Corrigé du Brevet de technicien supérieur session 2010 Géomètre topographe

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1 Corrigé du Brevet de technicien supérieur session 00 Géomètre topographe A. P. M. E. P. Exercice 8 points Partie A. Soit t un réel quelconque. On a : xt+=t+ sint+=t+ sint car sin est périodique. Donc xt+ =xt+. Par ailleurs, yt + = cost + = cost car cos est périodique. Donc yt+ = yt. Le vecteur M t M t+ a donc pour coordonnées xt+ xt xt+ xt = =, ce vecteur est donc constant. yt+ yt yt yt 0 Le point M t+ s obtient donc à partir de M t par une translation de vecteur ı. La courbe C est donc invariante par cette translation.. Soit t un réel quelconque. Alors : x t= t sin t= t+ sin t car sin est impaire. Donc x t = xt : la fonction x est impaire. Par ailleurs, y t = cos t = cost car cos est paire. Donc y t = yt. Le point M t s obtient donc à partir de M t par une symétrie par rapport à l axe des ordonnées. 3. D après la question., il suffit de construire un morceau de la courbe pour des valeurs de t comprises dans un intervalle de longueur puis de translater ce morceau de vecteurs k. ı pour obtenir la courbe entière. L intervalle peut donc être réduit à [ ; ]. Enfin, les parités de x et de y permettent de réduire l intervalle d étude à [0 ; ].. Tout d abord on construit le symétrique de C J par rapport à l axe des ordonnées pour obtenir une courbe C J. Ensuite on translate la réunion de C J et de C J par des translations de vecteurs k. ı pour obtenir la courbe entière. Partie B. a. Pour tout t [0 ; ] : x t= cost donc x t>0 cost>0 cost< cost < cos t >. car la fonction cosinus est décroissante sur J. Ainsi, x t>0 sur t =. ] ; ] et, de même, x t<0 sur [ 0 ; [ et x t=0 si b. Pour tout t [0 ; ] : y t= sint donc y t<0 sur ]0 ; [ et y t=0 si t = 0 ou t =.

2 Brevet de technicien supérieur A. P. M. E. P. c. Le signe de la dérivée donne les variations de la fonction. [ x est strictement décroissante sur 0 ; ] et strictement croissante sur [ ] ;. y est strictement décroissante sur [0 ; ]. t 0 x t 0 + xt 0 yt 3 0 y t 0 0. a. Il s agit d abord de voir à quel moment x et y s annulent pas simultanément de préférence. L étude faite aux questions b. et c. montre alors que : la courbe C J admet une tangente parallèle à l axe des abscisses quand x t 0 et y t = 0 donc quand t = 0 point M 0 0; ou t = point M ;. la courbe C J admet une tangente parallèle à l axe des ordonnées quand x t=0 et y t 0 donc quand t = point M ;. b. C J coupe l axe des abscisses au point M t tel que yt=0 donc cost=0 ce qui donne t = ici, t J. Le point a alors pour coordonnées ; a. t 0 xt 0 0, 0, 8 0, 6 3, yt 0, 7 0, 5 0 b. Par souci d économie de place, l échelle choisie dans l énoncé n a pas été respectée. 3 M / M 0 y O x M Géomètre topographe mai 00

3 Brevet de technicien supérieur A. P. M. E. P. Exercice 8 points Partie A. L angle Î est l angle entre les tangentes aux arcs I A et I B. θ I = θ A donc I A est un arc de méridien tandis que I B est un arc de l équateur ; les deux étant perpendiculaires, on a bien Î =. Comme I A est un arc de méridien, on a b= AI = ϕ I ϕ A =.. cos ˆB = cos  cos Î + sin  sin Î cosb= 0+ = donc B = cos Â= cos B cos Î+sin B sin Î cos a donc = 0+ cos a donc cos a= / = = 3/ Nous savons que a = B I = IOB en radians car le rayon de la sphère est. Donc a = θ B et, par ailleurs, ϕ B = 0. Pour tout point Mx ; y ; z de Σ : x = cosθ cosϕ ; y = sinθ cosϕ ; z = sin ϕ. x B = cos a cos0 = 3 ; y B = sin a cos0=sin a ; z B = sin 0=0. Comme cos a+ sin a=, on a sin a=± cos a. Comme ici, B a une longitude a négative, on obtient z B = sin a= 3 = 3 =. 3 Partie B. a. x A = cos 0cos z A = sin =. = ; y A = sin 0cos = 0 ; b. SN a pour coordonnées 0 ; 0 ; donc SN = d où SN = SN = SN. Les coordonnées de SN = SN sont 0 ; 0 ; ce qui donne x x S = 0 donc x = 0 ; y y S = 0 donc y = 0 et z z S = donc z = 0. Le point N est donc O. c. Le pôle S est sur la sphère Σ donc l image de la sphère Σ est un plan P perpendiculaire à la droite SO, passant par l image d un point de la sphère Σ par exemple celle de N. Le vecteur SO 0 ; 0 ; est normal au plan P donc une équation de P s écrit 0x+0y+z+d = 0 donc z = λ. Comme N = O appartient à P, on en déduit que l équation de P est z = 0. d. Soit M un point de Γ et M son image par T. Alors : SM = SO +OM = + = donc SM = SM = SM donc M = M.. S A a pour coordonnées ; 0 ; + donc S A = + = + + = d où Géomètre topographe 3 mai 00

4 Brevet de technicien supérieur A. P. M. E. P. S A = S A qui a pour coordonnées Remarquons que = 0. + = + = +. Donc x x S = + donc x = + ; y y S = 0 donc y = 0 et z z S = donc z = 0. Le point A a pour coordonnées + ; 0 ; 0. Géomètre topographe mai 00

5 Brevet de technicien supérieur A. P. M. E. P. 3. Γ est un méridien car θ I = θ A donc passe par les pôles de la sphère donc par le pôle S de l inversion T et on travaille dans le plan OI S. Γ est donc une droite. Γ est contenu dans Σ donc Γ est contenue dans P. Γ est contenu dans OI S donc Γ aussi OI S passe par le pôle. Donc Γ est l intersection des plans P et OI S donc Γ = OI.. Γ est l intersection de Σ et du plan O AB. Le plan O AB ne passe pas par S sinon on aurait B O AS donc θ B = 0 donc son image est une sphère. La sphère Σ devient le plan P. Donc Γ est l intersection d une sphère et d un plan, qui ont au moins deux points communs A et B donc Γ est un cercle. 5. Pour le tracé de Γ, il nous faut trois points. Nous connaissons déjà A et B = B car B Γ. Il suffit de prendre le symétrique de B par rapport à O, qui est un point du cercle Γ et qui est aussi un point de Γ donc B = B. Le centre de Γ est l intersection des médiatrices de [BD] et de [B A ]. Pour information : l équation réduite de la médiatrice de [B A ] est y = 3 6x+ 3+ 6, celle de la médiatrice de [BD] est y = x et les coordonnées du centre de Γ sont ;. y Γ Ω Γ B = B O I A x Γ B = B En gras, l image du triangle sphérique AI B. Géomètre topographe 5 mai 00