Exercice 1 (Guadeloupe ) Question 1 Question 2 Calcul de la longueur AC a 2 Question 3

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1 Exercice 1 (Guadeloupe ) Question 1 Le sujet ne précise pas les instruments utilisables, on suppose que seuls la règle et le compas sont autorisés. Question 2 Calcul de la longueur AC Méthode 1 : Le triangle ABC rectangle isocèle en B est un demi carré de côté a, coupé par sa diagonale [AC]. On sait que la diagonale d un carré de côté a vaut a 2. On en déduit que AC = Méthode 2 : On utilise la propriété de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B. AB 2 + BC 2 = AC 2 a 2 + a 2 = 2 a 2 d où AC = 2a Pour construire un segment de longueur 2a 18 cm il suffit de construire un triangle rectangle isocèle de 3 cm de côté puisque si a = 3 alors 2a= 18 et l hypoténuse de ce triangle aura une longueur de 18 cm. On peut aussi construire un carré de côté 3 cm et la longueur de sa diagonale sera de 18 cm. Question 3

2 Méthode 1 : Le triangle AMC est rectangle en M car il est inscriptible dans le demi-cercle de diamètre [AC]. Dans ce triangle rectangle, on calcule MC par le théorème de Pythagore. MC 2 = AC 2 - AM 2 = 2a 2 - a 2 = a 2 D où MC = a. Ainsi le quadrilatère ABCM a quatre côtés de même longueur a, c est un losange. De plus l'angle ABC est droit, donc ABCM est un carré. Méthode 2 : Le triangle AMC est rectangle en M car il est inscriptible dans le demi-cercle de diamètre [AC] et donc inscriptible dans le cercle de diamètre [AC]. Le triangle ABC rectangle en B est aussi inscriptible dans le cercle de diamètre [AC]. On en déduit que les points A, B, C et M sont cocycliques. Le diamètre [AC] est un axe de symétrie de ce cercle. Comme les points M et B sont sur le cercle et que AM = AB alors les points M et B sont symétriques par rapport à l axe (AC). On en déduit que CM = CB = a car la symétrie conserve les distances. Ainsi le quadrilatère ABCM a quatre côtés de même longueur a, c est un losange. De plus l angle ABC est droit, donc ABCM est un carré. Question 4 a Si IM = MC le triangle IMC est équilatéral. En effet tout d abord IMC est isocèle puisque IM = MC puis IM = IC car tous deux sont des rayons du cercle. Question 4b Attention! Pour améliorer sa lisibilité, la figure a été agrandie! Question 5

3 Par construction, la droite (EF) est perpendiculaire à la droite (AB). D'autre part, le triangle ABC est rectangle en B, donc la droite (BC) est aussi perpendiculaire à la droite (AB). Ainsi, les deux droites (EF) et (BC) sont perpendiculaires à une même droite (AB), elles sont donc parallèles entre elles. Elles sont toutes les deux coupées par la droite (AC) donc les angles AEF et ACB sont égaux car ils sont correspondants. Or dans le triangle isocèle ABC, les angles ACB et BAC sont égaux On peut en déduire que les angles AEF et FAE sont égaux ; donc le triangle AEF est isocèle. Exercice 2 (Martinique ) Rappel : convexe se dit d une partie du plan ou de l espace telle que tout segment ayant ses extrémités dans cette partie y est entièrement inclus. Question 1 : Question 1.a : Faux, les rectangles non carrés n ont pas des diagonales perpendiculaires. Question 1.b : Vrai, les carrés sont des parallélogrammes et appartiennent à (F). Question 2 : Question 2.1. Considérons le triangle ADB, H et E étant les milieux respectifs des côtés AB et AD, la droite (HE) est parallèle à la droite (DB) (théorème de la droite des milieux) et on a l égalité : HE = 1 2 DB. Un raisonnement analogue appliqué respectivement aux triangles DBC, ADC et ABC montre que : (GF) est parallèle à (DB) ; GF = 1 2 DB (HG) est parallèle à (AC) ; HG = 1 2 AC (EF) est parallèle à (AC) ; EF = 1 2 AC Ainsi le quadrilatère HGFE a ses côtés parallèles et égaux deux à deux, c est un parallélogramme. Comme les droite (DB) et (AC) sont perpendiculaires, les angles du parallélogramme HEFG sont droits. C est donc un rectangle. Question 2.2. EFGH est un carré s il possède deux côtés consécutifs égaux. C est le cas d après 2.1. Si AC = DB. Il est donc suffisant que les diagonales aient même mesure.

4 Exercice 3 (G )

5 Exercice 4 (G )

6 3) b) Construction du carré PQRS à la règle non graduée Le carré FGHE a été construit en traçant les quatre segments [AJ], [BK], [CL] et [DI] ayant pour extrémités les sommets du carré ABCD et les milieux de ses côtés opposés. En procédant de même, pour construire PQRS, il faut utiliser les milieux des côtés du carré FGHE. La question précédente a montré qu en traçant [EB] on obtenait le milieu de [FG]. De la même manière, en traçant [FC], [GD] et [HA], on obtient, respectivement, les milieux de [GH], [HE] et [EF] et par conséquent le carré PQRS intérieur au carré FGHE. D où, la construction suivante (non demandée) qui ne nécessite que l utilisation de la règle non graduée (le carré ABCD étant construit et les milieux de ses côtés repérés). Voir figure après la question 3c

7 Exercice 5 (G ) 1) a) Axes de symétrie de la figure Cette figure complexe est composée d un grand carré ABCD de centre O dans lequel sont inscrits notamment un second carré IJKL et quatre losanges ANOM, BROP, CTOS et DVOU. On sait qu un carré possède quatre axes de symétrie (ses diagonales et ses médianes). Comme aucune justification n est demandée, il suffit de vérifier «visuellement» que les symétries d axes (AC), (BD), (JK), (LJ) (les axes de symétrie du grand carré ABCD) laissent la figure globalement invariante (certains éléments sont invariants, d autres sont mutuellement symétriques). Les droites (AC), (BD), (IK) et (LJ) sont les axes de symétrie de la figure. 1) b) Image du triangle DUK Par la symétrie de centre O, les points D, U, K ont pour image respective les points B, P et I donc l image du triangle DUK est le triangle BPI. 2) a) Nature du triangle AIL Les points I et L sont les milieux respectifs des segments [AB] et [AD], cotés du carré ABCD. Donc AI = AL. Par ailleurs, ABCD étant un carré, l angle IAL est un angle droit. On en déduit que le triangle AIL est un triangle rectangle isocèle en A. 2) b) Calcul de la longueur LM Par hypothèse, on sait que la longueur du segment [LM] vaut le tiers de la longueur du segment [LI].

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9 Méthode 2 : rapport de réduction Tout carré est un agrandissement ou une réduction d un autre carré. En calculant le rapport de réduction des longueurs entre le côté du carré ABCD et celui du carré IJKL. Méthode 3 : emploi d une unité d aire non conventionnelle Cette démonstration doit être assez rigoureuse pour être exacte. Les médianes (IK) et (LJ) du carré ABCD partagent ce carré en quatre carrés de même aire. Ainsi les carrés AIOL, IBJO, OJCK et OKDL ont la même aire. D autre part, la diagonale (LI) du carré AIOL partage celui-ci en deux triangles (IAL et IOL) d aire identique. Les diagonales (IK) et (LJ) du carré IJKL partagent ce carré en quatre triangles (IOL, IOJ, JOK et KOL) d aire également identique. Tous les triangles cités sont donc superposables et pavent les deux carrés ABCD et IJKL. En prenant ces triangles comme unités de pavage, la mesure de l aire de ABCD est de 8 et celle de IJKL de 4. Ainsi le carré ABCD a une aire égale à deux fois celle du carré IJKL. L aire du carré ABCD vaut le double de l aire du carré IJKL.

10 Exercice 6 (G4 2008) 1) a) Valeur exacte de la longueur SA D après l énoncé, la droite (SO) est orthogonale en O au plan (ABC), elle est donc perpendiculaire à toutes les droites de ce plan qui passent par O, en particulier à la droite (OA) qui appartient à ce plan. Le triangle OAS est donc rectangle en O. En appliquant le théorème de Pythagore dans ce triangle, on obtient : OA 2 + OS 2 = AS 2. Or par hypothèse, SO = 2. De plus, [OA] correspond à la demi-diagonale du carré ABCD de côté 4 cm. On en déduit que OA = 1 2 x4 2 = 2 2 1) b) Construction d un segment de longueur SA à la règle et au compas Remarque : Ni la description, ni la justification n étaient demandées. Nous les donnons pour la formation du candidat. En revanche, laisser les traits de construction apparents était exigé ici. Pour construire géométriquement un segment de longueur SA, il faut construire un triangle rectangle dont les côtés de l angle droit auront pour longueurs 2 cm et 2 2 cm, dans ces conditions l hypoténuse d un tel triangle aura pour longueur 2 3 cm. Méthode 1 (construction à partir d un carré de côté 2 cm) À l aide du quadrillage, on trace le carré de côté 2 cm ainsi que sa diagonale : sa longueur est 2 2 cm. On en fait le deuxième côté de l angle droit d un triangle rectangle dont l autre côté de l angle droit mesure 2 cm, grâce à un report au compas, et on achève la construction en traçant l hypoténuse de ce triangle rectangle dont la longueur est égale à SA.

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12 D autre part, la droite (SO) est perpendiculaire à la droite (OJ) (voir question 1). Donc SOJ est un triangle rectangle et isocèle en O. On en déduit que l angle SJ ˆ O est égal à 45. Il en est de même pour S' J ˆ O'

13 Exercice 7 (groupe ) 1) a) Valeur exacte et valeur approchée au mm près de la hauteur de la bougie S est le sommet du cône de révolution et A le centre de sa base, (SA) est donc orthogonale à la base et le triangle SAB est rectangle en A. Le théorème de Pythagore permet alors d écrire :

14 Calcul de A B : Le triangle SA B est rectangle en A, ainsi les droites (A B ) et (AB) étant perpendiculaires à la même droite (SA) sont parallèles entre elles. A est le milieu de [SA] et d après le théorème de la droite des milieux dans le triangle SAB (toute droite qui passe par le milieu d un côté et qui est parallèle à un second côté, passe par le milieu du troisième côté), on en déduit : 1 B est le milieu de [SB] et A B = AB = 7 cm. 2

15 Remarque : Une troisième méthode consiste à calculer le volume de cire blanche puis le rapport entre le volume de cire blanche et celui de la bougie.