Table des matières. Les méthodes Droite passant par deux points Les droites parallèles Les droites perpendiculaires
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- Norbert Paquette
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2 Table des matières Repérage dans le plan 1 Repérage dans le plan 2 3 Les méthodes 4 Distance de deux points Distance d'un point à une droite
3 Repérage dans le plan Dénition Un repère othonormé du plan est la donné de deux droites graduées perpendiculaires où l'unité est la même. Le point d'intersection de ces deux droites est appelé l'origine du repère. La droite horisontale est appelée l'axe des abscisses. La droite vérticale est appelée l'axe des ordonnées. Chaque point du plan peut être repéré par un couple de nombres (x, ) appelé les coordonées.
4 Repérage dans le plan Dénition Un repère othonormé du plan est la donné de deux droites graduées perpendiculaires où l'unité est la même. Le point d'intersection de ces deux droites est appelé l'origine du repère. La droite horisontale est appelée l'axe des abscisses. La droite vérticale est appelée l'axe des ordonnées. Chaque point du plan peut être repéré par un couple de nombres (x, ) appelé les coordonées. 0
5 Repérage dans le plan Dénition Un repère othonormé du plan est la donné de deux droites graduées perpendiculaires où l'unité est la même. Le point d'intersection de ces deux droites est appelé l'origine du repère. La droite horisontale est appelée l'axe des abscisses. La droite vérticale est appelée l'axe des ordonnées. Chaque point du plan peut être repéré par un couple de nombres (x, ) appelé les coordonées.
6 Repérage dans le plan Dénition Un repère othonormé du plan est la donné de deux droites graduées perpendiculaires où l'unité est la même. Le point d'intersection de ces deux droites est appelé l'origine du repère. La droite horisontale est appelée l'axe des abscisses. La droite vérticale est appelée l'axe des ordonnées. Chaque point du plan peut être repéré par un couple de nombres (x, ) appelé les coordonées.
7 Repérage dans le plan Dénition Un repère othonormé du plan est la donné de deux droites graduées perpendiculaires où l'unité est la même. Le point d'intersection de ces deux droites est appelé l'origine du repère. La droite horisontale est appelée l'axe des abscisses. La droite vérticale est appelée l'axe des ordonnées. Chaque point du plan peut être repéré par un couple de nombres (x, ) appelé les coordonées. P =(abscisse, ordonnée)
8 Équation cartésienne de la droite Dénition Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme Ax + B + C = 0 où l'un au moins des nombres A ou B n'est pas nul. Par exemple : La droite de pente 1 d 1 : x = 0. La droite vérticale d 2 : x + 3 = 0. La droite horizontale d 3 : + 3 = 0. d 1
9 Équation cartésienne de la droite Dénition Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme Ax + B + C = 0 où l'un au moins des nombres A ou B n'est pas nul. Par exemple : La droite de pente 1 d 1 : x = 0. La droite vérticale d 2 : x + 3 = 0. La droite horizontale d 3 : + 3 = 0. d 1
10 Équation cartésienne de la droite Dénition Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme Ax + B + C = 0 où l'un au moins des nombres A ou B n'est pas nul. Par exemple : La droite de pente 1 d 1 : x = 0. La droite vérticale d 2 : x + 3 = 0. La droite horizontale d 3 : + 3 = 0. d 2
11 Équation cartésienne de la droite Dénition Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme Ax + B + C = 0 où l'un au moins des nombres A ou B n'est pas nul. Par exemple : La droite de pente 1 d 1 : x = 0. La droite vérticale d 2 : x + 3 = 0. La droite horizontale d 3 : + 3 = 0. d 3
12 Les méthodes On peut trouver l'équation d'une droite en connaissant : deux points distincts de cette droite ; un point de la droite et une droite parallèle ; un point de la droite et une droite perpendiculaire.
13 Les méthodes L'équation ( P )(x Q x P ) (x x P )( Q P ) = 0 est une équation de la droite passant par deux points donnés P = (x P, P ) et Q = (x Q, Q ). Par exemple : Données P = (4, 2) et Q = ( 1, 1) Calculs : ( 2)(1 4) (x 4)( 1 2) = 0 Solution : ( 2)( 3) (x 4)( 3) = 0 x 2 = 0. 0 P = (4, 2) x Q = (1, 1)
14 Les méthodes L'équation ( P )(x Q x P ) (x x P )( Q P ) = 0 est une équation de la droite passant par deux points donnés P = (x P, P ) et Q = (x Q, Q ). Par exemple : Données P = (4, 2) et Q = ( 1, 1) Calculs : ( 2)(1 4) (x 4)( 1 2) = 0 Solution : ( 2)( 3) (x 4)( 3) = 0 x 2 = 0. 0 P = (4, 2) x Q = (1, 1)
15 Les méthodes L'équation ( P )(x Q x P ) (x x P )( Q P ) = 0 est une équation de la droite passant par deux points donnés P = (x P, P ) et Q = (x Q, Q ). Par exemple : Données P = (4, 2) et Q = ( 1, 1) Calculs : ( 2)(1 4) (x 4)( 1 2) = 0 Solution : ( 2)( 3) (x 4)( 3) = 0 x 2 = 0. 0 P = (4, 2) x Q = (1, 1)
16 Les méthodes L'équation ( P )(x Q x P ) (x x P )( Q P ) = 0 est une équation de la droite passant par deux points donnés P = (x P, P ) et Q = (x Q, Q ). Par exemple : Données P = (4, 2) et Q = ( 1, 1) Calculs : ( 2)(1 4) (x 4)( 1 2) = 0 Solution : ( 2)( 3) (x 4)( 3) = 0 x 2 = 0. 0 x 2 = 0 P = (4, 2) x Q = (1, 1)
17 Les méthodes L'équation P = a(x x P ) est une équation de la droite qui passe par P = (x P, P ) et qui est parallèle à la droite donnée = ax + b. Par exemple : Données. : P = ( 7, 1) et l : = 2x + 3 Calculs : 1 = 2 x ( 7) Solution : 1 = 2x x + 15 = 0. P = ( 7, 1) = 2x + 3
18 Les méthodes L'équation P = a(x x P ) est une équation de la droite qui passe par P = (x P, P ) et qui est parallèle à la droite donnée = ax + b. Par exemple : Données. : P = ( 7, 1) et l : = 2x + 3 Calculs : 1 = 2 x ( 7) Solution : 1 = 2x x + 15 = 0. P = ( 7, 1) = 2x + 3
19 Les méthodes L'équation P = a(x x P ) est une équation de la droite qui passe par P = (x P, P ) et qui est parallèle à la droite donnée = ax + b. Par exemple : Données. : P = ( 7, 1) et l : = 2x + 3 Calculs : 1 = 2 x ( 7) Solution : 1 = 2x x + 15 = 0. P = ( 7, 1) = 2x + 3
20 Les méthodes L'équation P = a(x x P ) est une équation de la droite qui passe par P = (x P, P ) et qui est parallèle à la droite donnée = ax + b. Par exemple : Données. : P = ( 7, 1) et l : = 2x + 3 Calculs : 1 = 2 x ( 7) Solution : 1 = 2x x + 15 = 0. 2x + 15 = 0 P = ( 7, 1) = 2x + 3
21 Les méthodes L'équation P = a(x x P ) est une équation de la droite qui passe par P = (x P, P ) et qui est parallèle à la droite donnée = ax + b. Condition de parallélisme Deux droites du plan sont parallèles si est seulement si leurs coecients directeurs sont égaux.
22 Les méthodes L'équation P = 1 a (x x P ) est une équation de la droite qui passe par P = (x P, P ) et qui est orthogonale à la droite = ax + b (a 0). Par exemple : Données : P = ( 7, 1) et l : = 2x + 3. Calculs : 1 = 1 2 x ( 7) P = ( 7, 1) Solution : 2 2 = x 7 x = 0. = 2x + 3
23 Les méthodes L'équation P = 1 a (x x P ) est une équation de la droite qui passe par P = (x P, P ) et qui est orthogonale à la droite = ax + b (a 0). Par exemple : Données : P = ( 7, 1) et l : = 2x + 3. Calculs : 1 = 1 2 x ( 7) P = ( 7, 1) Solution : 2 2 = x 7 x = 0. = 2x + 3
24 Les méthodes L'équation P = 1 a (x x P ) est une équation de la droite qui passe par P = (x P, P ) et qui est orthogonale à la droite = ax + b (a 0). Par exemple : Données : P = ( 7, 1) et l : = 2x + 3. Calculs : 1 = 1 2 x ( 7) P = ( 7, 1) Solution : 2 2 = x 7 x = 0. = 2x + 3
25 Les méthodes L'équation P = 1 a (x x P ) est une équation de la droite qui passe par P = (x P, P ) et qui est orthogonale à la droite = ax + b (a 0). Par exemple : Données : P = ( 7, 1) et l : = 2x + 3. Calculs : 1 = 1 2 x ( 7) x = 0P = ( 7, 1) Solution : 2 2 = x 7 x = 0. = 2x + 3
26 Les méthodes L'équation P = 1 a (x x P ) est une équation de la droite qui passe par P = (x P, P ) et qui est orthogonale à la droite = ax + b (a 0). Condition d'orthogonalité Deux droites du plan sont perpendiculaires si et seulement si elles ont les coecients directeurs inverses et opposés à la fois.
27 Distance de deux points Distance de deux points Distance d'un point à une droite On donne les points P = (x P, P ) et Q = (x Q, Q ). Alors, d'après le théorème de Pthagore, on a : Q Donc P Q 2 = P R 2 + QR 2 P P Q 2 = (x Q x P ) 2 + ( Q P ) 2 Pour calculer la distance P Q on utilise la formule q P Q = (x Q x P ) 2 + ( Q P ) 2
28 Distance de deux points Distance de deux points Distance d'un point à une droite On donne les points P = (x P, P ) et Q = (x Q, Q ). Alors, d'après le théorème de Pthagore, on a : Q Donc P Q 2 = P R 2 + QR 2 P R P Q 2 = (x Q x P ) 2 + ( Q P ) 2 Pour calculer la distance P Q on utilise la formule q P Q = (x Q x P ) 2 + ( Q P ) 2
29 Distance de deux points Distance de deux points Distance d'un point à une droite On donne les points P = (x P, P ) et Q = (x Q, Q ). Alors, d'après le théorème de Pthagore, on a : Q Donc P Q 2 = P R 2 + QR 2 P R P Q 2 = (x Q x P ) 2 + ( Q P ) 2 Pour calculer la distance P Q on utilise la formule q P Q = (x Q x P ) 2 + ( Q P ) 2
30 Distance de deux points Distance de deux points Distance d'un point à une droite On donne les points P = (x P, P ) et Q = (x Q, Q ). Alors, d'après le théorème de Pthagore, on a : Q Donc P Q 2 = P R 2 + QR 2 P R P Q 2 = (x Q x P ) 2 + ( Q P ) 2 Pour calculer la distance P Q on utilise la formule q P Q = (x Q x P ) 2 + ( Q P ) 2
31 Distance d'un point à une droite Distance de deux points Distance d'un point à une droite Dénition La distance d'un point P à une droite est la distance de ce point à son projeté H sur cette droite. P 0 H x Soit P = (x P, P ) un point et Ax + B + C = 0 l'équation d'une droite. La distance d du point P à la droite l on calcule par la formule d = Ax P + B P + C A 2 + B 2
32 Distance d'un point à une droite Distance de deux points Distance d'un point à une droite Dénition La distance d'un point P à une droite est la distance de ce point à son projeté H sur cette droite. P 0 H x Soit P = (x P, P ) un point et Ax + B + C = 0 l'équation d'une droite. La distance d du point P à la droite l on calcule par la formule d = Ax P + B P + C A 2 + B 2
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