FONCTIONS USUELLES. Objectifs Connaître les fonctions usuelles classiques. Connaître des nouvelles fonctions usuelles. Savoir étudier une fonction.

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1 A 00-0 FONCTIONS USUELLES Objectifs Connaître les fonctions usuelles classiques. Connaître des nouvelles fonctions usuelles. Savoir étudier une fonction. Exponentielles, logarithmes, puissances. Exponentielle Dénition. Il existe une unique fonction de R dans R, appelée exponentielle, notée exp, dérivable sur R telle que : { exp0) = exp x) = expx), x R Par dénition, exp est continue et dérivable sur R. Equation fonctionnelle x, y R : expx + y) = expx). expy) exp x) = expx) On pose : e = exp) et on note e x = expx). Variations x R, expx) > 0 donc comme exp = exp, alors exp est strictement croissante. Limites aux bornes lim x + ex = + lim x ex = 0 La courbe de exp admet une asymptote horizontale en d'équation y = 0 c'est à dire l'axe des abscisses. Croissances comparées n N e x, lim x + x = + n n N, lim x xn e x = 0 JA- JMB - ML

2 . Logarithme népérien A Logarithme népérien Dénition. La fonction logarithme népérien, notée ln est la fonction réciproque de la fonction exp car exp est bijective de R dans ]0; + [. La fonction ln est donc dénie de ]0; + [ dans R. Variations ln est de même sens de variations que exp ainsi ln est continue, dérivable et strictement croissante sur ]0; + [. Dérivée Limites aux bornes x > 0, ln x) = exp ln x) = e = ln x x lim ln x = lim x 0 + ln x = + x + La courbe de ln admet une asymptote verticale en 0. Equation fonctionnelle { lnxy) = lnx) + lny) x, y > 0 : ln x = ln x Croissances comparées n N ln x, lim x + x = 0 n n N, lim xn ln x = 0 x 0 + JA- JMB - ML

3 .3 Fonctions exponentielles et logarithmes de base quelconque A 00-0 Exercice. Étudier la fonction f : x ln + e x ).3 Fonctions exponentielles et logarithmes de base quelconque Dénition 3. Soit a > 0. Pour tout x R, on dénit l'exponentielle de base a par : a x = expx ln a) = e x ln a Ainsi, l'étude d'une exponentielle de base a se ramène à celle d'une exponentielle classique du type e αx. Soit a > 0 et a. Pour tout x > 0, on dénit le logarithme de base a par : log a x) = ln x ln a De même, l'étude d'une fonction logarithme de base a se ramène, à un facteur multiplicatif près à celle de la fonction ln. 3 JA- JMB - ML

4 .4 Fonctions puissances A Fonctions puissances Pour α R, on dénit : f α : R + R x x α ) avec x α = e α ln x. Ainsi, là aussi, on se ramène à l'étude d'une exponentielle classique, sauf dans les cas α entier naturel fonction puissance classique), entier relatif négatif fonction inverse d'une fonction puissance classique), rationnel et on a : x p q = q x p..5 Croissances comparées Soient α > 0 et a, b > : on a : a x lim x + x = + α lim log b x = 0 lim x α log x + x α b x = 0 x 0 On résume cela ainsi : en + : Fonctions hyperboliques log b x x α a x. Fonctions hyperboliques directes.. Cosinus et sinus hyperboliques Dénition 4. Par analogie avec les formules d'euler, on appelle cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique les fonctions de R dans R dénies par : ch : x ex + e x sh : x ex e x Continuité, dérivabilité ch et sh sont continues et dérivables sur R Parité 4 JA- JMB - ML

5 . Fonctions hyperboliques directes A 00-0 ch x) = e x + e +x = chx) x R, sh x) = e x e +x = shx) donc la fonction ch est paire et la fonction sh est impaire. On les étudie donc toutes les sur R + on complète par symétrie axiale par rapport à Oy pour ch et par symétrie centrale de centre O pour sh). Dérivée ch x) = ex e x = shx) x R, sh x) = ex + e x = chx) Signe Pour tout x > 0, on a x > x et donc comme la fonction exp est strictement croissante e x > e x et sh x > 0. Pour tout x > 0, on a e x > 0 et e x > 0 donc ch x > 0. Tableau de variations x 0 + ch x = sh x 0 + ch x + x 0 + sh x = ch x + sh x 0 + Trigonométrie hyperbolique Il existe de nombreuses formules liant ch et sh mais celle-ci est fondamentale : démonstration x R, ch x sh x = Comparaison Comme ch x sh x = e x pour tout x R, on a : fonctions ch, sh et x ex sont dites asymptotes. lim ch x sh x = 0. Les courbes des x + 5 JA- JMB - ML

6 . Fonctions hyperboliques directes A Tangente hyperbolique Dénition 5. On appelle tangente hyperbolique la fonction th dénie sur R par : x R, th x = sh x ch x = ex e x e x + e = ex x e x + = e x + e x Continuité, dérivabilité La fonction th est continue et dérivable sur R comme quotient de deux fonctions continues et dérivables sur R avec un dénominateur non nul sur R. Parité x R, th x) = sh x) ch x) = sh x ch x = th x dont th est impaire. On l'étudie donc sur R + et on complète par la symétrie centrale de centre O. Dérivée x R, th x) = sh x) chx) ch x) shx) ch x) Tableau de variations = ch x sh x ch x = ch x = th x x 0 + th x + th x 0 La courbe représentative de th admet donc l'asymptote horizontale y = en + et y = en. 6 JA- JMB - ML

7 . Fonctions hyperboliques réciproques A 00-0 Exercice. Montrer que : x R, chx) = ch x + sh x et que shx) = ch x. sh x. Fonctions hyperboliques réciproques Ils existent des bijections réciproques pour chacune des fonctions ch dénie de [0; + [ dans [; + [ qui est alors bijective, pour sh de R dans R et th dénie de R dans ] ; [. On peut donc créer leurs bijections réciproques appelées respectivement argument cosinus hyperbolique, notée Argch, argument sinus hyperbolique, notée Argsh et argument tangente hyperbolique notée Argth. Exercice 3. Montrer que :. Pour tout x, Argch x = ln x + ) x. Pour tout x R, Argsh x = ln x + ) x + 3. Pour tout x ] ; [, Argth x = ) + x ln x Exercice 4. Montrer que :. Pour tout x >, Argch x = x. Pour tout x R, Argsh x = x + 3. Pour tout x ] ; [, Argth x = x Exercice 5. Déterminer chargch x) pour x [; + [ et Argchch x) pour x R, en discutant si nécessaire. Exercice 6. Étudier la fonction f : x x Argsh x 7 JA- JMB - ML

8 A Fonctions circulaires 3. Fonctions circulaires directes On peut se référer pour cette partie du cours, à votre cours de lycée ou l'article sur wikipedia 8 JA- JMB - ML

9 3. Fonctions circulaires réciproques A 00-0 Exercice 7. Étudier la fonction f : x tan x tan x 3. Fonctions circulaires réciproques 3.. Arc sinus [ Dénition 6. La restriction de la fonction sinus à π ; π ] à valeurs dans [- ;] est continue et strictement [ croissante, donc elle admet une bijection réciproque dénie sur [ ; ] à valeurs dans π ; π ] appelée Arc sinus et notée Arcsin. Elle est strictement croissante cf chapitre précédent) sur [ ; ]. Elle est continue sur [ ; ] mais dérivable sur ] ; [ car la dérivée de sinus s'annule en π et π. Remarque ATTENTION). La fonction [ Arcsin n'est pas la bijection réciproque de la fonction sinus mais celle de sa restriction à π ; π ]. On a donc par exemple : sin Arcsin ) = 3 3 Arcsin sin π ) = π 8 8 mais Arcsin Dérivée sin 3π 4 ) = π4 [ car c'est l'unique élément de π ; π ] ayant le même sinus que 3π 4. x ] ; [, Arcsin x = sin Arcsin x) = cos Arcsin x) or cos Arcsin x) + sin Arcsin x) = donc cos Arcsin x) [ = x. Comme Arcsin x π ; π ] on a donc cos Arcsin x) 0 d'où cos Arcsin x) = x. D'où : 9 JA- JMB - ML

10 3. Fonctions circulaires réciproques A 00-0 x ] ; [, Arcsin x = x Parité Arcsin est impaire car c'est la bijection réciproque d'une fonction impaire. On peut donc réduire l'étude à [0; ]. Représentation graphique 3.. Arc cosinus Dénition 7. La restriction de la fonction cosinus à [0; π] à valeurs dans [- ;] est continue et strictement décroissante, donc elle admet une bijection réciproque dénie sur [ ; ] à valeurs dans [0; π] appelée Arc cosinus et notée Arccos. Elle est strictement décroissante sur [ ; ]. Elle est continue sur [ ; ] mais dérivable sur ] ; [ car la dérivée de cosinus s'annule en 0 et π. Remarque ATTENTION). La fonction Arccos n'est pas la bijection réciproque de la fonction cosinus mais celle de sa restriction à [0; π]. On a donc par exemple : ) mais Arccos Dérivée cos 4π 3 Arccos 3 cos = 3 Arccos cos π ) = π 5 5 ) = π 3 car c'est l'unique élément de [0; π] ayant le même cosinus que 4π 3. x ] ; [, Arccos x = cos Arccos x) = sin Arccos x) 0 JA- JMB - ML

11 3. Fonctions circulaires réciproques A 00-0 or cos Arccos x) + sin Arccos x) = donc sin Arccos x) = x. Comme Arccos x [0; π] on a donc sin Arccos x) 0 d'où sin Arccos x) = x. D'où : Attention Arccos n'est ni paire ni impaire. Représentation graphique x ] ; [, Arccos x = x Exercice 8. Montrer de deux manières diérentes que : x [ ; ], Arccos x + Arcsin x = π 3..3 Arc tangente ] Dénition 8. La restriction de la fonction tangente à π ; π [ à valeurs dans ] ; + [ est continue et strictement] croissante, donc elle admet une bijection réciproque dénie sur ] ; + [ à valeurs dans π ; π [ appelée Arc tangente et notée Arctan. Elle est strictement croissante sur R. Elle est continue et dérivable sur R. Remarque 3 ATTENTION). La fonction Arctan ] n'est pas la bijection réciproque de la fonction tangente mais celle de sa restriction à π ; π [. On a donc par exemple : 8π 7. mais Arctan tan 8π 7 tan Arctan 5) = 5 Arctan tan π ) = π 7 7 ) = π7 ] car c'est l'unique élément de π ; π [ ayant la même tangente que JA- JMB - ML

12 A 00-0 Dérivée D'où : x R, Arctan x = tan Arctan x) = + tan Arctan x) x R, Arctan x = + x Parité Arctan est impaire car c'est la bijection réciproque d'une fonction impaire.. Représentation graphique Exercice 9. Montrer que :. x > 0, Arctan x + Arctan x = π. x < 0, Arctan x + Arctan x = π 4 Mener une étude de fonction. Ensemble de dénition, parité, périodicité éventuelles, réduction du domaine d'étude JA- JMB - ML

13 A Continuité, éventuellement prolongement par continuité, dérivabilité. 3. Variations : utiliser la dérivée puis dresser le tableau des variations de f. Préciser les valeurs importantes : les bornes du domaine d'étude, les points où la dérivée est nulle ou non dénie. 4. Tangentes remarquables : a) Si la dérivée est nulle : tangente horizontale b) Si la dérivée ou le taux de variation tend vers + ou : tangente verticale : point de non dérivabilité. c) Demi-tangentes : obtenues en considérant f seulement à droite ou seulement à gauche en un point x 0 5. Branches innies : compléter le tableau par les limites nécessaires aux points remarquables. On a une branche innie si x ou fx) tendent vers + ou. er cas : lim fx) = ± : asymptote verticale x = x 0 x x0 ème cas : lim fx) = y 0 : asymptote horizontale y = y 0 x ± 3ème cas : fx) a) Si lim x ± x la fonction exp) fx) b) Si lim x ± x la fonction ln x) lim fx) = ±. On étudie lim x ± x ± fx) x = ± : branche parabolique de direction asymptotique Oy exemple : = 0 : branche parabolique de direction asymptotique Ox exemple : fx) c) Si lim x ± x = a R : on étudie lim fx) ax : x ± i. Si lim fx) ax = b R : asymptote oblique d'équation y = ax + b x ± ii. Si lim fx) ax = ± : branche parabolique de direction asymptotique x ± y = ax 6. Concavité, convexité, point d'inexion, éventuellement. 7. Représentation graphique 3 JA- JMB - ML

14 A Exercices Exercice 0. Résoudre les équations d'inconnue x : 4 x 3 x = 3 x+ x ; sin x = cos x ; shx = ; chx = Exercice. Étudier les fonctions suivantes :. fx) = sin arcsin x) et gx) = arcsin sin x) x ). fx) = arccos cos 3. fx) = Arcsin x x Exercice.. Soit x ]0; ]. On pose y = Arccos x. Exprimer en fonction de x : cos y, sin y, tan y, Arctan tan y). ) x En déduire que Arccos x = Arctan x. Si x = 0, quelle est la valeur de Arccos x? 3. Soit x [ ; 0[, On pose y = Arccos x. Exprimer en fonction de x : cos y, sin y, tan y, Arctan tan y). ) x En déduire Arccos x en fonction de Arctan x Exercice 3. Montrer que : ) ) * Arctan + Arctan = π ) 3) 4 ) Arctan + Arctan + Arctan = π ) ) ) ** Arcsin + Arcsin = Arcsin ) ) 4 * Arctan = Arctan 3 ) ) ) * 3 Arctan + Arctan + Arctan = π Exercice 4. ) Résoudre les équations ) : 4 5 Arcsin + Arcsin = Arcsin x) 5 ) 3) Arccos + Arccos = Arcsin x) 3 4 Exercice 5. On considère la fonction : fx) = Arcsin. Quel est l'ensemble de dénition de f? ) x Arctan x + x. Calculer f. En déduire une expression plus simple de f sur chacun des intervalles où le raisonnement est valable. 4 JA- JMB - ML

15 A Donner la représentation graphique de f. Exercice 6. Résoudre le système : ch x + ch y = 35 sh x + sh y = 5 Exercice 7. Écrire chx) en fonction de shx) et shx). n ) Simplier u n = ch, en déduire lim u n. n + p= p Exercice 8.. Étudier la fonction fx) = e shx) + x) sur [ ; ] on pourra dériver deux fois f). En déduire que x ]0; [, + x e sh x x. kn ). Soit k N, k. Pour tout n N, on pose u n = sh, calculer lim p u n. n + Exercice 9. Étudier les fonctions. f : x x x. g : x ch x + cos x ) x 3. h : x ch x + 4. i : x ln + th x) p=n 5 JA- JMB - ML