TRANSFORMATIONS ET NOMBRES COMPLEXES

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1 TRANSFORATIONS ET NOBRES COPLEXES Table des matières Applications géométriques des nombres complexes. Arguments d un nombre complexe Ensemble de points du plan. ROC Un cercle de centre O et de rayon r Un médiatrice Une droite AB Un cercle de diamètre [AB] Équation paramétrique d un cercle. ROC Écriture complexe d une transformation du plan 4. Définition Théorème : écriture complexe des transformations usuelles du plan. ROC La translation L homothétie La rotation La symétrie centrale de centre O La symétrie axiale d axe Ox La symétrie axiale d axe Oy

2 Transformations et nombres complexes Applications géométriques des nombres complexes. Arguments d un nombre complexe Soient A, B, C et D quatre points distincts d affixes respectives z A, z B, z C On sait que : L affixe du vecteur AB est zb z A. et z D AB A. arg z A e, OA z A 0 arg A e, AB zd z C arg AB; CD. A En effet : AB; CD AB; e + e ; CD. Ensemble de points du plan. ROC.. Un cercle de centre O et de rayon r e ; CD e ; AB arg z D z C arg A arg Soit r un rel strictement positif et Ω un point du plan d affixe le nombre complexe ω. zd z C A L ensemble des points du plan d affixe z tels que z ω r est le cercle de centre le point Ω et de rayon le rel r... Un médiatrice L ensemble des points du plan d affixe z tels que z z A z z B est la médiatrice du segment [AB]...3 Une droite AB L ensemble des points du plan d affixe z tels que..4 Un cercle de diamètre [AB] L ensemble des points du plan d affixe z tels que du point A. est réel est la droite AB privé du point A. est imaginaire pur est le cercle de diamètre [AB] privé Démonstration. z ω r Ω r. z z A z z B A B arg 3. Si est rel alors zb z 0 0 [π] ce qui signifie que A; B 0 [π] z z B π A B A B Géométrie Page Francis Rignanese

3 Transformations et nombres complexes 4. Si est un imaginaire pur alors arg zb z π 0 [π] ce qui signifie que A; B π z z B [π] A B 3.3 Équation paramétrique d un cercle. ROC Soit Ω un point du plan d affixe le nombre complexe ω x Ω + iy Ω. Un équation paramétrique du cercle de centre Ω et de rayon r est : z ω + r e iθ x x Ω + r cosθ encore, θ tant un réel quelconque. y y Ω + r sinθ Démonstration Soit, d affixe z, un point du cercle de centre Ω et de rayon r. Soit θ une mesure de l angle e ; Ω. Ns avons donc argz ω θ [π]. D autre part, tant sur le cercle on a aussi Ω r ce qui se traduit par z ω r Ainsi le nombre complexe z ω a pr module r et un argument égal à θ Ω θ On peut donc écrire que z ω r e iθ. e En écrivant ω x Ω + i y Ω, r e iθ r cosθ + ir sinθ et z x + i y on obtient : z ω r e iθ x + i y x Ω + i y Ω r cosθ + ir sinθ Soit x x Ω + iy y Ω r cosθ + i r sinθ x x Ω r cosθ Et donc y y Ω r sinθ Exemple Amérique de sud novembre 007 Le plan P est rapporté un repère orthonormal direct O, u, v. Soit f l application qui à tt point de P d affixe non nulle z associe le point d affixe : z. Soit E le point d affixe z E i. Déterminer l affixe du point E, image de E par f. Déterminer l ensemble des points tels que. z +. z 3. On note A et B les points d affixes respectives et et soit un point distinct des points O, A et B. z + z + a ontrer que, pr tt nombre complexe z différent de 0, et, on a : z. z Géométrie Page 3 Francis Rignanese

4 Transformations et nombres complexes b En déduire une expression de B A de l angle A, B B en fonction de A puis une expression de l angle A, B en fonction 4. Soit la médiatrice du segment [A, B]. ontrer que si est un point de distinct du point O, alors est un point de. 5. Soit Γ le cercle de diamètre [A, B]. a ontrer que si le point appartient Γ alors le point appartient à la droite AB. b Tt point de la droite AB a-t-il un antécédent par f?. z E i + i + i 0. E a donc pr image O. i. z z + z z + z z z. z Les points invariantségaux à leur image sont donc les points d affixe et. 3. Soit z avec z 0, z, z. a z + z z + z + z + z + z + z z + z z + + z z + z b z + z + z z + z z z + z z + z + z A, B z z + z + z. z z + z + z B z A A, B A, B. A, B 4. a A B B A. Et d après la question précédente B A Donc B A B A. B A B. A b Si appartient au cercle de diamètre [AB], alors A, B π [π]. Donc d après la question précédente A, B π [π], donc les points A, B et sont alignés encore [AB]. c Le cercle Γ a un rayon égal à et est centré en O. Tt point de Γ a donc une affixe de la forme z e iθ, avec u, O θ. D o z e iθ + e iθ e iθ + e iθ cosθ + isin θ + cosθ isin θ cosθ. Or cosθ, donc est un point du segment [AB]. Seuls les points de [AB] ont un antécédent par f Écriture complexe d une transformation du plan. Définition Soit T une transformation du plan qui transforme un point d affixe z en un autre point d affixe z. L écriture complexe de la transformation T est la bijection f de C dans C telle que z fz.. Théorème : écriture complexe des transformations usuelles du plan. ROC.. La translation L écriture complexe de la translation de vecteur u d affixe b est z z + b. Géométrie Page 4 Francis Rignanese

5 Transformations et nombres complexes.. L homothétie L écriture complexe de l homothétie de centre Ω d affixe ω et de rapport le rel k est z ω kz ω...3 La rotation L écriture complexe de la rotation de centre Ω d affixe ω et d angle le rel θ est z ω e iθ z ω...4 La symétrie centrale de centre O L écriture complexe de la symétrie centrale de centre O est : z z...5 La symétrie axiale d axe Ox L écriture complexe de la symétrie axiale d axe Ox est : z z...6 La symétrie axiale d axe Oy L écriture complexe de la symétrie axiale d axe Oy est : z z. Démonstration 3. Si est l image du point dans la translation de vecteur u d affixe b alors u et donc z z b.. Si est l image du point dans l homothétie de centre Ω d affixe ω et de rapport le rel k alors Ω k Ω et donc z ω kz ω. 3. Si est l image du point dans la rotation de centre Ω d affixe ω et d angle le rel θ Ω Ω z z ω z ω ω alors Ω; Ω et donc z θ [π] z ω z ω z ω ω d o arg θ [π] z z ω ω arg θ [π] z ω Autrement dit le nombre complexe z ω z ω Son écriture complexe est donc e iθ. Et donc z ω z ω eiθ. a pr module et un argument gal θ. Pr les trois autres la figure ci-contre suffit : 3 z e z O θ e z z Exemple Déterminer la nature des transformations ayant pr écriture complexe : a z z + i b z 3 z i c z 3z d z i z 3i + 3. z z + i. T est la translation de vecteur u d affixe + i.. z 3 i z e i π π 3 z. T est la rotation de centre O et d angle 3. Géométrie Page 5 Francis Rignanese

6 Transformations et nombres complexes 3. z 3z. T est l homothétie de centre le point O et de rapport le rel z iz et donc z 3 iz 3. T est la rotation de centre le point Ω d affixe 3 et d angle π. Exemple 3 France juin 007 Partie A On considère l équation : E z iz iz 3i 0 où z est un nombre complexe.. Démontrer que le nombre complexe i est solution de cette équation.. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pr tt nombre complexe z on ait : z iz iz 3i z i az + bz + c. 3. En déduire les solutions de l équation E. Partie B Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct O, u, v, on désigne par A, B et C les points d affixes respectives i, + 3i et 3i.. Soit r la rotation de centre B et d angle π 4. Déterminer l affixe du point A, image du point A par la rotation r.. Démontrer que les points A, B et C sont alignés et déterminer l écriture complexe de l homothétie de centre B qui transforme C en A. Partie A Soit E l équation z iz iz 3i 0.. On a : i ii ii 3i i i 4 + 3i 3i 0 donc i est solution de E.. z iaz + bz + c az 3 + b aiz + c biz ic. Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients sont égaux. On obtient le système : a a a b ai 4 i c 3 b 4 c bi 3 + 4i b i 4 i c 3 ic 3i 3 bi 3 + 4i donc z iz iz 3i z iz 4z L équation E s écrit z iz 4z Dans C, un produit de facteurs est nul si et seulement si l un des facteurs est nul. z i 0 z i z 4z i < 0. Il y a deux racines complexes conjuguées 4 6i 3i et + 3i. L ensemble des solutions est : S {i ; 3i ; + 3i} Partie B. Soit r la rotation de centre B et d angle π 4. Une écriture complexe de r est z z B e i π 4 z zb z e i π 4 z 3i + + 3i. On en déduit z A e i π 4 i + + 3i + i + i + + 3i i + + 3i + 3 i. Géométrie Page 6 Francis Rignanese

7 Transformations et nombres complexes. Les affixes de A, B et C ont la même partie réelle donc les trois points sont alignés sur la droite d équation x. A est donc l image de C par une homothétie de centre B et de rapport k. k > 0 donc k BA BC Une écriture complexe de cette homothétie est alors : z kz z B + z B c est-à-dire z z 3i + + 3i. 3 Géométrie Page 7 Francis Rignanese