Géométrie dans l espace On désigne par E l ensemble des points de l espace et par w l ensemble k est Wmuni de la base B i

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1 Maths site Résmé d cors Géométrie dans l espace On désigne par E l ensemble des points de l espace et par w l ensemble o, i, j, k est Wmni de la base B i, j, k des vecters de l espace. E est mni d n repère orthonormal Prodit scalaires dans l espace : Définition :Le prodit scalaire de dex vecters non nls. etv est le nombre réel : v v cos(, v) Propriétés :* por tos vecters etv et tos réel et Si = o v = alors v = ( v) v v v ( ) ( ) ( ) * E est mni d n repère orthonormal 1. = = x² y² z² x y z et x' v y' sont dex vecters de W z'. v xx' yy' zz' 3. v v v 4.. v v (inégalité de Cachy Scharz) 5. v v (inégalité de Minkowski) Déterminant de trois Vecters : Soit B = i, j, k ne base dew et, v, wn triplet de vecters de W tel qe x x' x" y v y' et w y" alors : z z' z" x" y' y" x' x" x' x" det, v, w= y" x y z = x (y z - z y ) y (x z - z x ) + z (x y - y x ) z' z" z' z" y' y" z" Théorème : soit,b,cet D qatre points de E.Le triplet B, C, Dest ne base de W si et selement si, si et selement si B, C et D ne sont pas coplanaires si et selement si,b,cet D ne sont pas coplanaires Vecters colinéaires : dex vecters de l espace sont dits colinéaires Si l n est prodit de l atre par n réel B, C et D n est pas liée si et selement si det B C, D x y z et x' v y' sont dex vecters de W z', et v sont dex vecters colinéaires si et selement si Maths site Géométrie dans l espace

2 Maths site Droite : Etant donnés n point et n vecter non nl : Résmé d cors * La droite passant par et de vecter directer (notée D (, )) est l ensemble des points M tels qe M et sont colinéaires. * Etant donnés dex points et B on ( B) = D (, B ). a c éqivat à * Eqations paramétriqes d ne droite de l espace Si b, x, y,z etm x, y,z M D (, ) éqivat à Il existe n réel tel qe * Eqations cartésienne d ne droite dans le plan * Le plan est mni d n repère o, v ne droite D de vecter directer M z c z x a x y b y, l ensemble des points M tel qe a x + b y + c = avec (a,b) (,) est b a o de vecter normal n a b * Etant donnés dex points, Met n vecter non nl a Si, x, y etm x, y, b det ( M, )= x x y y a Plan : Eqations paramétriqes d n plan de l espace b =b(x-x )-a(y-y ) fornit ne éqation Cartésienne de la droite D (, ) Etant donnés n point, etv dex vecters non colinéaires a a' Si b,v b' x, y,z etm x, y,z,m P (,, v ) c c' x a a' x si et selement si Il existe n niqe cople réels (, ) tel qe M v éqivat à y b b' y z c c' z Ce système est ne représentation paramétriqe d plan P Eqations cartésienne d n plan de l espace : Tos plan de l espace admet ne éqation de la forme a x + b y + c z + d = o a,b et c sont des réel non tos nls a Réciproqement : Si n plan P à por éqation a x + b y + c z + d = alors n b est n vecter normal à P c a * Etant donnés n point x, y, z etm x, y, zet n b n vecter normal a plan P alors por tos point M P c M n est ne éqation cartésienne d plan passant par et de vecter normal n Ce système est ne représentation paramétriqes de la droite D dans l espace Maths site - - Géométrie dans l espace

3 Maths site * Etant donnés n point P (,, v ) et etv dex vecters non colinéaires d plan P a a' c c' cartésienne d P Orthogonalité dans l espace : Si b, v b' x, y, z etm x, y, z * etv,alors por tos point M P (, sont orthogonax si et selement si v et on note v, v ) det M, v Résmé d cors, = est ne éqation * Soit dex droites D et D de vecters directers respectives etv On a alors : D D éqivat à v * Un vecter normal à ne droite est n vecter orthogonal a vecter directer de la droite. * Un vecter non nl n est normal a plan P (o, v, w ) si et selement si v * Soit ne droite D de vecter directer et P (o, v, w ) n plan D P si et selement si v * Dex vecters non nls netn' et w n et n w sont normax à n même plan si et selement si ils sont colinéaires. * Soit dex plan P et P de vecters normax respectives n etn' On a alors : P P si et selement si n n' P // P si et selement si netn' sont colinéaires * Soit dex plans P : ax+by+c z+d = et P a x+b y+c z+d = vec a,b et c trois réels non nls ona : P // P si et selement si Prodit vectoriel dans l espace : a a' b b' Soient et v sont dex vecters de W et,b et C trois points de E tel qe vectoriel de et v le vecter w noté v = w * Si et v sont colinéaires alors w = * Si non w est l niqe vecter tel qe 1. w est normal a plan (BC). v, w, est ne base directe de W 3. v w v sin(,v ) c c' B, C v on appelle prodit Propriétés : Soient, v et w sont trois vecters de W On a : * v = v ; ( * ( + v ) w = w + v w * w ( + v ) = w + w v n réel. ) v = ( v ) = ( v ) * ( v ). w =( v w ). =( w ). v = det, v, w Expression analytiqe d prodit vectoriel : Dans ne base orthonormée directe i, j, k dew, si dex vecters de W alors v = i j k = (y z - z y ) i (xz - zx ) j + (xy - yx ) k x y z et x' v y' sont z' Maths site Géométrie dans l espace

4 Maths site Sins et cosins de l angle de dex vecters : Si et v sont dex vecters non nls de W sin( ) = v v et cos= v E est mni d n repère orthonormé o, i, j, k Distance d n point à n plan : v * E est mni d n repère orthonormé o, i, j, k Soit le plans P : ax+by+cz+d =, x y, z est H le projeté orthogonale de sr P,la distance d point a plan P est : d(, P )=H= ax by cz a² b² c² d * Soit D ne droite de vecter directer et B n point de D La distance d n point de l espace à la droite D (B, ) est le réel d(, D) = L aire d n triangle : soit, B et C trois points non alignés de E 1 L aire d n triangle BC est égale à = B C L aire d n parallélogramme Soit BCD n parallélogramme. L aire d parallélogramme BCD est égale à = B Volme d n parallélépipède Le volme d n parallélépipède BCDEFGH est égale à V = det B, D, E = ( B D). E =B.h B : l aire de la base et h : hater Volme d n tétraèdre Le Volme d n tétraèdre BCD est égale à : V = 1 det B C, D 6 Résmé d cors, n point de l espace B D, = 1 ( B C ). D = 1 Bh. B : l aire de la base et h : hater Eqations cartésienne d ne sphère : 6 * Soit I(a,b,c) n point de l espace rapporté a n repère orthonormé o i, j, k 3, est R n réel positif. Une éqation cartésienne de la sphère S (I,R) de centre I et de rayon R est : (x a)²+(y b)²+(z c)²= R² * Soit S ne sphère de centre I et de rayon R et P n plan de l espace on désigne par H la projeté orthogonale d point I sr le plan P et on pose d=ih - Si d < R alors P S est le cercle d plan P de centre H et de rayon R = R² d ² et on dit qe P et S sont sécants sivant ce cercle -Si d=r alors P S ={ H} et on dit qe P et S sont tangents en H - Si d > R P S = et on dit qe P et S sont disjoint Maths site Géométrie dans l espace

5 Math site Les réflexes à avoir Réflexes à avoir Ne pas oblier qe vos travailler dans l espace et qe tot point est définie dans n repère par son triplet de coordonnées. Le prodit scalaire permet de démontrer qe des droites sont orthogonales de calcler des angles géométriqes, de trover des éqations de cercles o de sphère et de trover des éqation cartésienne d plan. Un prodit scalaire pet se calcler a l aide de qatre formles x x' 1) y et v y' sont dex vecters de W z z' soient, B, et C trois points de E tel qe = B et v = C.. v B. C B. H o le point H est le projeté Orthogonale d point C sr (B) ) v v cos(,v ) 3) v xx' yy' zz' 4) v v v En général vos choisirez des qatre formles selon l énoncé de l exercice *La représentation paramétriqes d ne droite D de l espace sos la forme Permet d affirmer qe le point x, y,z directer de la droite x k x y k y z k z avec k est n point de la droite et qe le vecter est n vecter a Penser qe si n plan P à por éqation ax+by+c z+d = alors le vecter n b est normal a P c Soit P : ax+by+c z+d = n plan de l espace E et soit Un vecter de l espace. est n vecter d plan P si et selement si a +b +c soient, B, Cet D qatre points de E tel qe,b,c ne sont pas alignés. lor BCD est n parallélogramme si et selement si B DC si et selement si B D C a Etant donnés n point x, y,z et n b n vecter normal a plan P alors por tos point c M x, y,z P M n est ne éqation cartésienne d plan passant par et de vecter normal n Maths site Géométrie dans l espace

6 Math site Réflexes à avoir Soient,v et w sont trois vecters de W. {,v, w } est liée si et selement si det(,v,w ) si et selement si,v et w ne sont pas coplanaires Etant donnés n point P (,, v ) et et v dex vecters non colinéaires d plan P a a' c c' Si b,v b', x, y,z et M x, y,z M P (,,v ) det det x x a a' M,,v y y b b' z z c c' = sig alors por tos point x x a a' b b' a a' a a' M,,v y y b b' ( x x ) ( y y ) ( z z ) c c' c c' b b' z z c c' = est ne éqation cartésienne d plan P (,,v ) a a' b,v b' x, y,z etm x, y,z c c' P (,, v ) La représentation paramétriqe d plan P (,,v ) de l espace sos la forme x a a' x y b b' y z c c' z ( (, ) IR² ) il ne fat pas penser qe dex plans perpendiclaires a n même plan sont parallèle (ils pevent l être mais en générale, ils ne le sont pas) Dans l espace si dex droites ne sont pas parallèles alors elles ne sont pas nécessairement sécantes (elles pevent être non coplanaire) Sécants selon ne droite Dex plans pevent strictement Parallèles confonds Soient et B dex points de E L ensemble 1 des points M tel qe : M=BM est donc le plan médiater d segment B L ensemble des points M tel qe : M=R avec R>est donc la sphère S de centre est de rayon R L ensemble 3 des points M de l espace tel qe MMB est la sphère de diamètre [B] L ensemble 4 des points M de l espace tel qe M MB est la droite (B) L ensemble 5 des points M de l espace tel qe M B est Le plan orthogonal a B passant par Maths site Géométrie dans l espace

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