Seconde Géométrie vectorielle Notion de vecteurs coordonnées de vecteurs

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1 Notion de ecters coordonnées de ecters I. Notion de ecters a) Vecters et translations Définition : A et B désignent dex points d plan. La translation qi transforme A en B associe à tot point C d plan l'niqe point D tel qe les segments [BC] et [AD] ont le même milie. 1 er cas : C (AB) ème cas : C (AB) D est le point tel qe ABDC est n parallélogramme. On dit qe ABDC est n parallélogramme aplati. Définition : Si ne translation transforme A en A, B en B, C en C, on dit qe les coples (A,A ), (B,B ), (C,C ) définissent n même objet appelé ecter. A C C Le ecter AA est défini : - par sa direction (celle de la droite (AA )) - par sa longer (la longer AA ) - par son sens (de A ers A ) Remarqe : A chaqe translation correspond n ecter q on appelle ecter de la translation. ( AA por la translation précédente) B A B b) égalité de ecters Définition : On dit qe dex ecters sont égax lorsq ils ont même direction, même sens et même longer. On note = AB = CD = EF On dit qe AB, CD, EF sont des représentants d'n même ecter. 1

2 Notion de ecters coordonnées de ecters Vecters particliers : Le ecter nl 0 : por tot point M, MM = 0 Le ecter opposé à AB est le ecter qi a la même direction, la même longer qe AB mais n sens opposé. C est donc le ecter BA. On note : BA = - AB Propriété : Dire qe qatre points A, B, C et D sont tels qe AB = ABCD est n parallélogramme, éentellement aplati. DC éqiat à dire qe c) somme et différence de ecters Définition : La somme de dex ecters et est le ecter, noté +, défini ainsi : A étant n point qelconqe, on place le point B tel qe AB =, pis le point C tel qe BC= ; alors + = AC. + L égalité AB + BC = AC est appelée relation de Chasles. Remarqe : si = OM et = ON, alors + = OR où OMRN est n parallélogramme. On en dédit la règle d parallélogramme : A, B et C étant donnés, AB + AC = AD éqiat à ABDC est n parallélogramme. Définition : La différence d ecter et d ecter s obtient en ajotant a ecter l opposé d ecter : = + (- ) Milie d n segment : Le milie de [AB] est le point I tel qe : AB = AI o AI = 1 AB. Atres tradctions : AI = IB ; IA = - IB ; AI + BI = 0.

3 Notion de ecters coordonnées de ecters Exercice : 1. Démontrer qe por tos points O, A et B, AB OB OA=. A, B et C sont trois points ; I est le milie de [BC]. Démontrer qe AI = AB + AC. Soltion : 1. OB OA = OB + AO = AO + OB= AB d après la relation de Chasles.. AB+ AC = AI+ IB+ AI + IC d après la relation de Chasles = AI + IB+ IC Or I est le milie de [BC], d où IB+ IC= 0 Donc on a bien AI = AB+ AC. II Mltiplication d n ecter par n réel a) Définition désigne n ecter non nl et k n nombre réel non nl. Le prodit d ecter par le réel k est le ecter k tel qe : k et ont même direction Lorsqe k > 0 k a le même sens qe la longer de k est le prodit de k par la longer de. C B A k Lorsqe k < 0 k est de sens opposé à celi de la longer de k est le prodit de l opposé de k par la longer de. B A C k Exemples : centre de graité d n triangle : Le centre de graité d triangle ABC est le point G tel qe AG = AI o GA = -GI, lorsqe I est le milie de [BC] (c est à dire qe (AI) est la médiane isse de A). Atres tradctions : IG = 1 IA ; GI= - 1 GA.

4 Notion de ecters coordonnées de ecters le théorème des miliex ABC est n triangle. Si M est le milie de [AB] et N celi de [AC] alors MN = 1 BC. En effet : MN = MA + AN d après la relation de Chasles = 1 1 BA + AC car M est le milie de [AB] et N celi de [AC] = 1 ( BA + AC) = 1 BC d après la relation de Chasles b) règles de calcl Propriétés : k = 0 éqiat à k = 0 o = 0 Por tos réels k, k et tos ecters, : k( + ) = k + k k(k ) = (kk ) (k + k ) = k + k 1. = Exemples : AB + AB = ( + ) AB = 5 AB - = - = - AM = 0 éqiat à AM = 0, c est à dire A = M. III Colinéarité de dex ecters a) ecters colinéaires A D B C Définition : Dire qe dex ecters non nls = AB et = CD sont colinéaires signifie q ils ont la même direction. Cela signifie qe les droites (AB) et (CD) sont parallèles o confondes. Propriété : Dire qe les ecters non nls et sont colinéaires éqiat à dire q il existe n nombre réel k non nl tel qe = k. Remarqe : Par conention, on dit qe le ecter nl est colinéaire à tot ecter. 4

5 Notion de ecters coordonnées de ecters b) parallélisme et alignement Dire qe les droites (AB) et (CD) sont parallèles éqiat à dire q il existe n nombre réel k non nl tel qe CD = k AB. Dire qe les points distincts A, B et C sont alignés éqiat à dire q il existe n nombre réel k non nl tel qe AB = k AC. Exemple : ABC est n triangle, les points I et J sont tels qe 1 AI = AB et AJ = AC 1. Exprimer IC et BJ en fonction de AB et AC.. En dédire qe les droites (IC) et (BJ) sont parallèles. Soltion : 1. IC = IA + AC d après la relation de Chasles = - 1 AB + AC BJ = BA + AJ d après la relation de Chasles BJ = - AB + AC. D après les égalités précédentes, on obtient : BJ = IC Donc les ecters BJ et IC sont colinéaires et les droites (BJ) et (IC) sont parallèles. IV Coordonnées de ecters Dans ce paragraphe, n repère (O ;I,J) d plan est fixé. On note i = OI et j = OJ. Le repère (O,I,J) se note assi (O ; i ; j). a) Généralités est n ecter donné ; M est le point tel qe OM =. Notons (x ; y) les coordonnées d point M. Alors OM= x i + yj. Donc = x i + yj. Ainsi tot ecter d plan pet s écrire sos la forme : = x i + yj. 5

6 Notion de ecters coordonnées de ecters Définition : Dire qe le ecter signifie qe = x i + yj. On note x y. a por coordonnées x y dans le repère (O ; i, j) Propriété : Dire qe les ecters x y et x' y' sont égax éqiat à dire qe lers coordonnées respecties sont égales: x = x et y = y. b) règles de calcl sr les coordonnées Propriétés : x y et x' y' sont dex ecters et k est n réel qelconqe, Le ecter + a por coordonnées x + x' y + y' ; Le ecter k a por coordonnées kx ky. En effet = x i + yj et = x i + y j, on a alors + = (x + x ) i + (y + y ) j. Calcl des coordonnées de AB : 6

7 Notion de ecters coordonnées de ecters A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) sont dex points. Le ecter AB a por coordonnées x B x A y. B y A Démonstration : D après la relation de Chasles, AB = AO + OB et AO = -OA. De pls OA = xa i + ya j et OB = x B i + yb j. On obtient alors AB = (xb x A ) i + (yb y A ) j. Exercice : Dans n repère (O ; i, j), on donne le point A(-1 ; ) et le ecter -1. La translation de ecter transforme A en B. Calcler les coordonnées de B. Soltion : On note (x B ; y B ) les coordonnées d point B. La translation de ecter transforme A en B signifie qe = AB. Les coordonnées de ces dex ecters sont donc égales. On en dédit : x B (-1) = et y B = -1 d où x B = et y B = 1 Donc B( ; 1). c) condition de colinéarité Propriété : Dans n repère (O ; i, j ) fixé, dire qe les ecters non nls x y et x' y' sont colinéaires éqiat à dire qe xy x y = 0. Exemples : 1 si - 1 et 5-5, alors xy x y = = = 0 Donc et sont colinéaires si et - 4 5, alors xy x y = = = Donc et ne sont pas colinéaires. 7

8 Notion de ecters coordonnées de ecters Exercice : Le plan est mni d n repère (O ; i, j ). On considère les points A(- ; ), B(4 ; -1) et C(1 ; 4). Déterminer les points D(4 ; y) et M(x ; ) tels qe : ABCD est n trapèze, de bases parallèles [AB] et [CD], et M est n point de la droite (AB). Soltion : (AB) et (CD) sont parallèles signifie qe les ecters AB et CD sont colinéaires. AB x B x A y ; AB 4 (-) B y A -1 ; AB 6-4 et CD x D x C y ; CD 4 1 D y C y 4 ; CD y 4 AB et CDsont colinéaires signifie qe 6 (y 4) (-4) = 0 6y 1 = 0 Donc y = et D(4 ; ). M est n point de (AB) signifie qe les points M, A et B sont alignés et donc qe les ecters AB et AM sont colinéaires. AB 6-4 et AM x M x A y ; AM x (-) M y A ; AM x + -1 AB et AM sont colinéaires se tradit par : 6 (-1) (-4) (x + ) = 0 + 4x = 0 donc x = - 1 et M - 1 ;. 8