Bac Mathématiques. Série S Nombres complexes UNIQUEMENT LE COURS POUR AVOIR 20/20. alainpiller. fr

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1 Bac Mathématiques Série S Nombres complexes UNIQUEMENT LE COURS POUR AVOIR 0/0 alainpiller fr

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3 SAVOIR I A Définition de l ensemble des nombres complexes : L ensemble des nombres complexes est un corps Nous avons : a + ib a b i 1 Exemples : 1 + 3i 1 + i 3 6i B Vocabulaire : 1 a+ ib correspond à la forme algébrique de a Re est la partie réelle de 3 b Im est la partie imaginaire de 4 est réel Im 0 b 0 a 5 est imaginaire pur Re 0 a 0 ib b 0 C Propriétés de la forme algébrique : a Soient 1 et deux nombres complexes, avec 1 a 1 + ib 1 et a + ib Dans ces conditions, 1 si et seulement si a 1 a et b 1 b b Soient 1 et deux nombres complexes, avec 1 a 1 + ib 1 et a + ib Dans ces conditions, 1 + a 1 + a + ib 1 + b c Soient 1 et deux nombres complexes, avec 1 a 1 + ib 1 et a + ib Dans ces conditions, 1 a 1 a b 1 b + ia 1 b + b 1 a car i 1 1

4 d Soit i, un nombre complexe, nous avons : i 1 3 i et 4 1 e Soit a+ ib, nous avons : a + iba ib a + b II A Définition de la notion de nombre complexe conjugué : Si a+ ib, étant un nombre complexe, on appelle conjugué de le nombre complexe : a ib Exemples : si 1 + 3i 1 3i ; si + 4i 4i ; si B Propriétés des nombres complexes conjugués : a Soit un nombre complexe, b Soient 1 et deux nombres complexes, avec 1 a 1 + ib 1 et a + ib Dans ces conditions : 1 si et seulement si a 1 a et b 1 b c Soit un nombre complexe, + a (avec a+ ib d Soit un nombre complexe, ib (avec a+ ib e Soit un nombre complexe, a + b (avec a + ib f Soient 1 et deux nombres complexes, g Soient 1 et deux nombres complexes, 1 1 h Soient un nombre complexe imaginaire pur c est-à-dire ib, alors : + 0

5 i Soit, cad a, alors : 0 j Soit un nombre complexe : + Re et i Im k Soit 1 et deux nombres complexes : L Soit un nombre complexe : n n III A Représentation géométrique d un nombre complexe : Dans le plan, si M est le point de coordonnées a et b respectivement sur 10 et 01 alors : le point Mab est l image du nombre complexe a+ ib; le nombre complexe a+ ib est appelé l affixe du point M ; graphiquement, nous avons : y b M 1 o 1 a x On note : M B Exemple : Soit + 3i, faisons une représentation géométrique de ce nombre complexe : Pour cela, il suffit de placer le point M, c est-à-dire l image du nombre complexe + 3i sachant que M a pour coordonnées et 3 sur (1,0) et (0,1) : M 3 3

6 Représentation géométrique : y 3 M (,3) 1 o 1 x C Théorème : Si A et B, sont les affixes des points A et B dans un repère orthonormé, alors l affixe du vecteur AB est : B A On note : AB B A D Propriétés : 1 Soient u et v deux vecteurs ayant pour affixes respectifs et : u et v Dans ces conditions : a u v b u + v a pour affixe + : u + v + Si I est le milieu du segment AB, alors : A + B I IV A Ecriture d un nombre complexe sous forme trigonométrique : Soient a+ ib un nombre complexe écrit sous forme algébrique, son module et son argument 4

7 Sous forme trigonométrique s écrit : cos + isin ou : e i ou : Module ou : B r On appelle module de, et on note, le réel positif ou nul : a + b, avec a+ ib On note : a + b ou r a + b Exemples : Si i 1 ; Si 1 i ; Si i 3 C Argument : 1 Définition: On appelle argument de, et on note Arg ou, l angle des demi-droites orientées Ox OM, exprimé en radians et défini à k près k On note : arg Propriétés : Soient 1 et deux nombres complexes écrits sous forme trigonométrique : et a 1 si et seulement si 1 et 1 + k k b c

8 d n n e 1 1 n1 Il est bon de remarquer que cette dernière propriété porte le nom de la formule de Moivre que nous pouvons aussi écrire de la manière suivante : 1 n n n n n n in 1 1 n1 1 1 cosn 1 + isinn 1 1 1e ou a 1 ssi r 1 r et 1 b 1 r 1 r e i 1 + r 1 r cos isin 1 + c d r 1 i e r r cos r 1 + isin 1 1 i e r cos r isin 1 n e 1 n r 1 e in 1 n r 1 cosn 1 + isinn 1 f e i + e i e i e i : cos et sin i D Formules trigonométriques : VOIR RABAT 6

9 E Astuces : 1 Si on connaît r et : Dans ces conditions : a rcos et b rsin Si on connaît a et b : Dans ces conditions, est tel que : cos a et sin b a + b a + b a b Ou : cos -- et sin -- r r V Résolution dans d équations du second et troisième degrés : Voir Training 4, page 39 VI Propriétés géométriques : Soient quatre points A A B B C C D D Nous savons déjà que : AB B A A Démontrer le parallélisme : AB CD, AB CD AB // CD D C arg B A D C B A 0, 7

10 C A A Bet C alignés arg B A 0 C A B A B Démontrer l orthogonalité : AB CD arg D C B A -- D C est un imaginaire pur, B A ABC triangle rectangle en A arg C A B A -- C A est un imaginaire pur B A C Démontrer l égalité de longueurs : AB CD B A D C D Déterminer l angle de vecteurs : AB CD D C arg B A E Démontrer un triangle équilatéral direct : ABC est un triangle équilatéral direct ssi : C A e i 3 B A 8