Les similitudes. Définition Une isométrie est une transformation du plan conservant les distances.

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1 Mme Morel-Spécialité math-cours similitudes 1 Les similitudes 1 Vocabulaire, rappels 1.1 Transformations du plan Définition Une application f du plan dans lui même est une tranformation si f est une bijection du plan dans lui même, c est-à-dire si pour tout point N du plan, il existe un et un seul point M du plan tel que f(m) = N. 1. Une translation, une homothétie, une rotation, une réflexion sont des transformations du plan. 2. L application identité, notée id, qui à tout point M du plan associe le point M, est une transformation du plan. 3. Dans le plan, on considère une droite D. Soit p la projection sur D (l application qui à tout point M du plan associe le point m, intersection de D et de la perpendiculaire à D passant par M). Alors p n est pas une projection (faire un dessin). Définition Une isométrie est une transformation du plan conservant les distances. 1. Une rotation, une translation, une réflexion sont des isométries. 2. Une homothétie de rapport différent de ±1 n est pas une isométrie. Définition On appelle invariants de la transformation f les points M du plan tels que f(m) = M. 1. Le centre d une rotation, d une homothétie sont invariants. 2. Une translation n admet pas de points invariants. 1.2 Triangles semblables Définition Deux triangles sont dits semblables si les angles non orientés de l un sont égaux aux angles non orientés de l autre. Si les angles orientés sont conservés on dit alors que les triangles sont directement semblables. Si les angles orientés sont au contraire transformés en leurs opposés, on dit que les triangles sont indirectement semblables. DESSIN! Théorème 1.1. Deux triangles sont semblables si et seulement si les rapports des côtés est constant, c est-à-dire si les côtés de l un ont des longueurs proportionnelles aux côtés de l autre. Voir cours de seconde (la démonstration repose sur l utilisation du théorème de Thalès). 2 Les similitudes planes Dans tout le chapitre, si f est une transformation du plan et M un point du plan, on notera M = f(m) l image de M par f.

2 Mme Morel-Spécialité math-cours similitudes Définition Définition Soit f une transformation du plan. f est une similitude plane si, et seulement si, f conserve le rapport des distances pour tout couple de points du plan et leurs images. C est-à-dire si, et suelement si, quels que soient les points M, N, P et Q tels que M N et P Q, on a : MN PQ = M N P Q = f(m)f(n) f(p)f(q) Exemple : Une isométrie est une similitude plane. Théorème 2.1. Propriété caractéristique Soit f une transformation du plan. f est une similitude plane si, et seulement si, il existe un réel k > 0 tel que pour tout couple de points (M; N), on a : f(m)f(n) = M N = kmn Définition Le nombre réel strictement positif k par lequel une similitude multiplie les distances est appelé le rapport de la similitude. Démonstration du théorème : Soit f une similitude plane et soient A et B deux points distincts du plan. f étant une transformation du plan, les images de A et de B sont distinctes. Donc f(a) = A f(b) = B. On pose B alors k = A AB. k étant un rapoort de distances non nulles, k > 0. On considère M et N deux points distincts du plan. Leurs images par f sont donc distincts : f(m) = M f(n) = N. A B f étant une similitude, on a : = AB M N MN, donc A B AB = M N MN = k. Par conséquent, M N = kmn. Si M = N alors M = N pûisque f est une similitude. Donc on a encore M N = 0 = kmn. On a donc montré que pour toute similitude f du plan, il existe un réel k > 0 tel que f multiplie les distances par k. Réciproquement, soit f une transformation du plan multipliant les distances par un réel k > 0. Soient M, N, P et Q des points du plan tels que M N et P Q. Leurs images sont donc telles que M N et P Q. On a alors : M N = kmn et P Q = kpq. Donc M N MN = k = P Q. f conserve donc les rapports des PQ distances. On a donc montré que toute transformation du plan qui multiplie les distances par un réel k > 0 est une similitude.

3 Mme Morel-Spécialité math-cours similitudes 3 1. Les isométries sont des similitudes de rapport 1, puisqu elles conservent les distances. 2. Une homothétie de rapport k est une similitude de rapport k. Donc une homothétie de rapport 3 est une similitude de rapport Composée et réciproque Théorème 2.2. Soient f et f deux similitudes planes de rapports respectifs k et k. Alors l application f f est une similitude plane de rapport kk. Il faut montrer que f f est une transformation du plan puis que cette transformation est une similitude. Montrons que f f est une transformation du plan. Montrons donc que si N est un point du plan alors il existe un unique point M du plan tel que N = f f (M), c est-à-dire que N a un unique antécédent par f f. f étant une similitude, il existe un unique point P du plan tel que N = f (P). f étant une similitude, il existe un unique point M du plan tel que f(m) = P. On a alors : f f (M) = f(p) = N. N a donc un uniquen antécédent par f f. f f est donc une transformation du plan. Montrons que f f est une similitude et déterminons son rapport. Soient M et N deux points distincts du plan. Alors leurs images M et N par f sont distinctes. f étant une similitude de rapport k, M N = k MN. soint M = f(m ) et N = f(n ) les images de M et N par f. f étant une similitude de rapport k, on a : M N = km N = k k MN. Or, f f (M) = M et f f (N) = N. Donc f f est une transformation du plan qui multiplie les distances par kk > 0. C est donc la similitude de rapport kk. 1. La composée d une rotation suivie d une translation est une similitude de rapport D une manière générale, la composée de deux isométries est une isométrie. 3. La composée de deux homothéties de rapports respectifs 2 et 5 est une similitude de rapport 2 5 = Les composées de symétries, rotations, homothéties, tanslations sont des similitudes. Théorème 2.3. Soit f une similitude de rapport k. Alors f admet une bijection réciproque f 1 et f 1 est une similitude de rapport 1 k. Il faut montrer que f admet une réciproque puis que cette réciproque est une similitude. Montrons que f admet une réciproque. Soit N un point du plan. f étant une similitude, N admet un unique antécédent M par f : f(m) = N. On note alors f 1 l application qui associe à N son unique antécédent M. Donc f 1 (N) = M et N a une unique image par f 1. f 1 est donc une transformation du plan. Montrons à présent que f 1 est une similitude et déterminons son rapport. Soient M et N deux points distincts du plan et soient M et N leurs antécédents par f. Donc f 1 (M ) = M et f 1 (N ) = N. On peut aussi écrire : f(m) = M et f(n) = N. f étant une similitude de rapport k, M N = kmn. Or k > 0 donc MN = 1 k M N = 1 k f 1 (M)f 1 (N). f 1 est donc une transformation du plan multipliant les distances par 1 k. C est donc la similitude de rapport 1 k. Remarques : 1. On a :f(m) = N M = f 1 (N). 2. f f 1 = f 1 f = Id, l identité du plan. 3. Attention : la composition n est pas commutative en général (faire un exemple avec une rotation r(o; θ) et une homothétie h(a; k). Alors r h(a) = r(a) = A et h r(a) = h(a ) A si k 1 et θ 0[2π]). 4. La réciproque d une isométrie est une isométrie. 5. La réciproque d une homothétie de rapport 3 est une similitude de rapport 1 3.

4 Mme Morel-Spécialité math-cours similitudes Lien avec les triangles semblables Théorème 2.4. L image d un triangle par une similitude est un triangle semblable. Réciproquement, une transformation qui envoie tout triangle sur un triangle semblable est une similitude. 1. Soit s une similitude de rapport k et soit ABC un triangle d image A B C par s. On a alors : A B AB = A C AC = B C BC = k Par conséquent, les rapports des côtés des triangles sont constants. donc ABC et A B C 2. Voir livre exercice 77 p 139. sont semblables. 2.4 Similitudes fixant des points Théorème 2.5. Une similitude fixant trois points non alignés est l identité. Soit s une similitude admettant trois points fixes A, B, C non alignés. Donc s(a) = A, s(b) = B et s(c) = C. Le rapport de s est alors s(a)s(b) = AB = 1. s est donc une isométrie. AB AB Si s n est pas l identité, il existe au-moins un point M tel que s(m) = M M. s étant une isométie, AM = AM. Donc A est sur la médiatrice de [MM ]. De même, BM = BM et CM = CM, donc B et C sont sur la médiatrice de [MM ]. A, B et C sont donc sur une même droite. Ceci est impossible puisque par hypothèse A, B et C ne sont pas alignés. Par conséquent, s est l identité. Théorème 2.6. Une similitude fixant deux points A et B distincts est soit l identité soit la symétrie d axe (AB). Soit s une similitude fixant deux points A et B distincts. Donc s(a) = A et s(b) = B. Puisque s(a)s(b) = AB = 1, s est une isométrie. AB AB Soit C un point du plan tel que C / (AB). Soit C = s(c). Si C = C alors, d après le théorème précédent, s fixe trois points non alignés : s est donc l identité. Sinon : C C. s étant une isométrie, AC = AC et BC = BC. Donc A et B sont sur la médiatrice de [CC ]. Par conséquent, (AB) est la médiatrice de [CC ]. C est donc l image de C par la symétrie d axe (AB). Soit σ la symétrie d axe (AB). σ est une similitude, donc σ s est une similitude. De plus, σ s(a) = A, σ s(b) = B et σ s(c) = σ(c ) = C. σ s est donc une similitude fixant trois points non alignés. C est donc l identité : σ s = id. Donc σ σ s = σ id soit s = σ. s est donc la symétrie d axe (AB). Exercice : Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O; u ; v ). Soit D la droite d équation y = x, soit r la rotation de centre O et d angle π 2, soit s la symétrie d axe (O, u ) et soit s la symétrie d axe D. soit A le point d affixe 1. Montrer que les points O et A sont invariants par s r. En déduire que s s = r. 2.5 Angles géométriques Théorème 2.7. Une similitude conserve les angles géométriques. Réciproquement, toute transformation du plan qui conserve les angles géométriques est une similitude. 1. Soit s une similitude de rapport k. Montrons que s conserve les angles géométriques. Soient A, B et C trois points distincts du plan et soient A, B et C leurs images respectives. D après le théorème d Al-Kashi appliqué dans le triangle A B C, on a : B C 2 = A B 2 + A C 2 2A B A C cos( B A C )

5 Mme Morel-Spécialité math-cours similitudes 5 Or B C = kbc, donc : k 2 0, on peut donc simplifier par k 2 : k 2 BC 2 = k 2 AB 2 + k 2 AC 2 2k 2 AB AC cos( B A C ) BC 2 = AB 2 + AC 2 2AB AC cos( B A C ) Or, si l on applique le théorèle d Al-Kashi dans le triangle ABC, on a : BC 2 = AB 2 + AC 2 2AB AC cos( BAC) Par conséquent, cos( B A C ) = cos( BAC) et donc B A C = BAC. Autre démonstration : en utilisant les triangles semblables. 2. On utilise les triangles semblables. Voir livre exercice 77 p Écriture complexe d une similitude Une similitude conserve les angles géométriques, c est-à-dire non orientés. Elle peut donc conserver les angles orientés ou les transformer en leur opposé. 3.1 Les angles orientés sont conservés Définition On appelle similitude directe toute similitude conservant les angles orientés. Théorème 3.1. Soit f une similitude plane directe. Alors pour tous points A et B du plan, ( AB, A B ) = constante [2π]. Cette constante est appelée l angle de la similitude f. Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan. f étant une similitude directe, ( AB; CD) = ( A B, C D ). On a alors : ( AB, A B ) ( CD, C D ) = ( AB, CD) + ( CD, C D ) + ( C D, A B ) ( CD, C D ) = ( AB, CD) + ( C D, A B ) = ( AB, CD) ( AB, CD) = 0 Remarque : Les translations et les homothéties de rapport positif ont pour angle θ = 0[2π]. Les homothéties de rapport négatif ont pour angle θ = π[2π]. Une rotation d angle θ a pour angle θ[2π]. Théorème 3.2. Une transformation du plan est une similitude directe si et seulement si elle admet pour écriture complexe z = az + b, où a C et b C. Le rapport de la similitude est alors k = a et l angle est θ = arg(a)[2π]. Soit f la transformation du plan admettant pour écriture complexe z = az + b, avec a C et b C. Montrons que f est une similitude directe. Soient B(b), C(c), D(d) et E(e) quatre points distincts d images respectives B (b ) etc e d a(e d) = c b a(c b) = e d d. Donc arg(e ) = arg( e d ) c est-à-dire ( B C, D E ) = ( BC, DE). f conserve c b c b c b donc les angles orientés. Par conséquent, f est donc une similitude plane directe. b De plus, c = a. Donc le rapport de f est k = a et l angle de f est arg(a). c b

6 Mme Morel-Spécialité math-cours similitudes 6 Soit f la similitude plane directe. Soient les points P(0), Q(1) et M(z) d images respectives P (p ), Q (a ) et M (z ). f étant une similitude, p q puisque p q. On a alors : z p = z p z p puisque f conserve les rapports des longueurs et les angles orientés. Donc q p q p q p z = (q p )z + p = az + b avec a = q p C et b = p C. Pour chacune des similitudes directes suivantes, donner le rapport et l angle. 1. z = 3z + 1 5i. 2. z = (1 + i)z i. 3. z = z i. = z c est-à-dire Théorème 3.3. Soient A, B, C et D quatre points du plan tels que A B et C D. Alors il existe une unique similitude directe f telle que f(a) = C et f(b) = D. Soit f une similitude plane directe d écriture complexe z = az + b. f envoie A sur C et B sur D si et seulement si z C = az A + b et z D = az B + b, soit a = z D z C et b = z C z D z C z A. z B z A z B z A On a bien a 0 puisque z D z C. 3.2 Les angles orientés sont transformés en leur opposé Définition On appelle similitude indirecte toute similitude transformant les angles orientés en leur opposé. Théorème 3.4. Une similitude plane indirecte est la composée d une similitude plane directe et d une réflexion. Autrement dit, toute similitude plane indirecte peut s écrire sous la forme g s ou s g, avec g similitude plane et s réflexion. Soit s une réflexion et soit g = s f. g est la composée de deux similitudes. C est donc une similitude. Par f ainsi que par s, un angle orienté est transformé en son opposé. Donc par s f les angles orientés sont conservés. s f est donc une similitude plane directe. On a alors : s g = s s f et donc, puisque s s = id, s g = f. f est la composée d une réflexion et d une similitude directe. On montre de même que f = h s, avec h similitude directe. Théorème 3.5. Une transformation du plan est une similitude indirecte si et seulement si elle admet pour écriture complexe z = az + b, où a C et b C. Le rapport de la similitude est alors k = a. Remarque : Une similitude indirecte n a pas d angle. Soit f une similitude plane indirecte. Soit s la réflexion d axe (O; u ). D après le théorème précédent, il existe donc une similitude directe g telle que f = g s. Une écriture complexe de s est z = z et l écriture complexe de g est z = az + b avec a C et b C. Soit M un point d affixe z. Alors f(z) = g s(z) = g(z) = az + b. Donc f a pour écriture comple z = az + b, avec a C et b C. Réciproquement, soit f une transformation du plan admettant pour écriture complexe z = az + b, avec a C et b C. Alors f = g s où s est la réflexion d axe l axe des réels et g est la similitude directe d écriture complexe z = az + b. f = g s étant une composée de similitudes, c est donc une similitude. Elle est de plus indirecte puisque g est directe. Théorème 3.6. Soient A, B, C et D quatre points du plan tels que A B et C D. Alors il existe une unique similitude indirecte f telle que f(a) = C et f(b) = D. Soit f une similitude plane indirecte d écriture complexe z = az + b. f envoie A sur C et B sur D si et seulement si z C = az A + b et z D = az B + b, soit a = z D z C et b = z C z D z C z A. z B z A z B z A On a bien a 0 puisque z D z C.

7 Mme Morel-Spécialité math-cours similitudes 7 4 Étude des similitudes planes directes On se place à présent dans le plan complexe rapporté à un repère orthonoirmé (O, u, v ). 4.1 Forme réduite d une similitude plane Théorème 4.1. Soit f une similitude directe. Alors soit f est une translation soit f a un unique point invariant. Ce point est appelé le centre de la similitude. f étant une similitude directe, elle a pour écriture complexe z = az + b, où a C et b C. Si f est une translation, alors a = 1 et z = z + b. Donc f est la translation de vecteur d affixe b. Si b 0, f n a donc pas de point fixe. Si b = 0, f = id et tous les points du plan sont fixes. Si f n est pas une translation, alors a 1. M(z) est un point fixe de f si et seulement si z = az + b, soit z = pour affixe b 1 a. Théorème 4.2. Soit f une similitude plane directe n étant pas une translation. Soient Ω le centre de f, k son rapport et θ son angle. Alors f = h r = r h où : h est l homothétie de centre Ω et de rapport k, r est la rotation de centre Ω et d angle θ. Cette décomposition est appelée la forme réduite de f. b. f a donc un unique point invariant : il a 1 a Soit z = az +b l écriture complexe de f. donc le rapport de f est k = a et son angle est θ = arg(a). L écriture complexe de l homothétie de centre Ω(ω) et de rapport k est : z ω = k(z ω). L écriture complexe de la rotation de centre Ω(ω) et d angle θ est z ω = e iθ (z ω). L écriture complexe de r h est donc z ω = e iθ (k(z ω)) = ke iθ (z ω) = a(z ω). De même, l écriture complexe de h r est z ω = k(e iθ (z ω)) = a(z ω). donc h r = r h. De plus, Ω étant invariant par f, ω = aω + b. Donc l écriture complexe de f est z ω = az + b aω b = a(z ω) = r h = h r. Remarques : 1. Une similitude directe qui n est pas une translation est donc déterminée par la donnée de son centre, son rapport et son angle. On dit que f est la similitude de centre Ω, de rapport k et d angle θ et on note f = s(ω; k; θ) (avec k > 0). 2. Soit f d écriture complexe z = az + b, avec a C et b C. Si a = 1 et b = 0 alors f = id. Tous les points sont fixes par f. Si a = 1 et b 0 alors f est la translation de vecteur d affixe b. f n a pas de point invariant. Si a 1 alors f est la similitude directe de centre Ω(ω), de rapport k = a et d angle θ = arg(a). f a un unique point invariant : Ω. 3. Soit f = s(ω; k; θ). (a) Si k = 1 alors f est f est la rotation de centre Ω(ω) et d angle θ. (b) Si θ = 0[2π] alors f est l homothétie de centre Ω(ω) et de rapport k. (c) Si θ = π[2π] alors f est l homothétie de centre Ω(ω) et de rapport k. 4. Une similitude directe ayant deux points invariants est l identité. Exemple : On considère dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct, l homothétie h de centre A(z A = 1 + i) et de rapport 2 et la rotation r de centre B(z B = 1) et d angle π 2. Montrer que h r et r h sont des imilitudes directes et donner leurs éléments caractéristiques. A-t-on h r = r h?

8 Mme Morel-Spécialité math-cours similitudes Propriétés géométriques Théorème 4.3. Soit f une similitude plane. Soient A, B, C et D quatre points du plan. On note leurs images respectives A, B, C et D. Alors : 1. f conserve les rapports de distances. C est-à-dire que si A B et C D alors A B = AB C D CD. 2. f conserve les angles géométriques : si A, B et C sont deux à deux distincts, A B C = ÂBC. Si de plus f est directe, f conserve les angles orienté. 3. f conserve l alignement : si A, B et C sont alignés alors A, B et C sont alignés. 4. f transforme une droite en une droite. 5. f transforme un segment en un segment : si A et B sont distincts, l image du segment [AB] par f est le segment [A B ]. 6. f conserve le parallélisme et l orthogonalité. 7. f conserve le barycentre : si G = {(M 1, α 1 ),, (M n ; α n )} alors G = bar{m 1; α 1 ),, (M n; α n )}. 8. f conserve le milieu. 9. Si f est directe, f transforme un triangle en un triangle directement semblable. Si f est indirecte, f transforme un triangle en un triangle indirectement semblable. 10. f transforme un cercle en un cercle : l image par f du cercle de centre A et de rayon R est le cercle de centre A et de rayon kr, où k est le rapport de f. On a montré qu une similitude directe peut s écrire comme la composée d une homothétie et d une rotation et qu une similitude indirecte est la composée d une similitude directe et d une réflexion. Le théorème se déduit donc des propriétés des homothéties, réflexions et rotations. Théorème 4.4. Soient f et f deux similitudes directes de rapports respectifs k et k et d angles respectifs θ et θ. Alors : 1. f 1 est une similitude directe de rapport k 1 et d angle θ ; 2. f f est une similitude directe de rapport kk et d angle θθ. 1. f étant une similitude directe, elle admet pour écriture complexe z = az + b, a = ke iθ et b C. Alors z = 1 a z b a avec 1 a = 1 k e iθ. Donc f 1 est une similitude directe de rapport 1 k 2. Idem : à faire. 4.3 Cas particulier : étude des déplacements et d angle θ. Définition On appelle déplacement une similitude directe de rapport 1. Théorème 4.5. Un déplacement est une isométrie qui conserve les angles orientés. Un déplacement étant une similitude de rapport 1, c est une isométrie. De plus, c est une similitude directe ; elle conserve donc les angles orientés. Réciproquement, on considère une isométrie f conservant les angles orientés. Alors f est une similitude conservant les angles orientés; c est donc une similitude directe. De plus, une isométrie est une similitude de rapport 1. f est donc un déplacement. Théorème 4.6. Une transformation du plan d est un déplacement si et seulement si elle admet pour écriture complexe z = az + b, où a = 1 et b C. De plus, si a = 1 alors d est une translation;

9 Mme Morel-Spécialité math-cours similitudes 9 si a 1 alors d est une rotation d angle arg(a). Soit d un déplacement. Alors d étant une similitude directe de rapport 1, d a pour écriture complexe : z = az + b avec a = 1. De plus, d étant une similitude, soit sa forme réduite est d = h r soit d est une translation. Si d est une translation alors a = 1. Si d n est pas une translation alors d = h r avec h homothétie de rapport 1 et r rotation. Or, une homothétie de rapport 1 est l identité. Donc d est une rotation. Théorème 4.7. La composée de deux déplacements est un déplacement et la réciproque d un déplacement est un déplacement. On a montré que la composée de deux similitudes directes de rapports k et k et d angles θ et θ est une similitude directe de rapport kk et d angle θ + θ. Donc la composée de deux similitudes directes de rapports 1 est une similitude directe de rapport 1, c est-à-dire que la composée de deux déplacements est un déplacement. Idem pour la réciproque. Théorème La composée de deux translations de vecteurs ω(b) et ω (b ) est une translation de vecteur ω + ω (b + b ). 2. La composée de deux rotations d angles respectifs θ et θ est : une translation si θ + θ = 0[2π]; une rotation d angle θ + θ sinon. 3. La comosée d une rotation d angle θ 0[2π] et d une translation est une rotation d angle θ. 1. Soient t et t deux translations de vecteurs respectifs ω(b) et ω (b ). Alors l écriture complexe de t t = t t est z = z + b + b. C est donc une translation. 2. Soient r et r deux rotations d angles respectifs θ et θ. r et r sont des similitudes directes de rapport 1 et d angles respectifs θ + θ. Donc r r est une similitude directe de rapport 1 et d angle θ + θ. r r est un déplacement. Donc r r est soit une translation soit une rotation. Si θ +θ = 0[2π] alors r r a pour écriture complexe z = z +b. Donc r r est uen translation. Si θ + θ 0[2π] alors r r n est pas une translation. C est donc une rotation d angle θ + θ. 3. Soient t une translation et r une rotation d angle θ 0[2π]. t et r sont des déplacements, donc t r est un déplacement. Son angle est la somme des angles de t et de r. Donc son angle est l angle de r. Donc t r est une similitude directe d angle θ 0[2π] et de rapport 1. C est donc une rotation d angle θ. Idem avec r t.