DIPLÔME NATIONAL DU BREVET. Série Collège MATHÉMATIQUES

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1 Collège Georges Brassens PERSAN Janvier 2011 DIPLÔME NATIONAL DU BREVET Série Collège MATHÉMATIQUES Durée : 2 heures (aucune sortie ne sera acceptée avant ce temps) L emploi de la calculatrice est autorisé. Barème : Activités numériques : Activités géométriques : Problème : Expression écrite et présentation : 12 points 12 points 12 points 4 points

2 ACTIVITES NUMERIQUES 12 POINTS Exercice n 1 (3,5 points) On considère le programme de calcul ci-dessous : choisir un nombre de départ multiplier ce nombre par (-2) ajouter 5 au produit multiplier le résultat par 5 écrire le résultat obtenu. 1) a) Vérifier que, lorsque le nombre de départ est 2, on obtient 5. b) Lorsque le nombre de départ est 3, quel résultat obtient-on? 2) Quel nombre faut-il choisir au départ pour que le résultat obtenu soit 0? 3) Arthur prétend que, pour n importe quel nombre de départ x, l expression (x 5)² - x² permet d obtenir le résultat du programme de calcul. A-t-il raison? Exercice n 2 (5 points) On considère l expression E=5x-22- (5x-2)(x-7) 1) Développer et réduire E. 2) Factoriser E. 3) Calculer E pour x= 25. 4) Résoudre l équation 5x-24x+5=0.

3 Exercice n 3 (3,5 points) (L unité de longueur est le cm). Le quadrilatère ABCD est un carré de côté 22 cm. Les dimensions du rectangle EFGH sont 10-6cm et 10-8cm. Calculer 10-8cm 1/ la longueur AC. 2/ le périmètre de ABCD. 3/ l aire de EFGH. 22 cm 10-6cm cm

4 ACTIVITES GEOMETRIQUES 12 POINTS Exercice n 1 (8 points) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Compléter le tableau prévu à cet effet dans l annexe (à rendre avec la copie sans oublier de réécrire le numéro de candidat). On répondra par A, B ou C. Réponse A Réponse B Réponse C 1 L arrondi au centième de sin 20 est: 20,00-0,857 0,34 2 Si cos 86 = 4CD, alors on peut écrire : CD = 4 cos86 CD = 4cos86 CD = cos Si dans un triangle TIC rectangle en T, on a tani=1,2 alors : I 50 I 40 impossible Pour les questions ci-après, on considérera la figure suivante : Si T est un point du cercle de diamètre [US] alors : Si, de plus désormais, on sait que TS = 10cm et UT = 8cm, alors : Avec les longueurs données à la question 5, on peut en déduire que : tanust= UTUS On ne peut pas exprimer sinust car le triangle TUS n est pas rectangle. US² = UT² + TS² UST=38,6 UST 52 UST 39 US = 6 cm L aire du triangle UST vaut 40 cm². Pour les questions ci-après, on considérera pour chaque question, la figure qui lui est associée. OT = 8 cm. 7 AMAC= ANAB= BCMN CMCA= BNBA= MNCB AMAC= ANAB= MNBC Si : - M [AC], N [AB] - (MN) // (BC) alors : 8 (AC) et (BN) sont parallèles. On ne peut pas savoir si (AC) et (BN) sont parallèles. (AC) et (BN) ne sont pas parallèles. Que peut-on dire des droites (AC) et (BN)?

5 Exercice n 2 (2 points) Une erreur s est glissée dans la démonstration suivante. Précise laquelle et réécris la démonstration entièrement sur la copie. L erreur porte soit sur la propriété soit sur la conclusion. On sait que : - (AB) // (CD) - (AD) // (BC) Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors il a ses côtés opposés de même longueur. Conclusion : ABCD est un parallélogramme. Exercice n 3 (2 points) Dans cet exercice, la figure n est pas représentée en vraie grandeur La tour de Pise fait un angle ABH de 74 avec le sol horizontal. Lorsque le soleil est au zénith (ses rayons sont verticaux), la longueur BH de son ombre sur le sol est de 15m. On arrondira les résultats à 1m près. Calculer à quelle hauteur AH au-dessus du sol se trouve le point A de la tour? PROBLEME 12 points Dans ce problème, on considérera un triangle ABC tel que : AB = 6cm ; AC = 8cm et BC = 10cm. Première partie (2,5 points) 1/ Sur la feuille annexe, construire le triangle ABC en vraie grandeur. 2/ Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A. 3/ Calculer l aire A du triangle ABC. Deuxième partie (5 points) 1/ Placer le point M du segment [BC] tel que CM = 6cm. Construire la perpendiculaire à (AC) passant par M, elle coupe (AC) en N. Construire la perpendiculaire à (AB) passant par M, elle coupe (AB) en P. 2/ a) Quelle est la nature du quadrilatère ANMP? Justifier votre réponse par une démonstration en citant une propriété.

6 b) En déduire que les droites (MN) et (AB) sont parallèles. 3/ Calculer les longueurs MN et AN. (indication: penser à calculer CN pour obtenir AN) 4/ En déduire le périmètre p 1 du triangle CNM et le périmètre p 2 du quadrilatère ANMP. Troisième partie (4,5 points) Dans cette partie, on suppose que M est un point quelconque du segment [BC] et on pose CM = x. On rappelle que le triangle ABC est rectangle en A et que (AB) // (MN). 10 1/ Quelles sont les valeurs possibles de x? On donnera la réponse sous la forme x x 6 2/ a) En utilisant le théorème de Thalès, démontrer que : CN=0,8x et MN=0,6x. b) En déduire que: AN=8-0,8x. 8 3/ A l aide des résultats précédents, déduire que : - le périmètre p 1 du triangle CNM est égal à 2,4x. - le périmètre p 2 du quadrilatère ANMP est égal à 16 0,4x. 4/ Déterminer la valeur de x pour laquelle p 1 = p 2. On donnera l arrondi au mm. N du candidat :. ANNEXE A rendre avec la copie

7 ACTIVITES GEOMETRIQUES Exercice n 1 Réponse 1 L arrondi au centième de sin 20 est: 2 Si cos 86 = 4CD, alors on peut écrire : 3 Si dans un triangle TIC rectangle en T, on a tani=1,2 alors : 4 Si T est un point du cercle de diamètre [US] alors : Si, de plus désormais, on sait que : UT = 8cm, alors : Avec les longueurs données à la question 5, on peut en déduire que : Si : - M [AC], N [AB] - (MN) // (BC) alors : TS = 10cm et 8 Que peut-on dire des droites (AC) et (BN)? PROBLEME Construction

8 CORRECTION DU BREVET BLANC N 1 ACTIVITES NUMERIQUES Exercice 1 : 1) a) [2 (-2) + 5 ] 5 = (-4 + 5) 5 = 1 5 = 5 3) Le programme de calcul donne : (-2x + 5) 5 = 5 (-2x) = -10x + 25 Selon Arthur, (x 5)² - x² = (x² - 2 x 5 + 5²) x² = x² -10x + 25 x² = - 10x + 25 b) [3 (-2) + 5 ] 5 = (-6+ 5) 5 = -1 5 = -5 On obtient la même expression littérale donc Arthur a raison. 2) On doit résoudre : [ x (-2) + 5 ] 5 = 0 Soit (-2x + 5) 5 = 0 Si un produit de facteurs est nul alors l un au-moins des facteurs est nul. -2x + 5 = 0-2x = -5 x = -5-2 = 2,5 Pour obtenir 0 à l aide du programme de calcul, il fallait choisir au départ le nombre 2,5. Exercice 2 : 1) E=5x-22- (5x-2)(x-7) E= [(5x)²- 2 5x 2+2²] [5x x + 5 (-7) + (-2) x + (-2) (-7)] E= [ 25x² - 20x + 4 ] [5x² + (-35) + (-2x) + 14 ] E= 25x² - 20x + 4 5x² x 14 E= 20x² - 18 x ) E=5x-22- (5x-2)(x-7) E = 5x-2 (5x-2)- (5x-2) (x-7) E = 5x-2 [5x-2- x-7] E = 5x-2 ( 5x-2-x+7) E = 5x-2 (4x+5) 3) pour x = 25 E = 5x-2 (4x+5) E= ( ) E=2-2 (85+ 5) E=0 (85+ 5) E = 0. 4) Résoudre 5x-24x+5=0 Si un produit de facteurs est nul alors l un au-moins des facteurs est nul. On doit résoudre : 5x-2=0 et 4x+5=0 5x = x = 0 5 5x = 2 4x = -5 x = 25 x = -54 Conclusion : Les solutions de cette équation sont : x = 25 et x = -54 Exercice 3: 1/ Dans le triangle ABC rectangle en B D après le théorème de Pythagore, on a : AC²=AB²+BC² AC²=222+ (22)² AC²=2² 2²+2² 2² AC²= AC2=8+8 AC2=16 AC= 16=4 cm. 2/ Périmètre d un carré = 4 côté Périmètre de ABCD = 4 22 = 82 cm. 3/ Aire d un rectangle = Longueur largeur Aire de EFGH = = 10(-6)+(-8) = cm². ACTIVITES GEOMETRIQUES Exercice 1: 1/ C 2/ B 3/ A 4/ C 5/ C 6/ B 7/ C 8/ A Exercice 2: L erreur portait sur la propriété. Démonstration corrigée : On sait que : - (AB) // (CD) - (AD) // (BC)

9 Or, si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c est un parallélogramme. Conclusion : ABCD est un parallélogramme. Exercice 3: On sait que : le triangle ABH est rectangle en B. (On appelle [AB] son hypoténuse, [AH] le côté opposé à l angle ABH et [BH] le côté adjacent à ABH) tanabh = AHBH tan74 = AH15 J utilise un produit en croix pour trouver AH : AH = 15 tan74 AH 52 m (arrondi au mètre près). PROBLEME Première partie : 2/ On sait que : dans le triangle ABC, [BC] est le plus grand côté ; donc si le triangle est rectangle, il le sera en A. BC² = 10² = 100 AB² + AC² = 6² + 8² = = 100 On calcule d une part BC² et d autre part AB² + AC². On constate que : BC² = AB² + AC² Donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. 3/ Aire d un triangle = Base hauteur correspondante2 en particulier: pour un triangle rectangle, les côtés de l angle droit forment une base et sa hauteur correspondante.

10 Donc Aire A du triangle ABC = AB AC2 = 6 82=24 cm². Deuxième partie : 2/ a) On sait que : le quadrilatère ANMP a 3 angles droits. Or, si un quadrilatère a 3 angles droits alors c est un rectangle. Donc ANMP est un rectangle. b) On sait que : (AB) (AC) et (MN) (AC) Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles. Donc : (AB) // (MN) 3/ On sait que : - les droites (BM) et (AN) sont sécantes en C - (AB) // (MN) alors, d après le théorème de Thalès, on a : CMCB= CNCA= MNAB soit en remplaçant par les valeurs numériques : 610= CN8= MN6 j utilise alors un produit en croix : CN= = 4,8 cm et MN = = 3,6 cm. AN = CA CN car N [AC] AN = 8 4,8 AN = 3,2 cm.

11 4/ Périmètre p 1 du triangle CNM = CN + CM + MN Périmètre p 2 du rectangle ANMP = 2 AN + 2 MN = 4, ,6 = 2 3, ,6 = 14,4 cm. = 13,6 cm. Troisième partie : 1/ 0 x 10 2/ a) On sait que : - les droites (BM) et (AN) sont sécantes en C - (AB) // (MN) alors, d après le théorème de Thalès, on a : CMCB= CNCA= MNAB soit : x10= CN8= MN6 j utilise alors un produit en croix : CN= x 810 = 0,8x. et MN = 6 x10 = 0,6x. AN = CA CN car N [AC] AN = 8 0,8x. 3/ Périmètre p 1 du triangle CNM = CN + CM + MN Périmètre p 2 du rectangle ANMP = 0,8x + x + 0,6x = 2 AN + 2 MN

12 = (0, ,6)x = 2 (8 0,8x) + 2 0,6x = 2,4x = ,8x + 2 0,6x 4/ On doit résoudre l équation p 1 = p 2 = 16 1,6x + 1,2x = 16 0,4x. soit 2,4x = 16 0,4x 2,4x + 0,4x = 16 2,8x = 16 x = 162,8 x 5,7. (arrondi au mm)