Exercices d arithmétique

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1 Exercices d arithmétique 1. [0] Dans quelle base a-t-on = 10 10? 2. [0] Ecrire en chiffres , en base trois, puis en base neuf. 3. [0] En base seize, les chiffres sont 0, 1,, 9, A, B,, F. Quelle est l écriture chiffrée de (4 3 1)( ) en base seize? 4. [0] En quelle base a-t-on 82 = 3 28? 5. Transcrire en base douze les nombres 1789 (dix), et 1000 (dix). Transcrire en base dix les nombres 1789 (douze) et 1000 (douze). 6. Montrer que dans toute base, le nombre est divisible par Quels nombres s écrivent à la fois abc (sept) et cba (onze)? 8. En quelle base a-t-on = 51? 9. [0] Ecrire en base douze le nombre qui s écrit 144 en base dix. Ecrire en base dix le nombre qui s écrit 1000 en base douze. Les chiffres de la base douze étant 0, 1, 2,, 9, A, B, écrire en base dix le produit A B. 10. En base quatre, deux nombres ont pour somme 33 et pour produit 312. Lesquels? 14. En base cinq abcd = dcba b + a. Trouver les chiffres a, b, c, d. 15. [0] On cherche le dividende et le diviseur d une division. Le dividende est inférieur à Le quotient est 82, le reste Simplifier , , , [ ] Trouver des nombres de deux chiffres qui divisés par 37 donnent un quotient égal au reste. 18. [0 ] Compléter la division 6! 6!6 6! 6 19.Trouver le plus petit nombre entier qui divisé successivement par 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 donne comme reste 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Montrer que pour aucune valeur de n, le nombre n 2 + n + 1 ne peut être multiple de Trouver un nombre abc tel que abc cba s écrive avec les trois chiffres a, b, c. 22. Remplacer chaque lettre par un chiffre dans la multiplication suivante : E L L E x E S T = S I M PL E 23. Un nombre s écrit. En ajoutant ses chiffres, on trouve. en ajoutant les chiffres de ce dernier, on trouve. Trouver tous les chiffres cachés. 11. En quelle base est-ce que = 33012? 12. En quelle base est-ce que 2222 = ? 13. En quelle base = ? F.Boule : Exercices d arithmétique [0] En base dix, A = 1xxy. Trouver les chiffres x et y sachant que A est multiple de 9 et de 5? 25. [0] En base dix, B = 37x28y. Trouver les chiffres x et y sachant B divisible par 6 et par 45.

2 26. Quels sont les multiples de 7 qui s écrivent abba? Trouver les chiffres a et b, et les nombres K <100 tels que bb K = abba 27. Décomposer en produit de facteurs premiers. Montrer que est divisible par Ecrire 4 chiffres consécutifs décroissants (Ex. 8765). Soit A ce nombre. Retrancher A renversé (chiffres écrits dans l ordre inverse). Le résultat est toujours Pourquoi? 29. Trouver un nombre de 4 chiffres tel que le nombre renversé soit son produit par Trouver le plus petit nombre de 4 chiffres égal à 107 fois la somme de ses chiffres. 31. Prendre un nombre A de trois chiffres. Renverser l ordre des chiffres, on obtient B (exemple : A=721, B=127). Soustraire le plus petit du plus grand; résultat C. Renverser C, on obtient D. Ajouter C et D. On obtient Pourquoi? 32. [0] Un nombre A s écrit avec trois chiffres. En permutant dizaines et unités, on obtient le nombre B; en permutant dizaines et centaines, le nombre C, et en permutant unités et centaines, le nombre D. Sachant que A B = 18 et C A = 360, calculer D A. Montrer que A est un multiple de 3; trouver A sachant qu il est multiple de 9 (plusieurs solutions). 33. [0] Soit A un nombre de trois chiffres; par exemple 763. On le réécrit à droite de lui-même (on obtient ). On divise successivement par 7, puis par 11, puis par 13. Combien obtient-on? On recommence avec 691; donner le résultat. Quelle proposition générale peut-on énoncer? La démontrer. 34. Quel est le chiffre des unités du nombre obtenu en multipliant entre eux les nombres impairs entre 1 et 93? Justifier. 35. Quel est le chiffre des unités de 37 37? 36. Trouver un nombre de trois chiffres égal au cube de la somme de ses chiffres (base dix). 37. Soient deux nombres consécutifs a et b, et c leur produit c=ab. Montrer que a 2 + b 2 + c 2 est le carré d un impair. 38. Montrer que le produit de 4 entiers consécutifs est un multiple de Montrer que le produit de 4 entiers consécutifs augmenté de 1 est un carré parfait. 40. [0] Un nombre de trois chiffres s écrit aba (base dix). La somme de ses chiffres s écrit bc. La somme des chiffres de ce dernier est b. Quel est ce nombre? 41. Vous gagnerez 100 si vous êtes capable de produire une somme de 5 composée uniquement de pièces de 50c, de 20c et de 5c, au nombre total de 20 pièces. Etudier le même problème avec une somme de 3, ou encore de 2 (avec toujours 20 pièces). 42. Voici un moyen de savoir si un nombre est divisible par 7 : Barrer le chiffre des unités et retrancher du nombre restant le double du chiffre barré; recommencer tant que c est possible; si l on obtient un multiple de 7, le nombre de départ est divisible par 7. Pourquoi? 42 bis.[0] Voici un autre moyen encore plus rapide (pour les très grands nombres) : barrer les deux derniers chiffres et retrancher du nombre restant le décuple du nombre barré; recommencer tant que c est possible; si l on obtient un multiple de 7, le nombre de départ était divisible par 7. Pourquoi? F.Boule : Exercices d arithmétique 2

3 43. Montrer que quelque soit n, le nombre n 3 est de la forme 7k, ou 7k+1, ou 7k Les trois enfants de M.Martin jouent avec d autres enfants dans la cour. M.Dupont lui demande leur âge : le produit est 36, et la somme est le numéro de la maison d en face. Dupont : il me manque un renseignement. Martin : c est vrai; l aînée est une fille». Quels sont les âges des enfants? 45. Trouver un nombre carré de 4 chiffres dont le renversé soit aussi un carré. [Montrer d abord qu une somme de carrés n est divisible par 11 que si chaque nombre est divisible par 11, puis que la somme d un entier d un nombre pair de chiffres et de son renversé est un multiple de 11] [0] : donné à l écrit du Concours P.E. depuis : Un peu difficile Eléments de solutions : 1. En base k, 10 représente k. L équation devient : k + k = k 2, donc k= (4 3 1)(4 3 +1) = = prédécesseur de 16 3, c est à dire de C est FFF. 4. En base k, 82 représente 8k+2. Equation : 8k+2 = 3(2k+8). D où k= Résultat : Résultat : 6B4 6. En base k, représente k 4 +k 2 +1 que l on peut factoriser en (k 2 +k +1)(k 2 k +1) Le premier facteur s écrit 111, dans n importe quelle base. 7. abc (sept) = c +7b +49a cba (onze) = a +11b +121c. Equation : c +7b +49a = a +11b +121c. Soit 12a = b +30c (a,b,c tous <7). On teste successivement a = 1, Solutions: 361 & L équation en base k représente : (3k +5) + (k +3) = 5k +1. D où k= = 12 2 représenté par 100 (douze) (douze) = 12 3 = 1728 A x B = 10 x 11 = En base quatre A + B= 33 =15 (dix) ; AxB= 312 = 54 (dix). Connaissant somme et produit, on écrit l équation X 2 SX +P = X 2 15X +54 = 0 ; dont les solutions sont 6 et 9. Il reste à les transcrire en base quatre : 12 et En base k, cette équation représente (2k 2 +2k +1) x (k 2 +2k +2) = 3k 4 +3k 3 +k +2 Développée et ordonnée : k 3 +3k 2 +9k +5 = 0. k= 1 est solution évidente double. On peut donc mettre en facteur (k+1)(k+1). La troisième solution est k= L équation en base k représente : 2k 3 +2k 2 +2k +2 = (2k+2)(k 2 +1) Développée et simplifiée : k 3 +k 2 +k +1 = k 3 +k 2 +k +1, vrai en toute base. 13. L équation en base k représente : k 4 = 2(k 2 +k +1) x k + k, soit k 3 = 4k 2 + 4k + 5 k 3. On essaye les valeurs suivantes. k=5 convient. F.Boule : Exercices d arithmétique 3

4 14. L équation en base cinq représente : d +5c +25b +125a = (125d +25c +5b +a) x b + a b>1. Si d>1, le résultat aurait 5 chiffres. Donc d=1; donc a 2; b peut valoir 2, 3 ou 4. b=2 conduit à : 122a = c qui ne permet aucune solution; b=4 conduit à : 120a = c, non plus. Reste b=3, soit 121a = c d où a=4 et c=2. Solution A = B x q + r, et 0 r < B. r = 47, donc B 48. La plus petite valeur pour A est = 8x44 ; 4242 = 42 x 101 et 2828=28 x101 ; =24 x 10101, 32032=4576 x A = B x q + r, et 0 r < B. B=r, donc A=(B+1)x r. Donc A = 38 ou 76, ou Soit 6 A 6 = B 6 x C. C=6. Donc A + 6 = (10B +6)x C D où C=0 En simplifiant 51 = 6B A. B=9 et A = 3 Vérification : 636 = Le nombre A cherché, augmenté de 1, est divisible par 2, 3, 4,, 9, 10. Donc par leur PPCM 2 3 x 3 2 x 5 x 7 = 504. Donc A = Si A = n 2 + n + 1 = 1994k, il est pair. Donc n 2 +n est impair; or n(n+1) toujours pair. 21. abc cba représente 100a +10b +c 100c -10b a = 99(a c). Pour connaître son écriture chiffrée, il faut décomposer une centaine : 99(a c) = 100(a c) (a c) On obtient ainsi (a c) centaines, 9 dizaines, 10 a+c unités. On vérifie que a c 1 = a et a c 1 = b sont impossibles. Donc a c 1 = c. Le chiffre des dizaines, 9, ne peut être b; c est donc a=9. Donc c=4. Reste b= = A = ELLE, B = EST, C = SIMPLE. Si E>4 AxB aura 7 chiffres. Donc E = 1, 2 ou 3. Mais le produit de E par T est terminé par E, et T E. Donc E=2 ou 3 L hypothèse E=3 & T=1 implique < AB < Donc S=9; mais alors 390 B 399, ce qui est impossible. Reste E= 2. Valeurs possibles pour B : 241, 251, 261, 271, 281, 246, 256, 276, 286 et pour A : 2002, 2112, En testant, on ne trouve que 2552 x 276 acceptable. 23. Les hypothèses s écrivent : + + = 10 + ; + =. Donc = 0. Il reste + = 9. Donc = 1 et + = 9. Solutions : 712, 613, 514, 415, 316, et A = 1xxy. Si A multiple de 9, alors 1+x+x+y = 9k; de plus y = 0 ou 5. Si y=0 alors 2x + 1 = 9k, et x=4. Si y=5 alors 2x + 6 = 9k, et x=6. Solutions 1440 et abba représente 1001a + 110b est multiple de 7. Donc b vaut 7, et a est libre. bb x K = abba. Si a = 1, 1771/77 = K = 23. Autres valeurs : 46, 69, Le nombre est décomposable en 1001 x 111, soit 7 x 143 x 3 x A = (a+3) (a+2) (a+1) a = 1000(a+3) +100(a+2) +10(a+1) +a B = a (a+1) (a+2) (a+3) = 1000a +100(a+1) +10(a+2) +(a+3) A B = = = abcd = 4 x dcba. a>d. De plus d = 1 ou 2 (sinon produit >10000). Mais d pair. Donc d = 2. Donc a = 8 ou 9. Mais a=9 imposerait d=6 (produit par 4) Donc a = b + 10c + 2 = 4 ( c + 10b + 8), soit 2b = 13c +1 c = 1 Donc b = 7. Seule solution : abcd représente 1000a + 100b +10c +d = 107 (a + b + c + d) Soit : 893a = 7b + 97c d. D où a = 1 ou 2. Supposons a = 1. Les multiples de 107 supérieurs à 1000 : 1070, 1177, 1284, 1391, 1498, 1605, 1712, 1819, Cette dernière solution convient. 31. A = abc, et B = cba. Donc A B = 99 (a c). En dégageant une centaine, le nombre s écrira : 100(a c 1) a+c : (a c 1) centaines, 9 dizaines, (10 a+c) unités Ce nombre renversé s écrit (10 a+c) centaines, 9 dizaines, (a c 1) unités. La somme est de 9 centaines, 18 dizaines, et 9 unités, soit A = abc ; B = acb ; C = bac ; D = cba A B = 18 donne 9 (b a) = 18, soit b a = 2 C A = 360 donne b c = 4 Si A multiple de 9, alors a+b+c = 9k, soit a +(a+2) +(a 2) = 9k Deux solutions: a=3 & a=6 Soit 362 et abcabc est le produit de abc par 1001, qui est égal à 7 x 11 x A = (1x 3 x 5 x 7 x 9) x (11 x 19) x x 91 x 93 Le résultat de la 1 parenthèse est terminé par 5, le suivant aussi A est terminé par terminé par 1; 37 1 par 7 ; 37 2 par 9 ; 37 3 par 3 ; 37 4 terminé par 1. Période : 4 Donc 37 4 est terminé comme 37 0 par 1; et comme 37 1 par A = abc = (a+b+c) 3. Les cubes possibles de 3 chiffres sont 125, 216, 343, 512, 729. Seul 512 = 8 3 convient. 25. B = 37x28y. y est pair et 3+7+x+2+8+y=9k, soit x+y+2=9k ; y vaut 0 ou 5. Donc y = 0 ; par suite x+2 = 9k. Donc x=7. B = F.Boule : Exercices d arithmétique b = a+1 et c = ab = a (a+1). Alors a 2 +b 2 +c 2 = a 4 +2a 3 +3a 2 +2a +1. C est un polynome

5 symétrique. Il se factorise en (a 2 + a + 1) A = a (a+1) (a+2) (a+3). L un au moins des facteurs est multiple de 3. Deux sont pairs, dont un multiple de 4. Donc A divisible par 2 x 3 x 4 = Exemple : 5 x 6 x 7 x 8 +1 = 412. Soit B = a (a+1) (a+2) (a+3). a (a+3) est pair = 2k (a+1) (a+2) = a 2 +3a + 2 = 2k +2. Or 2k (2k+2) +1 = (2k+1) N = 100a + 10b + a De plus 2a + b = 10b +c et b + c = b. Donc c = 0 D où 2a = 9b. Donc a = 9 & b = 2. Solution : X, Y, Z nombres de pièces de chaque sorte. X + Y + Z = 20. En centimes : 50X + 20Y + 5Z = 500 soit 10X + 4Y + Z = 100. Par différence : 9X + 3Y = 80. C est impossible puisque 9X + 3Y est multiple de Retrancher x unités et 2x dizaines, c est retirer un multiple de 21 (donc de 7) Retrancher xy unités et xy milliers, c est retirer un multiple de 1001, donc de Les restes possibles de n modulo 7 sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ceux de n 2 sont respectivement 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1. Ceux de n 3 : 0, 1, 1, 6, 1, 6, 6. Donc n 3 =7k ou 7k±1 44. Voici les décompositions de 36 avec leur somme :1x2x18 [21], 1x3x12 [16], 1x4x9 [14], 1x6x6 [13], 2x2x9 [13], 2x3x6 [11]. S il manque un renseignement, c est qu il y a deux décompositions de même somme : 13. Mais il y a une aînée; c est donc 9, 2, Les restes modulo 11 sont 0, 1,,10. Les restes d un carré modulo 11 sont 0, 1, 3, 4, 5 ou 9. Une somme de carrés ne peut donc être divisible que si chaque carré est divisible par 11. abcd + cbda = 1001 (d+a) (b+c). Donc divisible par 11. Donc abcd et cbda le sont aussi. Un carré ne peut se terminer que par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. C est donc aussi le premier chiffre de l autre. Mais si c était 5, ce serait 25. Donc le retourné commencerait par 52; or il n y a pas de carré entre 5200 et Reste pour premiers chiffres 1, 4, 6 ou 9 et pour intervalles : [1000,2000], [2000, 5000], (6000, 7000], (9000, 10000]. La racine doit être divisible par 11. Les seuls candidats restants sont 33, 44, 66, 99. En effet 33 2 = 1089 et 99 2 = F.Boule / IUFM Dijon F.Boule : Exercices d arithmétique 5