Mathématiques 3 Niv.1 ANALYSE Exercices chapitre 3 Suite

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1 43. La somme de deu nombres positifs est 20. Déterminer ces deu nombres de telle façon que : a) le produit soit maimal b) la somme des carrés soit minimale c) le produit du carré de l'un par le cube de l'autre soit maimal. 44. Le produit de deu nombres positifs est 16. Déterminer ces deu nombres de telle façon que : a) la somme soit minimale b) la somme de l'un et du carré de l'autre soit minimale. 45. Parmi tous les rectangles de 36 cm. de périmètre, quelles sont les dimensions de celui dont la surface (l'aire) est maimale? 46. Un fermier possède un terrain limité sur un côté par une haie rectiligne. Il désire en faire un champ rectangulaire en utilisant la haie pour un des côtés et du fil métallique pour les 3 autres côtés. Il a à sa disposition 240 m. de fil. Quelle est la plus grande surface qu'il peut délimiter? y 47. On considère une pièce de carton carrée dont la longueur du côté est de 1 m. On découpe dans chaque coin un carré de côté, dans le but de confectionner une boîte parallélépipédique sans couvercle. Pour quelle valeur de, le volume de la boîte est-il maimum? 1 m 48. Déterminer l'équation de la droite passant par le point A = < 3 ; 4 > et définissant dans le premier quadrant un triangle d'aire minimale. 49. On construit une boîte de base rectangulaire dont deu côtés sont carrés. Le volume de cette boîte est de 6400 dm 3. Les matériau utilisés coûtent 75 fr/m 2 pour la base et 25 fr/m 2 pour les côtés. Déterminer les dimensions les plus économiques et le pri de cette boîte. 50. Soit le point A = <2 ; 4> et la fonction f définie par f() = Déterminer le point P du graphique le plus proche de A, ainsi que la distance δ(a ; P) Un carton publicitaire rectangulaire doit contenir 54 cm 2 de tete. Les marges sont de 1 cm. pour le haut et le bas et de 1,5 cm. pour les côtés. Trouver les dimensions les plus économiques de ce carton. Collège Sismondi p.7

2 52. Un cylindre métallique de base circulaire doit contenir 64 m. Déterminer sa hauteur et le rayon du cercle de base pour que la quantité de métal utilisé soit minimale si : a) le cylindre est ouvert vers le haut (sans couvercle). b) le cylindre est fermé (avec couvercle). 53. Un cylindre droit, de base circulaire, est inscrit dans un cône droit, de base circulaire de 12 cm. de rayon. Déterminer le rayon du cylindre si : a) son volume est minimal ; b) son aire latérale est minimale. 54. Trouver les dimensions d'un cône droit, de base circulaire et de volume minimal, circonscrit à une sphère de 8 cm. de rayon. 55. Lorsque l'on lance verticalement un objet vers le haut avec une vitesse initiale v (en m s ), sa hauteur est donnée approimativement par la fonction h: h(t) = vt - 5t a) Trouver en fonction de v la hauteur maimale atteinte. b) Quelle sera cette hauteur maimale si v = 10 m s? c) Quelle doit être la vitesse initiale v pour atteindre une hauteur de 5000 m.? 56. Un homme se trouve dans une barque (B), à 5 km. du point du rivage le plus proche (A). Il doit se rendre à une maison (M), situé sur le rivage à 7 km. de (A). Il rame à la vitesse de 3 km/h. et marche à 5 km/h. En quel point du rivage doit-il accoster pour que le temps du trajet de la barque à la maison soit minimal? 57. Montrer que, de tous les rectangles de périmètre donné P, c'est le carré qui possède l'aire maimale. 58. Montrer que, parmi tous les cylindres de volume donné V, c'est celui dont le rayon vaut la moitié de la hauteur qui possède l'aire totale minimale. 59. Montrer que de tous les rectangles inscrits dans un cercle de rayon r donné, c'est le carré qui possède l'aire maimale. Traiter également le périmètre. 60. Montrer que, de tous les triangles rectangles qui ont une hypoténuse de longueur égale à c, c'est celui qui est isocèle qui possède l'aire maimale. 61. Déterminer la distance minimum entre le point P = <1; 0> et la courbe représentative de f définie par f() = 62. Comment choisir deu nombres a et b dont la somme est fiée à la valeur 58 afin que le produit a b soit le plus grand possible? Collège Sismondi p.8

3 63. Soient et y deu nombres entiers dont la somme vaut 20. Trouver ces nombres tels que la somme des carrés soit minimale. 64. On considère tous les triangles formés par l'ae horizontal, l'ae vertical et les droites passant par le point A = <3; 2>. Déterminer celui qui possède l'aire minimale. 65. Déterminer le plus grand segment possible parallèle à l'ae des ordonnées entre les courbes représentant les fonctions f et g suivantes : f() = sin() g() = cos() 0 2π 66. Quelle est la longueur maimale d'une barre métallique pouvant passer dans ces couloirs (on suppose que la barre doit rester horizontale!): 67. Un homme parcourt 12 km/h sur terre ferme et 3 km/h en nageant. Il se trouve au bord d'une rivière large de 100 m. et il veut rejoindre un point situé 2 km en amont, mais de l'autre côté de la rivière. Quel sera le parcours qu'il devra choisir pour arriver le plus rapidement possible? (On ne tient pas compte du courant). 68. Déterminer l'aire minimale du rectangle ayant sa base sur l'ae horizontal et inscrit dans la parabole. 69. Déterminer la distance minimale du point A = < 4 ; 2 > à la parabole y 2 = Déterminer le rayon R du cône droit de base circulaire et de volume maimum que l'on peut inscrire dans un sphère de rayon r. Collège Sismondi p.9

4 71. Déterminer le rayon R d'un cylindre droit de base circulaire inscrit dans un cône droit de base circulaire et de rayon r, de telle façon que : a) son volume soit maimal b) son aire latérale soit maimale. 72. Déterminer les dimensions d'un cylindre droit de base circulaire et d'aire latérale maimale pouvant s'inscrire dans une sphère de rayon Chercher les primitives des fonctions suivantes définies par leurs images : a) f() = 5 b) f() = 1 c) f() = d) f() = sin() e) f() = cos() f) f() = 1 cos 2 () g) f() = n avec n -1 h) f() = 5a 2 6 i) f() = 1 2. j) f() = 0 k) f() = k (k constante) l) f() = m) f() = Déterminer une primitive des fonctions suivantes définies par leurs images : a) f() = b) f() = (2 +1) 2 c) f() = 2 cos 2 () d) f() = e) f() = ( 2 2 "1) 3 #4 f) f() = sin 2 () "cos() g) f() = i) f() = 5 (1+ ) 3 h) f() = ( 2 "1) 2 j) f() = k) f() = sin(2)cos(2) l) f() = "1 3 2 " Collège Sismondi p.10

5 75. Déterminer les primitives des fonctions suivantes définies par leurs images. a) f() = 4 b) f() = c) f() = d) f() = e) f() = " 4 2 f) f() = 3 2 ( 3 + 2) 2 g) f() = h) f() = i) f() = k) f() = ( 3 + 2) 3 j) f() = 3 1" 2 2 l) f() = 3 1" 2 m) f() = " ( +1) 2 n) f() = sin$ 1 # 2 % ' & o) f() = cos(3) p) f() = cos 3 ()sin() q) f() = sin 2 () + cos 2 () 76. Déterminer les primitives des fonctions suivantes définies par leurs images : tg 3 () a) f() = cos 2 b) f() =.sin 3 (3 2 + " () 2 ).cos(32 + " 2 ) 77. On sait que la fonction f admet cos 2 () comme primitive. Est-il possible que -sin 2 () soit aussi une primitive de f? 78. a) Calculer les primitives de ( - 3) 2. b) Calculer les primitives de 2 " c) Comparer les résultats des question a et b, et trouver une eplication. 79. On donne une fonction f définie par f(). Déterminer la primitive F de f qui contient le point A donné ci-dessous. a) f() = 4 3 " A = <1; 3> b) f() =sin() + cos(2) A = < " 2 ; 1>. 80. Calculer les réels a et b de façon que F soit une primitive de f lorsque : F() = ( a + b) " 2 #1 et f() = 2 " Calculer les réels a, b et c de façon que F soit une primitive de f lorsque : ( ) F() = a 2 + b + c " 3 # 2 et f() = " 3 # 2. Collège Sismondi p.11

6 82. Donner une primitive de f sur un intervalle de son domaine de définition, puis déterminer la primitive qui s'annule pour 0 : 1 a) f() = +1 0 = 3 b) f() = 2 " 5 ( 2 " 5 + 7) 2 0 = A partir du graphe de la fonction f donnée ci-contre, esquisser le graphe F dʼune fonction primitive de f. Collège Sismondi p.12