Corrections des exercices sur les pyramides et cônes de révolution Exercice 1 :

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1 Corrections des exercices sur les pyramides et cônes de révolution Exercice 1 : Bien que sa base soit un polygone régulier ( un carré), la pyramide 1 n est pas régulière car sa hauteur ne passe pas par le centre de sa base. Par contre la pyramide 2 est régulière, sa base est un polygone régulier et sa hauteur passe par le centre de ce polygone. Exercice : a. Il faut que la circonférence du cercle (C) soit égale à la longueur de l arc AA du cercle (C ). Calculons la longueur de l arc AA : On sait que la longueur d un arc de cercle est proportionnelle à la mesure de l angle qu il intercepte. On a donc le tableau de proportionnalité suivant : Longueur de l arc 2 π 6,5 angle qu il intercepte L On en déduit que L = (216 2 π 6,5) : 60 24,5. On doit donc trouver le rayon r de la base dont la circonférence est 24,5 cm. Puisque la circonférence d un cercle est donné par la formule 2 π r, il vient que 2 π r = 24,5 d où r = 24,5 : (2π ),9. Le rayon du cercle C est donc de,9 cm. b. Pour le patron voir à la dernière page! Exercice 2 : 1 ) Je ne suis pas d accord. Par définition la hauteur d une pyramide est toujours perpendiculaire à la base. Pour que la pyramide soit régulière il faut que la base soit un polygone régulier et que la hauteur passe par le centre de ce polygone. 2 ) Je suis d accord. Le volume d un cône est 1 B h et celui d un cylindre B h, avec h la hauteur et B l aire de la base. ) Je suis d accord. 4 ) Je suis d accord, en effet on obtient un cône de révolution en faisant tourner un triangle rectangle autour de l un des côtés de l angle droit. 5 ) Je ne suis pas d accord. Il faut que la circonférence de la base soit égale à la longueur de l arc AA.(voir schéma ci-dessous) Or ici la circonférence de la base est égale à 2π donc l angle, la longueur de l arc AA doit être égale à 2π or SA =2 cm et on a la propriété : la longueur d un arc de cercle est proportionnelle à la mesure de l angle qu il intercepte. Calculons alors la mesure de l angle A SA : A SA = 60 2π : (2 π 2) = 180. L angle A SA doit donc mesurer 180 ce qui n est pas le cas sur le schéma de l énoncé. 6 )Je suis d accord. Supposons que AB = 6 cm et SH = 4cm. Pour calculer l aire latérale de la pyramide, on doit calculer l aire de chaque face latérale. On a de la chance, car on travaille sur une pyramide régulière donc les quatre c. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle faces de la pyramide sont des triangles de même aire. SAO rectangle en O, on a SA² = SO² + OA² or OA =,9 Calculons SM : On applique le théorème de Pythagore et SA = 6,5 d où SO² = SA² - OA² = 27,04. dans le triangle SHM rectangle en H, on a Il vient que la hauteur du cône est de SM² = SH² + MH²or MH = cm et SH = 4 cm donc 27,04 cm c'est-à-dire 5,2 cm. SM² = = 25 d où SM = 5 cm. On en déduit l aire latérale de la pyramide : (aire d une face) 4=(5 6 :2) 4 = 60. L aire latérale de la pyramide est bien de 60 cm². Exercice 4 : La figure du milieu n est pas le patron d une pyramide.

2 Exercice 9 : Le volume de la pyramide de Khéops est : 1 20,² m Le volume de la pyramide de Mykérinos est : 1 104,6² m Le volume de la pyramide de Khephren est : 1 215,15² 16, m Exercice 5 : Exercice 6 : a. Les triangles SAB, SAM et SMH sont isocèles. b. a. Pour calculer AH², on va calculer AC² puis utiliser le fait que H soit le milieu de [AC]. ABCD est un carré de cm de côté donc ABC est un triangle rectangle et isocèle en B.On applique le théorème de Pythagore dans ce triangle, on a AC² = AB² + BC² or AB = BC = donc AC² = 18. De plus AC = 2 AH d où AC² = 4 AH². Il vient que 4AH²=18 et donc AH² = 4,5. Calculons maintenant SA : Grâce au théorème de Pythagore appliqué dans le triangle SAH rectangle en H, on a: SA² = AH² + HS² or HS = 6 et AH² = 4,5.d où SA²= 4,5 + 6 = 40,5 et donc SA = 40, 5 6,6. La longueur de [SA] est donc 6,6 cm environ. b.voir à la dernière page! c. On peut construire une telle pyramide sans effectuer aucun calcul. Pour cela il suffit de construire la longueur SA : on trace un triangle rectangle dont les côtés de l angle droit mesure et 6 cm. La longueur de l hypoténuse de ce triangle est la longueur de [SA]. (en fait, on a juste tracé le triangle SAH dans le plan de la feuille). Il suffit pour terminer le patron de tracé un carré de côté cm et de construire quatre triangles isocèles (en utilisant la longueur trouvée précédemment ) autour du carré. Exercice 7 : On a V clocher = V prisme droit + V pyramide = 5,5 2,5 2, ,5² (8-5,5) 9,58. Le volume du clocher est environ égal à 9,58 m. Premier cas : SH = 5 cm et AB = 4 cm. Calculons SM : On applique le théorème de Pythagore dans le triangle SHM rectangle en H, on a SM² = SH² + MH² or MH = 2 cm et SH = 5 cm donc SM² = = 29 d où SM = 29 5,9 cm. L aire du triangle SAB est donc de 5 29 : 2 c'est-àdire 1,46 cm². SABCD étant une pyramide régulière, l aire latérale de la pyramide est égale à quatre fois l aire d une face donc l aire latérale recherchée est 1,46 4 = 5,84 environ (ou plus exactement ). 80 Le volume de la pyramide est 26,667 cm Deuxième cas : SA = 10 cm et AB = 4 cm. Cette fois-ci, on travaille dans le triangle SAM rectangle en M.En appliquant le théorème de Pythagore on trouve SM = 96. L aire latérale de la pyramide est égale à : 2 75,8 cm². On réutilise le théorème de Pythagore dans le triangle SHM rectangle en M, on a SM² = SH² + MH² or HM=2 et SM = 96 d où SH² = 92 et donc SH = 92. On peut maintenant calculer le volume de la pyramide : V = ,16. Troisième cas : SM = 8 cm et SH = 6 cm. Il faut calculer la longueur du côté de la base de la pyramide. On va calculer pour cela la longueur HM. On en déduira AB (car AB = 2 HM). On applique le théorème de Pythagore dans le triangle SHM rectangle en H, on a SM² = SH² + MH² or SM = 8 cm et SH = 6 cm donc MH² = 28.On en déduit que AB = ,58. L aire latérale de la pyramide est donc de 172, cm² et son volume est 672 cm.

3 Exercice 10 : Le volume du cône de révolution est 1 π r² h avec r le rayon de la base et h la hauteur du cône. Ici, h = SO = 6 et r = OA. Calculons AO : On applique le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle SOA rectangle en O, on a donc SO²+OA²=SA² d où OA² = SA² - SO². Il vient que OA²= 6,5²-6²=6,25 et donc OA = 2,5. On en déduit le volume du cône de révolution : 1 π 2,5² 6 9,2699. La valeur exacte du volume est 12,5 π et sa valeur arrondie au millième est 9,270 cm. Exercice 11 : 1. a, en cm 2 2,5 1 1,5 B, aire de base en cm² 4 9 6,25 1 2,25 V, volume de la pyramide en cm ,5 2 4,5 J ai dû réduire le graphique car il prenait trop de place..le volume n est pas proportionnel à la longueur du côté de la base car les points du graphique ne sont pas alignés. 2.

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