Année : (Cayley Hamilton) «Pour inventer, il faut penser à côté.» (Paul Souriau)

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1 1 Niveau : Termiale S Spé Maths Titre Cours : Matrices, Matrices carrées Evolutio de processus Aée : (Cayley Hamilto) «Pour iveter, il faut peser à côté.» (Paul Souriau) I. Défiitio 1. Défiitio O ote p deux etiers aturels o uls Ue matrice est u tableau de p liges coloes dot les coefficiets sot des réels (voir des complexes das les aées futures) A A ( a ) i p ou ij {1,.., } j{1,.., } Le coefficiet a est à l itersectio etre la lige i la coloe j ij Ue matrice carrée est ue matrice ui a le même ombre de lige le même ombre de coloe. O otera das ce cas le ombre de liges de coloes. A A ( a ) i ou ij {1,.., } j{1,.., }

2 2 Ue matrice lige est ue matrice comportat ue seule lige. A Ue matrice coloe est ue matrice comportat ue seule coloe. a a A a Exemples II. Opératios sur les matrices 1. Somme de matrices de mêmes dimesios A O ote C la matrice défiie par C= A+B B Alors pour tout i das {1,.. p } j das {1,.. } o a c a b ij ij ij A 0 3 a b a b... a b a b a b... a b C a a a b... a b p1 p2 B alors AB 5 0

3 3 2. Multiplicatio d ue matrice par u réel O ote u réel. O ote C Ala matrice A A Alors pour tout i das {1,.. p } j das {1,.. } o a c a ij ij A 0 3 alors 2A 3. Différeces de deux matrices de mêmes dimesios A B O ote C la matrice défiie par C= A-B Alors pour tout i das {1,.. p } j das {1,.. } o a c a b ij ij ij A 0 3 a b a b... a b a b a b... a b C a a a b... a b p1 p2 B alors AB 5 0

4 4 4. Multiplicatio d ue matrice lige par ue matrice p A a a a p O ote C la matrice défiie par C= A B Alors pour tout j das {1,.., } o a c a b 1 1 A B 5 0 p j k kj k1 B p p p C a b a b a b 1k k1 1k k2 1k k k1 k1 k1 alors AB 5. Multiplicatio d ue matrice p par ue matrice coloe B O ote C la matrice défiie par C= B A Alors pour tout i das {1,.., p} o a c i1 b a ik k1 B 5 0 C k1 k1 k1 k1 2 A alors BA 5 b a 1k k1 b a 2k k1 b a pk k1 a a A a

5 5 6. Multiplicatio de deux matrices uelcoues A B k 22 2k k Pour pouvoir faire le produit, il faut absolumet ue le ombre de coloe de celle de gauche soit idetiue aux ombres de liges de celle de droite. ( a b a b... a b ) C A B Alors pour tout i das {1,.., p } j das {1,.., } o a A A c a b ij ik kj k B alors AB B alors BA Multiplicatio de deux matrices carrées A B 22 2 O ote C la matrice défiie par C= A B ( a b a b... a b ) C Alors pour tout i das {1,.., } j das {1,.., } o a c a b ij ik kj k1

6 6 3. A 0 3 B 5 0 alors AB 4. A 0 3 B 5 0 alors BA III. Propriétés des opératios 1. Additio A B sot deux matrices carrées de taille (etier aturel o ul) A B B A (Commutative) A B C A B C A B C (Associative) 2. Multiplicatio par u réel K est u réel, A B sot deux matrices carrées de taille (etier aturel o ul) 3. Multiplicatio k k A ka k A KA B ka kb kk A kk A ka B AkB kab A, B C sot trois matrices carrées de taille (etier aturel o ul) A B C ABC AB C AB C A B A C (Distributivité à gauche) B C A B A C A (Distributivité à droite) ATTENTION : AB BA e sot pas toujours idetiues 0 A I k 1 k k A A A A A pour k

7 7 IV. Matrices de trasitio das u processus d évolutio 1. Défiitio Lorsu o s itéresse au processus d évolutio de plusieurs doées reliées etre elles par des relatios liéaires, o peut détermier le passage d u état des doées à u autre e utilisat ue matrice de trasitio. O ote P la matrice représetat l état iitial de ce processus doc souvet des 0 états probabiliste (probabilité iitial du processus). 2. Matrice de trasitio das le cas où la matrice de l état iitial est ue matrice coloe P 0 a a a p p p p p p M p p p M M M M M M P P P P P P P Et o a pour tout, P M P ou 0 k P M P k 3. Matrice de trasitio das le cas où la matrice de l état iitial est ue matrice lige P a a a 0 p p p p p p M p p p M M M M M M P P P P P P P Et o a pour tout, P P M ou P P M 0 k k

8 8 V. Matrices particulières 1. Matrices diagoales a a 0 22 D a Remarue : Que se passe t-il si o multiplie ue matrice carrée par ue matrice diagoale? Matrice uité I Remarue : Pour toute matrice A carré de taille : AI I A A Cte matrice a le même rôle ue le ombre 1 das la multiplicatio.