Angles et parallélisme Exercices corrigés

Transcription

1 Angles et parallélisme Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : montrer que deux angles sont complémentaires Exercice 2 : trouver l angle complémentaire à un angle Exercice 3 : montrer que deux angles sont supplémentaires Exercice 4 : trouver l angle supplémentaire à un angle Exercice 5 : angles aigus et obtus Exercice 6 : angles adjacents Exercice 7 : angles opposés par le sommet Exercice 8 : angles alternes-internes et angles correspondants Exercice 9 : angles formés par deux droites parallèles et une droite sécante Exercice 10 : angles de même mesure et parallélisme de deux droites Exercice 11 : somme des angles dans un triangle Exercice 12 : cas particuliers du triangle rectangle, du triangle isocèle et du triangle équilatéral Rappel : Dénomination d un angle En général, on utilise trois lettres pour nommer un angle. La lettre centrale désigne alors le sommet. Sommet de l angle A droite, est représenté l angle, que l on peut aussi noter. Demi-droite Demi-droite Remarque : Cependant, une seule lettre peut suffire s il n y a aucun risque de confondre. Ainsi, à droite sont représentés l angle en orange, l angle en bleu et l angle en rouge. On peut noter de 3 manières différentes l angle. 1

2 Exercice 1 (1 question) Niveau : facile Dans chaque cas, dire si l angle bleu et l angle rouge sont complémentaires. 1) 2) 3) 4) Correction de l exercice 1 Rappel : Angles complémentaires Deux angles et sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à, c est-à-dire si. Autrement dit, si la somme de leurs mesures est égale à la mesure d un angle droit. 1) L angle rouge mesure et l angle bleu mesure. La somme de ces angles est donc. La somme des angles est égale à donc les angles sont complémentaires. 2) L angle rouge mesure et l angle bleu mesure. La somme de ces angles est. La somme des angles n est pas égale à donc les angles ne sont pas complémentaires. 3) L angle bleu mesure et l angle rouge mesure. La somme de ces angles ne peut pas être égale à car la mesure de l angle bleu, à elle seule, est déjà supérieure à. Il n est pas toujours Les angles ne sont pas complémentaires. nécessaire d effectuer des 4) Dans ce cas, on ne dispose que d une mesure d angle, celle de l angle droit gris. calculs! La somme des mesures de l angle bleu et de l angle rouge est, par codage, égale à complémentaires. donc les angles sont 2

3 Exercice 2 (1 question) Niveau : facile Dans chaque cas, donner si possible la mesure d un angle complémentaire à l angle proposé. 1) 2) 3) Correction de l exercice 2 1) On cherche un angle complémentaire à l angle donc on cherche un angle tel que. Autrement dit, on cherche tel que. L angle de mesure est complémentaire à l angle de mesure. 2) On cherche un angle tel que. On cherche donc tel que. Cette mesure d angle est négative donc il n existe pas d angle complémentaire à l angle de mesure. 3) On cherche un angle tel que. On cherche donc tel que. L angle de mesure est l angle complémentaire à l angle de mesure. Autrement dit, l angle nul et l angle droit sont complémentaires. Remarque : On pourra retenir qu un angle obtus n a pas d angle complémentaire. Exercice 3 (1 question) Niveau : facile Dans chaque cas, dire si les angles sont supplémentaires. 1) 2) 3) 4) 3

4 Correction de l exercice 3 Rappel : Angles supplémentaires Deux angles et sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à somme de leurs mesures est égale à la mesure d un angle plat. On a donc :., c est-à-dire si la 1) L angle rouge mesure et l angle bleu mesure. La somme de ces angles est par conséquent. La somme des angles n est pas égale à donc les angles ne sont pas supplémentaires. 2) L angle bleu mesure et l angle rouge mesure. La somme de ces angles est. La somme des angles est égale à donc les angles sont supplémentaires. 3) L angle rouge mesure et l angle rouge mesure. La somme de ces angles est. La somme des angles n est pas égale à donc les angles ne sont pas supplémentaires. Remarque : On pourra retenir que deux angles aigus ne sont pas supplémentaires. 4) Dans ce cas, on ne dispose que d une mesure d angle, celle de l angle plat gris. La somme des mesures de l angle bleu et de l angle rouge est, par codage, égale à supplémentaires. donc les angles sont Exercice 4 (1 question) Niveau : facile Dans chaque cas, donner si possible la mesure d un angle supplémentaire à l angle proposé. 1) 2) 3) Correction de l exercice 4 1) On cherche un angle supplémentaire à l angle donc on cherche un angle tel que. Autrement dit, on cherche tel que. L angle de mesure est supplémentaire à l angle de mesure. 2) On cherche un angle supplémentaire à donc on cherche un angle tel que. Autrement dit, on cherche tel que. L angle de mesure est supplémentaire à l angle de mesure. 4

5 3) On cherche un angle tel que. Par conséquent, on cherche tel que. L angle de mesure est l angle supplémentaire à l angle de mesure. Autrement dit, deux angles droits sont supplémentaires. Exercice 5 (2 questions) Niveau : moyen Dans chacun des quatre cas ci-dessous, construire, si possible, l angle décrit et dire s il est aigu ou obtus. 1) Un angle complémentaire à un angle aigu. 2) Un angle complémentaire à un angle obtus. 3) Un angle supplémentaire à un angle aigu. 4) Un angle supplémentaire à un angle obtus. Correction de l exercice 5 Rappel : Angle aigu et angle obtus Un angle aigu mesure entre et exclus. Un angle obtus mesure entre et exclus. 1) Construisons dans un premier temps, en bleu, un angle aigu. Regardons dans un second temps s il existe un angle complémentaire en cherchant un angle tel que. Construisons ensuite cet angle, en rouge. Enfin, concluons. L angle obtenu est un angle aigu. Il existe bien un angle complémentaire de mesure. Remarque : On pourra retenir que l angle complémentaire à un angle aigu est un angle aigu. 5

6 2) Construisons dans un premier temps, en bleu, un angle obtus. Regardons dans un second temps s il existe un angle complémentaire en cherchant un angle tel que. Il n existe donc pas d angle complémentaire. Remarque : On pourra retenir qu il n existe pas d angle complémentaire à un angle obtus. 3) Construisons dans un premier temps, en bleu, un angle aigu. Regardons dans un second temps s il existe un angle supplémentaire en cherchant un angle tel que. Construisons ensuite cet angle, en rouge. Enfin, concluons. L angle obtenu est un angle obtus. Il existe bien un angle supplémentaire de mesure. Remarque : On pourra retenir que l angle supplémentaire à un angle aigu est un angle obtus. 4) Construisons dans un premier temps, en bleu, un angle obtus. Regardons dans un second temps s il existe un angle supplémentaire en cherchant un angle tel que. Construisons ensuite cet angle, en rouge. Enfin, concluons. L angle obtenu est un angle aigu. Il existe bien un angle supplémentaire de mesure. Remarque : On pourra retenir que l angle supplémentaire à un angle obtus est un angle aigu. 6

7 Exercice 6 (1 question) Niveau : facile Dans chaque cas, dire si les angles rouge et bleu sont adjacents. Lorsqu ils ne le sont pas, justifier. 1) 2) 3) 4) 5) 6) Correction de l exercice 6 Rappel : Angles adjacents Deux angles adjacents et sont deux angles qui : ont le même sommet Sommet commun ont un côté commun se situent de part et d autre de ce côté commun Côté commun 1) L angle rouge et l angle bleu ont le même sommet et un côté commun et se situent de part et d autre de ce côté commun. Ainsi, ces angles sont adjacents. Sommet commun Côté commun 7

8 2) L angle rouge et l angle bleu ont le même sommet mais pas de côté commun. Donc ces angles ne sont pas adjacents. Sommet commun 3) L angle rouge et l angle bleu n ont pas le même sommet donc ces angles ne sont pas adjacents. 4) L angle rouge et l angle bleu ont le même sommet et un côté commun et se situent de part et d autre de ce côté commun. Donc ces angles sont adjacents. Sommet commun Côté commun 5) L angle rouge et l angle bleu ont le même sommet et un côté commun et se situent de part et d autre de ce côté commun. Par conséquent, ces angles sont adjacents. 6) L angle rouge et l angle bleu ont le même sommet et un côté commun mais ils ne se situent pas de part et d autre de ce côté commun. Donc ces angles ne sont pas adjacents. Sommet commun Sommet commun Côté commun Côté commun Exercice 7 (1 question) Niveau : facile Dans chaque cas, dire si les angles rouge et bleu sont opposés par le sommet. Lorsqu ils ne le sont pas, justifier. 1) 2) 3) 4) 8

9 Correction de l exercice 7 Rappel : Angles opposés par le sommet Deux angles opposés par le sommet sont deux angles qui : ont le même sommet ont leurs côtés dans le prolongement l un de l autre Sommet commun Remarque : Deux angles opposés par le sommet ont même mesure et sont symétriques par rapport au sommet. 1) L angle rouge et l angle bleu ont le même sommet. L un des côtés de l angle rouge est dans le prolongement d un des côtés de l angle bleu, mais le deuxième côté de l angle rouge n est pas dans le prolongement de l autre côté de l angle bleu. Par conséquent, ces angles ne sont pas opposés par le sommet. Remarque : Observant que les angles ne sont pas de même mesure, on peut directement conclure que les angles ne sont pas opposés par le sommet. 2) L angle rouge et l angle bleu ont le même sommet. De plus, ces angles ont leurs côtés dans le prolongement l un de l autre donc ils sont opposés par le sommet. 3) L angle rouge et l angle bleu ont le même sommet. L un des côtés de l angle rouge est dans le prolongement d un des côtés de l angle bleu, mais le deuxième côté de l angle rouge n est pas dans le prolongement de l autre côté de l angle bleu. Par conséquent, ces angles ne sont pas opposés par le sommet. 4) L angle rouge et l angle bleu ont la même mesure, d après le codage. Toutefois, ils n ont pas le même sommet donc ces angles ne sont pas opposés par le sommet. 9

10 Exercice 8 (2 questions) Niveau : facile En utilisant la figure ci-contre, 1) nommer des angles alternes-internes formés par les droites et et la sécante 2) nommer des angles correspondants formés par les droites et et la sécante Correction de l exercice 8 Rappel : Angles alternes-internes et angles correspondants Soient deux droites et coupées par une droite sécante. Deux angles alternes-internes sont deux angles formés par ces trois droites et : qui n ont pas le même sommet qui sont de part et d autre de la droite sécante qui sont à l intérieur de la bande délimitée par les droites et Deux angles correspondants sont deux angles formés par ces trois droites et : qui n ont pas le même sommet qui sont du même côté de la droite sécante dont l un est à l intérieur de la bande délimitée par les droites et et dont l autre est à l extérieur de cette bande 10

11 1) Les angles bleus et sont alternesinternes. En effet, ils n ont pas même sommet, se situent à l intérieur de la bande grise et sont de part et d autre de la sécante verte. Les angles bleus et sont alternesinternes. En effet, ils n ont pas même sommet, se situent à l intérieur de la bande grise et sont de part et d autre de la sécante verte. 2) Les angles rouges et sont correspondants. En effet, ils n ont pas même sommet, sont du même côté de la sécante verte et l un se trouve à l intérieur de la bande grise alors que l autre se trouve à l extérieur de cette bande. Les angles rouges et sont correspondants. En effet, ils n ont pas même sommet, sont du même côté de la sécante verte et l un se trouve à l intérieur de la bande grise alors que l autre se trouve à l extérieur de cette bande. Exercice 9 (1 question) Niveau : moyen On sait que : les droites et sont parallèles ; les points, et sont alignés dans cet ordre ; les points, et sont alignés dans cet ordre ; les points, et sont alignés dans cet ordre. A l aide des mesures portées sur la figure et des informations données ci-dessus, donner la mesure des angles,,,, et. 11

12 Correction de l exercice 9 Rappel : Parallèles, sécante et angles de même mesure Si deux droites et sont parallèles et coupées par une droite sécante, alors : les angles alternes-internes qu elles forment ont même mesure Les angles bleus ont la même mesure. Droites parallèles Les angles rouges ont la même mesure. les angles correspondants qu elles forment ont même mesure Les angles bleus sont tous de même mesure. Les angles rouges sont tous de même mesure. Calculons la mesure de l angle. Les droites et sont parallèles et elles sont coupées par la droite donc elles forment des angles correspondants de même mesure. Or, comme les angles et sont correspondants, il en résulte que L angle mesure. 12

13 Calculons la mesure de l angle. Les points, et sont alignés dans cet ordre donc l angle est un angle plat. Autrement dit,. En outre, les angles et sont adjacents car ils ont le même sommet, le même côté commun et se situent de part et d autre de ce côté commun. Ainsi, (autrement dit, les angles et sont supplémentaires). Par conséquent, en remplaçant par les mesures connues, on a : L angle mesure. Calculons la mesure de l angle. Comme les droites et sont parallèles et coupées par la droite, elles forment des angles correspondants de même mesure. Les angles et étant correspondants, on a : L angle mesure. Calculons la mesure de l angle. Les points, et sont alignés dans cet ordre. Par conséquent, l angle est un angle plat. De plus, les angles et sont adjacents car ils ont le même sommet, le même côté commun et se situent de part et d autre de ce côté commun. De ce fait, (ce qui signifie en d autres termes que les angles et sont supplémentaires). Il s ensuit, en remplaçant par les mesures connues, que : L angle mesure. Calculons la mesure de l angle. Les angles et sont opposés par le sommet donc ils ont même mesure. On a donc L angle mesure. Calculons la mesure de l angle. 1 ère méthode : Les points, et sont alignés dans cet ordre. Donc l angle est un angle plat. Les angles et sont adjacents et supplémentaires puisque. Il vient alors que : L angle mesure. 13

14 2 e méthode : Les angles et sont opposés par le sommet donc ils ont la même mesure. Par conséquent, on obtient L angle mesure. 3 ème méthode : Les droites et sont parallèles et elles sont coupées par la droite ; donc elles forment des angles alternes-internes de même mesure. Or, les angles et sont alternes-internes puisqu ils n ont pas le même sommet, sont de part et d autre de la droite sécante et sont à l intérieur de la bande délimitée par les droites et. Il en résulte que L angle mesure. En résumé, on a : Remarques : Il peut exister plusieurs démonstrations possibles. Quelle que soit la méthode utilisée, il convient de détailler la rédaction pour montrer au correcteur que les savoirs (définitions, propriétés ) et les savoir-faire sont parfaitement maitrisés. Il serait possible de calculer la mesure des angles manquants, à savoir d une part et d autre part, en utilisant la formule de la somme des angles dans les triangles d une part et d autre part. Exercice 10 (1 question) Niveau : facile Dans chacun des quatre cas suivants, dire si les droites et sont parallèles. Justifier. 1) 2) 14

15 3) 4) Correction de l exercice 10 Rappel : Parallèles, sécante et angles de même mesure (réciproque) Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces droites sont parallèles. Angles de même mesure La droite bleue est parallèle à la droite rouge. Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors ces droites sont parallèles. Les droites rouge et bleue sont parallèles. 1) D après le dessin, les angles et sont des angles correspondants. De plus,. Ainsi, les droites et coupées par la sécante forment des angles correspondants de même mesure. Il s ensuit que les droites et sont parallèles. 15

16 2) D après le dessin, les angles et sont des angles alternes-internes. De plus,. Ainsi, les droites et coupées par la sécante forment des angles alternes-internes de mesures différentes. Par conséquent, les droites et ne sont pas parallèles. 3) Les points, et sont alignés dans cet ordre donc les angles et sont des angles adjacents et supplémentaires. On a donc : d où : On a donc. Par ailleurs, les angles et sont correspondants. En conséquence, les droites et sont parallèles. 4) Les angles et sont opposés par le sommet donc ils sont de même mesure. Ainsi, on a On a donc finalement. Or, les angles et sont des angles correspondants. Autrement dit, les angles et sont correspondants et de même mesure. Par conséquent, les droites et sont parallèles. Exercice 11 (2 questions) Niveau : facile En utilisant la figure ci-contre, calculer la mesure respective des angles et puis en déduire celle de. 16

17 Correction de l exercice 11 Rappel : Somme des angles dans un triangle Droite parallèle à Dans un triangle, la somme des trois angles est égale à. On a : Autrement dit, les trois angles d un triangle sont supplémentaires. 1 ère étape 2 ème étape 3 ème étape Dans le triangle, la somme des angles, et est égale à. On a donc : C est-à-dire : Dans le triangle, la somme des angles, et est égale à. On a donc : C est-à-dire : Les angles et sont adjacents. On a donc : L angle est un angle obtus de mesure. L angle mesure. L angle mesure. 17

18 Exercice 12 (1 question) Niveau : moyen Dans chacun des six cas suivants, donner la mesure de tous les angles du triangle. 1) 2) 3) 4) 5) 6) Correction de l exercice 12 Rappel : Mesures d angles dans un triangle isocèle Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base sont égaux (les angles à la base sont indiqués sur la figure en orange). Réciproquement, si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle. 18

19 1) D après le codage de la figure,. Donc le triangle est isocèle en. Ainsi,. En outre, la somme des angles d un triangle est égale à. D où : donc 2) D après le codage, le triangle est isocèle en car. On a donc. Par ailleurs, d après la figure,. Comme, dans un triangle, les angles sont supplémentaires, on a la relation suivante :. On vient de montrer que donc, en remplaçant, on a. C est-à-dire, soit. Il en résulte que. Finalement,. 3) D après la codage de la figure, le triangle est rectangle en. Donc. De plus, la figure indique clairement que. La somme des mesures des angles d un triangle étant égale à, on a l égalité suivante :. Il s ensuit que :. Rappel : Mesures d angles dans un triangle équilatéral Si un triangle est équilatéral, alors chacun de ses angles mesure. Réciproquement, si un triangle a trois angles égaux, alors il est équilatéral. 4) D après le codage, le triangle est isocèle en et, par ailleurs,. Or, d après une propriété du cours, si un triangle isocèle a un angle de, alors il est équilatéral. Par conséquent,. 19

20 Rappel : Mesures d angles dans un triangle rectangle isocèle Si un triangle est rectangle isocèle, alors chacun de ses angles aigus mesure. Réciproquement, si un triangle a deux angles mesurant, alors il est rectangle isocèle. De même, si un triangle rectangle a un angle mesurant, alors il est rectangle isocèle. 5) Le codage montre que le triangle est rectangle en. Autrement dit,. De plus,. D après une propriété du cours, si un triangle rectangle a un angle de, alors il est rectangle isocèle. Il en résulte que. 6) D après la figure,, ce qui signifie que le triangle est isocèle en. Dès lors, il vient que. D après une propriété du cours, si un triangle a deux angles de, alors il est rectangle isocèle. Donc est rectangle isocèle en. Par conséquent,. 20