Exercices : Fonctions continues

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1 Eercices : Fonctions continues Eercice 1 Sur quels ensembles les fonctions suivantes sont elles continues? sin() si 0 1) f : 2) f : E() 2 si = 0 3) f : sin(π)e() 4) f : sin() sin( 1 ) si 0 0 si = 0 Eercice 2 Peut on prolonger les fonctions suivantes par continuité au points proposés? Si oui, donner l epression du prolongement. 1) f : sin() en 0 2) f : 3 sin( 1 ) en 0 3)f : tan() 2 en 0 4) f : sin2 (π) 2 en 0 Eercice 3 Soit f une fonction de [a, b] dans [a, b] telle que (, y) [a, b] 2, f() f(y) < y. 1. Montrer que f est continue sur [a, b]. 2. Montrer que l équation f() = possède une solution, et une seule, dans [a, b]. Eercice 4 Soit f : R + R croissante, et telle que la fonction f() Montrer que f est continue sur R +. est décroissante. Eercice 5 (Un peu difficile) 1. Donner un eemple de fonction f : R R non constante telle que R, f() = f( 2 ) 1

2 2. On considere maintenant f : R R qui vérifie R, f() = f( 2 ). On suppose de plus que f est continue en 0 et en 1. Montrer que f est constante. Eercice 6 Soient f et g continues sur [0; 1] telle que [0; 1], f() < g(). Montrer qu il eiste m > 0 tel que [0; 1], f() + m < g(). 2

3 Indications pour l eercice 1 Il s agit d un simple calcul de limite: Indications pour l eercice 2 il suffit d appliquer la définition du cours! f continue en 0 lim 0 f() = f( 0 ) Indications pour l eercice 3 1. Fiez 0 [a, b] et prouvez que f() 0 f( 0 ) en utilisant l inégalité vérifiée par f 2. f() = g() = 0, où on a posé g() = f(). Prouver que g est continue, que g prend des valeurs négatives et positives: que peut on en déduire? Indications pour l eercice 4 Fiez 0 R et prouvez que f() f( 0 ) à l aide du théorème des gendarmes 0 (il faudra donc trouver des inégalités! grâce à quelles hypothèses va t-on le faire?) Indications pour l eercice 5 1. prendre une fonction constante, sauf en un point ( à choisir judicieusement!) 2. Soit [1, + [. Considerer la suite (u n ) définie par u 0 = u n+1 = u n : quelle est sa limite? utiliser le fait que f soit continue pour prouver que f() = f(1). Faire un travail similaire pour / [1, + [. Indications pour l eercice 6 Considerer la fonction h() = g() f(): montrer qu elle est continue et strictement positive. Quel théorème va t-on utiliser comme théorème pour prouver qu il eiste m > 0 tq h() > m? 3

4 Correction de l eercice 1 1. Ainsi définie, f est continue sur R comme quotient de deu fonctions continues dont le dénominateur ne s annule pas. Reste le pb en 0: on sait que sin() 0 1; Or f(0) = 2 1. Donc f n est pas continue en 0: f est donc continue sur R 2. La fonction E est continue, sauf au points de Z. Donc f est continue sur R\Z. (comme produit de deu fonctions continues) Qu en est il sur Z? Sur Z f n est pas continue, car si elle l était, on aurait E() = f() comme quotient de deu fonctions continues dont le dénominateur ne s annule pas. qui serait continue Et en 0? Au voisinage de 0, on a E() 1 ( en 0 +, E() = 0 et en 0, E() = 1). Donc au voisinage de 0, f() : donc f() 0 0. Or f(0) = 0. Donc f est continue en 0. Conclusion: f est continue sur R, sauf au points de Z 3. Comme précedemment, f est continue sur R\Z. Qu en est il sur Z? Soit p Z. Calculons lim p f(). Au voisinage de p, on a E() p + 1. Donc si est proche de p, f() ( p + 1) sin(π). Comme sin(π) p 0, on a: f() p 0 (théorème des gendarmes). Or f(p) = 0. Donc f est continue en p : ainsi f est continue sur R 4. f est continue sur R, comme produit et composée de fonctions continues. f est elle continue en 0? Calculons lim 0 f(). R, sin( 1 ) 1 ; donc R, 0 f() sin() Ainsi d après le th des gendarmes, f() 0 0. Comme f(0) = 0, f est continue en 0. Donc f est continue sur R Correction de l eercice 2 1. On sait que sin() 0 1 (tau de variation). Ainsi f possède une limite finie en 0: on peut donc prolonger f par continuité en 0. Le prolongement s écrit: f : sin() si 0 1 si = 0 4

5 2. On a: R, 0 f() 3 Donc f() 0 (théorème des gendarmes). Ainsi f possède une limite finie en 0: on peut donc prolonger 0 f par continuité en 0. Le prolongement s écrit: f : 3 sin( 1 ) si 0 0 si = 0 3. On sait que tan() 0 1 (tau de variation). Donc tan() 2 = tan() Donc f ne possède pas de limite finie en 0: f n est pas prolongeable par continuité. Remarque: f pourrait cependant être prolongeable par continuité à gauche; mais ce n est pas le cas, car lim f() = 0 et n est donc pas finie. 4. On a simplement ici sin 2 (π) 2 Donc f admet un prolongement par continuité en 1. Celui ci s écrit: f : sin 2 (π) 2 si 0 π 2 si = 0 = sin2 (π) (π) 2 π2 π 2 0 Correction de l eercice 3 1. Soit 0 [a, b]. Montrons que lim 0 f() = f( 0 ). On a: 0 f() f( 0 ) < 0 Or les termes de droite et de gauche tendent vers 0 quand 0 : d après le théorème des gendarmes, f() f( 0 ) 0 lim f() = f( 0 ) f est continue en Or 0 est choisi quelconque, f est donc continue sur [a, b]. 2. eistence de la solution : On pose g() = f(). Cette fonction est continue, comme différence de fonctions continues. De plus g(a) 0, car l ensemble d arrivée de f est [a, b]. De même, g(b) 0. Donc g est continue et prend des valeurs positives et négatives : d après le TVI, g s annule en un point y: ce point est solution de l équation f() =. unicité de la solution : supposons qu il en eiste deu, 1 et 2. On a par ailleurs f( 1 ) f( 2 ) < 1 2. Mais comme f( 1 ) = 1 et f( 2 ) = 2, cette inégalité se réécrit 1 2 < 1 2, ce qui est absurde. La solution est donc unique. 5

6 Correction de l eercice 4 Soit 0 R +. Montrons que lim 0 f() = f( 0 ), en calculant les limites en + 0 et en 0 Calculons lim f(). + 0 On a, comme f est croissante, de plus, comme f() Ainsi, est décroissante, 0, f() f( 0 ) 0, f() f( 0) 0 0, f() f( 0 ) 0 (car > 0) 0, f( 0 ) f() f( 0 ) 0 Donc d après le théorème des gendarmes, lim f() = f( 0 ). + 0 Calculons lim f(). + 0 Le raisonnement est le même, et on trouve lim f() = f( 0 ) 0 Donc lim 0 f() = lim + 0 f() = f( 0 ) f est continue en 0. Or 0 est choisi quelconque, f est donc continue sur R + Correction de l eercice 5 1. Il suffit de prendre la fonction f : R R suivante: f : 1 si = 1 0 sinon 2. On va d abord travailler sur R + : On va montrer que f est constante sur ]0, + [, puis sur [0, + [: enfin on montrera que f est constante sur R. f est constante sur ]0, + [ Soit [1, + [. Comme f() = f( 2 ), on peut écrire que f() = f( ); en itérant ce processus, on peut ecrire que f() = f( ) =... = f(... ) Or... sera proche de 1 s il y a beaucoup de racines... si f est continue, on aura donc forcément f() = f(1). D où l idée de considérer la suite (u n ) définie par Cette suite peut s écrire aussi u n = (u 0 ) ( 1 2) n u 0 = u n+1 = u n. Comme f() = f( 2 ), on a: n N, f(u n ) = f(u 0 ) = f(). Or u n n + 1 6

7 En effet, u n = (u 0 ) ( 1 2) n = e ( 1 2) n ln(u 0 ) et ( 1 2) n ln(u0 ) n + 0 Comme f est continue en 1, (c est essentiel!) f(u n ) n + f(1). Or f(u n ) = f(); donc f() = f(1). On a donc bien: f constante sur ]0, + [ f est constante sur [0, + [ On utilise encore la continuité, mais cette fois en 0. Comme f est continue en 0, on a égale à f(1) sur ]0, + [. lim f() = f(0). Mais lim 0 + D où f(0) = f(1), et ainsi f est constante sur [0, + [ f() = f(1), puisque f est constante 0 + f est constante sur R Soit R. On a f() = f( 2 ), or 2 [0, + [. Donc f( 2 ) = f(1) d après ce qui précède, donc f() = f(1). D où le résultat. Correction de l eercice 6 On pose h() = g() f(). Cette fonction est continue, comme différence de deu fonctions continues. De plus d après l énoncé, [0, 1], h() > 0 (1) Or [0, 1] est un segment: On applique alors le théorème des applications continues sur un segment, qui affirme que h est bornée, et que h atteint ses bornes. Autrement dit, 0 [0, 1], 1 [0, 1] tq [0, 1], h( 0 ) h() h( 1 ). On pose m = h( 0 ); on a bien h( 0 ) > 0 d après 1). D où le résultat. 7