Fiche de cours 3 : Fonctions usuelles, Développements limités, Équivalents, Séries Numériques

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1 Ecole Polytechnique, EV- Mathématiques Appliquées Fiche de cours 3 : Fonctions usuelles, Développements ités, Équivalents, Séries Numériques Fonctions usuelles. Quelques rappels Théorème. (Fonctions exponentielle, logarithme, puissance) La fonction exponentielle exp est définie et dérivable sur R. Elle réalise une bijection strictement croissante de R sur R +. La fonction logarithme népérien ln est définie et dérivable sur R +. ln est la fonction réciproque de exp. ln réalise une bijection strictement croissante de R + sur R. Pour x R + et y R, on définit x puissance y par x y = e y ln x. Soit α R. La fonction puissance x x α est définie et dérivable sur R +. Si α 0, elle réalise une bijection de R + sur R +. Sa fonction réciproque est x x /α. Soient α, β R +. On a les relations de comparaison suivantes : Comparaison exponentielle/puissances : x + xα e βx = 0. Comparaison puissances/logarithme : x + (ln x)β x α = 0, Comparaison exponentielle/logarithme : x + (ln x)β e αx = 0. x 0 xα (ln x) β = 0. + Théorème. (Les fonctions circulaires et leur réciproque) [ sinus, fonction impaire, réalise une bijection strictement croissante de π, π ] sur [, ]. Sa fonction réciproque est appelée arcsinus et notée arcsin. arcsinus est impaire, définie et continue sur [, ], dérivable sur ], [. cosinus, fonction paire, réalise une bijection strictement décroissante de [0, π] sur [, ]. Sa fonction réciproque est appelée arccosinus et notée arccos. arccosinus est définie et continue sur [, ], dérivable sur ], [. On a x ], [, cos(arcsin x) = sin(arccos x) = x. ] tangente, fonction impaire, réalise une bijection strictement croissante de π, π [ sur R. Sa fonction réciproque est appelée arctangente et notée arctan. arctan est impaire, définie et dérivable sur R. Théorème. (Les fonctions hyperboliques et leur réciproque) Pour x R, on définit le cosinus hyperbolique, noté chx, le sinus hyperbolique, noté shx, et la tangente hyperbolique, notée thx, par : ch x = ex + e x, sh x = ex e x, th x = sh x ch x. On a la relation : ch x sh x =. La fonction ch est paire, définie et dérivable sur R. ch réalise une bijection de R + sur [, + [. Sa réciproque argch est appelée fonction argument cosinus hyperbolique. argch est définie et continue sur [, + [, dérivable sur ], + [. De plus, x [, + [, argch x = ln(x + x ).

2 La fonction sh est impaire, définie et dérivable sur R. sh réalise une bijection de R sur R. Sa réciproque argsh est appelée fonction argument sinus hyperbolique. argsh est définie et dérivable sur R. De plus, x R, argsh x = ln(x + x + ). La fonction th est impaire, définie et dérivable sur R. th réalise une bijection de R sur ], [. Sa réciproque argth est appelée fonction argument tangente hyperbolique. argth est impaire, définie et dérivable sur ], [. De plus, x ], [, argth x = ( ) + x ln. x. Dérivées des fonctions usuelles Fonction Dérivée Ensemble de définition Ensemble de dérivabilité e x e x R idem ln(x) x R + idem x α avec α 0 α x α R + (R si α N) idem a x avec a > 0 (ln a) a x R idem cos x sin x R idem sin x cos x R idem tan x + tan x = ] π cos x + kπ, π + kπ[, k Z idem chx shx R idem shx chx R idem thx th x = ch R idem x arccos x [, ] ], [ x arcsin x [, ] ], [ x arctan x + x R idem argchx [, + [ ], + [ x argshx argthx x + R idem x ], [ idem.3 Formules remarquables concernant les fonctions circulaires Théorème (Formules pour cos et sin). Pour tous réels a, b, on a : Formules d addition et de produit cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b, sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b, cos(a b) = cos a cos b + sin a sin b, sin(a b) = sin a cos b cos a sin b, cos a + cos b = cos ( a+b cos a cos b = sin ( a+b cos a cos b = (cos(a + b) + cos(a b)), sin a cos b = (sin(a + b) + sin(a b)), sin a sin b = (cos(a b) cos(a + b)), ) ( cos a b ), sin a + sin b = sin ( ) ( a+b ) ( sin a b ) cos a b ),, sin a sin b = cos ( ) ( a+b sin a b ).

3 Formules de duplication : cos(a) = cos a sin a = cos a = sin a, sin(a) = sin a cos a, cos a = +cos(a), sin a = cos(a). Théorème (Formules pour tan). Pour tous réels a, b, on a : Formules d addition : tan(a + b) = Formule de duplication : tan a + tan b tan a tan b, tan(a b) = tan a tan b + tan a tan b. tan(a) = tan a tan a. Expression en fonction de tan a : On pose t = tan a. cos a = t t t, sin a =, tan a = + t + t t. Equivalents, relations de comparaison, développements asymptotiques Soit I un intervalle de R, a Ī (a pouvant être infini) et f, g : I R. On fait l hypothèse que f et g ne s annulent pas sur un voisinage de a privé de a. Définition. On dit que f est faiblement dominée par g en a, que l on note f = O(g), si il existe un voisinage V de a et M>0 tels que x V A, f(x) M g(x) ; f est négligeable devant g en a, que l on note f = o(g) ou f(x) << g(x), si f(x) x a g(x) = 0; f est équivalente à g en a, que l on note f(x) a g(x), si f(x) x a g(x) = ; Exemple : En +, on a les relations de négligeabilité suivantes : α, β > 0, b >, (ln x) β << + x α << + b x. Définition. (Développement asymptotique) On appelle développement asymptotique de f en a une décomposition de la forme f(x) = f (x) + f (x) f p (x) + o(f p (x)), où l on a f p (x) << f p (x) <<... << f (x) << f (x). 3

4 3 Développements ités On note K = R ou C. Définition. Soit I R un intervalle d intérieur non vide, f : I K et x 0 Ī (x 0 est ici fini). f admet en x 0 un développement ité (DL) à l ordre n, s il existe a 0, a,... a n dans R, tels que f(x) = a 0 + a (x x 0 ) + a (x x 0 ) a n (x x 0 ) n + o ((x x 0 ) n ). Si un tel DL existe, il est unique. On parle alors du DL de f en x 0 à l ordre n. Théorème. (Formule de Taylor-Young) Soit f : I K, x 0 R. On suppose f n fois dérivable en x 0. Alors f admet un développement ité en x 0 à l ordre n, donné par le polynôme de Taylor d ordre n : f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + o ((x x 0 ) n ).! n! Remarque. Si f : I K admet un développement ité en x 0 à l ordre n qui s écrit f(x) = f(x 0 ) + a (x x 0 ) a n (x x 0 ) n + o ((x x 0 ) n ), et si on sait que f est n fois dérivable en x 0, alors k 0,..., n}, a k = f (k) (x 0 ). k! Théorème. Si f admet en x 0 un développement ité à l ordre n, alors f est continue en x 0. Si n, alors f est dérivable en x 0. Théorème. (Intégration des o) Soit φ : I R, dérivable sur I, vérifiant φ(x 0 ) = 0 et φ (x) = o ((x x 0 ) n ). Alors φ(x) = o ( (x x 0 ) n+). 3. Opérations sur les développements ités Théorème. Soient f, g : I E admettant des DL en x 0 à l ordre n, f(x) = P (x x 0 ) + o ((x x 0 ) n ), g(x) = Q(x x 0 ) + o ((x x 0 ) n ), où P, Q sont des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Alors : (Somme de DL) αf + βg admet en x 0 le DL n (αf + βg)(x) = (αp + βq)(x x 0 ) + o ((x x 0 ) n ). (Produit de DL) fg admet en x 0 le DL n (fg)(x) = R(x x 0 ) + o ((x x 0 ) n ), où R est le polynôme obtenu en tronquant le polynôme PQ à l ordre n. (Fraction de DL) Si de plus g(a) 0, alors f g admet en x 0 le DL n ( f g )(x) = R(x x 0)+o ((x x 0 ) n ), où R est le polynôme quotient de la division de P (X) par Q(X) selon les puissances croissantes à l ordre n. Autrement dit, il existe un polynôme S tel que P (X) = Q(X)R(X) + X n+ S(X). Théorème. (Composition de DL) Soient I et J deux intervalles de R contenant 0. Soit f : I J telle que f(0) = 0 et admettant en 0 un développement ité à l ordre n : f(x) = P (x) + o(x n ). Soit g : J K admettant en 0 un développement ité à l ordre n : g(x) = Q(x) + o(x n ). Alors g f admet en 0 un développement ité à l ordre n : g f(x) = R(x) + o(x n ), où R(X) est le polynôme obtenu en tronquant à l ordre n le polynôme Q(P (X)). 3. Développements ités des fonctions usuelles Théorème. On a les développements ités suivants : e x = + x! + x! xn n! + o(xn ), ( + x) α = + αx + α(α ) x ! x = + x xn + o(x n ), ln( + x) = x x ( )n xn n + o(xn ), α(α )... (α n + ) x n + o(x n ), (α R), n! 4

5 cos x = x xn ( )n! (n)! + o(xn+ ), chx = + x! xn (n)! + o(xn+ ), sin x = x x3 3! ( )n xn+ (n + )! + o(xn+ ), shx = x + x3 3! xn+ (n + )! + o(xn+ ), arctan(x) = x x ( )n xn+ n + + o(xn+ ), argth(x) = x + x xn+ n + + o(xn+ ), arcsin(x) = x + x3 6 argsh(x) = x x (n ).4... (n) x n ( )n.3... (n ).4... (n) tan(x) = x + x x x7 + o(x 7 ). n + + o(xn+ ), x n+ n + + o(xn+ ), 4 Séries numériques On note K = R ou C. Définition. (Convergence et sommes partielles) Soit (u n ) une suite de nombres réels ou complexes (u n K). On appelle sommes partielles de la série u n n les S n := u k. On dit que la série de terme général u n converge si la suite des sommes partielles (S n ) n k=0 converge dans K. Dans ce cas, la ite de (S n ) est appelée somme de la série : S n. Une série non convergente est dite divergente. Définition. (Restes partiels) Soit u n une série convergente. Alors la série k n+ l appelle reste partiel de la série. On a donc n N, S n + R n = + n=0 u n = k=0 n u k = u k est convergente. Sa somme est notée R n, on + k=0 u k et R n = 0. Définition. (Convergence absolue) On dit que la série u n est absolument convergente (ou converge absolument) si n n Remarque. Une série absolument convergente est convergente. La somme de deux séries convergentes est convergente. La somme d une série convergente et d une série divergente est divergente. Il n y a pas de résultat général pour la somme de deux séries divergentes. Théorème. Si la série u n converge, alors la suite u n tend vers 0. u n converge. 5

6 Théorème. (Critère de Cauchy pour les séries) Soit u n une série à termes dans K. La série u n converge si et seulement si q ɛ > 0, N N, q p N, u n ε. Exemples. La série géométrique : u n = a n. La série u n converge si et seulement si a < et dans ce cas, la série est absolument convergente et on a + n=0 a n = a. Les séries de Riemann : u n = n α, où α R. La série u n converge si et seulement si α >. Si α >, on a R n α Les séries de Bertrand : u n = n α (ln n) β, où n, α, β R. La série u n converge si et seule- n ment si (α > ) ou (α = et β > ). n=p n α ; si α <, on a S n n α α ; si α =, on a S n ln n. Les séries alternées : u n = ( ) n a n. Si a n est une suite décroissante de réels positifs qui tend vers 0 lorsque n tend vers + alors la série n u n est convergente. Théorème. (Comparaison de séries à termes positifs) Soit u n et v n deux séries à termes positifs telles que u n = o(v n ) (resp. u n = O(v n )). Alors (i) si la série v n converge, la série u n converge également et R n (u) = o(r n (v)) (resp. R n (u) = O(R n (v))) ; (ii) si la série u n diverge, la série v n diverge également et S n (u) = o(s n (v)) (resp. S n (u) = O(S n (v))). Soit u n et v n deux séries telles que n, v n 0, et u n v n. Alors les deux séries sont de même nature et (i) si la série v n converge, la série u n converge également et R n (u) R n (v) ; (ii) si la série v n diverge, la série u n diverge également et S n (u) S n (v). Théorème. (Règle de D Alembert) u n+ On suppose u n > 0 et = l. Alors u n si l > la série n u n est divergente, si l < la série n u n est convergente, si l =, on ne peut pas conclure. Théorème. (Règle de Cauchy) On suppose u n > 0 et (u n) /n = l. Alors si l > la série n u n est divergente, si l < la série n u n est convergente, si l =, on ne peut pas conclure. Remarque. Une série de terme général positif et décroissant peut être comparée à une intégrale. 6