Chapitre 2. Cinématique. 2.1 Introduction. 2.2 Référentiel et repère Référentiel

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1 Chapire 2 Cinémaique 2.1 Inroducion La cinémaique es l éude du mouvemen des corps. Nous ne considérerons que des corps de faibles dimensions de sore qu ils seron oujours assimilés à des poins appelés mobiles. Les grandeurs physiques de la cinémaique son le emps, la posiion, la viesse e l accéléraion. Éudier le mouvemen d un mobile veu dire : rouver l équaion de la rajecoire du mobile ; rouver la relaion mahémaique (une équaion) enre viesse e emps ; rouver la relaion enre posiion e emps ; rouver la relaion enre viesse e posiion. 2.2 Référeniel e repère Référeniel La descripion d un mouvemen se fai par rappor à un obje, choisi comme référence, appelé référeniel. La descripion du mouvemen n es pas la même dans ous les référeniels! Eemple : Deu voyageurs A e B son assis dans un wagon en mouvemen. Le voyageur A observe B e conclu : B es immobile. Le chef de gare C observe B e conclu : B es en mouvemen. Ces deu observaions son-elles conradicoires? Non, car elles son faies dans deu référeniels différens : A fai ses observaions dans le référeniel du wagon, C fai ses observaions dans le référeniel lié à la Terre. Définiion Le référeniel es un obje de référence par rappor auquel on éudie un mouvemen. Il peu êre maérialisé par un seul corps ou par un ensemble de corps qui resen à disance consane les uns des aures.

2 2BC Cinémaique 37 Eemples de référeniels : le laboraoire, la salle de classe, un wagon, un carrousel,... le référeniel erresre : son cenre es le cenre de la Terre, ses aes son liés à des poins fies sur la Terre. On l uilise pour décrire ous les mouvemens sur la Terre. Les référeniels laboraoire e salle de classe son équivalens au référeniel erresre. le référeniel géocenrique : son cenre es le cenre de la Terre, ses aes son dirigés vers des éoiles loinaines considérées comme fies. On l uilise p.e. pour décrire le mouvemen des saellies ; le référeniel héliocenrique : son cenre es le soleil, ses aes son dirigés vers des éoiles loinaines considérées comme fies. On l uilise p.e. pour décrire le mouvemen des planèes ; Repère Pour décrire le mouvemen d un mobile, un observaeur dans un référeniel doi se munir : d un repère pour déerminer la posiion du mobile ; d une horloge. Un repère es déerminé par une origine O e par une base, le plus souven orhonormée. Eemple : repère (O, ı, j, k) orhonormé à 3 dimensions (figure 2.1). z į k O ä y Figure 2.1 Repère orhonormé à 3 dimensions Les aes Oy e Oz son perpendiculaires enre eu e son dans le plan de la feuille de papier. L ae O sor de ce plan e es perpendiculaire à ce plan. Dans le domaine des sciences comme dans la vie courane, une horloge perme de déerminer : la durée ou l inervalle de emps qui s écoule enre deu événemens ; la dae ou l insan auquel un événemen a lieu. L unié S.I. (Sysème Inernaional d Uniés) du emps es la seconde (s).

3 38 Cinémaique 2BC Trajecoire La rajecoire es l ensemble des posiions successives occupées par le mobile M lors de son mouvemen. Elle es représenée par une courbe dans l espace (figure 2.2). Comme oue courbe, la rajecoire es déerminée, dans un repère donné, par son équaion mahémaique. La rajecoire dépend du choi du référeniel e du repère. z M( 1 ) k į O ä M( 2 ) 2 > 1 y Figure 2.2 Trajecoire dans un repère à 3 dimensions Eemples : Trajecoire d un poin de la roue d une bicyclee, dans les référeniels suivans : observaeur au repos au bord de la roue, cyclise, roue? Trajecoire d un enfan sur un manège : immobile ou en roaion? 2.3 Posiion Coordonnées carésiennes Soi M le mobile e (O, ı, j, k) le repère choisi. La posiion du mobile es repérée à chaque insan par les coordonnées, y, z du veceur posiion OM (figure 2.3). z į k O æ OM ä M y Figure 2.3 Veceur posiion Dans la base du repère : OM = ı + y j + z k. Si le repère es orhonormé,, y, z son appelés coordonnées carésiennes du poin M. Dans la suie nous n uiliserons que des repères orhonormés.

4 2BC Cinémaique 39 S il y a mouvemen, les coordonnées, y e z varien au cours du emps. Les foncions = f(), y = g() e z = h() son appelées équaions horaires ou équaions paramériques du mouvemen. Eercice 2.1 insan par : Dans le repère (O, ı, j, k) la posiion d un poin M es définie à chaque = 2 ; y = ; z =. Donner les posiions respecives du poin M au insans, 1 s, 2 s, 3 s e 4 s. En déduire l équaion de la rajecoire suivie par M Abscisse curviligne Si la rajecoire d un mobile M es connue, on peu l oriener e choisir un poin origine A. La valeur algébrique de l arc ĂM es l abscisse curviligne s du poin M (figure 2.4). z k į O ä A M + s y Signe de l abscisse curviligne : Figure 2.4 Abscisse curviligne s > si en allan de A à M on se déplace dans le sens de l orienaion. s < si en allan de A à M on se déplace dans le sens inverse de l orienaion. On oriene, dans la mesure du possible, la rajecoire dans le sens du mouvemen. L abscisse curviligne es liée au emps par la relaion s = f(), appelée équaion horaire du mouvemen. 2.4 Veceur viesse d un poin La rapidié avec laquelle un mobile change de posiion es indiquée par sa viesse (veceur viesse). On disingue viesse moyenne e viesse insananée Viesse moyenne La viesse moyenne v m es la disance d parcourue divisée pas la durée : v m = d.

5 4 Cinémaique 2BC Si un poin mobile se rouve en M 1 à l insan 1 e en M 2 à l insan 2, la viesse moyenne au cours du déplacemen de M 1 vers M 2 s écri : v m = s 2 s = s Remarque : on noe usuellemen par la différence de la valeur finale de la grandeur e de sa valeur iniiale : = final iniial. Unié S.I. de la viesse : 1 m/s. Aure unié : 1 km/h. Transformaions : 1 km/h = 1 36 m/s = 1 m/s 1 m/s = 3,6 km/h. 3, Viesse insananée algébrique La viesse insananée donne des renseignemens plus précis que la viesse moyenne : elle défini la viesse du mobile à chaque insan! Si au cours d un inervalle de emps la viesse ne varie pas d un insan à l aure, c es-àdire qu elle es consane, il es éviden que pour ce inervalle de emps, la viesse insananée à chaque insan es égale à la viesse moyenne. Si par conre la viesse varie d un insan à l aure, la viesse insananée s obien en réduisan la disance sur laquelle la viesse es mesurée de sore qu on puisse admere que la viesse ne varie plus sur cee disance ellemen peie. La durée mesurée devien plus peie aussi e la viesse insananée en un poin M es : Signe de la viesse insananée : v M = disance rès peie durée rès peie v M = δs δ = lim s. Si le mouvemen s effecue dans le sens posiif, δs > e v M >. Si le mouvemen s effecue dans le sens négaif, δs < e v M < Veceur viesse On défini un veceur viesse moyenne enre M 1 e M 2 par : v m = M 1 M 2. Inroduisons l origine O du repère (figure 2.5) e uilisons la relaion de Chasles : M 1 M 2 = M 1 O + OM 2 = OM 2 OM 1 = OM

6 2BC Cinémaique 41 M 1 æ M 1 M 2 æ OM 1 M 2 æ OM 2 O Figure 2.5 Veceur déplacemen alors : v m = OM. Quand, les poins M 1 e M 2 se rapprochen pour donner un poin M e la direcion de v m devien la direcion de la angene à la rajecoire en M. Le veceur viesse moyenne devien le veceur viesse insananée en M (figure 2.6) : v M = lim OM = δ OM δ (2.1) M v M Figure 2.6 Veceur viesse insananée Propriéés du veceur viesse insananée : direcion : la angene à la rajecoire en M ; sens : celui du mouvemen ; δs inensié (norme) : v M = v M = δ Coordonnées du veceur viesse insananée Dans le repère (O, ı, j, k) le veceur v s eprime par : v = v ı + v y j + v z k. L inensié v es reliée au coordonnées v, v y, v z par la relaion de Pyhagore : v =» v 2 + v y2 + v z2. Dans le cas d un mouvemen plan (figure 2.7), les epressions se simplifien : v = v ı + v y j e v =» v 2 + v y2.

7 42 Cinémaique 2BC v y ä v O į Figure 2.7 Veceur viesse dans un plan v Eercices Eercice 2.2 Lors d une course cyclise conre la monre, un coureur parcour dans une première parie 22 km en 3 min. Puis la seconde parie de 48 km es faie en 1 h 3 min. 1. Quelle es la viesse moyenne du coureur sur la première parie? 2. Quelle es la viesse moyenne du coureur sur la deuième parie? 3. Quelle es la viesse moyenne du coureur sur l ensemble de l épreuve? Eercice 2.3 Afin de conrôler le bon foncionnemen de l indicaeur de viesse de son auomobile, un conduceur chronomère une durée de 28 s pour parcourir 1 km sur l auoroue. 1. Quelle es la viesse moyenne correspondan à cee observaion? 2. L auomobilise li 13 km/h sur son indicaeur de viesse. La précision de cee indicaion es de 5 %. Que peu-en conclure l auomobilise? 2.5 Accéléraion Lorsque la viesse v d un mobile change au cours du emps, on aimerai connaîre la rapidié avec laquelle elle change. C es l accéléraion a du mobile qui nous donne cee informaion. L accéléraion indique de combien la viesse v varie en 1 seconde. La viesse peu varier en inensié e en direcion. Une fore accéléraion a (inensié de a) signifie donc que la viesse varie vie, une faible accéléraion signifie qu elle varie lenemen. L accéléraion indique la rapidié de variaion de la viesse. On disingue l accéléraion moyenne a m au cours d un inervalle de emps, e l accéléraion insananée a à un insan donné Accéléraion moyenne Quand la viesse d un mobile varie enre v 1 à la dae 1 e v 2 à la dae 2, le veceur accéléraion moyenne es : a m = v 2 v = v (2.2)

8 2BC Cinémaique 43 Unié S.I. de l accéléraion : 1 m/s 2. L accéléraion d un mobile don la viesse varie de 1 m/s en 1 s es 1 m/s Accéléraion insananée De la même façon que la viesse insananée, on défini le veceur accéléraion insananée : v a = lim = δ v (2.3) δ En général, le veceur accéléraion n es pas angen à la rajecoire. Eercice 2.4 Calcule l accéléraion dans les cas suivans : 1. Une voiure accélère sur une roue reciligne de 3 km/h à 9 km/h en 8 s. 2. Un navire animé d un mouvemen reciligne de viesse 2 km/h me 1 min pour arriver au repos. 2.6 Mouvemens recilignes Un mouvemen es reciligne si sa rajecoire es une droie. Dans ce cas, nous pouvons choisir un repère à une dimension (O, ı) de même direcion que la rajecoire. La posiion du mobile devien : OM = ı. O accéléraion į ą v 1 v 2 O décéléraion į ą v 1 v 2 Figure 2.8 Mouvemen reciligne Le veceur viesse es angen à la rajecoire : v = v ı. La variaion du veceur viesse e, par conséquen, l accéléraion son sur l ae du repère (figure 2.8) : a = a ı Mouvemen reciligne uniforme Un mouvemen es reciligne uniforme (MRU) si la rajecoire es une droie e si la viesse es une consane. La relaion (2.2) perme de calculer l accéléraion moyenne : a m = v 2 v = =

9 44 Cinémaique 2BC car v 2 = v 1 = consane. Ce résula es vrai aussi dans la limie ; il en sui que a = à ou insan. La viesse es consane : v = v m = v = consane. Nous allons déerminer l équaion horaire par la méhode de «l aire». La représenaion v = f() es une droie horizonale (figure 2.9). v = v v Figure 2.9 Mouvemen reciligne uniforme L epression (2.1) de la viesse insananée donne : v = δ δ = δ = v δ. L aire du pei recangle (on di recangle élémenaire) de largeur δ e de longueur v es v δ. Cee aire élémenaire es égale à la disance δ parcourue pendan le emps δ avec la viesse v. La disance oale parcourue enre = e es donnée par l aire oale du recangle pour ce inervalle de emps : v. Soi la posiion du mobile à la dae =. Pour obenir sa posiion à la dae il suffi d ajouer la disance parcourue : = v +. Cee relaion es l équaion horaire du MRU. Les équaions horaires qui régissen le mouvemen reciligne uni- Lois horaires du MRU forme son : = v + v = v = consane a = Connaissan la posiion iniiale e la viesse du mobile, on peu déerminer sa posiion à oue dae. La figure 2.1 monre les représenaions = f() de quelques cas pariculiers Mouvemen reciligne uniformémen varié Un mouvemen es reciligne uniformémen varié (MRUV) si la rajecoire es une droie e si le veceur accéléraion es consan, poré par la rajecoire. L accéléraion es consane : a = a m = a = consane

10 2BC Cinémaique 45 v v (a) v > (b) v < (c) v > Figure 2.1 Représenaions = f() de quelques MRU a v = a a Figure 2.11 Accéléraion consane Nous allons déerminer la loi des viesses par la méhode de «l aire». La représenaion a = f() es une droie horizonale (figure 2.11). L epression (2.3) de l accéléraion donne : a = δv δ = δv = a δ. L aire du recangle élémenaire de largeur δ e de longueur a es a δ. Cee aire élémenaire es égale à l augmenaion de la viesse δv pendan le emps δ due à l accéléraion. L augmenaion oale de la viesse enre = e es donnée par l aire oale du recangle pour ce inervalle de emps : a. Soi v la viesse du mobile à la dae =. Pour obenir la viesse du mobile à la dae il suffi d ajouer l augmenaion de la viesse : v = a + v. (2.4) Par la même méhode de «l aire» nous pouvons déerminer l équaion horaire. La représenaion v = f() es une droie (figure 2.12). L epression (2.1) de la viesse insananée donne : v = δ δ = δ = v δ. L aire du pei recangle élémenaire de largeur δ e de longueur v es v δ. Cee aire élémenaire es égale à la disance δ parcourue pendan le emps δ avec la viesse v. La disance oale parcourue enre = e es donnée par l aire oale du rapèze pour ce

11 46 Cinémaique 2BC v = v 1 (v 2 v ) v v Figure 2.12 Mouvemen reciligne uniformémen varié inervalle de emps. Cee aire se décompose en un recangle d aire : v e en un riangle d aire : 1 2 (v v ). L aire oale es : v (v v ). En uilisan la relaion (2.4) : v = a + v = v v = a nous obenons pour l aire oale : v a = v a 2. Soi la posiion du mobile à la dae =. Pour obenir sa posiion à la dae il suffi d ajouer la disance parcourue : = 1 2 a 2 + v +. Cee relaion es l équaion horaire du MRUV. Lois horaires du MRUV uniformémen varié son : Les équaions horaires qui régissen le mouvemen reciligne = 1 2 a 2 + v + v = a + v a = a = consane Connaissan la posiion iniiale, la viesse iniiale e l accéléraion du mobile, on peu déerminer sa posiion e sa viesse à oue dae. La figure 2.13 monre les représenaions v = f() de quelques cas pariculiers. En éliminan le emps dans les équaions du mouvemen, on obien une relaion enre viesse e posiion : v = a + v = = v v a

12 2BC Cinémaique 47 v v v a v a v v (a) a > (b) a < (c) a > Figure 2.13 Représenaions v = f() de quelques MRUV d où : Ç v v Ç å v v = 1 2 a = 1 2 a å 2 + v a + v v v + v + v 2 v v + a a = v 2 2 v v + v v v 2 v 2 2 a + = v 2 v 2 2 a + donc : e finalemen : = v 2 v 2 2 a v 2 v 2 = 2 a ( ) Eercices Eercice 2.5 Une voiure par du repos e aein 1 km/h en 12 s avec une accéléraion consane. Ensuie elle roule à viesse consane pendan 3 s. Quelle es la disance oale parcourue? Calcule la décéléraion nécessaire pour qu elle s arrêe en 5 s. Eercice 2.6 Un cyclise grimpe un col de longueur d à la viesse moyenne v = 18 km/h, puis sans s arrêer, redescend le même col à la viesse moyenne v = 42 km/h. 1. Calcule la viesse moyenne du cyclise pour ce aller-reour. 2. Sachan que le emps oal du parcours es de 1 h 4 min, calcule la longueur d du col e les emps mis pour effecuer l ascension, la descene. Eercice 2.7 Deu piéons A e B se déplacen dans le même sens sur une roue reciligne. La viesse de A es 5,4 km/h, celle de B es 3,6 km/h. La disance qui les sépare à = es 8 m, B éan en avance sur A. 1. À quelle dae A dépassera--il B?

13 48 Cinémaique 2BC 2. Quelle sera alors la disance parcourue par chaque piéon depuis l insan =? 3. Représener sur un graphique la disance séparan les piéons en foncion du emps. Eercice 2.8 Deu mobiles M e M se déplacen sur un ae. Leurs abscisses respecives son = 2 2, = ( e en m, en s). 1. Que peu-on dire des mouvemens de M e M? 2. Quelles son les valeurs de leurs viesses? 3. À quelle dae les deu mobiles se renconren-ils? 4. À quelles daes son-ils disans de 2 m? Eercice 2.9 Un voyageur arrive sur le quai de la gare à l insan où son rain démarre. Le voyageur, qui se rouve à une disance d = 25 m de la porière, cour à la viesse consane v 1 = 24 km/h. Le rain es animé d un mouvemen reciligne d accéléraion consane a = 1,2 m/s Le voyageur pourra--il raraper le rain? 2. Dans le cas conraire, à quelle disance minimale de la porière parviendra--il? Eercice 2.1 Une auomobile se rouvan à 5 m devan un feu rouge démarre avec une accéléraion a = 2,5 m/s 2 lorsque le feu passe au ver. À ce insan, un camion roulan à la viesse v = 45 km/h se rouve à une disance d = 25 m du feu devan celui-ci. Il mainien sa viesse consane. Dans un premier emps, le camion va doubler l auomobile, puis celle-ci va dépasser le camion. On choisi comme origine des daes l insan où le feu passe au ver, e comme origine des espaces, la posiion du feu ricolore. Déerminer : 1. les daes des dépassemens ; 2. les abscisses des dépassemens ; 3. les viesses de l auomobile à ces insans. Eercice 2.11 Robin des Bois aperçoi Marianne qui a faussé compagnie au vilain shérif de Noingham e qui s éloigne en couran dans la forê à une viesse consane de 9 km/h. Au momen où il l aperçoi, la belle a 5 m d avance sur lui. On suppose que Robin des Bois avance à viesse consane de 18 km/h sur son cheval au momen où il aperçoi Marianne. Vous choisirez comme origine des emps le dépar de Robin des Bois e comme origine des espaces sa posiion à =. 1 er cas : On suppose que Robin coninue à la même viesse. Au bou de combien de emps rejoindra--il Marianne? 2 e cas : On suppose qu au momen où il aperçoi Marianne, Robin accélère e décri un MRUV el que sa viesse passe de 18 à 36 km/h en 5 s. Au bou de combien de emps rejoindra--il Marianne?

14 2BC Cinémaique 49 Eercice 2.12 Nesor Boyau arrive en reard en couran à viesse consane de 5 m/s sur le quai de la gare ; alors que le rain s apprêe à parir, Nesor se rouve 5 m derrière lui. Le rain accélère de elle manière qu il passe de à 36 km/h en 1 s. 1. Monrez que Nesor ne peu pas raraper le rain. 2. Calculez la viesse minimale que Nesor devrai avoir pour raraper le rain. Qu en pensez-vous? (Le record du monde sur 2 m es de l ordre de 2 s.) 3. Déerminez la dae e le lieu de la renconre. Eercice 2.13 Juliee fai du jogging dans la forê. Elle passe à viesse consane de 12,6 km/h devan Roméo assis sur son cheval. Lorsque Juliee a 2 m d avance, Roméo fai parir son cheval d un mouvemen accéléré qui le fai passer en 5 s à une viesse de 1 m/s. Vous choisirez comme origine des emps le dépar de Roméo e comme origine des espaces sa posiion à =. 1. Au bou de combien de emps rejoindra--il Juliee? 2. Quelle disance aura--il parcourue? 3. Quelle sera alors sa viesse (on suppose que le cheval coninue son mouvemen reciligne uniformémen accéléré)? Eercice 2.14 Lors de sa première raversée, en juille 1952, le paquebo Unied Saes a gagné le ruban bleu pour avoir effecué la raversée la plus rapide de l Alanique enre New York e Cornwall au Royaume-Uni. Le voyage avai duré 3 jours 1 h 4 min avec une viesse moyenne de 34,5 n ud (65,5 km/h), c es-à-dire 1 h 2 min de moins que le record que déenai depuis 14 ans le Queen Mary. Quelle éai la viesse moyenne du Queen Mary? Eercice 2.15 Un oiseau vole vers le nord à 2 m/s pendan 15 s. Il se repose pendan 5 s puis vole vers le sud à 25 m/s pendan 1 s. Déerminez, la viesse moyenne pour la oalié de son voyage. Eercice 2.16 Une auomobile e un camion se déplacen iniialemen dans la même direcion à 2 m/s, le camion ayan 38 m d avance. L auomobile accélère à un au consan de 2 m/s 2, dépasse le camion, e se raba dans la voie de droie lorsqu elle se rouve à 11 m devan le camion. Quelle disance a parcourue le camion duran ce emps? Eercice 2.17 Le rain A a une longueur de 1 km e roule à 5 m/s. Le rain B a une longueur de,5 km e démarre juse à l insan où l arrière du rain A passe au niveau de l avan du rain B. Le rain B a une accéléraion de 3 m/s 2 e une viesse maimale de 6 m/s. 1. À quel insan B dépasse--il A, c es-à-dire à quel insan l arrière de B dépasse--il l avan de A? 2. Quelle disance le rain A a--il parcourue pendan ce emps? Eercice 2.18 Un T.G.V. roule sur une voie reciligne à la viesse de 26 km/h. La longueur du convoi vau 4 m. Un hélicopère, de longueur négligeable, vole à 3 km/h au-dessus de la voie ferrée dans le sens inverse du TGV. Le TGV e l hélicopère se croisen sur la voie

15 5 Cinémaique 2BC reciligne. Calculer le emps pendan lequel l hélicopère va reser à au-dessus du TGV. Eercice 2.19 Un auomobilise roule sur un ronçon d auoroue reciligne à la viesse de 13 km/h. Soudain, un obsacle fie apparaî sur la voie à une disance de 12 m. Le conduceur freine immédiaemen e rédui sa viesse à 15 km/h au bou d une durée de 1 s. On suppose la décéléraion de l auomobile consane. 1. Calculer la valeur de la décéléraion. 2. À quelle disance de l obsacle la voiure va--elle s arrêer? Eercice 2.2 La plus grande viesse aeine par un êre humain es de 12,5 m/s. C es Rober Hayes qui a réalisé ce eploi pendan une course. Une Porsche 911 Turbo peu aeindre 96 km/h en 4,6 s. Supposons que Hayes puisse mainenir sa viesse maimale e que l auomobile démarre juse au momen où il arrive à sa haueur. 1. Où e quand va--elle le raraper? 2. Quelles son leurs viesses à ce poin?