1 Raisonnement par récurrence. 2 Suites arithmétiques, géométriques. ISEL - Année 1. Mathématiques. Suites - Rappel

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1 ISEL - Année Mathématiques Suites - Rappel Raisonnement par récurrence Soit une propriété P (n) dépendant d'un entier naturel n. Pour montrer que cette propriété est vraie à partie de l'entier n 0 :. on vérie que la propriété est vraie pour le rang initial n 0 (initialisation);. on suppose que la propriété est vraie jusqu'au rang p et on démontre qu'elle est vraie pour le rang p + (hérédité). On conclut que la propriété est vraie pour tout entier naturel n avec n n 0. Applications: Montrer que pour tout n, on a: n 3 = n (n+). { Un+ = U Soit la suite (U n ) dénie pour tout entier naturel n par: n 3 U 0 = 3 Montrer que (U n ) est une suite constante. Suites arithmétiques, géométriques. Soit (u n ) une suite géométrique de raison vériant u 0 + u + + u = 573. Ecrire le terme général u n en fonction de n.. Soit (u n ) une suite arithmétique de premier terme vériant u 0 + u + + u 00 =. Ecrire le terme général u n en fonction de n. 3. Une seule des trois suites (a n ), (b n ), (c n ) est géométrique. Laquelle? a n = n+ 5 3 n ; b n = n ; c n = c n +. Une récurrence homographique On considère la suite (u n ) dénie pour tout entier naturel n par { un+ = un+3 u n + u 0 = 0 (a) On pose, pour tout entier n, v n = u n u n +3. Montrer que la suite (v n) est géométrique. (b) Exprimer v n, puis u n, en fonction de n. (c) Déterminer la limite de v n, puis celle de u n. 5. Avec des suites extraites On pose u 0 = 0 et, pour n, u n = u n + n( ) n+. (a) Calculer u, u, u 3, u, u 5. (b) On pose, pour tout n, v n = u n et w n = u n+. Démontrer que (v n ) et (w n ) sont des suites arithmétiques. En déduire v n et w n en fonction de n et vérier que, pour tout entier n non nul, u n = u n.

2 3 Etudes de suites. Etudier la monotonie des suites suivantes: n 3 n n ; 3 n ; n + cos n; u 0 = 5 et u n+ = u n +. Les suites suivantes sont-elles majorées? minorées? 3n n + ; n ; u 0 = 3 et u n+ = + n u n 3. Etudier la limite éventuelles des suites suivantes: n 5 k ; n n 5n ; n + 5 n ; n + ; k= 3 n + n n ; n + ( ) n ; ( 3 )n sin n. Montrer que les suites (a n ) et (b n ) sont adjacentes et préciser leur limite commune: 5. Soit la suite de terme général a n = 3n n ; b n = 3n + n u n = n Prouver que cette suite est convergente, puis déterminer une valeur approchée de sa limite. Indication: on établira, pour k, l'inégalité Correction. Raisonnement par récurrence k k k Montrons par récurrence que la propriété suivante est vraie pour tout n P (n) : n 3 = n (n + ) Initialisation, pour n = : 3 = et (+) =, P () est vraie. Hérédité Supposons que la propriété est vraie jusqu'au rang n, montrons la au rang n + : ainsi n 3 + (n + ) 3 = n (n + ) + (n + ) 3 (car P (n) est vraie) n 3 + (n + ) 3 = (n + ) ( n P (n) P (n + ). Par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout n. (n + ) + n + ) = (n + n + ) = (n + ) (n + )

3 Montrons par récurrence que la propriété suivante est vraie pour tout n 0 P (n) : U n = 3 pour n = 0: U 0 = 3, P (0) est vraie. Supposons P (n) vraie jusqu'au rang n ( U n = 3), montrons que P (n + ) est vraie: P (n) P (n + ). U n+ = U n 3 = 3 3 = 3 Par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout n 0, (U n ) est constante. 5 Suites arithmétiques, géométriques. (u n ) est une suite géométrique pour tout n 0, u n = u 0 q n avec q = la raison et u 0 le premier terme à déterminer. Or Ainsi, pour tout n 0, u n = 3. n. u 0 + u + + u = u 0 q 3 q = u 0 3 = u 0( 3 ) u 0 + u + + u = 573 u 0 ( 3 ) = 573 u 0 = 3. (u n ) est une suite arithmétique pour tout n 0, u n = u 0 + r n avec u 0 = le premier terme et r la raison à déterminer. Or 3. u 0 + u + + u 00 = u 0 + u 00 0 = r = 0( + 50r) u 0 + u + + u 00 = 0( + 50r) = r = Ainsi, pour tout n 0, u n = 99 n a n+ a n = ((n+)+) (n+) 5 (3 (n+)) (3 n) = 5 (a n ) est une suite géométrique de raison et de premier terme 5 a 0 =. 5 Les autres suites ne sont pas géométriques car les rapports b n+ = ( + c n+ b n n ), = + c n c n ne sont pas constants et dépendent de n. 3

4 . Une récurrence homographique (a) v n+ v n = u n+ u n+ + 3 u n + 3 u n = = 5 ( on utilise u n+ = u n + 3 u n + ) (v n ) est une suite géométrique de raison 5 et de premier terme v 0 = u 0 u 0+3 = 3. (b) Par conséquent, pour tout n 0, v n = 3 ( 5 )n Or d'où (c) Comme on a u n u n + 3 = v n u n = 3v n + v n u n = ( 5 )n ( 5 )n lim ( n + 5 )n = 0 lim v n = 0 et n + lim u n = n + Remarque: on aurait pu étudier cette suite en utilisant la fonction f : on peut: [0, ] IR x x+3 x+, en-eet (a) montrer par récurrence que pour tout n, u n [0, ]; (b) en étudiant f montrer que (u n ) est croissante; (c) justier que u n converge (croissante et majorée) et déterminer sa limite (solution de f(l) = l) 5. Avec des suites extraites (a) u =, u =, u 3 =, u =, u 5 = 3. (b) v n+ v n = u (n+) u n or u n+ = u n+ (n + ) = (u n + (n + )) (n + ) = u n v n+ v n = (v n ) est une suite arithmétique de raison et de premier terme v 0 = u 0 = 0. On en déduit que pour tout n 0, v n = n or w n+ w n = u (n+)+ u n+ u n+3 = u n+ + (n + 3) = (u n+ (n + )) + (n + 3) = u n+ +

5 w n+ w n = (w n ) est une suite arithmétique de raison et de premier terme w 0 = u =. On en déduit que pour tout n 0, w n = + n On a 6 Etude de suites u n = u (n )+ = w n = n = v n = u n. Utiliser respectivement la technique: étude de la diérence "u n u n " (suite décroissante, 3 n ), du rapport " u n u n " (suite décroissante pour n ), de la monotonie de la fonction "u n = f(n)" (suite croissante, f 0) et le raisonnement par récurrence (suite décroissante).. Ces 3 suites sont bornées: on a 0 n n +, étude de la fonction f(x) = x x (pour x, f(x) 0) et par récurrence on peut montrer que u n Les limites sont respectivement (somme d'une suite géométrique),, 0, (factoriser par n), (factoriser par n ), + (encadrer ( ) n ), 0 (encadrer sin n). Etudier la monotonie de (a n ) et (b n ) et la limite de leur diérence. 5. Puisque u n+ u n = (n + ) 0 (u n ) est croissante. Si on montre que (u n ) est majorée, alors on en déduira que (u n ) est convergente. Etablissons l'inégalité pour k : Comme: On a par conséquent: k k k k u n + k (k )k k (k ) k (k )k k k k u n = n k= ( rmq: k 0) ( k > 0) n k = + k k= n ( k k ) u n + n k= d'où: u n (car n>0) n En conclusion, (u n ) est croissante et majorée par, (u n ) converge. On peut déterminer une valeur approchée de sa limite l en prenant une valeur n assez grande. A l'aide d'un tableur, on obtient u 0000 =, 68. 5