logique I démonstration et théorie axiomatique 2 1 généralités 2 2 proposition, prédicat simple 2

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "logique I démonstration et théorie axiomatique 2 1 généralités 2 2 proposition, prédicat simple 2"

Transcription

1 logique Table des matières I démonstration et théorie axiomatique 1 généralités proposition, prédicat simple 3 prédicats composés prédicat de négation prédicat de conjonction prédicat de disjonction prédicat d implication prédicat d équivalence équivalence logique de prédicats composés 4 5 proposition quantifiée universelle ou existentielle simple et négation 4 6 axiomes, règles d inférence, théorème, démonstration 6 7 règles d inférence de "la" logique démonstration par détachement démonstration par l absurde démonstration par contre exemple démonstration d une implication règle de démonstration par déductions générale règle de démonstration par implications successives démonstration d une équivalence règle de démonstration par double implication règle de démonstration par équivalences successives démonstration par contraposée démonstration par récurrence

2 Première partie démonstration et théorie axiomatique 1 généralités 1. dans une théorie Mathématique il est question : (a) d objets (resp : droites, nombres,...) (b) de "qualités" vérifiées ou non par ces objets (resp : parallèles, pairs,...) (c) de propositions (ou "assertions"), qui sont des énoncés soit vrais, soit faux et ceci exclusivement (principe du "tiers-exclu") ( resp : dans le parallélogramme ABCD : (AB)//(CD), est pair,... ) (d) d axiomes, qui sont des propositions vraies "par définition" (dans le cadre de la théorie des nombres entiers naturels : "quels que soient a N et b N : a+(b+1) = (a+b)+1" ) (e) des règles de déduction de propositions vraies à partir de propositions vraies existantes (dans le cadre de la théorie des nombres entiers naturels : quels que soient a N et b N si "a = b" est vraie alors "a+1 = b+1" est vraie). avec le "matériel" précédent : (a) à partir des axiomes ou de propositions vraies, on peut obtenir des propositions vraies grâce aux règles de déduction, selon l importance des propositions obtenues, il est question de "propriété" ou de "théorème" (b) une proposition mathématique que l on considère vraie sans l avoir démontré est appelée une "conjecture" (tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers) proposition, prédicat simple définition 1 : (proposition) une proposition P est une expression bien formée (selon les règles de la théorie) exclusivement vraie ou fausse dans le cadre de la théorie des nombres réels : i. P : "1 " est une proposition vraie ii. P : "1+1 = 3" est une proposition fausse iii. "1+1" n est pas une proposition iv. "x 3" n est pas une proposition car sa valeur de vérité dépend de la valeur du nombre réel x, on dit que c est "un prédicat à une variable" définition : (prédicat simple), un prédicat, P(x) : est un énoncé ni vrai ni faux qui porte sur un objet x E non déterminé à priori appelé "variable" et tel que, quand on remplace x par un objet x 0 quelconque, on obtient alors une proposition P(x 0 ) (qui elle, est vraie ou fausse) dans le cadre de la théorie des nombres réels, P(x) : x : est un prédicat (ni vrai ni faux) en remplaçant x par 1 on obtient, P(1) : 1 qui est une proposition vraie en remplaçant x par 3 on obtient, P(3) : 3 qui est une proposition fausse

3 3 prédicats composés 3.1 prédicat de négation définition 3 : (négation d un prédicat) soit P un prédicat. soit Q un prédicat. si pour toute substitution des variables par des objets déterminés, les prédicats P et Q donnent des propositions de valeurs de vérité différentes ( l une est vraie et l autre fausse) alors le prédicat Q est la négation du prédicat P et est noté P dans le cadre de la théorie des nombres entiers naturels : "x est pair" est la négation du prédicat "x est impair" 3. prédicat de conjonction définition 4 : (prédicat de conjonction) soit P un prédicat. soit Q un prédicat. le prédicat P et Q est définit comme le prédicat qui est : { vrai lorsque P et Q sont tous les deux vrais faux dans tous les autres cas dans le cadre de la théorie des nombres entiers naturels : "x est pair et x > 1" 3.3 prédicat de disjonction définition 5 : (prédicat de disjonction) soit P un prédicat. soit Q un prédicat. le prédicat P ou Q est définit comme le prédicat qui est : { vrai lorsque au moins un des deux prédicats P ou Q est vrai faux quand tous les deux sont faux dans le cadre de la théorie des nombres entiers naturels : "x est pair ou x > 1" 3.4 prédicat d implication définition 6 : (d implication) soit P un prédicat. soit Q un prédicat. le prédicat "P = Q" est définit comme le prédicat qui est : { faux lorsque P est faux et Q est vrai vrai dans tous les autres cas

4 dans le cadre de la théorie des nombres entiers naturels : "x est pair = x > 1" 3.5 prédicat d équivalence définition 7 : (équivalence) soit P un prédicat. soit Q un prédicat. le prédicat "P Q" est définit comme le prédicat qui est : { vrai lorsque P et Q sont simultanément vrais ou faux faux dans tous les autres cas dans le cadre de la théorie des nombres entiers naturels : "x est pair x > 1" 4 équivalence logique de prédicats composés définition 8 : (équivalence logique) soient P et Q deux prédicats simples soient P 1 et P deux prédicats "composés" des prédicats P et Q. si P 1 et P prennent les mêmes valeurs de vérité en fonction des valeurs de vérité prisent par P et Q alors on dit que P 1 et P sont "logiquement équivalents" et on note P 1 P (que l on vérifie avec des "tables de vérité") i. P P ii. P ou Q P et Q iii. P et Q P ou Q iv. P = Q P ou Q par exemple pour vérifier que P ou Q P et Q P Q P ou Q P ou Q P Q P et Q V V V F F F F V F V F F V F F V V F V F F F F F V V V V 5 proposition quantifiée universelle ou existentielle simple et négation définition 9 : (proposition quantifiée universelle simple ) une proposition quantifiée universelle simple est de la forme "quel que soit x E,P(x)" où P(x) un prédicat avec x E (x peut prendre l ensemble des valeurs de E) si "quel que soit x E", la proposition "P(x)" est vraie alors la proposition universelle :"quel que soit x E,P(x)" est vraie sinon elle est fausse

5 P : "quel que soit x R, x 0" : est une proposition vraie P : "quel que soit x N, n est pair" : est une proposition fausse définition 10 : (proposition quantifiée existentielle simple ) une proposition quantifiée existentielle simple est de la forme "il existe x E,P(x)" où P(x) un prédicat avec x E (x est dans l ensemble E) si "il existe un élément x 0 E" tel que la proposition "P(x 0 )" est vraie alors la proposition universelle :"il existe x E,P(x)" est vraie sinon elle est fausse P : "il existe x R, x < 0" : est une proposition fausse P : "il existe x N, n est pair" : est une proposition vraie définition 11 : (négation d une proposition quantifiée simple ) "quel que soit x E,P(x)" a pour négation, la proposition :"il existe x E,P(x)" "il existe x E,P(x)" a pour négation, la proposition :"quel que soit x E,P(x)" P : "quel que soit x R, x 0" a pour négation : P : "il existe x R, x < 0" P : "il existe x N, n est pair" a pour négation : P : "quel que soit x N, n est impair"

6 6 axiomes, règles d inférence, théorème, démonstration définition 1 : (axiome) un axiome est une proposition vraie et admise comme telle sans justifications dans la théorie des nombres entiers naturels : "quels que soient a N et b N : a+(b+1) = (a+b)+1" définition 13 : (règles d inférence) une règle d inférence explique comment on obtient de nouvelles propositions vraies à partir de propositions vraies (en général) dans le cadre de la théorie des nombres entiers naturels : quels que soient a N et b N si "a = b" est vraie alors "a+1 = b+1" est vraie définition 14 : (théorème) on appelle "théorème", tout axiome ou toute proposition vraie obtenue à partir des "règles d inférence" tout théorème sera dit "vrai" "1+1 = " est un "théorème" (qui se démontre) remarque : en général, le terme de "théorème" est utilisé pour des résultats jugés "importants", les résultats "moins importants" sont appelés "propriétés" définition 15 : (démonstration) "démontrer une proposition" c est justifier que cette proposition est vraie à partir des axiomes et des règles d inférence démontrer P, où P est la proposition : "quel que soit x R, 3x = 15 = x = 5" pour cela : soit x R tel que 3x = 15 alors 3x 1 3 = 15 1 (d après une règle d inférence bien connue) 3 donc x = 5 conclusion : "quel que soit x R, 3x = 15 = x = 5" est une proposition vraie (d après la règle vu ci dessous)

7 7 règles d inférence de "la" logique 7.1 démonstration par détachement règle de démonstration par détachement pour montrer qu une proposition Q(x 0 ) est vraie soient P et Q deux prédicats. (à une variable, pour simplifier la notation) la proposition P(x 0 ) est vraie si on sait que et la proposition "quel que soit x, P(x) = Q(x)" est vraie alors on en déduit que Q(x 0 ) est vraie dans le cadre de la géométrie Euclidienne démontrons : "le triangle de cotés 5, 4 et 3 est rectangle " pour cela, utilisons la règle du détachement 3 +4 = 5 est vraie et "quels que soient a,b et c trois réels positifs stricts, a +b = c = le triangle de cotés c, b et a est rectangle" est vraie alors, on en déduit que "le triangle de cotés 5, 4 et 3 est rectangle " est vraie 7. démonstration par l absurde règle de démonstration par l absurde pour montrer qu une proposition Q est vraie soient Q et P deux propositions. si on sait que P est fausse si on suppose que Q est fausse alors on en déduit que P est vraie (or P ne peut-être vraie et fausse en même temps)s alors on en déduit que Q ne peut-être fausse (donc est vraie) remarque : on fait l hypothèse que Q est fausse on effectue des déductions jusqu a obtenir une contradiction (une absurdité) (une proposition vrai et fausse en même temps) on peut alors conclure dans ce cas que l hypothèse initiale ne peut-être fausse donc que Q est vraie. dans le cadre de la théorie des nombres réels Q : il existe un nombre réel tel que x+1 = x Montrons que Q est fausse pour cela, raisonnons par l absurde : Supposons que : "il existe un nombre réel tel que x+1 = x" soit vraie alors pour un certain nombre réel x 0 : "x 0 +1 = x 0 " est vraie alors : "(x 0 +1) x 0 = x 0 x 0 " est vraie alors "1 = 0" est vraie or "1 = 0" est fausse on en déduit que Q ne peut-être vraie (donc est fausse)

8 7.3 démonstration par contre exemple règle de démonstration par contre soit le prédicat P(x) soit la proposition P : "quel que soit x E, P(x)". pour démontrer que P est une proposition fausse. il suffit de trouver x 0 E tel que P(x 0 ) soit fausse. P : "quel que soit n N, n est pair " P est une proposition fausse, pour le justifier, appliquons la règle du contre-exemple soit n = 3 alors n = 9 or 9 n est pas pair donc la proposition "9 est pair" est fausse donc la proposition "quel que soit n N, n est pair " est fausse. 7.4 démonstration d une implication règle de démonstration par déductions générale règle de démonstration par déductions générale soient P et Q deux prédicats. (à une variable, pour simplifier la notation) pour montrer qu une proposition "quel que soit x, P(x) = Q(x)" est vraie si on considère une valeur de x quelconque si on sait que et que l on admet que P(x) est vraie alors on arrive à montrer que Q(x) est vraie alors on en déduit que "quel que soit x, P(x) = Q(x)" est vraie démontrer P, où P est la proposition : "quel que soit x R, 3x = 15 = x = 5" pour cela : soit x R tel que 3x = 15 alors 3x 1 3 = 15 1 (d après une règle d inférence bien connue) 3 donc x = 5 conclusion : "quel que soit x R, 3x = 15 = x = 5" est une proposition vraie 7.4. règle de démonstration par implications successives règle de démonstration par implications successives soient P et Q deux prédicats. (à une variable, pour simplifier la notation) pour montrer qu une proposition "quel que soit x, P(x) = Q(x)" est vraie si on sait que "quel que soit x, P(x) = P 1 (x)" est vraie "quel que soit x, P 1 (x) = P (x)" est vraie... "quel que soit x, P n (x) = Q(x)" est vraie (n N,n > ) alors on en déduit que "quel que soit x, P(x) = Q(x)" est vraie "quel que soit ABCD, ABCD est un carré = ABCD est un rectangle" est vraie

9 "quel que soit ABCD, ABCD est un rectangle = ABCD est un parallélogramme" est vraie on en déduit que : "quel que soit ABCD, ABCD est un carré = ABCD est un parallélogramme" est vraie 7.5 démonstration d une équivalence règle de démonstration par double implication règle de démonstration par double implication soient P et Q deux prédicats. (à une variable, pour simplifier la notation) pour montrer qu une proposition "quel que soit x, P(x) Q(x)" est vraie "quel que soit x, P(x) = Q(x)" est vraie si on sait que et que "quel que soit x, Q(x) = P(x)" est vraie alors on en déduit que "quel que soit x, P(x) Q(x)" est vraie démontrer P, où P est la proposition : "quel que soit x R, 3x = 15 x = 5" pour cela : soit x R tel que 3x = 15 alors 3x 1 3 = 15 1 (d après une règle d inférence bien connue) 3 donc x = 5 conclusion : "quel que soit x R, 3x = 15 = x = 5" est une proposition vraie réciproquement : soit x R tel que x = 5 alors 3x = 3 5 = 15 conclusion : "quel que soit x R, x = 5 = 3x = 15" est une proposition vraie finalement : "quel que soit x R, 3x = 15 x = 5" est vraie 7.5. règle de démonstration par équivalences successives règle de démonstration par équivalences successives soient P et Q deux prédicats. (à une variable, pour simplifier la notation) pour montrer qu une proposition "quel que soit x, P(x) Q(x)" est vraie si on sait que "quel que soit x, P(x) P 1 (x)" est vraie "quel que soit x, P 1 (x) P (x)" est vraie... "quel que soit x, P n (x) Q(x)" est vraie (n N,n > ) alors on en déduit que "quel que soit x, P(x) Q(x)" est vraie P : "quel que soit x inr, 5x+10 = 45 x = 7 rectangle" est vraie raisonnons par équivalences successives pour le démontrer soit x R 5x + 10 = 45 5x = = 35 (par application d une règle d inférence bien connue) 5x = 35 x = 7 (par application d une règle d inférence bien connue) donc 5x+10 = 45 x = 7

10 concluons "quel que soit x R, 5x+10 = 45 x = 7 rectangle" est vraie 7.6 démonstration par contraposée règle de démonstration par contraposée pour montrer qu une proposition de la forme "quel que soit x, P = Q" est vraie il suffit de démontrer que la proposition : "quel que soit x, Q = P" est vraie P : "quel que soit n N, n pair = n pair " montrons que cette proposition est vraie par la méthode de la contraposée c est à dire montrons que Q : "quel que soit n N, n impair = n impair " est une proposition vraie raisonnons par déduction générale soit n N quelconque et supposons n impair alors n = k +1 alors n = (k +1) alors n = 4k +4k +1 alors n = (k +k)+1 alors n = K +1 alors n est impair on en déduit que : "quel que soit n N, n impair = n impair " est une proposition vraie donc que : "quel que soit n N, n pair = n pair " est une proposition vraie 7.7 démonstration par récurrence règle de démonstration par récurrence : soient P : "quel que soit n N, P(n)". pour démontrer { que P est vraie. montrer que P(0) est vraie il suffit de : montrer que : "quel que soit n N, P(n) = P(n + 1)" est vraie démontrons : "quel que soit x N, n = n(n+1) " pour cela, raisonnons par récurrence (1) : pour n = 0 on a : "0 = 0 (0+1) "vraie () : par déduction générale, soit n N, supposons : " n = n(n+1) " vraie montrons que " n+(n+1) = (n+1)(n+) " est vraie or : n+(n+1) = ( n)+(n+1) donc : n+(n+1) = n(n+1) +(n+1) donc : n+(n+1) = n(n+1) donc : " n+(n+1) = (n+1)(n+) conclusion : + (n+1) " est vraie

11 "quel que soit x N, n = n(n+1) " est vraie.

12 1. proposition Quelques éléments de base en "logique Mathématique"

Logique. Plan du chapitre

Logique. Plan du chapitre Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels

Plus en détail

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

6. Les différents types de démonstrations

6. Les différents types de démonstrations LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

III- Raisonnement par récurrence

III- Raisonnement par récurrence III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x = LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste

Plus en détail

108y= 1 où x et y sont des entiers

108y= 1 où x et y sont des entiers Polynésie Juin 202 Série S Exercice Partie A On considère l équation ( ) relatifs E :x y= où x et y sont des entiers Vérifier que le couple ( ;3 ) est solution de cette équation 2 Déterminer l ensemble

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Suites numériques

Raisonnement par récurrence Suites numériques Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.

Plus en détail

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Le théorème de Thalès et sa réciproque Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre

Plus en détail

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés.

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R

Plus en détail

Eteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :

Eteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

IUT de Laval Année Universitaire 2008/2009. Fiche 1. - Logique -

IUT de Laval Année Universitaire 2008/2009. Fiche 1. - Logique - IUT de Laval Année Universitaire 2008/2009 Département Informatique, 1ère année Mathématiques Discrètes Fiche 1 - Logique - 1 Logique Propositionnelle 1.1 Introduction Exercice 1 : Le professeur Leblond

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

1 Définition et premières propriétés des congruences

1 Définition et premières propriétés des congruences Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Date : 18.11.2013 Tangram en carré page

Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches

Plus en détail

Cours d arithmétique Première partie

Cours d arithmétique Première partie Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant

Plus en détail

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Réalisabilité et extraction de programmes

Réalisabilité et extraction de programmes Mercredi 9 mars 2005 Extraction de programme: qu'est-ce que c'est? Extraire à partir d'une preuve un entier x N tel que A(x). π x N A(x) (un témoin) (En fait, on n'extrait pas un entier, mais un programme

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Le contexte. Le questionnement du P.E.R. :

Le contexte. Le questionnement du P.E.R. : Le contexte Ce travail a débuté en janvier. Le P.E.R. engagé depuis fin septembre a permis de faire émerger ou de réactiver : Des raisons d être de la géométrie : Calculer des grandeurs inaccessibles et

Plus en détail

Du Premier au Second Degré

Du Premier au Second Degré Du Premier au Second Degré Première Bac Pro 3 ans November 26, 2011 Première Bac Pro 3 ans Du Premier au Second Degré Sommaire 1 Fonction Polynôme du second degré 2 Fonction Polynôme du Second Degré: Synthèse

Plus en détail

Activités numériques [13 Points]

Activités numériques [13 Points] N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

Cours de Probabilités et de Statistique

Cours de Probabilités et de Statistique Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est Cours de Proba-Stat 2 L1.2 Science-Éco Chapitre Notions de théorie des ensembles 1 1.1 Ensembles

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation

Plus en détail

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point 03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de

Plus en détail

Mesure d angles et trigonométrie

Mesure d angles et trigonométrie Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi

Plus en détail

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de

Plus en détail

Initiation à la programmation en Python

Initiation à la programmation en Python I-Conventions Initiation à la programmation en Python Nom : Prénom : Une commande Python sera écrite en caractère gras. Exemples : print 'Bonjour' max=input("nombre maximum autorisé :") Le résultat de

Plus en détail

Chap 4. La fonction exponentielle Terminale S. Lemme : Si est une fonction dérivable sur R telle que : = et 0! = 1 alors ne s annule pas sur R.

Chap 4. La fonction exponentielle Terminale S. Lemme : Si est une fonction dérivable sur R telle que : = et 0! = 1 alors ne s annule pas sur R. Lemme : Si est une fonction dérivable sur R telle que : = et 0! = 1 alors ne s annule pas sur R. Démonstration : Soit la fonction %:& %&!= &!, elle est dérivable sur R et & R, %. &!= &! = &! = %&! gaelle.buffet@ac-montpellier.fr

Plus en détail

La persistance des nombres

La persistance des nombres regards logique & calcul La persistance des nombres Quand on multiplie les chiffres d un nombre entier, on trouve un autre nombre entier, et l on peut recommencer. Combien de fois? Onze fois au plus...

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Axiomatique de N, construction de Z

Axiomatique de N, construction de Z Axiomatique de N, construction de Z Table des matières 1 Axiomatique de N 2 1.1 Axiomatique ordinale.................................. 2 1.2 Propriété fondamentale : Le principe de récurrence.................

Plus en détail

O, i, ) ln x. (ln x)2

O, i, ) ln x. (ln x)2 EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.

FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0. FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons

Plus en détail

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2. Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3

Plus en détail

Mathématiques Algèbre et géométrie

Mathématiques Algèbre et géométrie Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE

COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par

Plus en détail

Probabilités conditionnelles Loi binomiale

Probabilités conditionnelles Loi binomiale Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice 1 Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes. On tire au hasard

Plus en détail

PROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.

PROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond. PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Correction du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014

Correction du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014 Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée. ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours. Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1

UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1 UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA & SMI Semestre 1 Module : Algèbre 1 Année universitaire : 011-01 A. Redouani & E. Elqorachi 1 Contenu du Module : Chapitre 1 : Introduction Logique

Plus en détail

Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010

Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations

Plus en détail

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires

Plus en détail