h h h où : h h h r ρπ h ρπ h ρπ h h 4 47

136 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce : Déterner les tensers nerte en reltveent repère orthonoré es soles hoogènes svnts :. est ne rre e longer e le portée pr l e ;. est n cercle e centre e ron e ;. est n sqe e centre e ron e ; 4. est ne sphère crese e centre e ron ; 5. est ne sphère plene e centre e ron ; 6. est ne plqe rectnglre e enson e centre e grvté l e est perpenclre à l plqe ; 7. est n prlléléppèe plen e enson c et le centre repère est en le côté. olton :. e sole est ne rre e longer Nos vons n sole lnére e sse et e ensté lnére λ tel qe : λ λ. λ n chost n éléent e longer nt por cooronnées : tel qe : es oents nerte sont onnées pr : - ; ; es prots nerte sont onnées pr : ; ; n rerqe qe les es et joent le êe rôle vs à vs sole lors : éléent e longer chos por cooronnées et lors et tos les pros nerte sont nls : 48

137 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD λ λ λ λ λ λ e tenser nerte e l rre pont est :. e sole est n cercle e ron e centre et e e pérètre cercle est égl à : sse sole est onnée pr : π λ λ. π es plns et sont es plns e sétre lors tos les prots nerte sont nls : n vot ss qe les es et joent le êe rôle pr rpport sole lors les oents nerte svnt ces es sont ég : Nos vons n sole ns le pln lors qel qe sot l éléent e sse chos l r por cooronnées : et nos vons ss ns le cercle : et en fsnt l soe es e oents nerte nos otenons : or nos vons l églté : lors : lors : Dns n sole pln le oent nerte svnt l e perpenclre pln est égle à l soe es oents svnt les e es pln. 49

138 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD e tenser nerte n cercle en est : Nos povons ss clcler les oents nertes et treent : n chos n éléent e longer l nt por cooronnées sn Nos rons ns : π sn λ. π r nos vons : otent : λ. π λ en replçnt λ ns l epresson e on π. n otent e l êe nère.. e sole est cercle e ron e centre et e srfce sqe est : π sse sole est onnée pr : σ σ. π es plns et sont es plns e sétre lors tos les prots nerte sont nls : s r. r n vot ss qe les es et joent le êe rôle pr rpport sole lors les oents nerte r svnt ces es sont ég : Nos vons n sole ns le pln on chos n éléent e sse tel qe : r et π r es cooronnées e cet éléent sont : r sn et nos vons ss : σ s σr. r r 5

139 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 4 r σr. r σ r r. σ..π σπ. 4 π et en fsnt l soe es e oents nerte nos otenons : or nos vons l églté : lors : lors : 4 Dns n sole pln le oent nerte svnt l e perpenclre pln est égle à l soe es oents svnt les e es pln. e tenser nerte n sqe en est : e sole est ne sphère crese e ron e centre. éléent e srfce s est repéré pr les cooronnées sphérqes : tel qe : s sn sn s vec : π π et π Nos vons lors : srfce e l éléent chos est onnée pr : s... 5

140 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD π sse e l sphère crese : σs σ. σ.4π π es plns et sont es plns e sétre lors tos les prots nerte sont nls : n vot ss qe les es et joent le êe rôle pr rpport sole lors les oents nerte svnt ces es sont ég : π nos povons écrre : où : e tenser nerte en ne sphère crese est : 5. e sole est ne sphère plene e ron e centre. éléent e vole v est repéré pr les cooronnées sphérqes : r tel qe : r vr vec : sn r sn π π et π Nos vons lors : r r e vole e l éléent chos est onnée pr : v v r. r. r r.. r 5

141 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD sse e l sphère plene : ρ v ρ r.. r ρ r r. π π. π 4 ρ.. π es plns et sont es plns e sétre lors tos les prots nerte sont nls :. n vot ss qe les es et joent le êe rôle pr rpport sole lors les oents nerte svnt ces es sont ég : nos povons écrre : π π 5 4 r ρ r r.. ρ. 5 π 4π où : 5 ρ.4π 5 4 ρ. π 5 5 e tenser nerte en ne sphère plene est : Eercce : Déterner les tensers nerte en reltveent repère orthonoré es soles hoogènes svnts : qrt e cercle qrt e sqe e-sphère crese esphère plene. 5

142 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Fg : Fg : Fg : Fg :4 lcler por chcn es soles le oent nerte pr rpport à l rote Δ pssnt pr le pont et le pont e cooronnées ; Déterner les es prncp nerte por chqe sole. olton : fg : e sole est lnére e longer : n consère n éléent e longer : vec : l λ π e cooronnées sn es es et joent le êe rôle lors : π onc e sse : Nos vons n sole ns le pln lors qel qe sot l éléent e sse chos l r por cooronnées : et nos vons ss ns le cercle : π λ l λ et en fsnt l soe es e oents nerte nos otenons : or nos vons l églté : 54

143 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 55.KD lors : lors : lcl prot nerte π π λ λ λ π π. sn sn. sn. e tenser nerte qrt e cercle en est : π π oent nerte pr rpport à l rote Δ Δ pssnt pr et ot le vecter ntre porté pr cette rote l s écrt : j j j e oent nerte pr rpport à l rote Δ est éfn pr : Δ.. T π π - Δ π Δ

144 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 56.KD lcl es oents prncp nerte. sont les oents prncp nerte ls sont solton éternnt : [ ] on ét lors : π π 4 Déternton es es prncp nerte es prncp ot n vecter ntre porté pr cet e prncple tel qe où l n sont les ns recter lors nos vons : et nos vons ss : e n l e n l n l n l l..... éqton nos onne : n En résolvnt ce sstèe éqton nos otenons les vlers es ns recters. ltplons l éqton pr n et l éqton pr et fsnt l fférence : l l.. l.. l. l l l ±

145 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD nos vons ns : l n l l l l ± ons ±. Nos vons onc l e prncpl pssnt pr et e vecter ntre : e ; e et De l êe nère s on tlse les oents et on retrove les êes es q sont : e ; e ; or les soles restnt lers tensers nerte ont éjà été clclés précéeent. n procèe e l êe nère et on retrove fcleent les oents prncp ns qe les es prncp nerte. Eercce : Déterner les tensers nerte en reltveent repère orthonoré es soles lnéres et hoogènes svnts : Fgre : Fgre : Fgre : olton : Fgre : e sole e l fgre : est coposé e tros rres. e oent nerte sole pont est égl à l soe es oents nerte e chcne es rres êe pont. 57

146 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 58.KD Fgre : ; or l rre nos tlserons le théorèe e Hgens. n éterne le oent nerte centre nerte e l rre ps on le rène pont pr le théorèe e Hgens. nos vons e oent nerte e l rre en est onnées pr : Nos vons pr le théorèe e Hgens :

147 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 59.KD où le tenser nerte e l rre pont : 4 e tenser nerte sole pont est égl à : 4 4 or le sole e l fgre tlser l êe technqe e résolton. e tenser nerte sole e l fgre se ét à prtr e cel e l fgre. Eercce 4 : es e pnne solres n stellte sont e fore rectnglre ontés tel qe représenté sr l fgre c-essos. fn e îtrser les fférentes rottons stellte l est ené e éterner : e tenser nerte sstèe en reltveent à ; e oent nerte pr rpport à n e pssnt pr le pont et le pont c c c o c c o

148 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD olton : Tenser nerte sstèe pont ns e sstèe est foré e e pnne rectnglres entqes et e sse : σ. et e centres e grvté respectfs : et. n clcl les tensers nerte en ces centres nerte ps pr le théorèe e Hgens on ét les tensers nerte pont ns le repère. es plns et sont es plns e sétre lors tos les prots nerte sont nls : Nos vons n sole pln : lors et ss :. Nos vons ss : onc lclons le tenser nerte pnne en : σ. σ σ. σ. σ σ. es plns et sont es plns e sétre lors tos les prot nerte sont nls : ; on otent ns : et es cooronnées pont sont c et celles e c. 6

149 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 6.KD En pplqnt le théorèe e Hgens coe précéeent nos otenons les tensers nerte e et pont. c c e oent nerte sole est onné pr : D c c oent nerte pr rpport à l e Δ pssnt pr les ponts et c c ot le vecter ntre porté pr Δ l s écrt : j j c c c c j c sn e oent nerte pr rpport à l rote Δ est éfn pr : Δ sn sn sn sn.. D T sn 6 6 sn Δ c

150 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce 5 : Une pèce écnqe hoogène est consttée n clnre cre e sse e et soé à s se à n prlléléppèe e sse tel qe représenté sr l fgre c-essos. Déterner :. e tenser nerte e l srfce clnrqe pont ;. e tenser nerte sstèe pont ;. e oent nerte sstèe pr rpport à l rote Δ fsnt n ngle e ns le sens postf vec l e et pssnt pr ; 4. e prot nerte sstèe pr rpport rotes Δ et Δ' pprtennt pln tel qe Δ' Δ. l h o Δ ' Δ c olton :. Tenser nerte e l srfce clnrqe pont Nos vons n sole nt n e e révolton lors : nos povons ss vor qe les es et joent le êe rôle. es plns et sont es plns e sétre où : n chos n pett éléent e srfce : σ.. vec π et h nt por cooronnées : sn tel qe : sse clnre : σ.. σ. σ.π. h π h Nos vons lors : π h σ σ σ.π. h σ.πh. 6

151 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD r : lors : π h σ.. σ. h h h. Tenser nerte sstèe pont ; lclons le oent nerte prlléléppèe : es plns et sont ss es plns e sétre lors tos les prots nerte sont nls : n chos n éléent e sse tel qe : ρ vec ; ; c c sse s sole est : c ρ ρ ρ c c oe les cooronnées sont népenntes nos llons clcler sépréent les ntégrles : c ρ ρ c c 6

152 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 6.KD c c c ρ ρ c c c c ρ ρ Nos vons ns : c c c c c c e tenser nerte sstèe est onné pr : h c c h n pose :.

153 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 64.KD. oent nerte sstèe pr rpport à l rote Δ ot le vecter ntre porté pr l e n Δ l s écrr : j n sn. sn n e oent nerte pr rpport à Δ est onné pr : Δ n n T.. Nos vons ns : ; Δ sn sn sn sn sn Δ 4 4 Δ et en replçnt et nos otenons : Δ 4 4 h c h 4. rot nerte pr rpport rotes Δ et ' Δ n est le vecter ntre porté pr l e Δ : n sn t est le vecter ntre porté pr l e ' Δ : t sn e prot nerte pr rpport rotes Δ et ' Δ est onné pr l relton: ΔΔ n t T.. ' ΔΔ sn sn sn sn ' 4 sn sn ΔΔ ΔΔ 4 ' c h h. 4 ' c ΔΔ

154 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce 6 : Déterner le tenser nerte en soet n cône plen et hoogène e e révolton e hter h et ont le cercle e se n ron coe nqé sr l fgre c-essos. v πrr h r D o olton : ône : De plns e sétre o et o es es o et o joent le êe rôle : Nos vons : r et l éléent e sse est égl à : ρv ρπrr Dns les trngles et D nos vons < r < et < < h h D r r h h h h h 4 4 r. ρ πrr. ρπ r r ρπ ρπ 4 4h h. or nos vons l sse n cône est onnée pr : ρπ h lors ρπ h où : oe nos povons ss écrre : ρπrr. 65

155 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD h h 5 h h 4 ρ π rr ρπ ρπ h h 5 h ρπ h. h h h 5 h 5 Eercce 7 : ot ne plqe crrée hoogène e côté e sse ns n repère orthonoré. e centre e sse e l plqe est en vec l e perpenclre à l plqe.. Déterner l trce nerte e l plqe pont ;. l e e plqes entqes on constrt ne oîte cqe ve e sse. n ésgne le centre e sse e cette oîte pr le pont q est ss le centre repère Donner les cooronnées es centres e sses e chqe fce e l oîte pr rpport repère ; Déterner l trce nerte e l oîte ns le repère ; c e repère est-l n repère prncpl nerte? lcler le oent nerte e l oîte pr rpport n e pssnt pr et F. o σ. D E H F 66

156 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD olton : plqe est n sole pln e sse celle-c lors : σ ont l e est l e perpenclre à es es et joent le êe rôle où : es plns et sont es plns e sétre : n chos n éléent e sse σ e cooronnées tel qe : ; n r ns : 4... σ σ σ 4... σ σ σ 6 e tenser nerte e l plqe en son centre est : 6.. ooronnées es centres nerte e chqe plqe fornt l ote : ote est coposée e s plqes entqes sétrqes e à e pr rpport repère est ss le centre nerte e l ote. es centres nerte es plqes ont por cooronnées : D : ; EFH : EF : ; DH : FH : ; EHD : 67

157 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 68.KD.. trce nerte e l oîte ns le repère ; oe l oîte est cqe lors tos les plns sont es plns e sétre et tos les es joent le êe rôle. Nos rons ne trce gonle ont les éléents sont tos ég. n v procéer en cherchnt les trces nerte es plqes e à e. es plqes D et EFH ont les êes trces nerte en ler centre nerte : 6 EFH D en tlsnt le théorèe e Hgens on ét lers tensers nerte pont. 6 EFH D 6 EFH D on ét fcleent pr rotton es es : 6 EHD F 6 DH EF

158 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 69.KD EF F D ote ote 5 5 ote sse e l ote est onnée pr : 6 6 l trce s écrrt : ote.c. e repère est-l n repère prncpl nerte? coe tos les plns e ce repère sont es plns e sétre et qe tos les es ont le êe rôle lors le repère est n repère prncpl nerte. trce étnt gonle nos povons fcleent le vérfer vec tos les es. En effet nos vons : e êe por les e tres es.. ote ote.. oent nerte e l oîte pr rpport à n e Δ pssnt pr et F. Nos vons : sot le vecter ntre porté pr cet e l s écrr : F j F F

159 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD e oent nerte e l oîte pr rpport à n e pssnt pr et F est onné pr l relton : T Δ. ote Δ Δ e est ss n e prncpl nerte. 8 F Eercce 8 : or esrer l vtesse vent on constrt n néoètre à l e e qtre e sphères creses 4 e êe sse et e ron lées entre elles pr es tges e sses néglgeles coe représenté sr l fgre. stnce es centres es e sphères pont est égle à. Déterner le tenser nerte e l ensele pr rpport pont. o 4 olton : 4 : sont les centres es e sphères 4 : sont les centres nerte es e sphères 4 es centres nerte es e sphères sont conns pr rpport à lers centres respectfs : 4 éjà clclé ns l eercce. 4 7

160 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD or résore cet eercce nos clclerons les tensers nerte e chqe e sphère en son centre ps on le clcler en son centre nerte pr le théorèe e Hgens. n psser enste e chqe centre nerte pont en pplqnt encore ne fos le théorèe e Hgens.. oent nerte e l sphère en Nos vons : et es plns e sétre lors : es es et joent le êe rôle onc : e oent nerte ne e sphère crese été éjà clcle ns les eercce précéents. n chot n éléent e srfce : tel qe σs σ vec : π et π. Nos vons ss : ; lclons : n pet écrre : sn. σ π π 4 4 sn. csn... σ σ π σ π 4 4 lcl e sn. σ π π 4 σ sn. csn e tenser nerte e en est : 7

161 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 7.KD n ét le tenser nerte pont ns le repère pr le théorèe e Hgens : les cooronnées e sont ns ce repère. e tenser nerte pont ns le repère se ét ss pr le théorèe e Hgens : les cooronnées e sont ns ce repère. D e oent nerte e se ét fcleent à prtr e cel e. es cooronnées e sont ns le repère nos vons onc : De l êe nère por les e sphères et nos vons : 4 e tenser nerte e en est :

162 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 7.KD n ét le tenser nerte pont ns le repère pr le théorèe e Hgens : les cooronnées e sont ns ce repère. e tenser nerte pont ns le repère se ét ss pr le théorèe e Hgens : les cooronnées e sont ns ce repère. D e oent nerte e se ét fcleent à prtr e cel e. es cooronnées e sont 4 ns le repère nos vons onc : 4

163 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 74.KD e tenser nerte sstèe pont est onné pr : Eercce 9 : Un sole hoogène e ensté ρ e fore proloïe est engenré pr l rotton ne srfce prolqe tor e l e o. éqton e l prole ltnt cette srfce est onnée pr : h. ontrer qe l sse sole est : h ρπ ;. Déterner le tenser nerte sole pont ;. lcler le oent nerte en svnt l e : o h o h

164 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 75.KD olton :. sse sole n consère n éléent e vole : s v. π sse sole est égle à : h h h h v h. ρπ ρπ ρπ π ρ ρ. Tenser nerte sole pont ; e sole n e e révolton onc les es et joent le êe rôle nos vons ns : h h h h h.. π ρ π ρ h h h h h h h h h h ρπ ρπ ρπ h h h h 4 ρπ ρπ ρπ ρπ h h h h h h h ρπ ρπ ρπ h h h e tenser nerte s écrt : h h

165 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 76.KD. lcl oent nerte en svnt l e : Nos tlserons le théorèe e Hgens por psser pont pont. Déternons or les cooronnées centre nerte : e étnt n e e révolton lors le centre nerte se trove sr cet e où : et h h h h h h h h.. ρπ ρπ ρπ ρπ ρπ h on ét : h h h 4 6 h Eercce : n écope ne plqe crré e côté et e sse ns n sqe plen et hoogène e sse et e ron tel qe représenté ns l fgre. Déterner le tenser nerte sqe pr rpport repère ;. Déterner le tenser nerte e l plqe ns le repère ps ns le repère ;. En ére le tenser nerte sstèe ns le repère. o o

166 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD olton :. Tenser nerte sqe plen ns le repère Déjà clclé à l eercce. sqe Tenser nerte e l plqe ns le repère es pln et sont es plns e sétre lors tos les prots nerte sont nls. es es et joent le êe rôle : plqe plqe ole pln : plqe plqe plqe plqe 4 σ σ σ σ et 6 plqe 6 n éterne le tenser nerte e l plqe ns le repère trce e pssge repère vers le repère. en tlsnt l 77

167 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 78.KD Nos vons : sn sn os fore trcelle nos rons : trce e pssge repère vers le repère est onnée pr : et T e tenser nerte e l plqe ns le repère est clclé pr :. plqe. plqe T.. plqe plqe le résltt reste nchngé ns les e repères.

168 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 79.KD. Tenser nerte sstèe ns le repère. plqe sqe stèe 4 4 stèe or nos vons : en le replçnt ns l epresson tenser nos otenons : 4 stèe stèe

169 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD HTE NETQUE DU NT TEE 79

170 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD NETQUE DU NT TEE. Défnton cnétqe est l éte es oveents ns l espce et le teps népenent es cses q les prot et es phénoènes q les nflencent. poston pont térel est éternée ns l espce à chqe nstnt oveent. r rpport à l sttqe où à l géoétre es sses trtés ns les chptres précéents l cnétqe ntrot n nove prètre q est le teps. e prètre sert à fer et à repérer totes les postons occpées pr le pont térel pr totes les postons q l occpé prvnt. noton e teps peret e renre copte e l sltnété e e événeents e l orre e lers sccessons et e l rée e l ntervlle q les sépre. ec nos ène à trvller ns n repère où n oservter lé à ce repère pet éter le oveent ns l espce et le teps.. Hpothèses fonentles or éter le oveent n pont térel où pls générleent n sstèe e prtcles où e soles n oservter ot repérer ler poston : - ns l espce ; - ns le teps. En cnétqe clssqe on sppose qe : - l espce est Eclen à tros ensons ; - le teps est sol népennt e l oservter. es référentels fn éter coplèteent le oveent cnétqe l oservter ot éfnr : - n repère espce lé à l oservter vec ne orgne et ne se orthonorée j le trère j ns constté éfn coplèteent le repère espce ; - n repère e teps échelle e teps pr ne orgne et ne nté e esre. Dns le sstèe K l secone est l nté e esre teps. 8

171 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD e repère espce et le repère e teps éfnssent à e e le repère <<espce teps>> noté. Dns ce repère à n nstnt onné pr l horloge l poston n pont t est éfne pr ses cooronnées t ; t ; t tel qe : t t j t o t tδt poston pont est conne e fçon nstntnée ns l espce et ns le teps... Trjectores et vecters vtesses ot n pont térel repéré ns n référentel j fe. poston est onnée à chqe nstnt pr le vecter : r t t t t j t. n qe le vecter r t t por coposnte ns le repère fe : r t t à l nstnt t. t e éplceent pont ns l espce est onné pr les éqtons prétrqes es cooronnées en foncton teps. En élnnt le prètre teps entre elles on otent l trjectore écrte pr ce pont ns l espce. Δ Δ o t tδt Δ r t t : poston pont ns j à l nstnt t. r t Δt t Δt : poston pont ns j à l nstnt t Δt. 8

172 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD e vecter éplceent e l poston r t à r t Δt est onnée pr : Δ r t r t Δt r t. es postons occpées pr le pont ns l espce écrvent ne trjectore Γ pr rpport référentel j chos. t t Eeple : r t t t en élnnt t on otent : 8 t est l éqton ne prole ns le pln o. e oveent se ft selon ne trjectore prolqe. trjectore à elle sele n est ps sffsnte por crctérser coplèteent le oveent pont. l est nécessre e précser et éter les vrtons vecter éplceent cr cec nos èner à connître le vecter vtesse pont pr l preère érvée et le vecter ccélérton pr l secone érvée pr rpport teps. es e vecters perettent e crctérser totleent le oveent pont sr l trjectore... ecter vtesse e pont térel se éplce e l poston t à l poston tδt pennt l rée e teps Δt à l vtesse oenne : o r t Δt r t Δ r t t ; Δt Δt e vecter vtesse nstntnée est oten lorsqe : Δt elle est éfne pr : t l Δt o t l Δt.. ecter ccélérton Δ r t Δt on ns l vtesse nstntnée: t r t érvée vecter vtesse ns le êe repère j onne l ccélérton nstntnée pont : t t t γ t es e vecters cnétqes perettent e coprenre l ntre oveent et e prévor les fférentes phses selon le qe le vecter vtesse est e êe sens o e sens contrre vecter ccélérton. 8

173 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 4. es sstèes e cooronnées e pont térel pet être repéré ns l espce ns n repère fe e centre pr tros tpes e cooronnées fférentes s lées entre elles : - rtésennes : vecters ntres repère j - lnrqes : r vecters ntres repère - phérqes : r vecters ntres repère e e e r es tros tpes e cooronnées perettent e écrre tos les tpes e oveents pont ns l espce. 4.. es cooronnées crtésennes Elles sont ss ppelées cooronnées rectnglres. r le pont est repéré ns j pr les cooronnées crtésennes q épenent teps lors le vecter poston s écrrt : j ; on ét le vecter vtesse et le vecter ccélérton pr l preère et l secone érvée : t t j ; notée sos fore : t j vec : t t t j γ ; notée sos fore : γ t j vec : γ t j ; t o 8

174 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 4.. es cooronnées clnrqes r le pont est repéré pr les cooronnées clnrqes : r q épenent teps r ns n repère le vecter poston s écrrt : r r r r r r vec r r r r r. on otent ns : r r r o r t r Dns le repère j le vecter s écrt : ccélérton est éternée pr : r r sn r r r γ r γ r r r r r r or nos vons : r r. ; epresson e l ccélérton event :. r r r r r r γ où : γ r r r r γ r r r ; γ r r ; γ 4.. es cooronnées sphérqes r r Dns le repère j le vecter por coposntes : r sn r sn En cooronnées sphérqes l s écrt :.er r er 84

175 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD e e r o e r e r e vec : e e r sn ; e sn er sn e ; e ; e ; e e r e ; er lors : e r sn e sn e r e sn e e ; on ét l vtesse pont : r e r er r er r r er r e r e ; r r r r l ccélérton se ét fcleent en érvnt l epresson e l vtesse pr rpport teps : γ r e r e r e r : r er r er r e e r er r e r e : r e e r e r e r sn e r e e. er sn e r e r e r e r sn e r er sn e 85

176 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD r e r er r r r sn e r sn e r e : r e r e e r r e e r e r. coe e er lors En sont les tros teres on ott à : γ r r r r γ γ r e r e r e r er r r r r sn. r r sn r r r sn r r. r r sn r 5. es oveents crvlgnes ot n pont térel écrvnt ne trjectore crvlgne le long ne core Γ. es n τ coposntes norle et tngentelle à l core pont sont ntrelleent les pls stées por écrre les oveents crvlgnes. es coposntes sont en oveent vec le pont térel le long e l trjectore. e sens postf e l norle est chos ns totes les postons vers le centre e l corre. ns le sens e l norle chnge en foncton e l corre e l trjectore. vtesse et l ccélérton pont térel sont éternées à prtr e ces coposntes et e ler chngeent e recton. onsérons n éléent e cette core et étons le oveent pont térel sr cette trjectore. 5.. scsse crvlgne ennt ne pette vrton e teps le pont térel est pssé e l poston vers prcornt ne stnce s longer rc le long e l core vec n ron e corre ρ. es ponts et sont nfnent vosns e telle sorte qe l longer e l rc ' coprs entre les e ponts sot confone vec l longer s. 86

177 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD core est lors orentée ns le sens postf es s crossnt. vrle s est ppelée scsse crvlgne pont. o n ρ ' τ ' τ n n τ n τ 5.. Tngente Norle et on e corre prtr e l éfnton e l scsse crvlgne nos povons écrre: s ρ e vecter éplceent est ne foncton prétrqe e l vrle nglre. e vecter ntre τ tngent à l core est onné pr l relton : τ.. et nos vons ss s s s s Nos vons ss : τ τ τ lors τ lors τ est perpenclre τ on pose τ n ; nos povons écrre : τ τ.. n s s ρ coe s ρ τ ; lors n. s ρ - le vecter ntre n e recton norle à l core Γ pont est rgé vers le centre e l corre ; - ρ est n sclre postf ppelé ron e corre e l core Γ pont. on ét à prtr prot vectorel vecter ntre tngent à l core et vecter ntre perpenclre à l core êe pont n trosèe vecter ntre ppelé norle : τ n. es tros vecters τ n forent ne se orthonorée rect. 87

178 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Nos vons ss : n n n lors s n s es coposntes ns le pln perpenclre à n l s écrt lors : n s λ τ μ s s τ n τ n n τ s s n n τ λ τ μ τ μ μ n ρ où s μ n. on pose pr conventon μ ; nos otenons fnleent : T s n : le sclre est ppelé torson pont e l core Γ l pet être T T postf o négtf svnt qe le vecter contrre. Nos povons ss écrre : êe sens qe le vecter n o le sens s n s s τ τ τ n τ n s s T ρ T τ ρ on ét fnleent ne relton entre les tros vecters e l se : n s T τ ρ 5.. epère e Frénet es e vecters ntres ns éfns tngentel τ et norl pont consttent n les preers vecters e l se e Frénet. e trosèe vecter ntre e l se est oten pr le prot vectorel es e preers l est ppelé norle à l core Γ pont est éfn pr : τ n. se ns otene est ppelée se e Frénet. Elle épen e l scsse crvlgne s lé pont. e repère τ n lé pont est ppelé repère e Frénet. 88

179 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 5.4. tesse et ccélérton pont ns le repère e Frénet ennt ne pette vrton e teps le pont térel est pssé e à prcornt ne stnce s le long e l core nt n ron e corre ρ. Nos povons écrre : s ρ où est l vrton e l ngle coprs entre le vecter ntres τ et τ ' tngents à l core ponts et. vtesse pont est onnée pr : s écrt : ρ τ ρ τ τ vec ρ ccélérton pont est onnée pr : τ γ τ nos vons : on ét : γ n τ ; coe s ρ ; sos l fore vectorelle elle τ τ. n et ρ ρ n n. τ l epresson e l ccélérton event : γ n τ ρ ette epresson pet ss s écrre en foncton e s et e t cr s s s γ n τ ρ ' τ τ τ γ n ' n τ γ γ n 6. es oveents prtclers 6.. oveent à trjectore crclre n qe l trjectore n pont est crclre ns n repère orthonoré j fe s le pont se éplce le long pérètre cercle e ron constnt et pprtennt êe repère. n chost n cercle ns le pln e telle sorte qe son centre coïnce vec cel repère. e pont sr le cercle est repéré pr e cooronnées : 89

180 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD e ron cercle et l ngle qe ft les vecters vec l e. ot e r le vecter éfn pr : e r lors nos vons :. e r e vecter ntre e r chnge e recton vec l ngle : où e e r e et er e ron e corre est c constnt l vtesse pont est onnée pr l érvée vecter poston : e r er. e ccélérton pont se ét pr : γ er e ω : vtesse nglre pont ; ω : ccélérton nglre pont. e o e r e er γ vtesse pont est tngente e r cercle et por vler lgérqe : e ccélérton pont e coposntes : l ne tngentelle : γ t ω l tre norle : γ ω. n rerqe qe le vecter ccélérton norl est n γ n tojors e sens opposé vecter poston : γ n ω e ω onnssnt l vtesse et l ccélérton nglre nos povons connître l ntre oveent : r > < le oveent est ccéléré le oveent est retré te le oveent est nfore l ccélérton tngentelle est nlle s l ccélérton norle ne l est ps. 9

181 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 6.. oveent à trjectore hélcoïle Un pont est en oveent sr ne trjectore hélcoïle ns n repère j s l écrt ne hélce rote essnée sr n clnre e ron. es cooronnées crtésennes pont ns ce repère sont onnées pr les éqtons prétrqes en foncton teps t sos l fore svnte : t sn t ; : ron e l hélce t ngle joe le êe rôle qe ns les cooronnées clnrqes o polres. e prètre te est ppelé ps e l hélce. n rerqe qe lorsqe l ngle gente e π les postons et ne chngent ps s svnt l e vertcl on ft n éplceent e : π π ; π π π π π e vecter poston pont ns le repère j est onné pr : r er e es vecters vtesse et ccélérton s écrront : e e γ er e e n rerqe qe le rpport entre les coposntes e l vtesse svnt les vecters ntres est népennt e l ngle. e et o e e r 9

182 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD ette epresson trt le ft qe tote tngente en n pont e l hélce ft n ngle constnt vec l vertcle pssnt pr le pont et prllèle vecter. e oveent hélcoïl est nfore s l vtesse nglre e rotton est constnte onc népennte prètre teps ω te. Dns ce cs l vtesse et l ccélérton ront por epressons : ω e ω vec ω γ ω er l ccélérton est rgée vers l ntérere e l corre. n v précéeent ns les oveents crvlgnes qe l ccélérton pont s écrvt sos l fore : γ τ n où les vecters ntres τ ρ et n sont les vecters tngentel et norl pont e l core. En pplqnt cette relton ns le cs oveent hélcoïl nfore où τ e et n er sont les vecters tngentel et norl pont e l core nos otenons : γ ω er n ρ ω e r e ρ r ω en replçnt l vtesse ρ pr son epresson on ott à : ω ω ρ ρ oe l norle en est tojors rgée vers l ntérer e l corre on pet éterner fcleent le centre e l corre en écrvnt l relton svnte : ρ e r r Nos povons ss ssocer pont le repère e Frénet e e. 7. oveents à trjectores plnes 7.. Défnton ot le centre n repère crtésen j fe tel qe j et n pont en oveent sr ne trjectore Γ ns le pln o e ce repère. 9

183 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD En tlsnt les cooronnées polres r le vecter poston pont s écrr : r er vec r > vec : sn j e r e r e sn j ; où e sn j er ns nos vons : e r e vtesse pont en foncton e et est onnée pr : e r e r r er r r er r e ccélérton r por epresson : γ r r er r r e éoétrqeent les postons es ponts et sont nfnent vosnes sr l trjectore. En pssnt e à le vecter poston le l re q est l srfce trngle : r. r. r érvée e cette epresson pr rpport teps notée : est ppelée vtesse réolre. e j e r o Elle représente l re lée pr nté e teps : r r 9

184 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 7.. o es res Nos vons v précéeent qe le oveent pont étnt ns n pln s vtesse s écrvt : r e r e r ; le prot vectorel vecter éplceent pr le vecter vtesse cont à l relton svnte : r er r er r e r r l relton svnte : n pose : vec r en coprnt vec l vtesse réolre on ott à r ; ; : est ppelée constnte es res. n rerqe ss qe l érvée e l constnte es res est relée à l ccélérton γ cr nos vons : r r r r r r r rγ 7.. oveent à ccélérton centrle Défnton n q n pont écrt n oveent à ccélérton centrle ns le repère orthonoré γ r j s et seleent s le vecter poston pont est colnére vec son vecter ccélérton γ. Dns ce cs nos povons écrre : γ λ vec λ. e oveent à ccélérton centrle est n oveent à trjectore plne l réslte e l conon e l colnérté qe onne l'éqton : γ vec γ En érvnt l epresson vectorelle et en tennt copte e l conon e colnérté entre le vecter poston et le vecter ccélérton nos otenons : 94

185 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 95.KD ce q sgnfe qe : est ne constnte népennte teps et ppelée constnte es res coe précéeent. r r r Epressons es vecters vtesse et ccélérton en foncton e l constnte es res En replçnt en foncton e ns tote epresson nos vons : r r r r r r r r r r r r r r r r r r et r r En replçnt ces epressons ns celles es vtesses et ccélértons nos otenons : e r e r e r r e r r r r r e r r r e r r r e r r e r r

186 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD c Epresson e l trjectore en cooronnées polres Nos vons ne relton entre l ccélérton pont et le vecter poston elle est onnée pr : γ λ ; en les replçnt lers epressons respectves en cooronnées polres et on otent : r r r er λ r e r λ r r r orsqe l vler e λ est conne l résolton e cette éqton peret e éterner l epresson e r en foncton e. n otent l lo teps oveent à prtr e l lo es res en effet nos vons : r r ; où r or r est ne foncton : r f f t t f ; à prtr e cette éqton on reconstrt l trjectore pont. 96

187 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce : EXEE ET UTN 5π. eprésenter les ponts et e cooronnées polres : et ; 4 π. eprésenter les ponts et D e cooronnées clnrqes : et π Eprer les vecters et ns les repères loc corresponnt. π π. eprésenter les ponts E et F e cooronnées sphérqes : 4 4 Eprer le vecter EF ns le repère locl : E e e e r. n onne : e o olton : r e e sn sn sn j sn j sn sn j r o π π et ; 4. es cooronnées polres : r vec r où est n vecter ntre r H r et 5π 5π π r et π r r r o r r H. es cooronnées clnrqes : r r r où r est n vecter ntre π π r π π sn D π D r π D π snπ o D 96

188 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Epressons es vecters et ns lers repères loc respectfs : e pet s écrre : Dns le repère locl : r r π π r sn j j π π sn j π r vec nos vons : où : j r r De l êe nère por le vecter e pet s écrre : r r Dns le repère locl : r vec π nos vons : r π snπ j snπ π j j où : r j r. es cooronnées sphérqes r r r er où e r est n vecter ntre r sn r sn π π E 4 4 π π E ; et F 4 F

189 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Epresson vecter EF ns le repère locl E e e e π π r vec : et 4 4 n onne : e r sn sn sn j e j r e sn j sn e j e sn j e j nos vons : 6 6 EF F E j 4 4 EF EF er er EF e e EF e e En éveloppnt cette epresson on ot : EF 4 er e e Eercce : Un pont térel se éplce sr ne trjectore écrte pr les éqtons prétrqes t svntes : t ; Déterner :. e vecter ntre τ tngent à l trjectore ;. e ron e corre ρ ;. norle n à l trjectore ; 4. norle ; olton :. ecter ntre τ tngent à l trjectore v τ l êe recton et le sens qe le vecter vtesse. τ. v 98

190 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD v vtesse s écrt : v v 4t v 4t j et v γ γ γ 4 γ 4 γ et v v v v 6t v 4t j 4t n ét : τ j v 6t 6t 6t. e ron e corre ρ ; Dns l se e Frênet l ccélérton pont térel est égle s écrt : γ γ N γ t ù γ N et γ t sont respectveent l ccélérton norle et tngentelle. v r nos svons qe : γ N ρ clclons γ N : v 6t γ t 6t et qe 6t oe t 6t 6 n ét : γ N γ γ t 6 6t 6t v ρ γ N 6t 4 6t 6t. norle n à l trjectore 4 γ N γ γ N γ t 6 6t ot s l scsse crvlgne l norle à l trjectore est onnée pr l relton : τ τ s τ τ ρ τ n. ρ ρ cr s s s v ρ 4 j 6t n v où : 4t 6t 4t n j t t 6 6 j6 6t s v ρ 4 4 j v 6t 6t 4 6t 4 4 6t j 99

191 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 4. norle est n vecter ntre perpenclre e preers où : τ n 4t 6t 6t 4t ; 6t 6t Eercce : Un ole se éplce à vtesse sclre constnte sr ne trjectore écrte pr es éqtons prétrqes en cooronnées clnrqes : r r c r e où r c : sont es constntes postves.. Trover l éqton horre rt schnt q à : t ;. Déterner le vecter ccélérton et le ron e corre e l trjectore. olton :. Eqton horre vtesse ole en cooronnées clnrqes est onnées pr : v vr v v r er r e on ét les coposntes e l vtesse: v r. c r c.e c r ; v r ; v. c r r c.e c r on ot fnleent à : v vr v v c r r c. r v r c coe l vtesse étnt constnte : v v te v r c or nos svons qe : et qe : c K c v v r. K on replce r pr son epresson : v re. K Kr on ntègre cette epresson pr rpport teps et on otent : e c

192 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD v e c Kr c e c v Kr t schnt q à t lors : ; ce q onne : c e c v Kr t c c cv e c c cv t re t r Kr K c cv on st qe r t re où : r t t r K. ecter ccélérton En cooronnées clnrqes l epresson vecter ccélérton s écrt : r r er r r e γ on st qe : te ; r v te l ccélérton event : γ r er r e c γ r er r c e e r er c r e e ron e corre se ét à prtr e l relton : ω v coe ω lors : ρ v r c ρ r c ; ρ r c Eercce 4 : Un ole spposé ponctel écrt l core plne ont l éqton en cooronnées polre ρ est onnée pr : ρ ρ où ρ : constnt ésgne ne longer onnée.. Qelle est l llre e l trjectore ole?. récse les postons es ponts ntersecton e cette trjectore vec les es crtésens o et o ;. Eprer en foncton e l scsse crvlgne s ole copté à prtr pont q correspon à ; c. or qel ngle polre nos vons s ρ on noter pr l poston corresponnte

193 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD. En ére le pérètre e cette trjectore ferée étée c.. n chosr coe orgne es teps l nstnt où le ole est pont. n et qe l trjectore est écrte vec ne vtesse nglre ω constnte.. Eprer l vtesse lnére ole en foncton teps ps en foncton e ρ ;. Déterner les coposntes ccélérton rle γ ρ et orthorle γ ; en ére l ccélérton γ ole en foncton teps ; c. En tlsnt les epressons e γ ρ et γ éterner l ccélérton norle γ N à l nstnt t ;. En ére le ron e corre e l trjectore en foncton e ; etrover ce résltt recteent. olton : Trcé e l core et ntersecton vec les es trjectore ont l éqton en cooronnées polre s écrt ρ ρ est ne core ferée ppelé croïe. e est n e e sétre cr : ρ ρ or : ρ ρ ; π ρ π ρ π ρ ρ ; ρ ' core cope l e en et vec ρ core cope l e en et vec ' γ ρ T ρ ρ γ N β

194 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD scsse crvlgne en foncton e ρ es coposntes pont en cooronnées polres sont : et les vrtons e longer pr : ρ et ρ. étnt l scsse crvlgne nos rons lors : ρ ρ ρ ρ coe : ρ ρ sn on ét fcleent : sn ρ ρ ρ ρ ; or nos svons qe : on ét fnleent : ρ on otent l scsse crvlgne pr ntégrton e cette relton : ρ ρ sn es conons ntles pose q pont lors sn relton entre c ngle polre por leqel ρ et event : ot le pont por leqel nos vons : ρ ρ sn ρ sn sn érètre e l trjectore ferée π ot le pérètre e cette trjectore. e e pérètre est onné pr : s ρ π π ρ sn ρ où : 4ρ pérètre e l croïe.

195 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD. tesse lnére nstntnée ole. tesse lnére en foncton teps orgne es teps est prse pont et l vtesse nglre ω est constnte onc : ω t. vtesse est onnée pr l relton : v ω t ρ ρ ρ ω v or nos vons : ρ e résltt pet être oten ne tre nère en éternnt les coposntes rles et orthorle e l vtesse. En effet nos svons qe : ρ ρ vtesse s écrt : vec : v ρ ρ ρ ρ ρ ω snω t et ρ ρ ω ω t v ρ ρ ρ ω sn ω t ω t ω t ω t v ρ ω ω t ρ ω ρ ω. tesse lnére en foncton e ρ éqton e l croïe q s écrt : ρ ρ pet ss s écrre : ω t ρ ρ ρ ω t ρ ρ r l epresson e l vtesse en foncton teps est : e q onne : v ω ρ ρ ω t v ρ ω ρ ρ ω ρ. es coposntes e l ccélérton : rle γ ρ et otrhorle γ nos vons : ρ ρ et ρ ρ ρ v on ét : 4

196 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD v γ ρ ρ ρ ρ ρ vec cr ω te γ ρ ρ ρ ρ ω ω t ρ ω ω t ρ ω ω t γ ρ ρ ω snω t ω ρ ω snω t ccélérton γ ole se clcl pr : γ γ ρ γ ρ ω ω t snω t ρ ω 4 ω t γ ρ ω 8 ω t c. Déternton e l ccélérton norle γ N à prtr es ccélértons γ ρ et γ Nos vons : et β N on st qe : T π π N T et ρ n projette les e ccélértons sr l e portnt l norle N on otent : γ N γ β γ sn β ρ Eprons l ngle et β en foncton e : En cooronnées polres nos vons : ρ et ρ sn lors : tg ρ sn sn cot g ρ sn sn sn sn π tg cot g tg π π nos vons ss géoétrqeent : β on ét : β n replce β ns l epresson e γ N γ β γ sn β γ N ce q onne : ρ ω ρ ρ ω sn sn ω t γ N ρ ω ρ ω 5

197 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD c. on e corre n st qe ns les oveents crvlgnes : e q onne : v γ N ω t ρ ω ω t ρ ω v γ N ρ ρ v γ n pet ss ére le ron e corre ne tre nère en schnt qe : N ρ sn et β π ρ ρ 6

198 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce 5 : Dns n repère orthonoré l poston n pont est éterné pr les ω t ω t éqtons prétrqes svntes : snω t e ; ω t e ; e t ω Déterner :. es oles e l vtesse et e l ccélérton pont ;. e ron e corre en foncton e ;. ot H l projecton orthogonle pont sr le pln o qelle est l éqton polre pont H. olton :. tesse et ccélérton pont ω e ω e ω t ω t ω e snω t ω t ω t snω t ω t ; on ét le ole e l vtesse pr : ω 6. e ω t ccélérton est onnée pr : γ γ ω e γ ω e γ ω e ω t ω t ω t ω t snω t ; on ét le ole e l ccélérton pr : γ γ γ γ ω. t e ω. on e corre en foncton e Dns l se e Frênet l ccélérton tngentelle est égle à l érvée ole e l vtesse ce q onne : γ t ω. 6. e ccélérton norle se ét à prtr e l relton : γ γ t γ ω t ω t ω t ω t ω. e ω. 6. e ω. e γ N γ γ t γ ω. N e ω t D tre prt nos vons ne relton entre le ron e corre et l ccélérton norle q N 6

199 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD est onnée pr : ρ γ ω t ce q onne : N ω t ω 6. e ρ. e ω t ω. e r nos vons :. e ω t ω e t ce q cont à : ρ.. Eqton polre pont H. H pprtent pln ces cooronnées sont onnées pr les éqtons prétrqes : ω t snω t e ; ω t e ω t r es cooronnées polres pont H sont ρ tel qe : H vec r sn et H r r où r vecter ntre. r ω t ω t ω t Nos vons ns : r sn ω t e ω t e e ω t ω t snω t e ω t e snω t et sn ω t ω t ω t r e r e snω t π π pr conséqent ces e éqtons nos onne : ω t ω t sn ω t ce q nos rène à l éqton polre pont H : π r e Eercce 6 : ot n pont repéré ns le pln o pr les éqtons prétrqes svntes : 4t et. t Déterner :. e vecter vtesse pont en foncton teps ns qe son ole ;. e vecter ccélérton pont en foncton teps ns qe son ole ; En ére les ccélértons tngentelle et norle ;. e ron e corre e l trjectore ; 4. n consère qe le repère crtésen et le repère polre ont l êe orgne et qe l ngle est repéré pr rpport à l e o. lcler les vtesses rle orthorle et nglre. 7

200 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD olton :. tesse et ccélérton pont 8t ; on ét le ole e l vtesse pr :. 8t. ccélérton pont γ ns qe γ t et γ N γ 8 ccélérton est onnée pr : γ ; où : γ γ γ 8 γ Dns l se e Frênet nos vons : γ γ t γ vec : γ t 8t coe nos vons : γ γ. 6t N γ t 8t N 6t 8t γ t t t γ N 64 8t 8t 8t γ N 8t 8. on e corre e l trjectore l est onné pr l relton : ρ γ N 8. 8t où : ρ 8t 8t 8 4. tesses : rle orthorle et nglre. tesse rle r r r cr r 4t 8t 4 6t 4 64t 6t t 6t 4 8

201 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD. tesse orthorle Nos vons l relton : r r t t t t t t 4 4 6t 6t 6t ± 4t 6t 4 on vot ns cette epresson qe l vtesse rle est contne et ne s nnle js lors elle ne chnge pr e sgne. En cooronnées polres nos vons : sn nos vons ns por t où : π êe nstnt t nos vons : es e conons nos consent à l stton svnte : et r sn r or t π e n vot qe por t l vtesse rl est négtve et coe elle ne chnge ps elle le rester et pr conséqent elle r por epresson : c. tesse nglre 4t 6t 4 Nos svons qe : r r 6t 4t 6t 4 4 4t 6t 4 9

202 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce 7 : ot j n repère orthonoré rect fe. ot e vecters et tel qe : v sn j v v. érfer qe et qe l se foré pr les vecters ntres v est orthogonle recte ;. ot ne core écrte pr le pont ont l éqton prétrqe est onnée pr : où et sont es constntes et le prètre e représentton. lcler en foncton e v ; En ére s en foncton e c s étnt l scsse crvlgne ; c Déterner τ vecter ntre tngent à l core pont en foncton e v ; En ére qe l ngle coprs entre les vecters τ et est constnt. Eprer τ s en foncton e c et. En ére n ns qe l corre ; 4. Déterner l norle pont. En ére l epresson e l torson schnt T qe : s n vérfer qe le rpport T T est constnt. olton :. Nos vons : sn j lors : v sn j

203 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD où : v sn j se v est recte s : v v sn sn sn. lcl e en foncton e v schnt qe : s c c on ét : τ.. v c c τ v τ c c c c τ constnt por le ontrer on tlse le prot sclre : τ coe et c sont es constntes lors est constnt. n pet eprer le vecter ntre sos l fore : τ τ c sn v. Epresson e τ s en foncton e c et. τ τ or nos vons : s s s c c s et τ sn

204 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD τ sn on otent ns : s c Déternton e l norle n ns qe l corre ; Nos svons qe : n ét qe : τ s n sn c n et pr nloge vec l epresson précéente : τ sn s c on le vérfe fcleent pt le prot sclre : τ n En effet : sn v n 4. norle pont τ n sn sn v sn Epresson e l torson schnt qe : s n T s n or nos vons : T T s. les e epressons nos s c onnent : T c De là on vérfe fcleent qe le rpport : T c tg c sn Eercce 8 : Un te schétsé pr n pont ole se éplce à ne vtesse constnte rpport à l e ne rvère. e e l rvère se éplce à ne vtesse rpport erges tel U U vec j n repère fe. e oveent pont est tel qe à chqe nstnt le vecter vtesse vecter éplceent. n poser r er U pr constnte pr est orthogonle

205 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD. Donner l epresson e l vtesse pont en foncton e U et ns j ; Eprer les coposntes e l vtesse ns l se e r e ; Donner l epresson générle e l vtesse en cooronnées polres.. Déterner l éqton e l trjectore te pr rpport repère j en cooronnées polres r f schnt q à t : et r r ; p ettre l epresson e l trjectore sos l fore : r ; sn récser les epressons e p et ps onner l ntre e l trjectore.. Déterner l ccélérton te ns l se e r e Donner l epresson générle e l ccélérton en cooronnées polres ; En ére qe l epresson r est ne constnte et onner s vler c lcler l rée e révolton te tor pont. on onne : π sn π Eercce 9 : ot j n repère orthonoré rect fe et e e e s r n repère locl sphérqe lé pont. e r er r er. sn j sn e e r et e sn Eprer ns le repère e e e s r l vtesse et l ccélérton pont. o e r e r e e

206 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce : es cooronnées n pont en oveent ns n pln sont onnées pr : t et sn t t : représente le teps et sont e constntes postves.. Donner l éqton e l trjectore pont qelle est s ntre?. Eprer l vtesse pont. Este-t-l es nstnts tel qe le ole e l vtesse sot égle à ne grner λ f onnée? scter les soltons.. e vecter vtesse pet-l être norl vecter ccélérton? 4. eprésenter grphqeent ces vecters sr l core. olton :. Eqton et ntre e l trjectore éqton crtésenne e l trjectore s otent en élnnt le prètre teps es éqtons prétrqes. t et sn t en tlsnt l règle trgonoétrqe : t sn t on ott à : on pose : X et Y l epresson event : X Y e et e e pett e. c est l éqton écentrée svnt l e ne ellpse e e grn. tesse pont Nos vons : sn t t D où : sn t t sn t sn t n ot chercher s l este n nstnt t tel qe : λ vec λ f 4

207 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD λ λ sn t sn t sn t ± λ or on st qe l vler sns est coprse entre et cel revent à scter l ole λ néglté : λ λ λ λ q se trt pr e éqtons : l este en es nstnts t tel qe λ conon qe : λ. es vecters vtesse et ccélérton γ : ls sont perpenclres γ lors ler prot sclre est nl. γ lclons le vecters ccélérton : γ γ t γ sn t γ γ γ sn t t sn t t sn t t q s écrt ss sos l fore : sn t coe nos vons : f lors sn t ce q se trt pr : t π π t vec N 4. eprésentton grphqe es vecters eprésentons l hoogrphe oveent et trçons sr l core les e vecters ns les postons où ls sont perpenclres. En effet nos vons : sn t et t e q onne : respectveent sr l e et. c est l éqton ne ellpse e e e et 5

208 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD n trce e cercles : l n e ron λ et l tre e ron λ cr λ Et l ntersecton e ces e cercles vec l hoogrphe es vtesses onne les qtre ponts onc les nstnts où l vtesse est perpenclre à l ccélérton. n vot en qe γ ponts sr l e et sr l e q corresponent nstnts π t vec N γ 6

209 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD HTE NETQUE DU DE 6

210 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD NETQUE DU DE. énérltés Un sole est néforle s l stnce entre e ponts e cel-c reste constnte et nvrle cort teps : [ t t ] te écnqe es soles peret éter le coporteent es soles et éterner tos les prètres cnétqes e l ensele e ses ponts qel qe sot l ntre oveent. noton e torser éjà étée ns les chptres précéents ser très tle ns l cnétqe es soles. forle e trnsport peret connssnt l vtesse n sel pont sole e ére fcleent l vtesse e tos les ponts sole. ojectf e l cnétqe sole est e connître l poston l vtesse et l ccélérton e tos les ponts sole pr rpport à n repère éterné.. Noton e epères et éférentels or éter le oveent n sole où n sstèe coposé e plsers soles l est nspensle e repérer l poston e chqe pont ns qe les vecters cnétqes ns l espce et le teps. Nos consérons en cnétqe clssqe qe l espce est Eclen à tros ensons et le teps est sol et népennt e l oservter. fn e repérer le sole l oservter v éfnr : - Un repère espce éfn pr ne orgne et ne se orthonorée. e trère éfn coplèteent le repère espce ns leqel pevent être eprées les cooronnées e tos les ponts sole. - Un repère e teps ppelé ss échelle e teps vec ne orgne et ne nté e teps. Dns le sstèe K l nté e teps est l secone. es e repères éfnssent n repère espce-teps ppelé en cnétqe clssqe référentel o spleent repère. Nos chosssons enste n pont s qelconqe 7

211 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD sole. poston e ce pont est onnée à chqe nstnt pr le vecter poston s epré ns le repère. es cooronnées pont épenent teps et s perettent e connître à chqe nstnt l poston repère s s s s lé sole. e pssge repère vers le repère lé sole est s s s s éterné pr l trce e pssge q epre les vecters ntres en foncton es vecters ntres s s s. ette trce e pssge s epre en foncton es ngles Eler qe nos verrons ns ce chptre. orentton repère lé sole est népennte cho pont. s ensele es prètres e trnslton et e rotton consttent les prètres e stton o egrés e lerté sole ns l espce pr rpport repère. le nore e prètres est égle à 6 rottons et trnsltons on qe le sole est coplèteent lre ns. le nore e prètres est nférer à 6 on qe le sole est lé o sos à es lsons certns prètres ne vrent ps cors teps.. stèes e nottons Dns l éte e l cnétqe nos optons l notton svnte : ot n repère lé à l oservter et n pont sole nos vons : : vecter poston pont pr rpport repère ; : vtesse pont pr rpport repère ; γ : ccélérton pont pr rpport repère ; es prètres cnétqes sont tojors lés repère. 8

212 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 4. epère éte lé à l oservter et repère e projecton es prètres cnétqes vecters vtesse et ccélérton es ponts sole sont étés ns n repère lé à l oservter. e repère est ppelé repère éte. es coposntes es vecters vtesses et ccélérton γ étnt esrés et éfns ns le repère nos povons connître lers coposntes ns n porte qel repère e l espce p p p p p qe l on ppeller repère e projecton. e cho e ce repère e projecton peret eprer les prètres cnétqes vec es epressons thétqes pls sples. l est sovent ntéressnt e chosr le repère e projecton fférent repère 'éte fn e splfer et rére les clcls. e repère e projecton étnt ole pr rpport repère éte l ft fre ttenton lors es érvtons qe les vecters ntres repère e projecton chngent e recton onc l ft en tenr copte. 5. oveent n repère pr rpport à n repère lé à l oservter ot n repère lé à l oservter et n repère en oveent qelconqe pr rpport preer. Tot pont e l espce pet être repéré totleent ns et ére ses coposntes ns où nverseent en connssnt le oveent e pr rpport à. e oveent repère est totleent conn s : - poston e son centre est totleent conn ns ; - orentton es es e est conn pr rpport à ce e epérge centre repère e repérge pont centre repère est éterné pr les coposntes vecter svntes : lnt les e centres es repères ns o cec se trt pr les reltons 9

213 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Dns : ; Dns : 5. epérge e l orentton es es repère or repérer l orentton es es repère on rène ce repère en e telle sorte qe les centres et soent confones. e repère est en rotton qelconqe pr rpport repère ns ce cs chcn es vecters ntres r es coposntes ns le repère ; nos povons lors écrre : o o es tros éqtons pevent se ettre sos l fore trcelle ce q onne : trce [ ] éfne pr les éléents j est ppelée trce e pssge repère repère. trce [ ] est orthogonle rote tros prètres népennt perettent e repérer l orentton repère. es prètres népennts les pls tlsés por éterner l orentton e l se ole sont les ngles Eler qe l on présenter en étl ns ce chptre. Nos llons or éter les reltons estnt entre les e ses et ps eplcter l forle e l se ole et ses conséqences.

214 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 5.. Forle e l se ole ot n repère fe et n repère ole pr rpport preer. es vecters ntres repère sont orthogon entre e et e ole constnt et égle à s ls chngent e recton ns l espce. et... Nos llons éterner les érvées e ces vecters ns le repère : ot le vecter rotton e l se pr rpport à l se. c Nos vons lors les reltons svntes : ; nos povons écrre :. c c c. ; nos povons écrre :. c c c. ; nos povons écrre :. c. Nos vons onc : ; ;

215 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 5.4. Dérvée ns le repère n vecter epré ns n repère t e vecter s écrr : ns le repère. t Z Y X t érvée ns le repère por epresson : Z Y X t érvée ns le repère s écrr : Z Y X t t t t Z Y X t t n otent fnleent : t t t 5.5. roprétés vecter e vecter est ntsétrqe pr rpport nces et j : Forle e hsles : prncpe e coposton j j c églté es érvées pr rpport nces. 6. ngles Eler 6. ngles Eler e tpe ot n repère fe et n repère lé sole en oveent qelconqe ns l espce. e centre repère pprtent sole. Dns le cs es ngles Eler e tpe on consère qe les centres et es e repères sont confons : ce q sgnfe qe le repère ne ft qe es rottons

216 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD pr rpport repère. Tros prètres népennts sont nécessres por éfnr coplèteent l orentton repère pr rpport à celle e. e pssge repère vers le repère se fer pr tros rottons en tlsnt e repères nteréres et ssge repère vers le repère : précesson rotton se ft tor e l e. n psse repère vers le repère en fsnt ne rotton ngle : ppelé ngle e précesson. vtesse e rotton est onnée pr : cr est confon vec. représentton se ft pr es fgres plnes à prtr esqelles nos constrsons les trces e pssge. Nos vons ns : sn. sn... es tros éqtons pevent être se sos fore trcelle et nos otenons: récesson vec sn sn sn sn est l trce e pssge repère vers le repère. trce e pssge e vers est égle à l trnsposée e : T

217 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 4.KD 6... ssge repère vers le repère : Ntton rotton se ft tor e l e. n psse repère vers le repère en fsnt ne rotton ngle : ppelé ngle e Ntton. vtesse e rotton est onnée pr : cr est confon vec. Ntton Nos vons ns :.. sn. sn. os fore trcelle et nos otenons: vec sn sn sn sn est l trce e pssge repère vers le repère ssge repère vers le repère : otton propre rotton se ft tor e l e. n psse repère vers le repère en fsnt ne rotton ngle : ppelé ngle e otton propre. vtesse e rotton est onnée pr : cr est confon vec. Nos vons ns :

218 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD sn. sn... os fore trcelle et nos otenons: otton propre vec sn sn sn sn est l trce e pssge repère vers le repère. e pssge repère vers le repère o nverseent se ft pr tros rottons sccessves e telle sorte qe tos les es e occpent es postons fférentes e celle e. trce e pssge e vers est onnée pr le prot es tros trces sccessves on otent : sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn trce e pssge e vers est onnée pr l trnsposée e cette ernère. e vecter rotton nstntné repère pr rpport à r por epresson vectorelle :. l r ne epresson fférente selon q l sot écrt ns l n o l tre es e repères. 5

219 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Dns nos rons : sn sn sn sn Dns nos rons : sn sn sn sn e vecter nstntné e rotton peret e ére l vtesse e tos les ponts sole en connssnt l vtesse n sel pont pprtennt sole. 7. hps es vtesses et ccélértons n sole ot n repère fe et n sole lé à n repère en oveent qelconqe ns l espce. or tot pont s sole ssocer son vecter poston onc son vecter vtesse et vecter ccélérton. nos povons l onsérons e ponts et pprtennt sole nos llons chercher ne relton entre ler vtesse et ler ccélérton. 7.. hps es vtesses e sole est néforle lors l stnce te teps ns les e repères. reste constnte cors e vecter s eprer e fçon fférente ns et. es vtesses es ponts et sont fférentes cr le sole n oveent qelconqe. 6

220 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Dns le repère nos vons : te Dns le repère nos vons : te Des e epressons nos povons ére ne relton entre les vtesses es e ponts pprtennt sole. es vtesses es e ponts pr rpport repère sont onnées pr: et es e epressons pevent s écrre sos l fore :.... En fsnt l fférence entre les e epressons - : on ott à : or on st qe : cr n otent ns l relton e strton es vtesses ns n sole : ette relton est ne grne portnce ns l cnétqe et l nqe es soles. Elle peret à prtr e l vtesse n pont sole e ére l vtesse e tos les tres ponts sole en connssnt l vtesse e rotton repère lé à cel-c. erqes : le vecter rotton nstntné lors le sole est en oveent e trnslton pr et tos les ponts sole ont l êe vtesse : ; et on qe le sole est en oveent e rotton pr tor pont ; 7

221 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD c e oveent qelconqe générl n sole pet être écrt coe étnt coposé n oveent e trnslton pont à l vtesse et n oveent e rotton tor pont à l vtesse e rotton. 7.. Eqprojectvté chp es vtesses n sole Nos povons le ontrer pr e éthoes fférentes. Nos vons ontré précéeent qe En ltplnt cette epresson pr le vecter nos otenons : r pertton crclre prot te nos povons fcleent vor qe l epresson : n otent ns l églté : proprété éqprojectvté chp es vtesses sole ette epresson pet être retrovée ne tre fçon. e sole est néforle et l stnce est constnte lors : où 8

222 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD ette proprété éqprojectvté entrîne l estence n vecter lre tel qe : ce q peret ntrore l noton e torser cnétqe. 7.. hps es ccélértons or chqe pont sole lé repère on ét l ccélérton à prtr e l vtesse à prtr e l relton : γ Nos llons chercher ne relton q le les ccélértons : γ et γ Nos vons éjà étl ne relton entre les vtesses es e ponts : Nos érons l relton entre les ccélértons pr érvton e l epresson es vtesses. γ et coe : cr on otent fnleent l relton entre les ccélérton es e ponts et sole : γ γ n constte qe s l vtesse e rotton est constnte l epresson event : γ γ γ 7.4. Torser cnétqe forle e strton es vtesses est onnée pr l relton : forle e trnsport es oents entre e ponts et sole por epresson : 9

223 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD ; nos consttons q l éqvlence entre ces e éqtons. e vecter vtesse pont est le oent pont n torser qe nos noterons : [ ] et l résltnte n est tre qe le vecter rotton nstntné. e torser cnétqe pont o torser e strton es vtesses reltf oveent sole pr rpport à por éléents e récton : - le vecter rotton nstntnée ; - l vtesse pont : l ser noté sos l fore : [ ] e torser cnétqe est n grn ntérêt cr l crctérse coplèteent le oveent n sole pr rpport repère en ce q concerne les vtesses. oe les éléents e récton torser cnétqe sont es fonctons teps lors le torser cnétqe en épen l onc à chqe nstnt ne résltnte et n chp e vtesse fférent e nstntné e rotton n ppelle e nstntné e rotton l e centrl torser cnétqe. Nos vons ontré précéeent qe l e centrl est l ensele es ponts tels qe le oent torser en ce pont sot prllèle à l résltnte. Dns le cs torser cnétqe l ensele e ces ponts constte l e ont les vtesses sont prllèles vecter vtesse nstntnée e rotton. chqe nstnt le oveent sole pet être conséré coe étnt l coposton n oveent e rotton e vtesse e rotton tor e l e nstntné et ne trnslton ont l recton nstntnée est prllèle vecter vtesse e rotton. ot n sole lé à n repère en oveent qelconqe pr rpport à n repère et le vecter rotton nstntné sole pr rpport à.

224 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD n consère n pont. ot π n pln e norle n et contennt le pont tel qe l vtesse e rotton sole sot prllèle à : n. e vecter vtesse n pont π pet se écoposer en e vecters l n ns le pln π et l tre perpenclre à π ce q onne : vec π et t n t n π n n π t D près ce qe l on éveloppé sr les torsers l est possle e trover n pont tel t qe : lors l epresson e l vtesse pont s écrr : n Qelqe sot Q π nos povons pr l forle e trnsport écrre : Q n Q n Q Q Q Q n Nos povons conclre qe le vecter vtesse pont Q π s écrt : Q Q Q vec : Q Q et t t n Q n n n constte qe l coposnte e l vtesse norle pln π est l êe por tos les ponts sole. n otent fnleent qelqe sot et Q : Q Q Q n

225 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD e oveent sole ns ce cs se écopose à chqe nstnt en n oveent e trnslton ns le pln et en n oveent e rotton tor n e pssnt pr le pont et prllèle vecter ntre n. e ns éfn pr le pont et le vecter ntre n constte l e nstntné e rotton sole pr rpport repère. Nos svons qe l e centrl n torser est le le es ponts où le oent est n o nl. Dns le cs n torser cnétqe l vtesse nstntnée est nlle sr tos les ponts e l e centrl. n ét qe s l vtesse est nlle en e ponts stncts n sole lors l e jognnt les e ponts est forcéent n e e rotton onc n e centrl torser cnétqe. 8. os e coposton es oveents 8.. o e coposton es vtesses ot n repère fe e référence et n repère en oveent qelconqe pr rpport repère fe. n consère n sole oveent est conn ns le repère reltf. ont le ot n pont sole nos povons écrre à chqe nstnt : vtesse pont ns le repère est onnée pr l érvée vecter ns ce êe repère. Développons les e teres e l vtesse ce q onne : : vtesse centre repère pr rpport repère ;.

226 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Fnleent l vtesse pont ns le repère s écrt : q s écrt ss sos l fore : : vtesse sole pont por n oservter lé : vtesse reltve pont pr rpport à en oveent pr rpport à : tesse entrîneent pont s l étt ole ns roprétés thétqes vecter : ntsétrqe pr rpport nces onc repères ; j j 8.. o e coposton es ccélértons ccélérton sole pont se ét à prtr e l vtesse sole : γ γ Développons chcn es tros teres : γ ; γ ;

227 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 4.KD soe es tros teres onne : γ γ γ γ γ γ ette epresson pet s écrre sos ne fore réte : γ γ γ γ γ : ccélérton sole pont pr rpport à fe γ : ccélérton reltve pont pr rpport repère γ γ : ccélérton entrîneent repère : ccélérton e orols ccélérton copléentre γ ccélérton e orols est ne coposton entre l vtesse e rotton repère pr rpport repère et l vtesse reltve pont. ccélérton e corols pont est nlle s et seleent s : - vtesse e rotton repère reltf pr rpport repère sole est nlle : ; - vtesse reltve pont est nlle : ; - vtesse e rotton est colnére vec l vtesse reltve : 9. oveents prtclers fonent 9.. oveent e trnslton pr Un sole lé à n repère est en oveent e trnslton pr pr rpport à n repère s les es e grent ne recton

228 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD fe pr rpport à ce e cors teps. Tos les ponts sole ont l êe vtesse et l êe ccélérton qe le pont. vtesse e rotton sole est nlle pr rpport à. n pet écrre : et oe lors Dns ce cs le chp es vtesses est n chp nfore. Q e torser cnétqe q écrt le oveent e trnslton pr est n torser cople ont l résltnte est nlle s le oent n est ps nl. [ ] Q oe tos les ponts sole ont l êe vtesse à chqe nstnt lors les ponts écrvent es trjectores prllèles. Tros tpes e trjectores pevent être écrtes : oent et Q e ponts sole : - Trjectore en trnslton rectlgne : - Trjectore en trnslton crvlgne : les vtesses e ponts et Q sont prllèles et égles. Q Q - Trjectore en trnslton crclre les ponts et Q écrvent es cercles e êe rons à l êe vtesse Q 5

229 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 6.KD 9.. oveent e rotton pr tor n e sole 9... tesse n pont sole Un sole lé à n repère est en oveent e rotton pr pr rpport à n repère s n e e reste fe à tot nstnt et ne nère pernente ns le repère. Nos vons onc e ponts stncts et sole q restent fe ns le repère cors oveent e rotton. e repère est en rotton pr pr rpport repère à ne vtesse nglre onnée pr : et ot n pont qelconqe sole et n pprtennt ps à l e e rotton tel qe : r Qel qe sot on pet écrre : et or nos vons : où : et sont e ponts sole nos povons lors écrre : n replce pr lers epressons l vtesse pont event : et r r Dns n oveent e rotton pr le torser es vtesses est éqvlent torser glsser éfn pr : [ ] vec et

230 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 9... ccélérton pont sole Nos vons trové précéeent l vtesse pont elle est onnée pr : ; on ét l ccélérton pr érvton e cette epresson : γ or nos vons : ; coe te ns le repère lors ce q onne : l epresson e l ccélérton event : γ En éveloppnt cette epresson on otent : γ or nos vons : et l epresson fnle e l ccélérton ser : γ ccélérton norle ccélérton tngentelle svnt En replçnt r et respectves γ r r γ γ n t pont pr ler epressons es epressons e l vtesse et e l ccélérton pevent s eprer fcleent ns le repère en éternnt l trce e pssge repère vers le repère : 7

231 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 8 λ λ.kd. sn. sn.. où sn sn vtesse et l ccélérton rons por epresson ns : r r r r sn sn sn sn r r r r γ r r sn sn γ 9.. oveent hélcoïl rotton trnslton Un sole lé à n repère écrt n oveent hélcoïl pr rpport à n repère fe s : - Un e repère reste en coïncence à tot nstnt vec n e repère - cooronnée pont centre repère svnt l e e coïncence est proportonnelle à l ngle e rotton repère pr rpport repère cors oveent e rotton. Nos vons lors : le sclre t t λ représente le ps oveent hélcoïl le long e l e e coïncence. Nos vons e oveents q se sperposent : - Un oveent e trnslton le long e l e con ; - Un oveent e rotton tor e ce êe e.

232 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD ot n pont sole nos vons à chqe nstnt : e vecter s écrt ns le repère : λ t e vecter s écrt ns le repère : et n c t sn t c soe es e vecters nos onne le vecter ns le repère : t sn t c λ t vtesse et l ccélérton pont ns le repère érvton ns le êe repère : se ésent fcleent pr sn t t λ t et γ sn t t t sn t λ t 9

233 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce 6: lter e vol or sler les conons e vol es vons les ngéners ont conç n pprel spécl por l entrîneent es plotes q consste en n rs en rotton ns le pln horontl tel qe : : repère fe ; :repère ole lé rs vec et sens postf ; Un cocpt en rotton tor e l e tel qe et sens postf ; : repère lé cocpt vec. Un sège-plote en rotton tor e l e tel qe : et sens postf. : repère lé sège-plote. e plote est lé sège s tête est repéré pr le vecter poston T. Tos ces éléents sont en rotton contrôlée pr l ornter por sler les fférentes nœvres. l fll fre es clcls por éterner les prètres cnétqes fn e les vrer e fçon sensée por svor à qelles ccélértons seront sos les plotes. os êtes l ngéner responsle e ces clcls l vos est ené e : Etlr les fgres plnes représenttves es tros rottons et les trces e pssges corresponntes ; Trover le vecter poston pont T ns qe le vecter rotton sège plote pr rpport à ; Déterner le vecter vtesse sole pont T pr coposton e oveent et pr l cnétqe sole. 4 Déterner l ccélérton sole pont T pr coposton e oveent. n prenr coe repère e projecton 56

234 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 57.KD olton :. Fgres plnes es tros rottons et les trces e pssges corresponntes ; otton rs Nos vons : et n repère fe. : étnt le repère e projecton on eprer tote les onnées ns ce repère. : en rotton à tel qe : et sens postf sn sn trce e pssge e vers otton cocpt : en rotton tel qe et sens postf ; sn sn trce e pssge e vers otton sège plote en rotton tel qe : et sens postf. sn sn trce e pssge e vers

235 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD. ecter poston pont T pr rpport à epré ns Nos vons : T T schnt qe T sn ; T où : sn T ecter rotton sège plote : ; r l trce e pssge e vers le vecter écrt : sn sn sn sn. ecter vtesse pont T.. r coposton e oveent s T T T rel ent vtesse reltve est onnée pr : T T sn vtesse reltve s écrt : T T T sn sn sn sn sn sn 58

236 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 59.KD En fsnt l soe on otent : sn sn sn sn sn T.. r l cnétqe sole vtesse reltve s écrt : T T Nos vons : sn sn sn sn sn sn sn sn sn T soe es e epressons onne : sn sn sn sn sn T 4. ccélérton sole pont T pr coposton e oveent on epresson est onnée pr l relton svnte : T T T T corols ent rel s γ γ γ γ T T T T c γ γ γ γ Eplctons chcn es teres e cette relton :

237 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 6.KD : γ sn sn T T T T T γ γ γ sn sn sn T T : T sn sn sn sn sn sn sn sn T T sn sn sn sn sn

238 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 6.KD : T sn sn sn sn sn sn T T c γ 4 : T c γ sn sn sn sn sn sn soe e ces epressons onne l ccélérton sole pont T 4 T γ

239 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce : ot n sstèe constté e e soles lé repère et lé repère en oveent pr rpport à n repère fe : est ne rre e longer e sse ont l etrété glsse sr n r et l tre etrété est rtclée sqe ; : est n sqe e sse et e ron q role sns glsser sr n pln horontl tel qe représenté sr l fgre c-essos.. Déterner l relton eprnt le non glsseent sqe sr le pln pont ;. Déterner le centre nstntné e rotton... e l rre : éoétrqeent nltqeent. olton : sn : repère fe ; ; sn : lé à l rre; tel qe : et : lé sqe ; tel qe : et. onon e roleent sns glsseent conon e non glsseent sqe sr le pln est vérfée s l vtesse pont pprtennt sqe est nlle : sqe pr l cnétqe sole écrre : vec : 68

240 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 69.KD. entre nstntné e rotton e l rre oétrqeent ot le centre e rotton nstntnée... e l rre. poston est repéré en trçnt e rotes l ne perpenclre à l vtesse pont et l tre perpenclre à pont. e pont ntersecton e ces e rotes est le... e l rre. sn En effet nos vons : nltqeent ot n st qe :

241 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 7.KD sn sn sn Eercce : ot n repère fe lé à n e clnre cre e ron sr leqel se éplce ne rre e longer. e oveent se ft ns le pln vertcl. rre est en contct pernent vec le e clnre en e ponts l etrété en contct vec l srfce clnre et le pont vec son or.. Déterner les cooronnées centre nstntné e rotton... géoétrqeent ;. etrover les cooronnées centre nstntné e rotton... nltqeent ;. En ére l vtesse pont e l rre. D... D olton :. ooronnées... géoétrqeent : vtesse pont est tngente cercle e ron. n trce l perpenclre à elle psse pr le pont et elle rencontre l perpenclre à pont. vtesse pont est portée pr l rre.

242 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD e trngle est rectngle en cr l est nscrt à l ntérer n cercle e ètre. e trngle est socèle : les ngles D e trngle est socèle : les ngles n ét fcleent les cooronnées pont tel qe : sn. ooronnées... nltqeent : n st qe l vtesse centre nstntné e rotton... e l rre est nl : ; Déternons or l vtesse pont : Nos vons : sn sn sn sn et sn sn sn sn. tesse pont e l rre Nos vons : ; or : sn sn 7

243 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce : ot n sstèe constté n clnre fe e ron lé repère et n sqe e sse e ron r lé repère tor clnre coe représenté sr l fgre c-essos. Déterner :. trce nerte sqe pont ns le repère ; en oveent e rotton. relton entre et eprnt l conon e non glsseent sqe pont ;. vtesse et l ccélérton pont pr coposton e oveent. r Eercce : Un cône hoogène e hter h e ron e se est en oveent e rotton tor e l e vertcl n repère orthonoré fe vec ne vtesse nglre te. e prncpl cône est nclné n ngle β constnt pr rpport à cet e. e cône torne ss tor e son e prncpl vec ne vtesse nglre te fgre c-essos. e repère est le repère reltf. coe représenté sr l n prenr ss le repère coe repère e projecton. Déterner :. es trces e pssge e vers et e vers ;. vtesse et l ccélérton pont pr érvton ;. vtesse et l ccélérton pont pr coposton e oveent ; 7

244 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 7.KD β β β olton :. es trces e pssge e vers et e vers ; Nos vons : et n repère fe et : le repère e projecton. : tel qe : et vec h te : tel qe : et vec te β β : tel qe : et vec te trce e pssge e vers β β sn sn β β β β trce e pssge e vers sn sn

245 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 74.KD. tesse et ccélérton pont pr érvton ;.. tesse Nos vons : h h h sn sn vec : or : où : sn β β β β sn h h sn sn β β β.. ccélérton : γ h h h β β β β β β β γ sn sn sn sn sn. tesse et ccélérton pont pr coposton e oveent ;. tesse : Nos vons : vec: h sn sn

246 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 75.KD sn sn sn sn sn β β β β β β h h ce q onne : h β β β β sn sn sn sn. ccélérton : Nos vons : c γ γ γ γ sn γ γ γ ; vec : γ h β β β β sn sn sn h β β β β β β sn sn sn sn

247 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 76.KD h h β β β β β β sn sn sn sn sn β β β β β γ sn sn sn sn sn c soe e totes ces epressons onne : h h β β β β β β β β β γ sn sn sn sn sn sn sn sn

248 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 4.KD EXEE ET UTN Eercce : oent t n repère orthonoré fe et n repère en oveent pr rpport repère fe vec ne vtesse e rotton. e e e ω ontrer qe : e e e e e e ω olton : Nos vons : e e e e e e e e e e ω ω ω ω ω e e e e e e e e e e ω ω ω ω ω e e e e e e e e e e ω ω ω ω ω Fsons l soe es tros epressons en schnt qe : e e e e e e ω ω ω ω nos otenons : ω ω ω ω ω ω ω e e e e e e e e e e e e e e e e e e ω

249 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce : Une sphère plene et hoogène e centre e ron role e nère qelconqe sr n pln fe horontl. ot n repère orthonoré fe lé pln tel qe. ot n repère orthonoré rect lé à l sphère tel qe : s s s. orentton repère pr rpport à se ft pr les ngles Eler clssqes. n prenr coe repère e projecton.. Etlr les fgres plnes e rotton e l sphère ;. Donner l epresson vecter rotton nstntné e l sphère ;. Déterner l vtesse pont e contct e l sphère vec le pln fe. 4. Ecrre l conon e roleent sns glsseent e l sphère sr le pln. o olton : : est ne sphère hoogène e ron ; : n pln fe ; : repère fe ; et : repère lé à l sphère. s s s e pssge repère vers le repère se ft pr tros rottons tlsnt les ngles Eler et e repères nteréres et 4

250 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 4.KD. es fgres plnes : ssge repère vers : l rotton se ft tor e l e trce e pssge repère vers sn sn ssge repère vers : l rotton se ft tor e l e trce e pssge e vers sn sn c ssge repère vers : l rotton se ft tor e l e s trce e pssge e vers s sn sn s s s s s s s

251 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 44.KD. ecter rotton nstntné e l sphère ns le repère s s Eprons ns le repère. D près les trces e pssge nos vons : et sn sn sn sn sn sn sn ce q onne : sn sn sn sn s sn sn sn sn s s sn sn sn sn. tesse pont e contct e l sphère vec le pln fe es ponts et pprtennent à l sphère. r l cnétqe sole nos povons connître l vtesse pont à prtr e celle e en effet nos vons : s vec : et

252 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 45.KD sn sn sn sn on otent fnleent : sn sn sn sn 4. onon e roleent sns glsseent e l sphère sr le pln. or qe l conon e roleent sns glsseent sot stsfte l ft qe l vtesse pont sot nlle : sn sn sn sn n ltple l éqton pr sn et l éqton pr ps on ft l fférence es e éqtons : sn sn sn sn sn sn sn coe nos vons ss : sn et éqton event :

253 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce : ot le sstèe écnqe coposé ne tge e longer et ne plqe rectnglre e enson et rtclée en vec l tge vor fgre. étnt le repère fe ; en rotton e tor e. plqe torne tor e l tge à ne vtesse nglre. n onne te ; te ; te Déterner les trces e pssge e vers et e vers ; Déterner le vecter rotton nstntné e pr rpport à epré ns ; Déterner pr érvton l vtesse eprée ns le repère ; 4 Déterner pr l cnétqe sole l vtesse pr rpport à eprée ; 5 Déterner pr érvton et pr l cnétqe sole eprée ns le repère. olton : tge : ; plqe : onger rger : repère fe ; : repère en rotton tor e l e pr rpport repère γ : repère lé à l tge en rotton tor e l e pr rpport à 46

254 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 47.KD : repère lé à l plqe en rotton tor e l e pr rpport à on onne : te te te. trces e pssge trce e pssge e vers sn sn trce e pssge e vers sn sn. ecter rotton nstntné e pr rpport à epré ns ; D près l relton e hsles nos povons écrre : Eprons le vecter ntre ns le repère l s écrt : sn D où : sn sn sn

255 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 48.KD. pr érvton et eprée ns le repère ; r érvton nos vons : r ; et sn sn sn 4. tesse pont pr rpport à eprée ns le repère ; r l cnétqe sole nos povons écrre : e pont est ns le repère et por cooronnées : sn D où : sn sn sn sn sn sn sn

256 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 49.KD 5. ccélérton pr érvton et pr l cnétqe sole ns le repère. γ 5.. pr érvton Nos svons qe : ; lors : te ; te ; te γ ce q onne : γ sn sn sn sn 5.. pr l cnétqe sole γ γ es ponts et pprtennent à l tge lers vtesses et lers ccélértons sont nlles ns le repère lé à l tge. γ cr le pont est fe ns l tge ; sn sn sn

257 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD soe e ces tros epressons onne : sn γ sn sn sn Eercce 4 : oent e rres rtclées en fsnt prte n écnse e réglton. rre est en rotton tor e l e Z ns le pln horontl. rre est en rotton tor e l e ns le pln. ot n pont ole sr l rre tel qe. r ; et sont es constntes. : repère e projecton. Déterner :. es trces e pssge e vers et e vers ;. et γ pr érvton rect et pr l cnétqe sole ; olton ; et : repère fe ; r : en rotton tel qe et : en rotton tel qe et 5

258 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 5 γ.kd. trces e pssge trce e pssge e vers sn sn trce e pssge e vers sn sn. ps pr érvton rect et pr l cnétqe sole et l vtesse nstntnée e rotton pr érvton rect et pr l cnétqe sole * pr érvton recte Nos vons : sn sn r érvton nos vons :

259 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 5.KD sn sn sn sn * pr l cnétqe sole Nos povons écrre : Nos vons : r Nos vons ns : sn sn sn pr érvton et pr l cnétqe sole γ * pr érvton r érvton nos vons : γ γ sn sn sn sn sn

260 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 5.KD γ sn sn sn sn * pr l cnétqe sole Nos povons écrre : γ γ lclons or : γ γ chnt qe on otent : γ γ sn sn

261 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 54.KD sn sn sn sn sn En fsnt l soe es tros teres nos otenons : γ sn sn sn γ sn sn sn sn Eercce 5 : Une rre hoogène nce e longer et e centre repose sns frotteent sr n pett role fe pont et s ppe contre n r lsse pont. : est le repère e projecton. - Déterner l vtesse e glsseent en et en ; - Déterner les cooronnées... centre nstntnée e rotton géoétrqeent et nltqeent.

262 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 55.KD o o olton : pont nos vons n glsseent sns frotteent ; ; le repère est le repère e projecton. : repère fe ; : est tel qe ; et. tesse e glsseent ponts et es cooronnées e et ns le repère sont : ; tg oe et pprtennent tos les e à l rre l vtesse se ét pr l cnétqe sole : tg tg

263 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 56.KD - ooronnées... centre nstntnée e rotton. éoétrqeent n st qe l vtesse centre nstntné est nlle. En tlsnt l relton e l cnétqe sole nos povnt éterner l vtesse pont à prtr e où e : lors en trçnt ne perpenclre à en et ne tre perpenclre à en l ntersecton e ces e rotes nos onne le centre nstntné e rotton. nltqeent n ot chercher les cooronnées centre nstntné e rotton. e oveent e l rre est n oveent pln. n cherche n pont tel qe. en effet nos vons : tg tg tg

264 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce 7 : Un cône e ron e hter h et e ngle soet en contct vec le pln horontl X Y svnt l ne e ses génértrces. e cône role sns glsser sr le pln X Y. e repère est le repère fe. Déterner l vtesse e rotton cône ns le repère ; Ecrre l conon e roleent sns glsseent ; En ére l relton lnt et ; 4 En ére en foncton e et h. pln olton : h ; ; repère fe ; en rotton tel qe : lé cône tel qe : et est l e cône ; et l e terne l constrcton trère recte. ot le vecter ntre porté pr l génértrce cône. Nos vons : 6

265 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD. ecter rotton nstntnée cône pr rpport repère r nos vons : sn sn sn. onon e roleent sns glsseent ; D ft roleent sns glsseent cône sr le pln horontl tos les ponts en contct pln svnt l génértrce ont ne vtesse nlle en prtcler les ponts et. oe les e ponts pprtennent êe sole nos povons écrre : or ce q onne : cette epresson ontre qe or nos svons qe lors nos vons ss : se q se trt pr : en replçnt pr son epresson on otent : sn π sn sn sn sn sn 6

266 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD. elton lnt et n replce ns l epresson e ce q onne : sn sn sn 4. en foncton e et h oe nos vons sn et h h h n otent : h h h Eercce N 8 : ot le spostf écnqe coposé ne rre hoogène e longer e sse et ne hélce e ron e sse. e pont e l rre se éplce sr l e rre torne vec ne vtesse nglre constnte tor e l e. hélce torne tor e l e vec ne vtesse nglre constnte :. et l t n prenr coe repère reltf et e projecton. 6

267 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD e oent nerte e l hélce pont epré ns le repère est onné pr: Déterner:. e centre nerte sstèe rre hélce ns le repère ;. e tenser nerte sstèe rre hélce pont ns le repère ;. trce e pssge e vers et e vers ; 4. vtesse e rotton nstntnée e l hélce pr rpport à ; 5. vtesse et l ccélérton γ pr érvton ; 6. vtesse et l ccélérton γ pr pr l cnétqe sole ; 7. vtesse et l ccélérton soles ponts pr coposton e oveent ; Eercce 9 : Une tge hoogène e longer et e centre est en oveent tel qe son etrété sot ssjett à se éplcer svnt l e vertcl n repère orthonoré fe. tre etrété est en oveent qelconqe ns le pln.. Déterner le nore e prètres nécessres por écrre totleent le oveent e l tge et constrre les fférents repères perettnt e fre l éte cnétqe e l tge ;. Déterner l vtesse nstntnée e rotton e l rre pr rpport à. Déterner les fférentes fgres plnes et les trces e pssge; 4. Déterner l vtesse et l ccélérton sole es ponts et epré ns le repère. 64

268 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD olton :. epères et prètres perettnt l éte oveent e l tge ; tos le teps : repère fe ; n repère tel qe : et n repère tel qe : et on ns : tel qe : es e ngles et sont sffsnt por écrre entèreent le oveent e l rre pr rpport repère.. tesse nstntnée e rotton e l rre pr rpport à Nos vons : 65

269 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 66.KD. Fgre plne e chqe repère ;.. trce e pssge repère vers trce e pssge e vers sn sn.. trce e pssge repère vers sn sn sn sn n prenr coe repère e projecton cr les epressons cnétqes sont pls sples ns ce repère. 4. tesse et ccélérton sole es ponts et epré. Nos vons : sn sn 4.. clcl e : sn sn

270 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 67.KD 4.. clcl e sn sn vtesse pont pet ss s otenr à prtr e celle e pr l cnétqe sole : sn sn sn sn sn sn 4.. clcl e : sn sn sn sn vtesse pont pet ss s otenr à prtr e celle e où e pr l cnétqe sole en effet nos vons : sn sn sn sn sn sn sn

271 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 68.KD 4.4. clcl e : γ γ sn sn sn 4.5. clcl e : γ γ sn sn sn sn sn 4.6. clcl e : γ γ γ sn sn sn sn sn γ sn sn sn sn

272 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD HTE NETQUE DE DE EN NTT 76

273 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD NETQUE DE DE EN NTT. oveent e e soles en contct oent e soles et lés repères et oles pr rpport à n repère fe. es e soles en oveent sont ssjetts à n contct ponctel à tot nstnt en n pont fe pprtennt pln π tngent en ce pont e soles. n : l norle pln π t π n π pont e contct es e soles Γ n n t π nos povons stnger : Γ - : pont sole en contct vec le sole à l nstnt t ; - : pont sole en contct vec le sole êe nstnt t ; - : l poston cone e et êe nstnt t ; e pont géoétrqe n pprtent n à n à. es ponts occpent géoétrqeent l êe poston s ls ont es rôles cnétqes fférents. ensele es ponts ensele es ponts ensele es ponts constte ne core Γ écrte sr le pln π constte ne core Γ écrte sr le sole constte ne core Γ écrte sr le sole vtesse e glsseent sole sole pr rpport sole pprtent pln π tngent pont e contct. ot n pont sole et n pont sole 77

274 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD ; près ce qe l on v précéeent sr le chp es vtesses es ponts n sole nos povons écrre ns le repère fe : vtesse e glsseent sole pr rpport sole est onnée pr l relton : g oe les tros ponts occpent l êe poston géoétrqe nos povons écrre : g g e vecter rotton sole pr rpport sole por epresson : D où : on retrove c l lo e hsles. e vecter rotton sole pr rpport sole e coposntes l ne tngent et ns le pln t π l tre norle pln : π : n t n t n n : ecter rotton e roleent sole pr rpport sole ; n n n : ecter rotton e pvoteent sole pr rpport sole En générl lorsqe e soles sont en contct ponctel l pet vor : lsseent roleent et pvoteent e l n sr l tre. conon e roleent sns glsseent est vérfée lorsqe l vtesse e glsseent est nlle : g le sole est fe lors : Dns ce cs qel qe sot vec en roleent sns glsseent pr rpport sole nos povons écrre : ; 78

275 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD coe lors : g : on qe le sole role sns glsser sr le sole ; n : on qe le sole ne pvote ps sr le sole ; n : on qe le sole ne role ps l glsse sr le sole ;.. oveent e e soles en contct en plsers ponts Dns le cs où e soles sont en contct en plsers ponts les consértons précéentes pevent être reprse en chqe pont e contct. s prtclers : - e soles et sont en contct en e ponts et et s l vtesse e glsseent en ces e ponts est nlle lors le vecter rotton est n vecter recter e l rote pssnt pr les e ponts : - e soles et sont en contct en pls e e ponts et s l vtesse e glsseent est nlle en tos ces ponts ls sont nécessreent portés pr le êe e onc ls sont lgnés.. Trnssson pr frcton n oveent e rotton entre e clnres oent e clnres et e rons respectfs et lés à n ât fe et nt es oveent e rotton es respectfs et er vtesse e rotton respectve est onnée pr : et ot n pont e contct entre les e soles. es es e rotton sont prllèles à :. conon e roleent sns glsseent pont s écrr : 79

276 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD e pont e contct pet être ssocé sole et pr l cnétqe sole nos povons écrre : or nos vons et les ponts et lors : Dns l trnssson e oveent pr frcton les e clnres ont es oveents e rotton e sens contrre s le contct se ft à l etérer et e êe sens s le contct se ft à l ntérer es clnres. es ponts sont lgnés. lors D où : le contct se ft à l ntérer clnre à l ntérer clnre les e clnres torneront ns le êe sens : D où : 8

277 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD. oveent pln sr pln.. Défnton e oveent n sole lé à n repère pr rpport à n repère fe est n oveent pln sr pln s et seleent s n pln sole reste en coïncence vec n pln π lé repère. n éte ns le oveent reltf e e plns l n consttnt le référentel fe. es vecters sont orthogon plns et π respectveent en et. π o o. e vecter rotton nstntné sole lé à pr rpport repère fe est onné pr : Tos les ponts sole se éplcent prllèleent pln π lers vecters vtesses sont ss prllèles à ce pln lors nos rons : f t g t n rerqe ns ce cs qe l tooent torser cnétqe [ ] écrvnt le oveent est nl. En effet nos vons : f t g t nos povons conclre qe : 8

278 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD - te l résltnte torser étnt nl lors le torser est n cople et le oveent est ne trnslton rectlgne sr le pln torser reste néfn ; π l e centrl - vre cors teps lors ns ce cs le torser est n glsser ont l e centrl est l e nstntné e rotton orthogonl pln π onc prllèle à... rétrge sole l poston sole est éternée pr : poston pont ns le repère est onnée pr : orentton repère pr rpport repère fe éfne pr l vtesse e rotton : tel qe e pssge repère vers le repère s epre pr les reltons svntes : sn sn trce e pssge e vers est onnée pr : sn sn e oveent pln sr pln est n oveent à tros egrés e lerté : ; e egrés e trnslton et n egré e rotton. 8

279 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD.. ecters vtesse et ccélérton n pont qelconqe sole est n pont qelconqe sole l r por cooronnées : Dns : le pont est fe ns le sole. Dns : sn sn sn sn sn sn Dns : sn sn sn sn vtesse pont pr rpport à se ét e e fçons : r l cnétqe sole : sn sn sn sn r érvton : sn sn sn sn 8

280 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD ccélérton pont pr rpport à vtesse ns le êe repère. se ét fcleent pr érvton vecter sn sn sn sn.4. entre nstntné e rotton oent e ponts et sole lé à n repère en oveent pr rpport repère fe lé pln π Δt t π o oe les vtesses et pprtennent sole et pln π nos povons écrre près l lo e strton es vtesses : où est l vtesse e rotton repère pr rpport repère. e vecter vtesse e rotton nstntné est norl pln Δ t est perpenclre à π. π ce q entrîne qe l e nstntné e rotton éte sr les torsers ontré qe qel qe sot le pont prs sr l e centrl n torser le oent en ce pont est prllèle à l e centrl. 84

281 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Dns le cs n torser cnétqe tos les ponts e l e nstntné e rotton e centrl ont ne vtesse prllèle à cet e. De pls ns le cs n oveent pln sr pln tos les ponts sole ont lers vtesses prllèles pln π. r conséqent le pont ntersecton entre le pln π et l e nstntné e rotton Δ t e pont est ppelé centre nstntné e rotton :... ne vtesse nlle..4.. Déternton nltqe centre nstntné e rotton... ot n pont qelconqe sole. lo strton es vtesses nos peret écrre : poston.. s otent en ltplnt vectorelleent cette epresson pr : où : - le vecter est perpenclre vecter vtesse pont ; - l por ole :.4.. Déternton géoétrqe centre nstntné e rotton.. le pont est n centre nstntné e rotton sole nos povons le éterner géoétrqeent en connssnt l vtesse e e ponts et sole. En effet nos vons : 85

282 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD e centre nstntné e rotton... se trove à l ntersecton es norles vecters vtesses à prtr pont et à prtr pont. ette éthoe est sovent tlsée por vérfer les cooronnées... éterné éjà nltqeent. Dns le cs prtcler n sqe l est très fcle e le vérfer : es vtesses ponts et sont tngentes sqes. En trçnt les e perpenclres vtesses espectveent en et ler pont ntersecton est le pont centre sqe nt ne vtesse nlle.. se et rolnte e centre nstntné e rotton... est n pont ole pr rpport à et pr rpport repère lé sole. l écrt e cores fférentes ns les e repères on ppelle lors : - se oveent : plns sole sr le pln π l trjectore pont ns le repère ; - olnte oveent : plns sole sr le pln π l trjectore pont ns le repère ; Nos povons eprer le vecter vtesse pont ns le repère nos vons en effet : En ntrosnt les cooronnées pont ns le repère tel qe : ; r l forle e l cnétqe sole nos povons écrre : 86

283 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD on otent fnleent oe le pont est le centre nstntné e rotton son epresson nltqe est onnée pr : n otent lors : ette églté nqe qe l vtesse centre nstntné e rotton est l êe ns les e repères à et. l en réslte qe l se et l rolnte sont e cores tngentes en à chqe nstnt. églté es vtesses pont ns les e repères ontre qe l rolnte role sns glsser sr l se... Eqton e l se poston pont centre repère lé sole pr rpport repère fe est éfne pr ses cooronnées ns le repère : ; poston pont ns le repère est onnée pr : q s écrt ss sos l fore : or nos vons : En replçnt l epresson e ns celle e nos otenons : 87

284 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD ns le vecter poston pont ns le repère est epré pr l relton : ette éqton éfnt l trjectore ppelée se centre nstntné e rotton ns le repère. X t Y t Z t.. Eqton e l rolnte or otenr l trjectore ppelée rolnte ns le repère lé sole l sfft eprer les vecters ntres repère en foncton e ce e. En effet nos vons près l trce e pssge éternée précéeent : sn sn lors l trjectore ns le repère r por éqtons prétrqes : X t sn Y t sn Z t En connssnt l trce e pssge e vers l est très fcle e ére l trjectore e l rolnte à prtr e l se où nverseent. 88

285 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD HTE NETQUE 9

286 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD NETQUE. Défnton résltnte cnétqe qntté e oveent le oent cnétqe oent e l qntté e oveent l résltnte nqe qntté ccélérton le oent nqe et l énerge cnétqe consttent les éléents e l cnétqe. cnétqe por ojet l éte es reltons entre les éléents e l cnétqe et l géoétre es sses.. ésltnte cnétqe oent cnétqe - résltnte cnétqe qntté e oveent n pont térel e sse et e vtesse est éfne pr l grner vectorelle : σ ; - e oent cnétqe pont térel en n pont qelconqe e l espce est onné pr le oent e l qntté e oveent en l por grner : σ.. Qntté e oveent n sstèe térel stèe térel scret : e sstèe est constté n ensele e pont e sse et e vtesses ns n repère. - résltnte cnétqe qntté e oveent sstèe est onnée pr l grner vectorelle : σ - e oent cnétqe sstèe térel en n pont qelconqe e l espce est onné pr le oent e l qntté e oveent en l por grner vectorelle : σ 9

287 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD stèe térel contn : Dns le cs n sstèe térel contn : lnére srfcqe où volqe nos vons : - résltnte cnétqe qntté e oveent sstèe térel contn est onnée pr l grner vectorelle : ; σ - e oent cnétqe sstèe térel contn en n pont qelconqe e l espce est onné pr le oent e l qntté e oveent en l por grner vectorelle : σ. Torser cnétqe ot n sole e sse et e centre nerte en oveent pr rpport à n repère fe. ot n pont e ce sole et e ponts et qelconqe e l espce s conns ns le repère. r éfnton nos vons les oents cnétqes en et q sont onnés pr : σ et σ σ σ σ cette relton est ppelée lo e vrton oent cnétqe n constte qe le oent cnétqe oét à l lo es trnsports es oents. Nos povons lors constrre n torser cnétqe ont les éléents e récton sont : l résltnte cnétqe et le oent cnétqe. σ [ ] σ : résltnte cnétqe o qntté e oveent sstèe σ : oent cnétqe pont sstèe ns le repère. 9

288 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD.. Epresson e l résltnte cnétqe n sstèe térel ot n sole e sse et e centre nerte en oveent pr rpport à n repère orthonoré fe. Qel qe sot nos vons pr éfnton centre nerte : es ponts et sont oles ns le repère nos povons écrre : et lers vtesses sont lées pr l relton : En érvnt cette epresson pr rpport teps sos le sgne ntégrle on otent : ce q onne : résltnte torser cnétqe est l qntté e oveent centre e l sse ffectée e l sse totle sstèe :.. roprétés oent cnétqe... Théorèe e Koëng ot n repère orthonoré fe. e référentel e Koëng ppelé ss référentel rcentrqe est le référentel lé centre nerte sole ont les es sont prllèles à ce repère fe. 9

289 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD vtesse repère pr rpport repère est nl : Nos llons chercher ne relton entre : - le oent cnétqe sstèe en ns son oveent pr rpport à - le oent cnétqe sstèe en ns son oveent pr rpport à. et o ot n pont sstèe térel : vtesse ns le repère est onnée pr : on oent cnétqe pont ns s écrr : σ on oent cnétqe pont ns s écrr : Nos vons lors : σ σ or nos vons pr éfnton centre nerte : on otent fnleent : σ σ σ σ e oent cnétqe en centre nerte sstèe est le êe q l sot présenté ns le repère o ns le repère. En n pont qelconqe e l espce nos rons pr l forle e trnsport : σ σ Nos vons ns le théorèe e Koëng por le oent cnétqe. 94

290 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD.. oent cnétqe n sole néforle lé à n repère en oveent qelconqe pr rpport à n repère fe. ot n pont sole s vtesse est onnée pr l cnétqe sole elle por epresson : e oent cnétqe pont est onné pr : σ o o En replçnt l epresson e l vtesse ns celle oent cnétqe nos otenons : σ σ σ σ vec : σ et σ Epresson e σ : σ σ 95

291 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 96.KD oe est le centre nerte sole nos vons lors : où : σ Epresson e : σ σ fn e évelopper cette epresson nos tlsons les cooronnées pont ns le repère et les coposntes vecter vtesse e rotton ns le repère. ; σ cette epresson pet s écrre sos l fore : σ [ ] o σ

292 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD on ott à l epresson fnle : σ σ σ q s écrr : σ [ ] o s prtclers : - le repère est fe pr rpport à lors [ ] σ o - le pont est confon vec le centre lors [ ] σ.4. Théorèe e Koëng por n sstèe térel os l fore générlsée nos vons : σ σ vec σ σ Nos povons ns écrre l relton sos l fore : [ ] σ : est le oent nerte sstèe en son centre nerte. 4. Torser nqe 4.. Défnton ot n pont sstèe térel en oveent pr rpport à n repère fe. ccélérton pont est onnée pr : γ - n ppelle résltnte nqe o qntté ccélérton pont : D γ o D γ - n ppelle oent nqe le oent e l résltnte nqe oent e l qntté ccélérton pr rpport à n pont repère : δ γ où δ γ 97

293 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD n constrt le torser nqe vec ces e grners coe éléents e récton e ce torser. e torser nqe en n pont repère s epre sos l fore : [ D] D γ δ γ où [ D] D δ γ γ e sstèe été n est ps nécessreent néforle coe por le torser cnétqe. e oent nqe oét ss e l êe nère à l forle e trnsport es oents. es oents nqes en e ponts qelconqes et sont lés pr : δ δ D 4.. lcl e l résltnte nqe ot le centre nerte sstèe ns le repère l résltnte nqe s écrt : D γ γ l sse sstèe est constnte l résltnte nqe est égle prot e l sse pr l ccélérton e son centre nerte. D γ résltnte torser nqe est égle à l qntté ccélérton centre nerte sstèe ffectée e l sse totle. 4.. Théorèe e Koëng reltf oent nqe ot n repère orthonoré fe. e référentel e Koëng ppelé ss référentel rcentrqe est le référentel lé centre nerte sole ont les es sont prllèles à ce repère fe. vtesse repère pr rpport repère est nl : 98

294 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Nos llons chercher ne relton entre : - le oent nqe sstèe en ns son oveent pr rpport à et - le oent nqe sstèe en ns son oveent pr rpport à. o ot n pont sstèe térel: on ccélérton ns le repère est onnée pr : γ γ γ on oent nqe pont ns s écrr : on oent nqe pont ns s écrr : γ δ γ δ lors : γ γ γ γ δ γ γ δ or nos vons pr éfnton centre nerte : on otent fnleent : δ δ δ δ e oent nqe en centre nerte sstèe est le êe q l sot présenté ns le repère o ns le repère. En n pont qelconqe e l espce nos rons pr l forle e trnsport : σ σ Nos vons ns le théorèe e Koëng por le oent nqe. 99

295 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 4.4. elton entre torser cnétqe et torser nqe ot n pont qelconqe repère ps nécessreent n pont sstèe térel et n pont sstèe térel. Nos vons le oent cnétqe pont q est onné pr : σ Dérvons cette epresson : σ σ or nos vons : σ δ δ σ δ on otent ns l relton fnle entre le oent cnétqe et le oent nqe σ δ ette relton ne ot en cn cs être confone vec l forle e trnsport s prtclers Dns certns cs prtclers l érvée torser cnétqe est égle torser nqe : σ δ est fe ns : est confon vec Dns ces tros cs prtclers seleent nos povons écrre : vec et [ ] [ D] D D δ σ

296 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 5. Energe cnétqe 5.. Défnton énerge cnétqe n sstèe térel contn en oveent pr rpport à n repère fe est éfne pr l qntté sclre eprée pr l relton : 5.. Théorèe e Koëng reltf à l énerge cnétqe E ot n repère orthonoré fe. e référentel e Koëng ppelé ss référentel rcentrqe est le référentel lé centre nerte sole ont les es sont prllèles à ce repère fe. vtesse repère pr rpport repère est nl : Nos llons chercher ne relton entre : - énerge cnétqe sstèe ns son oveent pr rpport à - énerge cnétqe sstèe ns son oveent pr rpport à et o. ot n pont sstèe térel. lo e coposton es vtesses onne : en replçnt cette epresson ns celle e l énerge cnétqe nos rons : E or nos vons : ns le repère E nos vons ss pr éfnton centre nerte qe :

297 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD epresson e l énerge cnétqe event : E q s écrt ss sos l fore réte : E E énerge cnétqe sstèe en oveent qelconqe pr rpport repère est égle à l énerge cnétqe sstèe ns son oveent tor e son centre nerte gentée e l énerge cnétqe centre nerte ffecté e l sse totle sstèe. ette relton constte le théorèe e Koëng por l énerge cnétqe. 5. ole néforle en oveent qelconqe ot n repère orthonoré fe et n repère lé à n sole néforle et e centre e nerte. e sole est en oveent qelconqe tel qe. vtesse e rotton repère pr rpport repère est : ot n pont qelconqe sole nos vons pr l cnétqe sole : énerge cnétqe sole est onnée pr : E E epresson oent cnétqe éjà éveloppée prvnt est onnée pr : σ

298 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Nos vons lors l énerge cnétqe en foncton oent cnétqe sole: E σ le centre repère est confon vec le centre nerte sole : lors : E σ e oent cnétqe en s écrt : on ott à l relton fnle : σ T E : est l énerge cnétqe e trnslton sole T : est l énerge cnétqe e rotton sole tor e son centre nerte. énerge cnétqe totle n sole en oveent qelconqe ns l espce est égle à l soe e l énerge cnétqe e trnslton e son centre nerte ffectée e l sse sole et e l énerge cnétqe e rotton tor centre nerte. ette relton constte le théorèe e Koëng por l énerge cnétqe. énerge cnétqe totle pet s eprer en foncton es torsers cnétqes et cnétqe pont en l ettnt sos l fore : E σ énerge cnétqe totle n sole est égle à l oté prot sclre torser cnétqe pr le torser cnétqe pont epré ns le repère. [ ] [ ] E

299 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 5.4. ole néforle en oveent e rotton pr Dns le cs où le sole est en oveent e rotton pr tor n e Δ pssnt pr n pont sole et e vecter ntre tel qe : Δ vec.e oent nerte pr rpport à cet e est onné pr : T Δ... Δ énerge cnétqe e rotton pre est onnée pr : E T T T Δ 5.5. Energe cnétqe n ensele e soles énerge cnétqe n ensele e soles constté es soles n ns n repère est égle à l soe es énerges cnétqes e chqe sole eprée ns le êe repère. E E 4

300 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD EXEE ET UTN Eercce : Une rre hoogène e longer e centre est en oveent ns n repère orthonoré fe. n éfn e repères et tel qe : repère ole tel qe : et ; lé à l rre tel qe : et ; n prenr coe repère e projecton et coe repère reltf. Déterner :. vtesse e rotton nstntnée repère pr rpport à ;. vtesse et l ccélérton γ pr érvton ;. vtesse et l ccélérton γ pr coposton e oveent ; σ 4. e oent cnétqe pont epré ns ; δ 5. e oent nqe pont epré ns ; 6. énerge cnétqe e l rre. 6

301 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 7.KD olton :. tesse e rotton nstntnée repère pr rpport à ; cr :. tesse et l ccélérton pr érvton ; γ.. tesse Nos vons : sn sn sn sn sn.. ccélérton γ γ sn sn sn sn γ sn sn sn

302 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 8.KD. tesse et ccélérton pr coposton e oveent ; γ.. tesse vec : sn sn sn sn sn.. ccélérton c γ γ γ γ sn sn γ γ γ vec : et γ sn sn γ c sn sn γ

303 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 9.KD vec : soe e tos les teres onne : sn sn sn γ γ sn sn sn 4. oent cnétqe pont epré ns ; σ e oent cnétqe pont ns le repère est onné pr : - σ et σ sn sn σ 4 sn sn

304 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 5. oent nqe pont epré ns ; δ l est éterné à prtr oent cnétqe pr l relton : σ σ σ δ σ sn 4 sn sn sn 4 4 sn σ on ét : δ sn sn 4 4 sn sn 6. Energe cnétqe e l rre. énerge cnétqe totle por epresson :.. E sn E

305 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD E 6 6 E Eercce : n consère le sstèe térel svnt Σ copsé es soles svnts: : est n colsse e sse e centre e sse lé repère en oveent e trnslton rectlgne pr rppport à n repère fe svnt l e. : est ne rre nfore e longer e sse e centre e sse lé à : est n sqe hoogène e ron e sse e centre e sse lé à n onne les tensers nerte : ;. Déterner les vtesses et les ccélértons es ponts vec. lcler les oents cnétqes σ es en vec ;. lcler les oents nqes δ es en vec ; 4. En ére le oent nqe sstèe pont : Σ epré ns ; 5. lcler l énerge cnétqe sstèe E c Σ pr rpport à. δ β

306 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD olton : repère fe ; et ss repère e projecton : et : et : et β ; ; ; sn sn. tesses et ccélértons soles es ponts vec.. tesses pr érvton: sn ; sn.. ccélérton pr érvton: γ sn γ sn sn γ sn

307 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD. oents cnétqes es en vec σ ; es oents cnétqes es tros soles en lers centres nerte sont onnés pr : σ σ β β β σ. oents nqes es en vec δ ; es oents nqes se ésent pr l érvée es oents cnétqes : σ δ σ δ β σ δ 4. oent nqe sstèe pont : epré ns ; δ e oent nqe sstèe pont est égl à l soe es oents nqes es tros soles êe pont. δ δ δ δ σ σ σ δ σ

308 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 4.KD lclons or les oents cnétqes es soles et en en tlsnt l forle e trnsport : σ σ sn sn sn σ σ σ σ 4 sn β β σ 4 β σ es oents nqes se ésent fcleent pr érvton es e epressons: sn σ sn 8 4 β σ sn 4 4 β e oent nqe sstèe est l soe es e epressons : sn 4 4 sn β δ sn 4 sn β δ

309 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 5.KD 5. Energe cnétqe sstèe E c Σ pr rpport à. E E E E sn 4.. E T.. E T 4.. β E T 4 sn 4 β E

310 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce : e sstèe écnqe représenté c-essos est coposé e e soles. : ne rre e longer e sse néglgele ntene à ses e etrétés pr es lsons : sphérqes et clnrqe en e. e sqe n ron et ne sse. rre lé repère est en rotton ns le pln vertcl à ne vtesse nglre pr rpport repère fe tor e l e. e sqe lé repère torne tor e l e à ne vtesse e rotton. e tenser nerte sqe pont ns est onné pr : n prenr coe repère e projecton. Déterner :. vtesse e rotton nstntnée sqe pr rpport repère fe ;. vtesse et l ccélérton pont pr l cnétqe sole ;. e oent cnétqe et le oent nqe ponts et pr rpport à ; 4. énerge cnétqe sstèe 5. pplqer le théorèe e l résltnte nqe sstèe 6. pplqer le théorèe oent nqe sstèe pont. 6

311 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 7.KD olton :. ecter rotton nstntnée sqe pr rpport à et epré ns. tesse et ccélérton soles pont ns pr l cnétqe sole ; coe et lors : γ γ on : γ. oent cnétqe et oent nqe ponts et pr rpport à.. oent cnétqe et oent nqe en σ. σ σ σ δ

312 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 8.KD.. oent cnétqe et oent nqe en. σ or σ σ σ σ δ δ 4. énerge cnétqe sstèe.. E T E 5. Théorèe e l résltnte nqe sstèe soe es forces pplqées sstèe est égle à l sse sstèe pr l ccélérton e son centre nerte. F et γ ; vec : γ

313 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD g γ g g sn 6. Théorèe oent nqe sstèe pont e oent es forces etéreres est égl oent nqe êe pont. et F δ g δ g g sn te gsn gsn sn g Eercce : 4 ot n repère orthonoré fe lé t ne éolenne constté ne groette et ne hélce. groette lé repère ne lson pvot vec le t fe e nère à torner ns le pln horontl tor e l e et où : est ne constnte postve. vec 9

314 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD hélce est lé repère et nt n ron torne tor e l e tel qe : β. groette n oent nerte pr rpport à l e q est égl à : e tenser nerte e hélce e sse et e centre nerte ns le repère est onné pr : Un lor représenté pr ne sse ponctelle stée à l etrété e l hélce pont sr l e. Déterner :. e oent cnétqe e l groette ns son oveent pr rpport à l e ; σ. e oent cnétqe e l hélce pont epré ns le repère ;. e oent nqe e l hélce pr rpport à l e : δ epré ns le repère ; 4. e oent cnétqe lor pr rpport repère et epré ns le repère ; 5. énerge cnétqe totle sstèe pr rpport repère. β

315 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD olton : repère fe lé ât ; tel qe : ; et tel qe : ; et β β β Nos vons ss : ; ;. oent cnétqe e l groette pr rpport à l e : σ. σ σ. oent cnétqe e l hélce pont epré ns le repère ; σ e oent cnétqe e l hélce en est onné pr l relton : σ σ β β. σ r nos vons : β vec : sn β β D où : β β β β β β sn sn

316 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD β β β β β sn sn β β β β β σ sn sn. sn sn β β β β β σ sn β β β σ. oent nqe e l hélce pr rpport à l e : ns δ e oent nqe est ét à prtr oent cnétqe pr : σ δ σ δ. σ σ σ σ cr : ce q onne : σ δ sn β β β σ sn β β β δ

317 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD or nos vons : ; β β π sn ; β β β δ sn sn β β δ 4. oent cnétqe lor pr rpport à et epré ns ; e lor est ne sse ponctelle son oent cnétqe est onné pr : σ vec : β β β β β β β sn sn sn β β β β β β β β β β σ sn sn sn sn sn sn β β β β β β σ sn β β β β β σ 5. Energe cnétqe totle sstèe pr rpport repère. énerge cnétqe sstèe est égle à l soe es énerges cnétqes e chqe sole pr rpport êe repère. E E E E

318 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 4.KD Energe cnétqe e l groette : E Energe cnétqe e l hélce : [ ] [ e cnéttq Torser cnétqe Torser E ] E σ σ or nos vons : β β β β β β σ sn sn E β β β sn E sn β β β E Energe cnétqe lor : E or l vtesse est clclée précéeent nos rons : E β β β β sn sn E β β β β β β sn sn E sn β β β β soe es tros teres onne l énerge cnétqe totle sstèe :

319 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD E E β sn sn β β β β β [ sn β β sn β ] β β β β Eercce 5 : Un sstèe e ventlton totsé est coposé e e rres entqes et hoogènes soées entre elles pont et ne hélce e ron et e sse. : e sse ; : e sse ; : Hélce vec: N e sse. e sstèe est en oveent coe le ontre l fgre. e tenser nerte en e l hélce ns est onné pr : e repère est en rotton pr rpport à tor e l e sens postf. e repère e centre est tel qe. e repère est en rotton pr rpport à tor e l e sens négtf. : est le repère e projecton ; n consère qe : te et te Déterner : e centre nerte sstèe ns le repère ; e tenser nerte sstèe pont ns le repère ; trce e pssge e vers et e vers ; 4 vtesse e rotton nstntnée repère pr rpport à ; 5 vtesse et l ccélérton soles pont pr érvton ; 6 vtesse et l ccélérton soles pont pr l cnétqe sole ; 7 vtesse et l ccélérton soles pont N pr coposton e oveent étnt le repère reltf ; 8 e oent cnétqe sole pont ns le repère ; 9 e oent nqe sole pont ns le repère ; énerge cnétqe sstèe 5

320 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 6.KD N N olton : entre nerte sstèe : ; ;.. Tenser nerte sstèe: et ; Hgens stèe

321 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 7.KD trces e pssge : sn sn et sn sn 4 tesse e rotton nstntnée repère pr rpport repère 5 et pr érvton γ ; ; vec γ ; vec 6 et pr l cnétqe sole γ vec : sn

322 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 8.KD sn sn γ γ γ : éjà clclée vec sont constntes et sn sn sn sn sn sn où : sn sn γ

323 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 9.KD 7 et pr coposton e oveent N N γ N N N vec sn N N sn N N sn N N sn N N N N N c γ γ γ γ sn γ N N γ γ sn N N N sn γ N

324 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD sn γ N N c sn sn γ N 8 oent cnétqe sole pont σ σ σ 9 oent nqe sole pont σ δ or lors : σ σ σ δ vec σ cr : sont constntes δ

325 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 9 Energe cnétqe sstèe pont sole : ; et E c ns sole : 6 E c sole : E c E c Energe cnétqe sstèe : E c E c E c E c Totle E c

326 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce 6 : n consère ns le repère orthonoré e rres hoogènes lé repère et lé repère es rres ont ne longer e sse rtclées pont. pont est rtclée n sole q est ne sse colssnte svnt l e. ot et les centres nerte respectfs es e rres. n prenr coe repère e projecton. es tensers nerte es e rres en lers centres nerte respectfs sont onnés pr : ; vec : le sstèe écnqe constté e lcler en foncton e et :. es vtesses et les ccélértons soles es ponts :.. e torser cnétqe sstèe pont ;. e torser nqe sstèe pont ; 4. énerge cnétqe sstèe. olton :. tesses et ccélértons pr érvton :.. tesses Nos vons : π sn et sn sn sn sn sn sn

327 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD sn.. ccélértons es ponts pr érvton : sn sn γ s s sn sn γ sn γ. Torser cnétqe sstèe pont ; e torser cnétqe por éléents e récton : - l résltnte q est égle à l soe es qnttés e oveent e chqe sole ; sn - le oent cnétqe totl q est égl à l soe es oents cnétqes es soles. σ σ σ σ oent cnétqe sole :. σ

328 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD sn sn σ σ 4 4 oent cnétqe sole :. σ sn sn σ σ 4 4 or nos vons : π lors en érvnt nos vons : en on otent : σ c oent cnétqe sole : cr σ oent cnétqe sstèe : σ

329 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 4.KD. Torser nqe sstèe pont es éléents torser nqe sont : - l résltnte nqe : D γ γ γ s D sn sn - le oent nqe sstèe : σ δ 4. Energe cnétqe sstèe. énerge cnétqe sstèe est égle à l soe es énerges cnétqe e chqe sole pr rpport êe repère. E E E E Energe cnétqe sole T E.. 6 E Energe cnétqe sole T E.. 9sn E 4 8sn 8 8sn 8 E sn 6 sn 6 E

330 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Energe cnétqe sole E sn Energe cnétqe sstèe : E E sn sn 6 6 sn sn Eercce 7 : ot ne plqe hoogène rectnglre e lrger e longer et e centre e sse. Elle est rotton à ne vtesse nglre fe tor e l n es ses pont ns le pln tel qe et. e pont se éplce sr l e tel qe : et e projecton. Déterner :. n prenr coe repère. vtesse e rotton nstntnée e l plqe pr rpport repère :. es vecters vtesse et ccélérton soles pont : et γ ;. e oent cnétqe e l plqe pont ; 4. e oent nqe e l plqe pont ; 5. énerge cnétqe e l plqe. n onne : 5

331 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 6.KD olton :. tesse e rotton nstntnée e l plqe pr rpport repère : vec te. tesse et ccélérton soles pont : et ; γ.. tesse sole pont : r l cnétqe sole nos povons écrre : Nos vons : sn sn sn sn.. ccélérton sole pont : r érvton nos povons écrre : γ sn sn γ. oent cnétqe e l plqe pont ;. σ sn sn σ

332 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 7.KD sn 9 σ 9 σ 4. oent nqe e l plqe pont ; σ δ σ σ σ σ cr sn 9 σ sn sn on ét : 9 δ. Energe cnétqe e l plqe T E.. sn E 9 E

333 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce 8 : ot n sstèe constté ne tge fletée lé repère. tge e sse néglgele torne tor e l e vec ne vtesse e rotton te. Un clnre e sse e hter h et e centre nerte lé repère s enrole tor e cette tge et l e oveents: - n e trnslton e son centre nerte lé repère svnt l e e l tge vec ne vtesse lnére t ; - tre e rotton tor e l e vec ne vtesse e rotton te et tel qe n prenr coe repère reltf et repère ss e projecton. Déterner :. e tenser nerte clnre pont pr rpport repères et ;. vtesse e rotton nstntnée clnre pr rpport repère ;. vtesse et l ccélérton pont pr coposton e oveent ; 4. es torsers cnétqe et nqe pont pr rpport repère ; 5. énerge cnétqe sstèe. t h 8

334 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD olton :. Tenser nerte clnre pont pr rpport repères et ; e tenser nerte clnre ns le repère est onné pr : h 4 h 4 où ; h 4. tesse e rotton nstntnée clnre pr rpport repère ; e repère est en trnslton pr rpport repère lors :. tesse et l ccélérton pont pr coposton e oveent :.. tesse : Nos vons : ; sn vtesse sole est égle à l vtesse reltve pls l vtesse entrîneent. sn et 9

335 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 4.KD sn sn En fsnt l soe es teres on otent : sn sn.. ccélérton : epresson e l ccélérton sole pr coposton e oveent s écrt : γ γ γ γ γ sn γ γ ; vec : γ sn sn

336 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 4.KD sn γ sn sn γ γ sn sn 4. Torsers cnétqe et nqe pont pr rpport repère ; 4.. Torser cnétqe es e éléents e récton torser cnétqe sont : - l résltnte cnétqe : ; - le oent cnétqe :. σ σ h σ 4

337 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 4.KD 4.. Torser nqe es e éléents e récton torser nqe sont : - l résltnte nqe : ; D γ - le oent nqe : : σ δ or où : σ σ σ δ h δ 4 δ 5. Energe cnétqe sstèe... E 4 h E

338 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce 9 : Une chne e ponçge es sols est coposée n rs e sse néglgele tel qe et n sqe e ron et e sse. e rs est en oveent e rotton pr rpport ât fe vec ne vtesse e rotton te. e sqe torne tor rs vec ne vtesse e rotton te n prenr coe repère e projecton. Déterner :. tesse e rotton nstntnée sqe. tesse et ccélérton soles pont. e torser cnétqe sqe en ; 4. e torser nqe sqe en ; 5. énerge cnétqe sstèe. olton :. tesse e rotton nstntnée sqe pr rpport repère : où te. tesse et ccélérton pont :.. tesse : Nos vons : ; 4

339 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 44.KD.. ccélérton: γ vec γ. e torser cnétqe sqe pont : es e éléents e récton torser cnétqe sont : - l résltnte cnétqe : - le oent cnétqe :. σ 4 4 σ σ 4. e torser nqe sqe ponts : es e éléents e récton torser nqe sont : - l résltnte cnétqe : ; D γ - le oent nqe : σ σ σ δ

340 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 45.KD σ σ δ 5. Energe cnétqe sstèe... E 4 4 E E

341 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce : e sstèe écnqe représenté c essos est constté e s soles. - : est n ât fe lé repère - 5 : sont es rres e sses néglgeles relées entres elles pr es lsons rotoïes prftes nt lers es perpenclre pln foré pr les rres ; et : ont l êe longer - 4 : est n volnt e sse e centre nerte le e relé à pr ne lson rotoïe prfte e. e tenser nerte sole 4 en son centre nerte ns les repères et est 4 onné pr : : est lé repère : est lé repère : est lé repère : est lé repère n pplqe n oent sr le sole à l e n oter électrqe. e pont se éplce sr l e svnt le êe e. Déterner : et l sole 5 n oveent e trnslton. vtesse sole ns et ontrer qe : K K ;. énerge cnétqe sstèe ;. pssnce es efforts schnt qe: et ; 5 4. e oent cnétqe sstèe en ns le repère ; 5. e oent nqe sstèe en ns le repère ; n onne les fgres plnes svntes : 46

342 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD olton : lé ât fe ; lé à tel qe : ; lé à tel qe : ; lé à tel qe : ; et π lé à tel qe : ; e pont est en trnslton sr l e. tesse ns 4 ; eprons les vecters et ns le repère : π π Nos vons : et π e q onne : sn et sn prtr es fgres plnes on pet écrre : et ns le repère. sn ps on eplcte 47

343 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 48.KD sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn Nos vons ns : sn sn sn 4 sn 4 ; vec et coe : π sn sn où : sn 4 sn 4 sn sn sn 8 sn 4 sn sn 4 sn 4 sn sn 4 sn 8 sn sn 4 sn sn sn sn K K

344 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 49.KD. Energe cnétqe sstèe ; E T sn sn K K E sn K K E sn K K E. ssnce es efforts etérers schnt qe: et 5 ; es lsons sont sns frotteent : Nos vons : vec 4 sn sn sn sn sn sn 4. oent cnétqe sstèe en ns le repère ; σ sn sn. 4

345 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 5.KD 5. oent nqe sstèe en ns le repère ; σ σ σ δ δ sn sn sn sn δ sn sn sn sn δ sn sn sn sn Eercce : e sstèe écnqe représenté c essos est constté e qtre soles. - : est n ât fe lé repère - : est n cre relé ât fe pr ne lson sphérqe prfte pont. l est lé repère et en oveent e rotton tor e tel qe : et te - : est ne tge nce et hoogène e sse e longer lée cre pr e lsons rotoïes e - : est ne plqe hoogène rectnglre e sse e ensons soée à l tge en son centre nerte tel qe et perpenclre à l tge. l plqe est née n oveent e rotton tor e l e à ne vtesse e rotton. n onne :. te

346 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD e tenser nerte e l plqe en son centre nerte ns le repère est onné pr : vec Déterner :. e vecter rotton nstntné repère pr rpport à et epré ns ;. vtesse pont pr rpport à et epré ns ;. ccélérton pont pr rpport à et epré ns ; 4. vtesse pont N pr rpport à et epré ns schnt qe : t β t ; 5. e oent cnétqe e l tge pont pr rpport à et epré ns ; 6. e oent cnétqe e l plqe pont pr rpport à et epré ns ; 7. énerge cnétqe sstèe. N olton :. ecter rotton nstntné repère pr rpport à et epré ns ; lé ât fe ; lé à tel qe : ; lé à tel qe : ; lé à tel qe : ; 5

347 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD ; Nos vons : vec : sn sn sn. tesse pont pr rpport à et epré ns ; sn ; et sn sn sn sn. ccélérton pont pr rpport à et epré ns ; ; cr 5

348 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 5.KD ccélérton se ét pr érvton : γ vec : cr te où : γ 4. tesse ns schnt qe : N t t β Nos vons pr l cnétqe sole : N N N sn t t t t N sn sn β β 5. oent cnétqe e l tge pont pr rpport à et epré ns ;. σ σ σ cr : et. σ 6. oent cnétqe e l plqe pont pr rpport à et epré ns ;. σ

349 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 54.KD σ σ 8. Energe cnétqe sstèe. E E stèe E T E.. 6. E T E.. E 6 9 E stèe E stèe E

350 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD HTE X THEEE FNDENTUX DE DYNQUE 54

351 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD THEEE FNDENTUX DE DYNQUE. jectf e l nqe nqe peret nlser les lens estnt entre les oveents éjà écrts pr l cnétqe et les forces où ctons q lers ont onné nssnce. Elle peret ener le concept e force et ne nère glole le concept efforts eercés sr n sstèe térel qelconqe. or totes ces rsons nos soes enés à ntrore l noton e torser es efforts etérers nécessre à l écrtre prncpe fonentl e l nqe.. Notons e référentels prtr prncpe e l cton et e l récton et prncpe fonentl e l nqe nos povons étlr les théorèes génér e l nqe ns n référentel lléen o non lléen. En effet n référentel est lléen o sol s les los e Newton eprées ns celc sont vlles. Tot repère en oveent e trnslton nfore pr rpport à n repère lléen est l ss lléen cr les ccélértons consttées à prtr n êe pont seront les êe ns les e repères.. Epresson e l lo fonentle e l nqe ot n sstèe térel non solé et sos à es nterctons ns n repère lléen. or ce sstèe térel on stnge e tpes ctons : - es ctons écnqes ntéreres résltnt es ctons ne prte e sr ne tre prte e ; ces ctons sont ppelées forces ntéreres et notées : F ; - es ctons écnqes etéreres résltnt es ctons reste e l nvers le le etérer sr ces ctons sont ppelées forces etéreres et notées : F e. l ft chosr convenleent les conons ltes sstèe por povor clsser les ctons forces ntéreres et etéreres. 55

352 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD En n pont qelconqe sstèe l relton fonentle e l nqe s écrt : F Fe γ : éléent e sse vosnge pont ; γ : ccélérton pont. F e F En sont sr l ensele sstèe térel nos vons : F F γ e o En n pont qelconqe e l espce les oents e ces forces sont onnés pr : F F γ Nos spposons qe le sstèe térel n échnge ps e tère vec tres sstèes et qe s sse totle est constnte. es ctons écnqes etéreres q s eercent sr sont représentées pr n torser [ τ Fet ] : ppelé torser es forces etéreres ont les éléents e récton pont e sont : [ τ ] Fet F et et F : est l résltnte es forces etéreres s eerçnt sr le sstèe et et : est le oent pont es forces etéreres s eerçnt sr le sstèe. e prncpe fonentl e l nqe ontre qe ns tot référentel lléen le torser nqe [ D] sstèe est égl torser es forces etéreres [ τ ] clclé êe pont. es éléents e récton torser nqe [ D sstèe ns le repère lléen ] Fet sont : [ D] D δ δ D : l résltnte nqe ; : le oent nqe pont. 56

353 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD églté es e torsers nt l églté e lers éléents e récton. e prncpe éqvt à l générlston es los e Newton. es éléents es e torsers pevent être clclés sépréent et enste fre l églté es epressons otenes. e pont pr rpport qel on clcl les oents est n pont qelconqe l ft fre n cho jce por fclter l écrtre es éqtons. ovent ns les prolèes e écnqe on chos le centre e sse sstèe cr le oent nerte ntervennt ns les clcls est pls fcle à éterner... Théorèe e l résltnte nqe ot n sstèe térel en oveent ns n repère lléen et sos à es ctons etéreres. résltnte nqe sstèe térel est égle à l résltnte es ctons forces écnqes etéreres. D γ Fet : est le centre e sse sstèe. résltnte es forces etéreres est égle à l sse sstèe pr l ccélérton e son centre nerte... Théorèe oent nqe ot n sstèe térel en oveent ns n repère lléen et sos à es ctons etéreres. e oent nqe sstèe térel en n pont qelconqe est égle oent es ctons forces écnqes etéreres êe pont. δ centre nerte sstèe cette églté s écrrt : δ σ oe nos l vons éjà ontré précéeent le oent cnétqe pont centre nerte sstèe est népennt repère ns leqel l est esré lors l est sovent pls sple effecter le clcl es oents nqes centre nerte es sstèes. 57

354 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD erqe : e oent nqe n sstèe coposé est égl à l soe es oents nqes es éléents q le copose pr rpport êe pont... Eqtons sclres étes prncpe fonentl es éqtons vectorelles e l résltnte et oent nqe consent chcne à tros éqtons sclres sot por les e à s éqtons sclres por n sstèe térel onné. e cho repère por eplcter l éqton e l résltnte nqe est le cho pont où ser clclé le oent nqe ovent être jce e nère à splfer l écrtre thétqe es éqtons sclres. es éqtons sclres sont es éqtons fférentelles e secon orre et en générle non lnéres. Elles contennent les crctérstqes nerte et les onnées géoétrqes sstèe ns qe les coposntes ctons écnqes pplqées sstèe. 4. rncpe e l cton et e l récton De ponts et qelconqe n sstèe térel sont en ntercton ls s nflencent telleent pr les ctons et les réctons e l n sr l tre. F : cton e sr F F F : cton e sr es e ctons s éqlrent le prncpe e l cton et e l récton se trt pr l éqton : F F ette epresson sgnfe qe les ctons sont portées pr l rote q jont les e ponts et on pet écrre lors : λ F et λ F F F λ λ λ 58

355 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 4.. Théorèe e l cton et e l récton oent e sstèes térels et en oveent ns n référentel lléen. ppelons le sstèe constté e l rénon es e sstèes : e torser es forces etéreres s eerçnt sr se écopose en : - [] τ Fet : résltnt es ctons le etérer sr ; - [] τ : résltnt es ctons e sr ; e torser es forces etéreres s eerçnt sr se écopose en : - [] τ Fet : résltnt es ctons le etérer sr ; - [] τ : résltnt es ctons e sr ; pplqons le prncpe fonentl e l nqe ns le repère lléen fférents sstèes : D τ Fet τ - à : [ ] [ ] [ ] D τ Fet τ - à : [ ] [] [] D τ τ - à : [ ] [ ] Fet [ ] Fet chnt qe : [ D ] [ D] [ D] en les replçnt pr lers epressons on otent : F n F F F [] τ Fet [] τ Fet [] τ Fet [] τ [] τ Fet [ τ ] [ τ ] [ τ ] [ τ ] [ τ ] ette epresson trt le théorèe e l cton et e l récton. or le sstèe térel l relton : [] [] τ τ crctérse les ctons ntéreres. D ne nère générle lorsq l est possle e crctérser totes les ctons écnqes ntéreres à n sstèe térel pr n torser [ τ ] F nt cel-c est tojors nl. [ τ ] F nt 4.. roprétés es forces ntéreres e torser es forces ntéreres coe éléents e récton : [ τ ] F nt nt nt n nt F j F j cton récton j F j F 59

356 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD e oent es forces ntéreres en n pont qelconqe e l espce est onné pr : nt Fj j F j Fj j F Fj F j j F j j cr F j Fj et j F j e torser es forces ntéreres est tojors n torser nl : [ τ ] F nt 5. rncpe fonentl e l nqe ns n référentel non lléen ot n repère lléen et n sstèe térel lé à n repère en oveent qelconqe s éterné et conn pr rpport à. pplcton théorèe fonentl sstèe térel ns son oveent pr rpport repère lléen se trt pr l églté torser nqe sstèe et torser es forces etéreres en n pont qelconqe et s écrt : [ D] [ D] [ τ ] Fet D δ γ γ Nos vons v précéeent en cnétqe sole qe l lo e coposton es vecters ccélértons s écrt : γ γ γ os fore réte cette epresson s écrt : γ γ γ γ γ : ccélérton sole pont ; γ : ccélérton reltve pont ; 6

357 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD γ : ccélérton entrîneent pont ; γ : ccélérton e orols o copléentre pont. es tros ccélértons onnent nssnce à es résltntes nqes et à es oents nqes en n pont qelconqe e l espce nos rons ns les tros torsers svnts: [ D] [ D] [ ] [ ] [ ] D e D c τ Fet - Torser nqe sstèe ns son oveent reltf pr rpport à : [ D] γ γ - Torser es forces nerte entrîneent sstèe [ D ] - Torser es forces e orols : [ D ] c e γ γ En replçnt les epressons es tros torsers nos ésons fcleent le torser nqe ns le repère non lléen : [ D] [ τ Fet ] [ D e ] [ D c ] ette epresson églté es torsers se trt pr e éqtons vectorelles : γ F et γ γ F et γ 6

358 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD es ctons nerte entrîneent et e orols sont es ctons térelles onc fctves q trsent l nflence oveent n repère non lléen pr rpport à n repère lléen. 6. Théorèe e l énerge cnétqe Dns e nore cs por éterner l éqton oveent n sole où n sstèe e sole l est pls jce tlser le théorèe e l énerge cnétqe fn otr à l solton prolèe écnqe. De pls l érvée e l énerge cnétqe est lée à l pssnce es efforts ntérers et etérers gssnt sr le sole. 6.. Trvl et pssnce ne force ot n sstèe scret coposé e n prtcles e sse oles ns n référentel lléen. ot le vecter poston ns le repère e l prtcle son vecter vtesse s écrrt : : le vecter éplceent éléentre rnt n teps F l prtcle est sose à ne force le trvl éléentre e cette force est égle à : W F pssnce qe reçot l prtcle est égl à : W F F l ft noter qe chqe tere F content les forces ntéreres et etéreres tel nt et F nt qe : F F F ; por l ensele sstèe nos rons : F nt W F F F F nt et F et F et 6

359 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 6.. Théorèe e l énerge cnétqe ensele es n prtcles e sse et e vtesse en oveent ns le référentel lléen por énerge cnétqe E n érvée e cette epresson pr rpport teps onne : E n or l force à lqelle est sose l prtcle est égle à : ns : E n F F on otent oe l force F content es forces orgnes ntéreres et etéreres cette relton pet s écrre : E nt nt : pssnce forne sstèe pr les forces ntéreres ; et : pssnce forne sstèe pr les forces etéreres. et pssnce es efforts ntérers et etérers est égle à l érvée pr rpport teps e l énerge cnétqe. En ntégrnt l epresson précéente entre e nstnts et t le théorèe e l énerge t cnétqe event : E t t E t nt et t E t E t W W nt et l vrton e l énerge cnétqe entre e nstnts et t est égle trvl e totes t les forces ntéreres et etéreres q s pplqent sr l ensele es prtcles. 6

360 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 6.. Energe cnétqe n sole néforle Dns le cs n sole néforle l énerge cnétqe est onnée pr : E ot n repère orthonoré fe et n repère lé sole néforle en oveent qelconqe tel qe. ot : l vtesse e rotton repère pr rpport repère et n pont qelconqe sole nos écrre pr l cnétqe sole : énerge cnétqe sole en oveent pr rpport à n repère fe por epresson : E γ E γ en tlsnt l règle e pertton ns le prot te l epresson event : E γ γ q pet s écrre ss sos l fore e prot e e torsers : E γ γ [ ] [ D] érvée e l énerge cnétqe est égle prot es torsers cnétqes et nqes elle est onc égle à l pssnce es qnttés ccélértons soles. n v précéeent près le théorèe fonentl e l nqe qe le torser nqe est égl torser es efforts etérers por n sole néforle où l epresson fnle : E et 64

361 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 6.4. onservton e l énerge totle e théorèe e l énerge cnétqe pet lors s écrre : E W et totes les forces etéreres érvent ne foncton potentelle U r népennte F et teps elles pevent s écrre sos l fore : gr U r et on ét : W et F e théorèe e l énerge cnétqe event : et et r U r E U r E U et fnleent : E U te E U E E : Energe totle ette epresson trt le théorèe e conservton e l énerge totle. 7. Dnqe es soles en contcts 7.. ctons e contct entre e soles : os e olo es los e colo ntrosent les notons e frotteent e glsseent entre les soles. oent e soles et lés repères et oles pr rpport à n repère fe. es e soles en oveent sont ssjetts à n contct ponctel à tot nstnt en n pont pprtennt pln tngent en ce pont e soles. n norle en pln N T g n T pont e contct es e soles nos povons stnger : : pont sole en contct vec le sole à l nstnt t ; : pont sole en contct vec le sole êe nstnt t ; : l poston cone e et êe nstnt t ; 65

362 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD e pont géoétrqe n pprtent n à n à. es ponts occpent géoétrqeent l êe poston s ls ont es rôles cnétqes fférents. vtesse e glsseent sole pr rpport sole pprtent pln tngent pont e contct elle est onnée pr l relton : g g e sole eerce ne cton sr le sole tel qe représenté sr l fgre c-esss et e êe por q eerce l êe cton sr s ns le sens opposé. es ctons pevent être représentées pr lers torsers respectfs en n pont qelconqe e l espce. cton e sr : [ ] ; cton e sr : [ T ] T récton se copose ne norle N pln tngent pont et ne coposnte tngentelle T stée ns le pln tel qe : N T es e coposntes stsfont los e colo éternées epérentleent. 7.. écton norle N récton norle N est tojors rgée vers les soles qel elle est pplqée c est ne force réplsve. Elle ne épen n e l ntre es srfces en contct n e l vtesse e glsseent entre les e soles. Elle sprît lorsq l n pls e contct entre les soles. 7.. écton tngentelle T De cs pevent se présenter : - ontct entre e soles vec glsseent - ontct entre e soles sns glsseent ontct vec glsseent Qn le sole glsse sr le sole l vtesse e glsseent n est ps nlle elle est onnée pr : g g récton tngentelle T est colnére à l vtesse e glsseent s e sens opposée. or ne vtesse e glsseent fée le ole e l récton tngentelle force e frotteent est proportonnel ole e l récton norle : T f N 66

363 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD f : est le coeffcent e frotteent e glsseent l épen e l ntre et e l étt es srfces en contct. e coeffcent sovent népennt e l vtesse e glsseent s epre ss pr l relton : f tg : est l ngle e frotteent. En rélté qn les soles glssent l n pr rpport à l tre on constte qe le coeffcent e frotteent ne légèreent. De là on stnge e coeffcents : f : coeffcent e frotteent sttqe por f : coeffcent e frotteent nqe por D g g le oveent se ft sns frotteent : f lors T lors l récton norle pln. D est ontct sns glsseent e sole ne glsse ps sr le sole tnt qe : T f N n pet constter géoétrqeent q l n ps e glsseent tnt qe l récton N T est stée à l ntérer cône e frotteent sttqe. N c oleent et voteent es los e olo pevent se générlser ctons e frotteents e roleent et e pvoteent. e roleent se ft le long e l e portnt l vtesse e glsseent et le pvoteent se ft tor e l norle pont e contct es e soles. e oent résstnt pvoteent pont est noté : p et le oent résstnt roleent pont est noté : r 67

364 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Dns le cs glsseent nos vons : p λ N et p r λ N r λ p et λ r : sont ppelés coeffcent e résstnce pvoteent et roleent. ls ont les êes ensons qe les longers et sont e vlers très fles evnt les coeffcents e frotteent sttqe et nqe Trvl es ctons e contct Nos vons ontré précéeent qe les ponts e contct ont respectveent es vtesses et onc es éplceents éléentres : et e trvl e l résltnte est onné pr : e trvl totl ser : W W W W g r nos svons qe N et qe T lors : g g W g N T g T g oe T et g sont e sens contrres lors le trvl es ctons e contct est tojors négtf : W T g e trvl pet être nl s : est ne énerge sspée sovent sos fore e chler - l n ps e frotteent T ; g - l n ps e glsseent 68

365 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD EXEE ET UTN Eercce : ot ne rre hoogène e longer e sse e centre ont l etrété repose sr n sol lsse et l etrété s ppe contre r vertcl prfteent lsse. ntleent l rre ft n ngle vec le r. es e etrétés glssent sns frotteent respectveent sr le sol et sr le r.. En tlsnt les théorèes e l résltnte nqe et oent nqe étlr les tros éqtons sclres oveent e l rre ;. En ére à prtr e ces éqtons l ccélérton nglre e l rre ; g. En ntégrnt l éqton e l ccélérton onter qe l on : ; 4. etrover l epresson e en tlsnt le théorèe e conservton e l énerge écnqe totle ; 5. Déterner en foncton e les réctons et ; 6. En ére l ngle por leqel l rre qtte le r. olton : r lsse ;ol lsse repère fe lé à l rre tel qe : et 7

366 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 7.KD. Eqtons sclres oveent e l rre ; Théorèe e l résltnte nqe : F γ γ sn sn sn sn γ rojetons l éqton sr les es et : sn sn g Théorèe oent nqe : e oent es forces etéreres est égl oent nqe sstèe. F et δ 4 vec σ δ lclons le oent cnétqe :. σ e tenser nerte e l rre ns le repère est onné pr : e oent cnétqe s écrr : σ sn sn 6 4 σ on ét le oent nqe pr :

367 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD σ δ 6 Nos vons ns : trt pr : cette éqton vectorelle se 6 sn sn 6 sn g sn 6 5. ccélérton nglre e l rre En replçnt et pr lers epressons ns l éqton 5 on ott à : sn sn g sn g sn 6 g g sn sn 6 g. onter qe l on : ; En ltple l éqton e l ccélérton nglre pr on otent : g sn en ntégrnt cette éqton on ott à : g 4. Epresson e en tlsnt le théorèe e conservton e l énerge : énerge totle à l nstnt ntle t est égle à l énerge cnétqe à n nstnt qelconqe t : E E E E E E à : t t g t t E E g à : t : énerge potentelle est égle à : E t g énerge cnétqe totle est onnée pr : E. t 7

368 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD vec : et E t En églsnt l énerge totle e nstnts nos otenons : g g 6 ce q onne : g g g 5. es réctons et en foncton e : g Nos vons : sn g et n replçnt les epressons e et ns celle e et on les epre en foncton e : et g g g sn sn g g sn g g 9 g 4 4 g g sn sn g g g sn sn sn s g sn sn 74

369 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 6. ngle por leqel l rre qtte le r orsqe le rre qtte le r l récton en ce pont ser nlle où : g sn sn sn rc cr por l rre est en poston vertcle onc l rre qtte le r por : rc Eercce : Une rre hoogène e sse est ttchée ntleent pr son etrété pr n fl netensle à n ât fe. tre etrété repose sr n sol prfteent lsse. ot l ngle nclnson ntl e l rre vec l e vertcl. n nstnt t qelconqe on cope le fl et l rre toe sns vtesse ntle. n consère qe le oveent se ft ns le pln. ot n repère lé à l rre tel qe. n onne et le tenser nerte e l rre en son centre nerte ns le repère s écrt : vec n prenr le repère fe coe repère e projecton.. Déterner les vecters poston vtesse ccélérton sole pont ;. pplqer le théorèe e l résltnte nqe pont ; En ére qe le centre e l rre reste en oveent vertcl lors e s chte ;. pplqer le théorèe oent nqe pont ; 4. En ére l epresson e l ccélérton nglre en foncton e et g. 75

370 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD olton : t repère fe et est tel qe :. ecters : poston vtesse et ccélérton sole pont ; sn ; γ sn ;. Théorèe e l résltnte nqe pont ; résltnte es forces etéreres pplqées à l rre est égle à l sse e l rre pr l ccélérton e son centre nerte. e sol est lsse lors l récton pont est svnt l e onc norle pln horontl. γ projecton e cette éqton vectorelle sr les es onne : sn rre toe sns vtesse ntle lors : oe te te lors le centre nerte e l rre toe vertcleent. 76

371 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD éqton s écrt : g sn. Théorèe oent nqe pont ; e oent es forces etéreres est égl oent nqe e l rre. Fet δ 4 sn Fet sn sn e oent nqe est égl à l érvée oent cnétqe pont : σ δ or nos vons : σ σ σ δ. En églsnt les e epressons on otent : 5 6 sn sn 4. Epresson e l ccélérton nglre en foncton e et g. En replçnt l epresson e écrvnt l chte e l rre : ns l éqton on ét l éqton fférentelle 77

372 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD g sn 6 sn sn g 6 sn où g sn sn Eercce : Un penle pesnt constté n sole hoogène e fore qelconqe e sse torne tor n pont fe l pprtennt. lson entre le sole et le ât est e tpe clnrqe. e penle est lé repère en oveent e rotton pr rpport à n repère fe lé ât tel qe : e tenser nerte penle en son centre nerte ns le repère est égle à : n onne vec te ; est le repère e projecton.. En tlsnt les théorèes e l résltnte nqe et oent nqe étlr l éqton fférentelle oveent ;. etrover l epresson e cette éqton en tlsnt le théorèe e conservton e l énerge écnqe totle ;. En ére l éqton fférentelle penle sple ns qe s péroe. olton : g repère fe est tel qe : 78

373 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 79.KD tesse et ccélérton pont : γ. Théorèe e l résltnte nqe et oent nqe pont ;.. Théorèe e l résltnte nqe pont ; résltnte es forces etéreres pplqées sole est égle à l sse sole pr l ccélérton e son centre nerte. rtclton pont est clnrqe l récton e coposntes ns le pln γ projecton e cette éqton vectorelle sr les es onne : g g sn.. Théorèe oent nqe pont ; e oent es forces etéreres est égl oent nqe e l rre. F et δ 4 F et e oent nqe est égl à l érvée oent cnétqe pont :

374 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD σ δ or nos vons : σ σ δ. σ nos vons ns :.c. Eqton fférentelle oveent 4 n replce l éqton 4 ns l éqton on otent : g sn gsn g sn. Eqton fférentelle en tlsnt le théorèe e conservton e l énerge totle ; énerge totle ns l poston est égle à l énerge totle ns l poston. : E E E T.. E g g. g g En érvnt les e teres on otent : g sn gsn g sn. Eqton fférentelle penle sple ns qe s péroe. Dns le cs n penle sple et s l e fles osclltons lors : sn g éqton event : g ω et π T π ω g 8

375 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce 4 : Une e sphère plene e centre e ron e sse e centre nerte est née n oveent pln pr rpport repère fe. Elle est en contct vec le sol lsse en et le r lsse pont. Elle glsse sns frotteent sr les e ponts. e tenser nerte e l e sphère plene en son centre ns le repère est onné pr : vec et 5. Déterner l vtesse et l ccélérton sole ponts ns et ;. Déterner les cooronnées centre nstntné e rotton e l e sphère ;. lcler les réctons N et N en foncton e et en tlsnt le théorèe e l résltnte nqe ; 4. En tlsnt le théorèe oent nqe trover l éqton fférentelle e oveent e l e sphère; 5. En ntégrnt l éqton e oveent et en prennt les conons : et g ontrer qe l on : sn ; 6. etrover l epresson e en tlsnt l conservton e l énerge écnqe totle ; 7. En ére les epressons es réctons et e l ngle lte l por leqel l e sphère plene qtte le ûr. olton :. tesse et ccélérton sole ponts ns et ; prtr vecter poston pont nos ésons l vtesse et l ccélérton : 8

376 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 8.KD Nos vons : sn sn Dns le repère : sn sn sn γ Dns le repère : γ. ooronnées centre nstntné e rotton e l e sphère ; Nos povons le éterner e e fçons : l ne grphqe et l tre nltqe. éthoe grphqe : es rectons es vtesses es e ponts et sole sont connes on trce les perpenclres à celles-c êe pont ler ntersecton est le centre nstntné e rotton. es e norles se rencontrent pont lors cel-c est confon vec le centre nstntné e rotton. éthoe nltqe : tesse centre nstntné e rotton est nlle : sot les cooronnés... ns le repère nos povons ss écrre : sn sn

377 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD sn sn n vot en qe le... est confon vec le centre e l e sphère.. éctons et en foncton e et pr le théorèe e l résltnte nqe résltnte es forces etéreres pplqées sole est égle à l sse sole pr l ccélérton e son centre nerte : F γ g γ rojetons l éqton sr les es repère sn g sn g sn 4. Eqton fférentelle e oveent e l e sphère en tlsnt le théorèe oent nqe e oent résltnt es forces etéreres est égl oent nqe sole êe pont. Fet δ g δ e oent nqe est égl à l érvée oent cnétqe : σ δ le oent cnétqe pont est onné pr : σ. 8

378 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD σ δ g δ coe : et lors : g δ sn g où : g ce q onne : g 4 5. Eqton e oveent vec les conons : et ; n ltple l éqton 4 pr : ps on ntègre g g sn g sn g sn on ét lors : g sn 5 6. Epresson e en tlsnt l conservton e l énerge écnqe totle : E E E E te E E E E E.. ; E E sn E g g g gsn E E E E gsn g sn n retrove ns l epresson e. 84

379 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 7. Epressons es réctons N N et e l ngle lte l por leqel l e sphère plene qtte le r. l sfft e replcer les epresson e et e ns celles e et : g g g sn sn sn g g g g sn sn g sn g g e sphère qtte le r s : sn π π 85

380 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce 5 : Une rre hoogène e longer e centre et e sse glsse sns frotteent le long n escler tel qe représenté sr l fgre. e pont glsse sr le sol et le pont sr l rrête e l escler. poston ntle e l rre étnt. n prenr coe repère e projecton. n onne : t.. Déterner les vecters : et γ ;. pplqer le théorèe e l résltnte nqe à l rre ;. pplqer le théorèe oent nqe à l rre pont ; 4. pplqer le théorèe e l énerge cnétqe à l rre. e tenser nerte e l rre en ns est onné pr : t t olton : repère fe ; tel qe : et 85

381 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD. ecters : et γ ; Nos vons : sn ε sn ε sn ; γ sn sn. Théorèe e l résltnte nqe pplqé à l rre résltnte es forces etéreres pplqées à l rre est égle à l sse e l rre pr l ccélérton e son centre e grvté : F et γ γ projecton e l éqton sr les es e onne : sn sn g sn. Théorèe oent nqe pplqé à l rre pont ; e oent résltnt es forces etéreres pplqées à l rre est égl oent nqe e l rre êe pont. Fet δ δ 4 r le oent nqe est égl à l érvée oent cnétqe : σ δ vec : 86

382 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 87.KD. σ σ δ 5 or clcler le oent es forces etéreres on ot éterner les vecters : et : Nos vons : sn sn onc : sn on otent : sn sn sn et ; sn F et sn sn sn sn sn sn sn sn sn F et 6 églté es oents ns les éqtons 5 et 6 onne : sn sn 7

383 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 88.KD 4. Théorèe e l énerge cnétqe pplqé à l rre. vrton e l énerge cnétqe e l rre est égle trvl es forces etéreres. W E W E énerge cnétqe e l rre est onnée pr : T E.. E E E sn Nos vons ss : g W s : cr et cr g g g W sn sn églté entre les e teres onne : sn sn g sn 6 sn g

384 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce 6 : Un sqe plen e ron e sse role sns glsser sos l effet e l grvtton sr n pln nclné n ngle pr rpport à l horontle. ot lé pln nclné lé centre nerte sqe et n repère en rotton pr rpport à l e tel qe. n repère fe l nstnt ntl le sqe est ole. récton pont e contct entre le sqe et le N pln nclné e coposntes l ne norle pln nclné l tret tngentelle à ce erner. e tenser nerte sqe en son centre nerte ns le repère est onné pr : vec ; n prenr coe repère e projecton. 4. Déterner l vtesse et l ccélérton γ pont ;. pplqer le théorèe e l résltnte nqe sqe ;. pplqer le théorèe oent nqe sqe ; 4. Trover ne éqton sclre lnt les prètres cnétqes et et q trsent l conon e roleent sns glsseent sqe sr le pln nclné ; 5. En ére les epressons e N T et en foncton e g et ; 6. Déterner l énerge cnétqe sqe en foncton e et ; 7. Eprer l énerge cnétqe sqe en foncton e et en tennt copte e l conon e roleent sns glsseent ; 8. En pplqnt le théorèe e l énerge cnétqe sqe retrover l epresson e l ccélérton lnére. t t T N 89

385 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD olton : repère fe. en trnslton pr rpport à est tel qe : et. tesse et ccélérton γ pont ; r érvton : ; cr γ ; cr. Théorèe e l résltnte nqe pplqé sqe résltnte es forces etéreres pplqées sqe est égle à l sse sqe pr l ccélérton e son centre nerte. F et γ T N γ projecton e cette éqton sr les es repère onne e éqtons sclres : N g T g sn 4. Théorèe oent nqe pplqé sqe e oent résltnt es forces etéreres pplqées sqe est égle oent nqe sqe êe pont. 9

386 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD F et δ T N δ coe N elle event : T δ 4 Eprons chcn es teres e cette éqton : T T T T e oent nqe est égl à l érvée oent cnétqe où : δ e oent cnétqe sqe est onné pr : σ. σ σ σ σ δ cr En églsnt les e epressons es oents nos otenons : T T 5 4. Eqton sclre lnt les prètres cnétqes et et q trsent l conon e roleent sns glsseent sqe sr le pln nclné : conon e roleent sns glsseent est vérfée s l vtesse pont e contct sqe et pln nclné est nlle : r : lors : s g s 6 9

387 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 5. Epressons e N T et en foncton e g et ; éqton onne : N g éqton 6 l éqton 4 event : g sn n ét : g sn où : g sn éqton 5 onne : T g sn 6. Energe cnétqe sqe en foncton e et ; énerge cnétqe totle est égle à l énerge cnétqe e trnslton l énerge cnétqe e rotton : E T.. E 7. Energe cnétqe sqe en foncton e et en tennt copte e l conon e roleent sns glsseent ; Nos vons ns l éqton 6 q epre le roleent sns glsseent : on ét qe : lors l epresson e l énerge cnétqe event : E 4 E 4 8. Epresson e l ccélérton lnére En pplqnt le théorèe e l énerge cnétqe sqe vrton e l énerge cnétqe est égle trvl es forces etéreres : E 4 E E W 9

388 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD W W W W T W N W T N g g T N g g cr g g g sn g sn églté es e epressons onne : g sn g sn Eercce 7 : e concsser n oln à hle est constté ne roe hoogène e sse e ron e centre e sse. roe ne lson pvot pont vec ne tge horontle e sse néglgele soée à n rre vertcl en rotton à ne vtesse nglre constnte : te. rre est nten vertcl pr e lsons l ne sphérqe en et l tre clnrqe en. n sppose qe totes les lsons sont sns frotteent. roe role sns glsseent sr le pln horontl fe lé repère. e repère est lé à l tge ; le repère est lé à l roe. e tenser nerte e l roe en son centre nerte ns le repère est onné pr : vec : 4. En pplqnt l conon e roleent sns glsseent pont eprer en foncton e ;. Déterner le oent nqe pont e l roe ;. pplqer le théorèe oent nqe pont à l roe ; 9

389 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 94.KD 4. Eprer l cton pln sr l roe en foncton e et ; 5. Eprer le cople groscopqe gssnt sr l roe ns le repère. olton : repère fe. est tel qe : est tel qe : ; ; vec :. Epresson e en foncton e ; conon e roleent sns glsseent pont e contct entre l roe et le sol sgnfe qe l vtesse e glsseent e ce pont e contct est nlle : g or nos vons : lors :

390 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 95.KD. oent nqe pont e l roe : rre étnt e sse néglgele le oent nqe sstèe se rét oent nqe e l roe. e oent nqe est égl à l érvée oent cnétqe où : σ δ e oent cnétqe e l roe est onné pr :. σ σ σ σ σ δ ; σ cr sont constntes on otent lors : et δ. Théorèe oent nqe pont à l roe ; e oent résltnt es forces etéreres pplqées à l roe est égl oent nqe e l roe êe pont. F et δ g

391 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD g g églté es epressons onne : g 4 4. cton pln sr l roe en foncton e et ; prtr e l éqton 4 on ét : g et où : 4 g or nos vons près l éqton g... on ott à : 4 g. 5. ople groscopqe gssnt sr l roe ns le repère. Dns le cs e ce oveent coposé e e rottons l rotton propre e l roe se ft tor e l e à l vtesse e rotton : et l précesson se ft tor e l e à l vtesse e rotton :. e oent groscopqe est onné pr l relton : gros e e rotton propre propre précesson.. gros 96

392 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD HTE X DYNQUE D UN DE EN TTN UTU D UN XE 97

393 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD DYNQUE D UN DE EN TTN UTU D UN XE. oveent e rotton n sole tor n e fe est le oveent le pls portnt ns l écnqe. e fonctonneent e totes les chnes est sé sr n oveent e rotton tor n e : rotors chnes tornntes vlereqns roes etc e oveent e rotton génère es vrtons écnqes nve es plers e fton s l e e rotton n est ps éqlré. es plers sont es lsons rotoïes rtcltons clnrqes entre le sole et le ât fe. es vrtons sont à l orgne e l sre es plers provoqée pr les contrntes écnqes es à l lson entre l e e rotton et le pler. or évter ces nconvénents l est nécessre éter et e trover les conons éqlrge sstèe fn qe les contrntes soent nles et llonger l rée e ve es plers.. Eqtons oveent. rétrge oveent n chost n repère fe orthonoré rect lé ât tel qe l e vertcl sot confon vec l e e rotton Δ. ot n repère lé sole s tel qe. e sole est en oveent e rotton tor e l e vec ne vtesse : tel qe le centre nerte sole sot ns le pln s s s s s s s s s vec : s s s orentton sole lé repère est éfne pr l ngle : s s s s s s 98

394 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD trce e pssge repère le repère est onnée pr : s sn s sn s s vers : stnce centre nerte à l e Δ : stnce e pln o s s s. Torser cnétqe ] e torser cnétqe sole [ reltf oveent e rotton sole pr rpport repère est éfn pr ces éléents e récton : résltnte cnétqe : e oent pont : s. ecters vtesse et ccélérton pont centre e sse sole poston est éfne précéeent pr : s s vtesse pet être éternée ns le repère s e e nères : - pr érvton : s s s - pr coposton es vtesses : s s Dns le repère l vtesse r por epresson : sn e vecter ccélérton e s otent séent en érvnt l epresson e l vtesse. 99

395 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 4.KD Dns le repère : s s s γ Dns le repère : sn sn γ sn sn γ Elle pet ss être otene en érvnt l epresson vecter vtesse ns le repère.. Ete cnétqe es éléents cnétqes nos perettent e éterner les torsers cnétqes et nqes. fn e splfer le prolèe nos chosrons e éterner les oents cnétqes et nqes pont pprtennt à l e e rotton.. Torser cnétqe e sole étnt qelconqe s trce nerte en ns le repère lé sole s écrr : s D E D F E F es éléents e récton torser cnétqe pont s écrront ns : s résltnte cnétqe : s e oent cnétqe pont : s o σ oe l vtesse pont est nlle lors le oent cnétqe r por epresson : s s s s s s o j D E D E D F E F σ. Torser nqe es éléents e récton torser nqe pont s écrront ns : s résltnte nqe : s s D γ e oent cnétqe pont : o o o σ δ

396 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 4.KD s s s s s s s o δ s s s s s o D E D F E F D E D F E F δ s s s o j E D D E δ le oent nqe pet être epré ns l se en tlsnt l trce e pssge. sn E D D E o δ sn j E D D E. Energe cnétqe oe le sole n oveent e rotton pr tor n e Δ confon vec l e son énerge cnétqe est onnée pr : s s T s s s c E σ σ E s T s s T s c Ec 4. es fférentes ctons écnqes eercées sr le sole e sole est sos à l cton e pesnter e à son propre pos ctons e lsons nve es rtcltons q sont nterére entre le ât fe et le sole s ss à ne cton otrce où e frenge q peret e ettre le sole en oveent o e le frener s l est éjà en oveent. 4. cton e pesnter pont centre nerte sole l cton e pesnter est représentée pr le torser nt por éléents e récton : s p g

397 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD r l forle e trnsport nos povons eprer le oent pont l est onné pr : g p p g s Dns le repère l s écrr : g sn g 4. cton e à l lson rotoïe entre le ât fe et le sole cton e lson entre le sole et le ât est représentée pr n torser ont les éléents e récton sont : es coposntes e l cton e lson sont éternées à prtr es éqtons fnles q églsent le oent nqe oent es ctons etéreres. ntre e l rtclton et le pont e clcl oent pevent rére le nore nconnes ns les éqtons oveent. 4. cton e cople oter o cople e frenge e sole pet être s o nten en oveent e rotton à l e n cople oter. le sole est éjà en oveent por l rrêter l ft ss pplqer n cople e frenge. e oent pplqé por ettre le sole en rotton o por l rrêter est tojors porté pr l e e rotton. Dns ce cs le cople oter o le cople e frenge ser représenté pr n torser ont les éléents e récton sont : Γ s Γ vler cople oter o e frenge 5. rncpe fonentl e l nqe Γ est conne. e prncpe fonentl e l nqe ns n repère lléen trt l églté entre le torser es ctons etéreres pplqées sole et le torser nqe sole. Nos vons ns ns le repère : D p δ o Γ D p δ o Γ 4

398 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD sn sn g E D D E sn 4 E D sn D E g 5 Γ 6 Nos vons 6 éqtons vec 7 nconnes : Une septèe éqton ser onnée pr l ntre phsqe e l lson et elle perettr e résore le sstèe éqton coplèteent. éqton 6 peret e éterner l vler e et en l replçnt ns les tres éqtons on ét les vlers e totes les nconnes. 6. Eqlrge sttqe et nqe es rotors et es roes 6. oveents e rotton tor n e fe n sole non éqlré ot n rotor o ne roe sslé à n sqe e ron et épsser e. n chost n repère fe lé ât fe. e rotor est lé ât pr l nterére e e plers et e centres respectfs et tel qe l e sot confon vec l e e rotton. or constrre n trère rect on consère qe l e est vertcl scennt. n sppose qe le rotor est non éqlré le centre e sse rotor n est ps sté sr l e e rotton et ses cooronnées ne sont ps connes éprt. n chost n secon repère s s s s e êe centre et lé rotor. on oveent e rotton est repéré à chqe nstnt pr n ngle s s vec s s s cr. e vecter poston centre e sse rotor est onné ns le repère s s s s pr : s s c s 4

399 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 44.KD o s s s 6. Ete cnétqe oveent trce e pssge repère vers le repère est onnée pr : s sn s sn s s trce nerte sole pont ns l se est ne trce qelconqe e l fore : s s s s s D E D F E F e vecter poston centre e sse sole ns cette êe se s écrt : s s s c vtesse centre e sse se ét pr érvton e cette epresson : s s s s c

400 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 45.KD Dns l se le vecter vtesse s écrrt : sn sn sn sn e vecter ccélérton s otent ns en érvnt encore ne fos le vecter vtesse : s s s s s s s γ Dns l se le vecter ccélérton r por epresson : sn γ sn e torser cnétqe por éléents e récton ns l se : s résltnte cnétqe : e oent cnétqe : s σ σ σ e torser nqe por éléents e récton ns l se : s résltnte nqe : D γ s D sn s sn e oent nqe : s s s s s σ σ σ δ δ s s D E D F E F D E D F E F

401 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD E s D s s D s E s δ E D s D E s s δ Dns l se le oent nqe por epresson : δ E D sn D E sn s E D D E sn δ E D sn D E s 6. ctons écnqes etéreres eercées sr le rotor es ctons écnqes etéreres eercées sr le rotor sont e tros ntres fférentes : - l cton e pesnter e pos rotor ; - l cton e lson entre le rotor et le ât nve es plers ; - l cton e cople oter s le rotor ot être nten en oveent o cople e frenge s on ot rrêter le oveent e rotton cton e pesnter cton e pesnter est représentée pr n torser ont les éléents e récton sont : résltnte es ctons e pesnters : p g e oent résltnt e ces ctons pont est nl : en pplqnt l forle p e trnsport ns l se on ét le oent pont : p p p p sn c g sn gc g sn 46

402 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 6... cton e lson entre sole et ât nve pler cton e lson est ne force ont l lgne cton psse pr le pont centre pler. ette cton est représentée pr n torser ont les éléents e récton pont sont : résltnte e l cton e lson : e oent e l cton e lson en est nl : ; en pplqnt l forle e trnsport on ét le oent pont ns l se : 6... cton e lson entre sole et ât nve pler De l êe nère qe précéeent l cton e lson est ne force ont l lgne cton psse pr le pont centre pler. ette cton est représentée pr n torser ont les éléents e récton pont sont : résltnte e l cton e lson : e oent e l cton e lson en est nl : ; en pplqnt l forle e trnsport on ét le oent pont ns l se : cton cople oter e cople oter peret e ettre en oveent e rotton le rotor o le ntenr s l est éjà en oveent l est représenté pr n torser ont les éléents e récton sont : résltnte es forces otrces : e oent résltnt pont : Γ le oent est porté pr l e e rotton. 47

403 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD pplcton es théorèes génér e l nqe rotor e torser nqe rotor est égl à l soe es torsers es ctons etéreres. ette églté nos onne les e éqtons vectorelles q onneront les 6 éqtons sclres e l nqe q écrvent le oveent rotor. D p δ p ette églté se trt pr : sn g... sn.. E D D E sn..4 E D sn D E gc 5 g sn Γ...6 oe le cople oter est conn l ernère relton q est l éqton oveent peret e éterner l vler e en foncton teps. onnssnt les tres vrles sont éternées notent les coposntes es ctons e lson nve es plers. es éqtons 4 5 perettent e ére fcleent pr ltplcton pr o et ps sostrcton e éterner les vlers e : g c sn E D D E D E sn E D 48

404 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD g c E D sn D E D E sn E D vec : E E ; E E ; D D ; D D es coposntes gssnt sr l e rotor épenent e s srtot e q pet ttenre es vlers sse élevées rpeent. es ctons génèrent es vrtons nve es plers ce q rét ler rée e ve et consent à ne sre prétrée es pèces écnqes en rotton rncpe e l éqlrge sttqe et nqe or évter ces prolèes sre et llonger l rée e ve es plers et es es l ft qe les ctons nve es lsons soent rétes n o nlles. es epressons précéentes ontrent qe les ctons e lson ont es vlers nles lorsqe nos vons les conons svntes : D E : plqe qe le centre e sse rotor est sté sr l e e rotton rotor. n lors qe l on rélsé l éqlrge sttqe. e rotor n éqlre sttqe nfférent. D E : les prots nerte sont nls et l e e rotton est n e prncpl nerte. orsqe les e conons sont rénes on qe l on rélsé n éqlrge nqe. Dns ce cs les ctons e lsons sont rétes à : c g ; c g ; En rélté les chnes tornntes les rotors les es etc sont éqlrés lors e l constrcton et l éqlrge est ffné pr l ste pr jot e pettes sses ponctelles ns es plns orthogon à l e e rotton fn e rener le centre nerte e l ensele sr l e e rotton et élner les prots nerte q sont l sorce es vrtons. 49

405 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Dns l prtqe lorsq ne chne tornnte fonctonne pennt n certn nore nnées elle per les crctérstqes écnqes ntles et es vrtons pprssent. or les élner on procèe lors à n éqlrge. el-c est rélsé à l e n sstèe électronqe ccéléroètres perettnt e esrer les ccélértons soles o reltves e plers. e sgnl électrqe enregstré peret pr ne nlse e relever le spectre vrtore et éterner l ntre éft q cont à l vrton. Des clcls perettent e éterner les vlers es prètres e l éqlrge. 7. otton n sole tor n pont fe : ngles Eler n consère n repère fe orthonoré rect et n sole fé centre e ce repère. n chost n repère orthonoré rect s s s s lé sole tel qe les es s s s soent es es prncp nerte. es es repère sont repérés pr les ngles Eler pr rpport repère fe s e oveent nstntné sole est coposé e tros rottons eprées pr les ngles Eler. s o - l preère rotton e vtesse nglre tor e l e s ppelle : l précesson sole ; - l secone rotton e vtesse nglre tor e l e s ppelle : l ntton sole ; s s - l trosèe rotton e vtesse nglre tor e l e s s ppelle : l rotton propre sole ; 4

406 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 4.KD vtesse e rotton nstntnée sole pr rpport repère est onnée pr : s s on epresson ns le repère lé sole est éjà éternée en cnétqe sole : s sn sn sn sn s ; on pose s s s s s trce nerte sole est conne pont ns le repère elle est e l fore : s s s s s ; Nos trrons les éléents cnétqes ns l êe se. e oent cnétqe sole pont est onné ns le repère pr l relton : s s s σ s s s s s s s s s σ e oent nqe se ét pr érvton : s σ σ σ δ s σ δ

407 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD s δ s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s oent δ δ δ les coposntes oent nqe epré ns le repère lé s s s sole nos otenons les éqtons sclres svntes : s s s s s s s s s δ δ δ s s s e sstèe éqton épen es ngles Eler et e lers érvées preères et secones l est sse ffcle e le résore ns le cs générl. es éqtons ne pevent trover solton qe ns qelqes cs prtclers qe nos eposons c. s où le oent es forces etéreres est nl c est le cs n sole en oveent e rotton tor e son centre nerte. e cs est ppelé prolèe Eler-onsot. s n sole nt n ellpsoïe centrl nerte c est à re le pont fe est sté sr l e e révolton et le sole est sos à l sele force e pesnter. e cs est ppelé prolèe e grnge-osson. s n sole o l ellpsoïe centrl nerte est e révolton : et en pls. le centre e sse est sté ns le pln éqtorl. e cs est ppelé prolèe e Kovlevs. 7. e pont fe est confon vec le centre nerte sole : s Eler-onsot sele force pplqée est le pos en onc le oent es forces etéreres en ce pont est nl lors le sstèe éqton s écrt : σ δ σ s te 4

408 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 4.KD s s s s s s s s s s te s σ te s s s s s s s s s e oent cnétqe est constnt onc son ole est ss constnt on lors: te s s s e centre nerte sole est n pont fe onc son énerge potentelle reste constnte. oe le chp es forces est conservtf nos povons écrre : p E p E p c p c E E E E énerge cnétqe sole est onnée pr : te E s s s s s s s s T c où te s s s es coposntes e l vtesse e rotton s s s en foncton teps sont connes cr elles sont soltons sstèe éqtons précéentes. or trover l vler es ngles Eler en foncton teps on chost l e coe étnt l e oent cnétqe lors l ser prllèle à ; on pet lors écrre : or nos povons eprer le vecter ns le repère pr les trces e pssge : σ λ σ s s sn sn sn sn

409 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD λ sn sn σ λ sn or nos vons ss σ λ s s s s s où : s s s λ sn sn λ sn e rpport entre l éqton et onne : rctg éqton onne : r λ s Nos povons ss ére l vtesse e précesson à prtr es coposntes vecter rotton nstntné sole pr rpport repère. s s 7. e pont fe est sr l e e révolton e l ellpsoïe nerte : s e grnge-osson e sole ne sétre e révolton lors le tenser est le êe ns l se s lée sole et ns l se nterére. De pls le centre nerte sole est sté sr le êe e qe le pont tel qe. es seles ctons etéreres gssnt sr le sole sont les ctons e pesnter. e tenser nerte en s écrt : s Nos eprerons tos les clcls ns le repère. Dns ce repère l vtesse nstntnée e rotton sole pr rpport repère epresson : r por 44

410 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 45.KD sn s s s s e oent cnétqe pr rpport pont fe est égl à : s s s s s s s σ e oent nqe est ét à prtr e l érvée oent cnétqe : s σ σ σ σ δ s σ δ : est l vtesse repère pr rpport repère l est onné pr : on ét : sn s s s s s s s s s s s s δ s s s s s s s s s δ

411 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD e oent es ctons etéreres est onné pr : et g Nos vons : ; g g sn g et g g sn g gsn églté entre le oent nqe et le oent es ctons etéreres onne les reltons svntes : s s s s s s s s s gsn ernère éqton ontre qe nos vons ne ntégrle preère onnée pr : s où : s te K te Une eèe éqton provent ft qe nos vons n chp e force conservtf ce q se trt pr l conservton e l énerge totle : énerge cnétqe s écrt : E E te E E T T s s s σ sn sn K 46

412 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD énerge potentelle s écrt : E g on lors : sn K g te l e ces e ntégrles preères nos povons ére l epresson e et ére pr l ste celle e en chosssnt l recton oent nqe svnt l e. 8. effet groscopqe Un sole à sétre e révolton Tope nt ne vtesse e rotton tor e son e très élevée est ppelé groscope. grne vtesse e rotton rotton propre peret e splfer les éqtons et fre es pprotons fn e éterner es reltons vec l vtesse e rotton e précesson et e ntton. 8. pproton groscopqe n q n sole à sétre e révolton stsft à l pproton groscopqe lorsqe s vtesse e rotton propre est très grne evnt l vtesse e ntton et e précesson. >> et >> Dns ce cs l vtesse e rotton sole est portée pr n e Δ éfn pr : Δ Tel qe : Δ eδ ; où : est l vtesse e rotton propre 8. ople groscopqe pplqé à ne tope ègle e Foclt n pplqe le théorèe oent cnétqe pont à ne tope e sse e centre nerte nt n e e révolton Δ et sose à l sele force e pesnter e à son propre pos. e oent nqe e l tope q est l érvée oent cnétqe est égl oent es ctons etéreres. Dns ce cs l sele cton etérere est e pos e l tope on otent lors l relton : e σ g Fet Dns l pproton groscopqe le vecter oent cnétqe constnt et s recton est portée pr l e Δ. σ n ole 47

413 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD érvée σ correspon en ft à l vtesse e l etrété vecter oent cnétqe ns son oveent e rotton tor e l e fe à ne vtesse nglre e précesson : prec q se trt pr l relton : σ prec σ prec Δ Δ Δ : est le oent nerte pr rpport à l e Δ. n ét : prec Δ Δ g q pet s écrre ss sos l fore Δ Δ prec g n éfn ns le cople groscopqe q por epresson : ros Δ Δ prec σ prec Nos vons lors à chqe nstnt l églté : ros Fet n ét lors ne relton entre l vtesse e rotton propre et l vtesse e rotton e précesson en éveloppnt l relton : Δ Δ prec g Δ eδ eδ g Δ eδ g eδ g Δ g Δ g eδ e résltt c esss ontre qe s l rotton propre est sse grne l ntton est néglgele et l précesson prtqeent nfore elle s effecte vec ne vtesse nglre nverseent proportonnelle à l vtesse e rotton propre. Δ 48

414 U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD orsq n groscope est sos à ne rotton posée l régt en crént n cople groscopqe et optnt ne rotton q envoe l e groscope s lgner sr l e e l rotton posé. ls spleent on pet re qe l e groscope ten en eprntnt le pls cort chen à s lgner sr l e vecter oent etérer ctons etéreres. Dns le cs e l pproton groscopqe e cs pevent se présenter : le oent es ctons etéreres est nl l e groscope gre ne recton σ constnte : Fet σ te ; Fet lors : Δ Δ prec Fet Δ Δ Δ : ot être porté pr l e por qe l éqton psse vor ne solton. Δ Δ Δ e phénoène s ppelle effet groscopqe. En tre tere por n groscope nt ne rotton propre élevée s vos pplqer ne cton sr l rtre por otenr ne précesson vos ftes pprître l ntton. or n groscope à crn cel sgnfe qe s vos l onner l vos onner. 49