Calcul vectoriel dans l Espace

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1 Calul vetoriel dans l Espae Christophe ROSSIGNOL Année solaire 015/016 Table des matières 1 Veteurs de l Espae 1.1 Extension de la notion de veteur à l Espae Calul vetoriel dans l Espae Colinéarité, appliations Veteurs oplanaires 3.1 Caratérisation vetorielle d un plan de l Espae Veteurs oplanaires Repérage dans l Espae Définition Coordonnées Calul sur les oordonnées Colinéarité, oplanarité Représentations paramétriques Définition Intersetion de deux droites Table des figures 1 Relation de Chasles Règle du parallélogramme Coordonnées dans un repère de l Espae Liste des tableaux 1 Positions relatives de deux droites Ce ours est plaé sous liene Creative Commons BY-SA 1

2 1 VECTEURS DE L ESPACE Quelques résultats importants : Dans tout plan de l Espae, tout résultat de géométrie plane s applique. Trois points de l Espae forment un plan si et seulement si ils ne sont pas alignés. Deux plans de l Espae sont soit parallèles, soit séants. Dans e as, leur intersetion est une droite. Deux droites de l Espae peuvent être ni parallèles, ni séantes. 1 Veteurs de l Espae 1.1 Extension de la notion de veteur à l Espae Dans le plan, un veteur AB est défini par : sa diretion la droite AB ; son sens du point A vers le point B ; sa longueur ou norme la distane AB. Cette notion se généralise sans problème à l Espae, ave les mêmes propriétés. Par exemple : Propriété : Égalité de veteurs AB = CD si et seulement si ABDC est un parallélogramme. 1. Calul vetoriel dans l Espae L addition de deux veteurs et la multipliation d un veteur par un réel sont définies omme dans le plan et ont les mêmes propriétés. Par exemple : Propriété 1 : Relation de Chasles Pour tous points A, B et C de l Espae : AC = AB + BC voir figure 1. Figure 1 Relation de Chasles Propriété : Règle du parallélogramme OM RN est un parallélogramme si et seulement si OR = OM + ON voir figure Figure Règle du parallélogramme

3 VECTEURS COPLANAIRES 1.3 Colinéarité, appliations 1. Ces deux propriétés donnent les deux manières de onstruire une somme vetorielle «bout-à-bout» ou à l aide d un parallélogramme.. Les règles de aluls sur les sommes de veteurs et sur les multipliations de veteurs par un réel sont les mêmes que sur les nombres. Exeries : 43, 44, 46, 47, 48, 51 page [TransMath] 1.3 Colinéarité, appliations Définition : Deux veteurs u et v sont olinéaires si et seulement si l un est le produit de l autre par un réel k est-à-dire u = k v ou v = k u. Propriété : Soit u et v deux veteurs non nuls. u et v sont olinéaires si et seulement si les veteurs u et v ont même diretion. Appliations : Les droites AB et CD sont parallèles si et seulement si les veteurs AB et CD sont olinéaires. Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les veteurs AB et AC sont olinéaires. Exerie : 1, page 95 et 60, 61 page 309 [TransMath] Veteurs oplanaires.1 Caratérisation vetorielle d un plan de l Espae Théorème : Soit A, B et C trois points de l Espae non alignés. Un point M est dans le plan ABC si et seulement si il existe deux réels x et y tels que : AM = x AB + yac Démonstration : Puisque les points A, B et C ne sont pas alignés, le triplet A, AB ; AC forme un repère du plan ABC. Si M ABC, il existe deux réels x et y tels que le ouple x ; y soit les oordonnées de M dans le repère A, AB ; AC. On a don : AM = x AB + yac. Réiproquement, si AM = x AB + yac, on note N le point du plan ABC de oordonnées x ; y dans le repère A, AB ; AC. On a don : AN = x AB + yac et, par suite AN = AM. Les points M et N sont don onfondus. D où M ABC. Remarque : On peut don définir un plan par la donnée d un point A et de deux veteurs u et v non olinéaires. On dit alors que u et v sont les veteurs direteurs du plan.. Veteurs oplanaires Définitions : 1. On dit que quatre points A, B, C et D de l espae sont oplanaires s ils sont dans un même plan.. Soit u, v et w trois veteurs de l espae. Il existe quatre points A, B, C et D de l espae tels que u = AB, v = AC et w = AD. On dit que les veteurs u, v et w sont oplanaires si et seulement si les quatre points A, B, C et D le sont. 1. Veteurs de l Espae.. Colinéarité, appliations. 3

4 3 REPÉRAGE DANS L ESPACE 1. Deux veteurs ou trois points sont toujours oplanaires.. Si les veteurs AB et CD sont olinéaires, les droites AB et CD sont parallèles et, don, les points A, B, C et D sont oplanaires. Par suite, si deux veteurs u et v sont olinéaires, les veteurs u, v et w sont toujours oplanaires. Théorème : 1. Soit u, v et w trois veteurs de l espae, tels que u et v ne soient pas olinéaires. Alors, les veteurs u, v et w sont oplanaires si et seulement si il existe deux réels a et b tels que : w = a u + b v. Soit A, B, C et D quatre points de l espae, tels que A, B et C ne soient pas alignés. Alors, les points A, B, C et D sont oplanaires si et seulement si il existe deux réels a et b tels que : AD = a AB + bad Démonstration : Il faut d abord remarquer que le. n est qu une appliation du 1. aux veteurs u = AB, v = AC et w = AD. Il suffit don de montrer la première assertion. On pose u = AB, v = AC et w = AD. Comme u et v ne sont pas olinéaires, les points A, B et C forment un plan. D après.1, D ABC si et seulement si il existe deux réels a et b tels que : AD = aab + bad. Par suite, les veteurs u, v et w sont oplanaires si et seulement si il existe deux réels a et b tels que w = a u + b v. Exeries : 3, 4, 5 page 96 ; 6, 63 page 308 et 64 page [TransMath] 3 Repérage dans l Espae 3.1 Définition Coordonnées Définition : On appelle repère de l Espae tout quadruplet et où ı, j et k sont trois veteurs non oplanaires. O ; ı ; j ; k où O est un point de l Espae Si les veteurs ı, j et k sont deux à deux orthogonaux, le repère est dit orthogonal. Si, de plus, les veteurs sont unitaires ı = j = k = 1, on dit que le repère est orthonormal. Remarque : Le triplet ı ; j ; k est appelé base de veteurs de l Espae. Théorème : Soit O ; ı ; j ; k un repère de l Espae. 1. Soit M un point de l Espae. Il existe un unique triplet x ; y ; z tel que OM = x ı + y j + z k voir figure 3. Ce triplet est appelé oordonnées de M. On note M x ; y ; z.. Soit u un veteur de l Espae. Il existe un unique point M tel que u = OM. On appelle oordonnées du veteur u les oordonnées de e point M. Par onséquent : Il existe un unique triplet a ; b ; tel que u = a ı + b j + k. Ce triplet est appelé oordonnées de u. On note a u b. 3. Coplanarité. 4

5 3 REPÉRAGE DANS L ESPACE 3. Calul sur les oordonnées Figure 3 Coordonnées dans un repère de l Espae Démonstration partielle : On note P le plan passant par O et de veteurs direteurs ı et j. Comme ı, j et k ne sont pas oplanaires, la droite passant par M et de veteur direteur k oupe le plan P en un point noté M. On a don : OM = OM + M M. Comme M M et k sont olinéaires, il existe un réel z tel que M M = z k. Comme M P, d après.1, on a OM = x ı + y j. On obtient don : OM = x ı + y j + z k. L uniité de ette ériture est admise. 1. x est appelé absisse, y est appelé ordonnée et z est appelé ote.. On vient en fait de voir que tout veteur peut se déomposer de manière unique en fontion de trois veteurs non oplanaires. 3. Calul sur les oordonnées Les résultats sont identiques à eux du plan. On a, par exemple : Si A x A ; y A ; z A et si B x B ; y B ; z B alors : les oordonnées du veteur AB sont : AB Si u x B x A y B y A z B z A les oordonnées du milieu I du segment [AB] sont : I x A +x B a b et si v a b alors : les oordonnées de u + v sont : u + v a + a b + b + Si k est un réel, les oordonnées du veteur k u sont : k u On se plae dans un repère O ; ı ; j ; k orthonormal. ; y A+y B ; z A+z B k a k b k 5

6 3.3 Colinéarité, oplanarité 4 REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES Si le veteur u a omme oordonnées a b, alors sa norme est : u = a + b + Si A x A ; y A ; z A et si B x B ; y B ; z B alors : AB = AB = x B x A + y B y A + z B z A Exeries : 46, 77, 78, 80, 81 page , 83 page [TransMath] 3.3 Colinéarité, oplanarité Méthode : Deux veteurs u et v non nuls sont olinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que u = k v. Trois veteurs u, v et w tels que u et v non olinéaires sont oplanaires si et seulement si il existe deux réels a et b tels que w = a u + b v. Il s agit don, grâe aux oordonnées des veteurs, de trouver es réels pour montrer la olinéarité ou la oplanarité. Remarque : Dans l Espae, il n existe pas, au niveau de la lasse de Terminale S, de propriété simple équivalente à elle des «produits en roix» de oordonnées pour des veteurs olinéaires du plan. Exeries : 53, 54, 56, 57, 59 page page , 8, 9, 10, 11, 13, 15 page 98 et 70, 73 page , 100, 101 page 311 et 10 page Représentations paramétriques d une droite de l Espae 4.1 Définition On se plae dans un repère O ; ı ; j ; k de l Espae. Soit D une droite passant par un point A x A ; y A ; z A et de veteur direteur u a b M x ; y ; z est un point de D si et seulement si il existe un réel t tel que AM = t u. En passant aux oordonnées, on obtient : x x A = at x = x A + at y y A = bt est-à-dire y = y A + bt z z A = t z = z A + t Définition : On appelle représentation paramétrique ou système d équations paramétriques de la droite D. par un point A x A ; y A ; z A et de veteur direteur u x = x A + at y = y A + bt z = z A + t a b ave t R le système : Le réel t est appelé paramètre. 4. Distanes dans l Espae. 5. Plan médiateur. 6. Colinéarité, appliations. 7. Droites séantes. 8. Coplanarité. 9. Positions relatives de droites et de plans. 6

7 4 REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES 4. Intersetion de deux droites 1. Un point M est sur D si et seulement si il existe un réel t tel que les oordonnées de M vérifie le système d équations paramétriques de D. x = x 0 + αt. Réiproquement, si la droite admet omme équation paramétrique y = y 0 + βt, ette droite z = z 0 + γt passe par le point M 0 x 0 ; y 0 ; z 0 et admet omme veteur direteur v α β γ. 3. Pour obtenir une représentation paramétrique du segment [AB], il suffit de prendre omme veteur direteur AB, omme point de la droite le point A et de prendre t [0 ; 1]. 4. Pour obtenir une représentation paramétrique de la demi-droite [AB, il suffit de prendre omme veteur direteur AB, omme point de la droite le point A et de prendre t [0 ; + [. Exeries : 16, 18, 19 page 99 et 86, 87 page page page , 10, 11 page [TransMath] 4. Intersetion de deux droites Les résultats onernant les positions relatives de deux droites de l Espae sont rappelées dans le tableau 1. Positions relatives de D 1 et D Coplanaires séantes stritement parallèles onfondues Non oplanaires un point ommun unique pas de point ommun tous les points sont ommuns il n existe pas de plan ontenant les deux droites Table 1 Positions relatives de deux droites Remarque : D est une droite de veteur direteur u et est une droite de veteur direteur v. Si u et v sont olinéaires : Si D et n ont pas de point ommun, elles sont stritement parallèles ; Si D et ont un point ommun, elles sont onfondues. Si u et v ne sont pas olinéaires : Si D et n ont pas de point ommun, elles sont non oplanaires ; Si D et ont un point ommun, elles sont séantes. 10. Représentation paramétrique d une droite. 11. Type BAC. 1. Points équidistants de trois points. 13. Segments, demi-droites. 7

8 4. Intersetion de deux droites 4 REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES Exerie résolu : Dans un repère O ; ı ; j ; k de l Espae, on onsidère les droites D 1, D et D 3 de représentations paramétriques : x = 1 + t x = 6t + 8 x = t + 6 D 1 : y = 4t t R D : y = 1t + 1 t R D 3 : y = 3t 1 t R z = 5 3t z = 9t z = t + Étudier les positions relatives de D 1 et D puis de D 1 et D 3. Positions relatives de D 1 et D : Un veteur direteur de D 1 est u 4 et un veteur direteur de D est v On a v = 3 u. Les veteurs u et v sont olinéaires don les droites D 1 et D sont parallèles. Reste à déterminer si les deux droites sont stritement parallèles ou onfondues. Le point A 1 ; 0 ; 5 est un point de D 1. 6t + 8 = 1 t = 3 A D 1t + 1 = 0 t = 1 1 9t = 5 t = 7 9 Ce qui est impossible. Par suite, A / D. Les droites D 1 et D sont don stritement parallèles. Positions relatives de D 1 et D 3 : Un veteur direteur de D 1 est u 4 3 et un veteur direteur de D 3 est w Les veteurs u et w ne sont pas olinéaires don les droites D 1 et D 3 sont soit séantes, soit non oplanaires. On va don herher un éventuel point d intersetion à D 1 et D 3. x = 1 + t x = s + 6 M x ; y ; z D 1 D 3 il existe deux réels t et s tels que y = 4t et y = 3s 1 z = 5 3t z = s On a don : 1 + t = s + 6 4t = 3s 1 5 3t = s + s = t 7 4t = 3 t t = t 7 + s = t 7 4t = 6t 5 3t = 4t + 16 s = 15 t = 11 t = 11 Les droites D 1 et D 3 sont don séantes et leur point d intersetion a omme oordonnées : x = = 1 y = 4 11 = 44 z = = 8 1. Attention! Lors de la reherhe d un éventuel point d intersetion entre deux droites, il faut absolument donner deux noms différents aux deux paramètres.. Si les droites avaient été non oplanaires, on aurait, lors de la résolution du système, trouvé deux valeurs différentes pour t ou s, e qui est impossible. 8

9 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES Exeries : 0, 1,, 3 page 300 ; 90 page 310 et 9, 93 page , 109 page [TransMath] Référenes [TransMath] TransMATH Term S, Programme 01 Nathan 3, 4, 6, 7, Positions relatives de deux droites. 15. Type BAC. 9