Corrigé du baccalauréat S Centres étrangers 15 juin 2009

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1 Durée : 4 heures Corrigé du baccalauréat S Centres étrangers 5 juin 9 EXERCICE 5 points Restitution organisée de connaissances : ) a Démontrer que pb)=pb A)+ p B A b Démontrer que, si les évènements A et B sont indépendants pour la probabilité p, alors les évènements A et B le sont également ) a Il faut calculer p R S Les évènements R et S étant manifestement indépendants, R et S le sont aussi ) ) Donc p R S = p R ps)=,),5=,9,5=,45 b Il faut que Stéphane entende son réveil et que son scooter ) marche La probabilité qu il soit à l heure est donc égale à p R S D après la propriété démontrée au-dessus R et S sont indépendants, donc ) ) ) p R S = p R p S =,),5)=,9,95=,855 c Si X est la variable aléatoire correspondant au nombre de fois où Stéphane entend son réveil, X suit une loi binomiale de paramètres n = 5 et p=,9 La probabilité que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois est : ) ) 5 px = 4)+pX = 5)=,9 4 5,+,9 5, =,5,9 4 +,9 5 = 4 5,9 4,9=,9854,985 EXERCICE 5 points Figure OA 3 ; 4 ; ), d où OA = 9+6=5 ; OC ; ; 5), d où OC = 5 ; AC 3 ; 4 ; 5), d où AC = 9+6+5= 5 ; OB ; 5 ; ), d où OB = 5 ; BC ; 5 ; 5), d où BC = 5+5=5 ; On a donc 5+5 = 5 OA + OC = AC OAC est un triangle rectangle en O et isocèle car OA = OC De même 5+5=5 OB + OC = BC OBC est un triangle rectangle en O et isocèle car OB = OC AB 3 ; ; ), d où AB = 9+= ; on a vu que AC = 5 et que BC = 5 Donc le triangle ABC est isocèle en B, mais pas rectangle 5 3 Soit H le point de coordonnées ; 45 ; 45 )

2 Corrigé du baccalauréat S A P M E P 3 a I ; 9 ) ; HC 5 ; 45 ) 45 ; 5 ou encore HC 5 ; 45 ; 5 ) ; 3 CI ; 9 ) ; 5 En comparant les dernières coordonnées de ces deux vecteurs, on constate que HC = CI, c est-à-dire que ces vecteurs sont colinéaires, ou encore que les points H, C et I sont alignés b I milieu de [AB] appartient au plan ABC), donc le point H aligné avec I et C aussi D autre part OH Donc OH BA = 45 5 ; 45 ; 45 ) et BA 3 ; ; ) OH BC = 45 =, donc ces vecteurs sont orthogonaux BC ; 5 ; 5), donc = : ces vecteurs sont orthogonaux Conclusion : OH, orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan ABC) est orthogonal à ce plan et O a pour projeté orthogonal sur ce plan le point H c Il en résulte qu une équation du plan ABC) est 5 x+ 3y+ 3z+ d = Or C ; ; 5) ABC) 5+d = d = 5 Une équation du plan ABC) est donc : 4 Calculs d aire et de volume Mx ; y ; z) ABC) x+ 3y+ 3z 5= x+ 45 y + 45 z+ d = a On a vu que OAC et OBC sont isocèles en O ; on a donc OA = OC = OB ; le triangle OAB est donc isocèle en O I milieu de [AB] est donc le pied de la hauteur issue de O L aire du triangle OAB est donc : AB OI On a AB =, donc AB = ; OI = = 9 4, donc OI= 3 3 L aire est donc égale à : = 5 On a démontré que OC) est perpendiculaire à OA) et à OB), donc la droite OC) est orthogonale au plan OAB) [OC] est donc la hauteur relative à la base OAB) et le volume du tetraèdre est donc : V = A OAB) OC 3 = 5 5 = 5 3 b On a vu que cette distance est égale à OH ) 5 ) 45 ) 45 OH = + + = = 475, d où OH= 5 Remarque On peut aussi utiliser l équation du plan ABC) : do ;ABC)) = = 5 = Centres étrangers 5 juin 9

3 Corrigé du baccalauréat S A P M E P c D après ce qui a été démontré au dessus [OH] est la hauteur issue de O dans le tétraèdre OABC ; donc le volume du tétraèdre OABC peut également s écrire A ABC) OH 3 Donc 5 = A ABC) 5 3, d où A ABC)= 5 5 = 5 Remarque On peut aussi calculer directement A ABC), même si ce n est pas l objectif des questions : Comme démontré précédemment, ABC) est un triangle isocèle non rectangle en C La hauteur issue de C est donc [IC] A ABC) = AB CI = ) 3 ) = 5 EXERCICE Réservé aux candidats ayant suivi l enseignement de spécialité 5 points a Le couple 9 ; ) est une solution relativement évidente de l équation car 3 9+ = 9 { 3x+ y = 9 b par différence)3x 9) = y ) = 3 9+ = 9 3x 9)= y) ) Comme 3 est premier avec, d après le théorème de Gauss, 3 divise y Il existe donc k Z tel que y = 3k y = 3k En reportant dans l égalité ), on obtient 3x 9)= 3k x 9)= k x = 9+k Vérification : quel que soit l entier k, 39+k)+ 3k)= 7+=9 L ensemble des couples est donc {9+k ; 3k), k Z} c On a x, y 9+k, 3k k 9 et x 3 Les valeurs possibles pour k sont donc : 4 ; 3 ; ; ; ce qui correspond aux couples solutions : ; 3), 3 ; ), 5 ; 7), 7 ; 4) et 9 ; ) déjà trouvé a On sait qu un vecteur n normal au plan P a pour coordonnées 3 ; ; ) et k ; ; ) Donc n k = k et n sont orthogonaux, ce qui montre que P est parallèle à l axe Oz) b L axe Ox) est défini par le système y = et z = ; les points communs à P et à Ox) vérifient donc : 3x+ y = 9 y = x = 9 Le point commun a donc pour coordonnées 3 z = ) 9 3 ; ; L axe Oy) est défini par le système x = et z = ; les points communs à P et à Oy) vérifient donc : 3x+ y = 9 x = z = y = 9 Le point commun a donc pour coor- données ; 9 ; ) c L intersection du plan P et du plan xoy est la droite AB) P étant parallèle à Oz) l intersection de P et du plan xoz est la droite contenant A et parallèle à Oz) Centres étrangers 3 5 juin 9

4 Corrigé du baccalauréat S A P M E P P étant parallèle à Oz) l intersection de P et du plan yoz est la droite contenant B et parallèle à Oz) z O A B y x d Ces points correspondent aux couples solutions de l équation initiale avec des termes positifs, soit les points : ; 3 ; ), 3 ; ; ), 5 ; 7 ; ), 7 ; 4 ; ) et 9 ; ; ) voir la figure au dessus) 3 a Les points de cette section ont des coordonnées qui vérifient z = x y = x = ou y = La réponse est la figure n o 3 b Les points de cette section ont des coordonnées qui vérifient x y = 4 y = 4 On reconnait l équation d une hyperbole x La réponse est la figure n o c Les points de cette section ont des coordonnées qui vérifient { { 4z = 8x z = x y = 8 y = 8 On reconnait l équation d une droite de coefficient directeur z = y = 8 La réponse est la figure n o 4 d Les points de cette section ont des coordonnées qui vérifient 3x+ y = 9 On a trouvé à la question précédente les points dont les coordonnées vérifient la deuxième équation : x =, y = 3 4z = 3 z = 3 4 ; x = 3, y = 4z = 3 z = 5 ; x = 5, y = 7 4z = 35 z = 35 4 ; x = 7, y = 4 4z = 8 z = 7 ; x = 9, y = 4z = 9 z = 9 4 EXERCICE 3 4 points Si z = x+ iy, alors z = x y + ix y Centres étrangers 4 5 juin 9

5 Corrigé du baccalauréat S A P M E P Alors Re z ) = x y et Rez)) = x La proposition est fausse Les trois points appartiennent à un même cercle de centre si et seulement si leur modules sont égaux Or z = z z z et z = = z z z = z La proposition est vraie 3 On a +iz = iz iz ) = iz qui signifie que le point d affixe iz est équidistant des points d affixe et Ces points étant sur l axe des abscisses et symétriques autour de O, il en résulte que le point d affixe iz est sur l axe des ordonnées, ou encore iz = iαα R) z = α La proposition est vraie 4 Soit P le point tel que OMP M soit un parallélogramme On a z+ z = OM + OM = OP ; De même z z = OM OM = OM + M O = M M Donc z+ z = z z OP = M M Donc le parallélogramme OMP M a ses diagonales de même longueur, autrement dit c est un rectangle et donc les droites OM) et OM ) sont perpendiculaires La proposition est vraie EXERCICE 4 Commun à tous les candidats 6 points Partie A : Soient n et p deux naturels distincts f n x)= f p x) e nx e px = +e x +e x e nx = e px car +e x > ) nx = px par croissance de la fonction ln) x= carn p) Quel que soit n N, f n )= e +e = Toutes les courbes C n contiennent le point, ) Remarque : On peut également calculer directement f n )== Étude de la fonction f a f x)= +e x Cette fonction est dérivable sur R et f e x x)= +e x ) = e x > et +e x ) >, on en déduit que f x)> La fonction f est donc croissante sur R e x +e x ) Comme b On sait que lim x ex = Donc lim x e x =+ Donc lim f nx)= Ceci signifie que l axe des abscisses est asymptote à x la courbe C au voisinage de On sait que lim x + e x =, donc lim f x)= x + Ceci signifie que la droite d équation y = est asymptote horizontale à la courbe C au voisinage de+ c Tableau très simple : sur R, f croît de à Centres étrangers 5 5 juin 9

6 Corrigé du baccalauréat S A P M E P 3 Étude de la fonction f a On a f x)= ex +e x = e x + = f x) en multipliant chaque terme par le facteur non nul e x b On a lim f x)= lim f x)= lim f x)= x + x x + De même lim f x)= lim f x)= lim f x)= x x + x Comme f x)= f x), f fonction croissante est la composée de f et de la fonction x x qui est décroissante Il en résulte que f est décroissante sur R c f x) = f x) signifie que deux points d abscisses de C et C ont la même ordonnée : ces points sont symétriques par rapport à l axe Oy) C et C sont symétriques par rapport à l axe des ordonnées 4 Étude de la fonction f n pour n a f n x)= e nx +e x En multipliant chaque terme par enx >, f n x)= e nx + e n )x b Pour p, lim x + epx =+, donc en utilisant l écriture du a, lim f nx)= x + Limite en : lim x enx = + et lim x en )x = + donc par limite de l inverse lim x + e x =+ c f n quotient de sommes de fonctions dérivables est dérivable car e nx + e n )x > En utilisant l écriture trouvée au début de la question : f n x)= nenx + n )e n )x e nx + e n )x) Comme n, cette dérivée est négative quel que soit x réel Les fonctions f n, n ) sont donc décroissantes de+ à Partie B : Étude d une suite liée aux fonctions f n e x u x)= f x) dx = dx +e x En posant ux)= +e x, u x)= e x, on remarque que la fonction à intégrer est u x) ux) dont une primitive est la fonction ln +e x ) Donc u x)=[ ln +e x )] = ln +e ) + ln +e x ) e x +e x u = f dx = dx = +e x +e x dx = dx+ +e x e x dx= dx u +e x x)= u x) Or u = u x) u + u = Autre méthode plus simple) : ) u + u = f dx+ f dx = f + f dx par linéarité de l intégrale) e x +e x u + u = + dx = dx = dx = [x] +e x +e x +e x = Donc u = u x)= ln +e ) + ln ) = +ln +e ) ln On a la suite d inéquations : e x > +e x e nx > < < < +e x +e x < e nx En intégrant ces trois fonctions sur [ ; ] : < e nx dx< +e x e nx dx <u n < e nx dx Centres étrangers 6 5 juin 9

7 Corrigé du baccalauréat S A P M E P 3 [ e nx dx = ] n e nx = e n ) = e n ) n n Par limite au voisinage de+ : lim x + e n =, lim x + e n =, lim =, donc par produit : x + n lim e n ) = x + n En utilisant l encadrement de la question, et d après le théorème des «gendarmes», on obtient lim u n = La suite est donc convergente x + Centres étrangers 7 5 juin 9