Épreuve de Mathématiques - Série S - Durée : 4 heures Mercredi 27 mars Calculatrice Autorisée

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1 ... Épreuve de Mathématiques - Série S - Durée : 4 heures Mercredi 27 mars Calculatrice Autorisée Le sujet comporte 4 exercices : Les élèves n ayant pas choisi l option Mathématiques en spécialité traiteront les exercices : Les élèves ayant choisi l enseignement de spécialité traiteront les exercices : Lycée Bertran de Born - BAC BLANC sur 6

2 EXERCICE sur 4 points Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à 0, 000 près. Lors d une épidémie chez des bovins, on s est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d animaux dont % est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants : si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ; si un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas. On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie. On note : M l évènement : «l animal est porteur de la maladie» ; T l évènement : «le test est positif».. Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée. 2. Un animal est choisi au hasard. (a) Quelle est la probabilité qu il soit porteur de la maladie et que son test soit positif? (b) Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est 0, Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour qu il soit porteur de la maladie? 4. On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note X la variable aléatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe le nombre d animaux ayant un test positif. (a) Quelle est la loi de probabilité suivie par X? (b) Quelle est la probabilité pour qu au moins un des cinq animaux ait un test positif? 5. Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de 00 euros et le coût de l abattage d un animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de 000 euros. On suppose que le test est gratuit. D après les données précédentes, la loi de probabilité du coût à engager par animal subissant le test est donnée par le tableau suivant : Coût Probabilité 0,9405 0,0580 0,005 (a) Calculer l espérance mathématique de la variable aléatoire associant à un animal le coût à engager. (b) Un éleveur possède un troupeau de 200 bêtes. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle somme doit-il prévoir d engager? Lycée Bertran de Born - BAC BLANC 2 sur 6

3 EXERCICE 2 (élèves ne suivant pas l enseignement de spécialité) sur 5 points Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O; u ; v ). On considère les points A, B et C d affixes respectives z A = 2i, z B = 3 + i et z C = 3 + i.. (a) Déterminer le module et un argument de z A, z B et z C. (b) En déduire le centre et le rayon du cercle Γ passant par les points A, B et C. (c) Faire une figure et placer le point A, tracer le cercle Γ puis placer les points B et C. 2. (a) Soit q = z B z A z C z A. Déterminer le module et l argument de q. (b) En déduire la nature du triangle ABC. 3. (a) Déterminer l ensemble (E) des points M d affixe z tels que : z = z i. (b) Montrer que les points A et B appartiennent à (E). NOM :... Annexe de l exercice 3 à rendre avec votre copie. y C D O x Lycée Bertran de Born - BAC BLANC 3 sur 6

4 EXERCICE 3 sur 6 points Partie A Étude d une fonction. On considère la fonction f définie sur ]; + [par f(x) = x ln(x) Sur l annexe qui figure en page 3 du sujet, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe C représentative de la fonction f et la droite D d équation y = x.. Calculer les limites de la fonction f en + et en. 2. Étudier les variations de la fonction f sur l intervalle ]; + [. 3. En déduire que si x e alors f(x) e. Partie B Étude d une suite récurrente. On considère la suite (u n ) définie par { u0 = 5 u n+ = f(u n ), n N. Sur l annexe (page 3 du sujet), en utilisant la courbe C et la droite D, placer le spoints A 0, A et A 2 d ordonnée nulle et d abscisses respectives u 0, u et u 2. Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la convergence de la suite (u n )? 2. (a) Montrer que, pour tout entier n naturel, on a : u n e. (b) Déterminer les variations de la suite (u n ). (c) En déduire que la suite (u n ) est convergente. (d) Déterminer sa limite l. 3. On donne l algorithme suivant : Variables : X réel et Y entier Initialisations : Affecter 5 à X et 0 à Y. Traitement : Tant que X > 2, 72. Affecter X/ ln(x) à X. Affecter Y + à Y. Sortie : Afficher Y. A l aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur, déterminer la valeur affichée par l algorithme. n u n 5 3, , , , , Lycée Bertran de Born - BAC BLANC 4 sur 6

5 EXERCICE 4 sur 5 points Le but de cet exercice est de déterminer une valeur approchée à 0 2 près de l intégrale : ( ) e x I = dx 2 x 0. (a) Étudier les variations de la fonction f : x f(x) = e x sur l intervalle [0; ]. 2 x (b) En déduire que, pour tout x [0; ], on a : e f(x) 2 2. Soit J et K les intégrales définies par : J = 0 (2 + x)e x dx et K = 0 x 2 f(x) dx (a) Soit G la fonction définie sur [0; ] par : G(x) = (ax 2 + bx + c)e x Déterminer les réels a, b et c pour que pour tout x R, G (x) = (2 + x)e x. (b) En déduire la valeur de J. (c) Utiliser l encadrement de f(x) obtenu précédemment pour démontrer que : (d) Démontrer que J + K = 4I. 3e K 6. (e) Déduire de ce qui précède un encadrement de I, puis donner une valeur approchée à 0 2 près de I. Lycée Bertran de Born - BAC BLANC 5 sur 6

6 EXERCICE 5 (élèves suivant l enseignement de spécialité) sur 5 points On considère la suite (u n ) n N définie par : u 0 = 3 ; u = 0 ; u 2 = 4 et pour tout n N, u n+3 = 2u n+ 4u n L objectif de cet exercice est de déterminer l expression de u n en fonction de n. On considère la matrice M = (a) Montrer par récurrence que pout tout k, M k est de la forme a k 0 0 a k+ = 2a k 0 b k c k avec b k+ = b k c k 0 c k b k c k+ = b k + c k (b) Quelle est la nature de la suite (a k ) k? Exprimer a k en fonction de k. (c) Soit z k le nombre complexe z k = b k + ic k, k. Montrer que z k+ = ( + i)z k et en déduire que z k = ( + i) k, pour tout k. (d) Écrire + i sous forme exponentielle, en déduire z k, puis prouver que b k = ( 2) k cos k. (e) Combien vaut b k si k 2 (4)? 2. (a) Calculer M 3 et montrer que M 3 = 2M 4I 3. (b) En déduire que pour tout k 0, M k+3 = 2M k+ 4M k. (c) En déduire a k+3 en fonction de a k+ et a k. Faire de même pour b k On considère la suite (v k ) k définie par : (a) Calculer v, v 2 et v 3. v k = a k + 2b k, pour tout k N. (b) Démontrer que pour tout n de N, u n = v n. En déduire l expression de u n en fonction de n. ( ) kπ, pour tout 4 Lycée Bertran de Born - BAC BLANC 6 sur 6