Suites géométriques Exercices corrigés

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1 Suites géométriques Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : reconnaissance d une suite géométrique, raison et premier terme Exercice 2 : calcul d une raison et calcul des termes d une suite géométrique Exercice 3 : somme de termes d une suite géométrique Exercice 4 : calcul d une somme et résolution d une équation polynômiale Exercice 5 : résolution de problème Exercice 1 (2 questions) Déterminer si les suites suivantes sont géométriques et préciser la raison et le premier terme de chaque suite géométrique. 1) 3) 2) 4) Correction de l exercice 1 Rappel : Définition d une suite géométrique Une suite est une suite géométrique lorsqu on passe de chaque terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre non nul, appelé raison de la suite. On a :. Point méthode : Comment montrer qu une suite est géométrique? Pour prouver qu une suite est géométrique, plusieurs méthodes sont envisageables : s assurer que n est jamais nul et montrer que, pour tout entier naturel tel que où désigne le rang à partir duquel la suite est définie : Cette réelle (indépendante de ) est appelée la raison de la suite et on la note souvent. utiliser la définition en montrant qu il existe un réel non nul tel que, pour tout entier naturel tel que Remarque : Cette 2 ème méthode est à préférer car elle permet de s affranchir de la vérification. montrer qu il existe deux nombres réels et tels que pour tout entier naturel : où désigne la raison de la suite 1

2 1) Soit la suite définie pour tout entier par : Méthode 1 : Pour tout entier naturel,. En effet, est nul si et seulement si ou. Or,, et Pour tout entier naturel, on a donc : Le rapport est constant donc est une suite géométrique de raison et de 1 er terme. Méthode 2 : Pour tout entier naturel, est une suite géométrique de raison et de premier terme. Méthode 3 : Pour tout entier naturel, Ne pas confondre et est clairement de la forme avec {. est une suite géométrique de raison et de premier terme. Remarque : Pour la suite de cet exercice, il sera fait le choix d une méthode parmi les trois. 2) Soit la suite définie pour tout entier par : Pour tout entier naturel, est une suite géométrique de raison et de premier terme. Remarque : -, et, et. 2

3 3) Soit la suite définie pour tout entier par : Pour tout entier, ( ) Dès lors, soit on reconnait l écriture d une suite arithmétique de raison et de premier terme, soit on utilise l une des méthodes vues précédemment. Remarque : n est pas géométrique puisque pour tout entier naturel ( ), le rapport de deux termes consécutifs de la suite n est pas constant : 4) Soit la suite définie pour tout entier par : Pour tout entier, est une suite géométrique de raison et de premier terme. Exercice 2 (1 question) Soit une suite géométrique de raison telle que et. Déterminer. Correction de l exercice 2 Rappel : Terme d une suite géométrique Soit une suite géométrique de raison définie pour tout entier naturel où désigne le rang à partir duquel la suite est définie. Alors, pour tout entier naturel tel que, on a : Commençons par déterminer la raison de la suite. 3

4 est une suite géométrique de raison telle que et. Donc : Or, ou Remarque : On peut également résoudre l équation en utilisant la touche de la calculatrice. En fait, il convient de saisir et UNE BONNE CALCULATRICE affiche et. Ces résultats signifient que et sont les racines sixièmes. Malheureusement, la plupart des calculatrices limitent l affichage à un seul résultat :! Autre remarque - Vérification des raisons trouvées : et La suite est donc une suite géométrique de raison ou de raison. Déterminons désormais le terme. Remarque : Un tel résultat montre encore une fois clairement les limites d une calculatrice, incapable d écrire la valeur exacte de! Exercice 3 (1 question) Déterminer l entier naturel tel que :. Correction de l exercice 3 On donne :. Or, on reconnaît ici l écriture de la somme de termes d une suite géométrique de raison premier terme. En effet : et de avec { On a alors pour tout entier naturel :. Autrement dit, le terme général de est :. 4

5 Rappel : Somme des termes d une suite géométrique Soit une suite géométrique de raison. Alors la somme des termes consécutifs de cette suite est donnée par la formule : Autrement dit, avec où désigne le rang à partir duquel la suite est définie : Remarque : si, Ainsi, Donc, pour tout entier naturel : L entier naturel satisfait l équation donc pour. Exercice 4 (1 question) Résoudre dans * + l équation. Correction de l exercice 4 Méthode 1 : Résolution à l aide des résultats sur les suites géométriques Soit l expression. On reconnaît ici l écriture de la somme de termes d une suite géométrique de raison terme. et de premier En effet, avec (pour tout entier naturel non nul). On a bien : ; ; ; etc. Dès lors, on déduit de l écriture d une somme de termes consécutifs d une suite géométrique de premier terme et de raison que, pour tout * + : 5

6 ( ) ( ) Ainsi, * +, { { car, pout tout réel, et. L équation admet donc deux solutions réelles : et. Méthode 2 : Résolution par regroupement et factorisations successives * +, (car,, et ) ou L équation admet donc deux solutions réelles : et. Remarque : Cette 2 ème méthode est à préférer, certes car elle est plus rapide, mais surtout car elle permet de résoudre dans et pas uniquement dans * +. Exercice 5 (1 question) Niveau : moyen Un forgeron frappe, sans discontinuer, toutes les secondes, un fer à cheval d épaisseur 1 cm, de sorte à le rendre deux fois moins épais. A chaque coup, l épaisseur du métal diminue de 1 %. Quel est le temps minimal nécessaire au forgeron pour qu il mène à bien son projet? Correction de l exercice 5 Soit l épaisseur de la pièce métallique après coups, exprimée en cm. Avant que le forgeron ne frappe le fer à cheval, c est-à-dire avant le premier coup, on a :. Après le premier coup, l épaisseur de la pièce est telle que a diminué de 1 %. Autrement dit, 6

7 De même, Et, de manière générale, en désignant l épaisseur, en cm, de la pièce après coups : Comme, est une suite géométrique de raison et de premier terme. Ainsi, pour tout entier naturel,. Le forgeron cherche à diminuer au moins de moitié l épaisseur initiale de la pièce. En d autres termes, il souhaite que son épaisseur soit inférieure ou égale à 0,5 cm. Il convient par conséquent de résoudre l équation (ou bien ). Procédons par encadrements successifs (arrondis à près) pour trouver la valeur de minimale qui satisfait l inéquation. Il faut par conséquent au minimum 69 secondes au forgeron pour diminuer de moitié l épaisseur du fer à cheval. 7