TD 1 : Taux d intérêt en univers déterministe
|
|
- Chrystelle Corinne St-Cyr
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Université Paris VI Master 1 : Introduction au calcul stochastique pour la finance 4M065) TD 1 : Taux d intérêt en univers déterministe 1 Interêts simples / Intérêts composés Définition : a) L intérêt d un prêt est dit simple lorsqu il est calculé à chaque période seulement sur la base de la somme prêtée ou empruntée à l origine b) L intérêt d un prêt est dit composé lorsqu à la fin de chaque période l intérêt s ajoute au capital de début de période pour former la base de calcul de l intérêt pour la période suivante Le montant d intérêt et le capital changent à chaque période On emprunte N sur n périodes, et dans tout l exercice, intérêt et capital seront toujours remboursés et payés à échéance ie à la fin des n périodes) On note r s le taux simple par période et r c le taux composé 1 Quel est le montant dû en n si les intérêts sont simples? 2 Si les intérêts sont composés? 3 Quelle relation doit exister entre r s et r c, en l absence d opportunité d arbitrage et en supposant que l on peut emprunter ou prêter selon les deux modalités? 4 Ces taux peuvent-ils être tous les deux indépendants de n? 5 Si les périodes associées au taux r s sont des mois, et si n est un multiple de 12, quel est le taux simple annuel r s, en l absence d opportunité d arbitrage et en supposant que l on peut emprunter ou prêter en intérêts simples mensuels et annuels? 6 Vous souhaitez effectuer un achat pour un montant de 1000 euros Faute de disponibilités immédiates, vous décidez de financer votre achat par un crédit de durée un an Deux solutions vous sont alors possibles : a) votre carte de crédit vous donne la possibilité d emprunter au taux mensuel simple de 0, 5 %, b) votre banque vous offre une possibilité de financement au taux annuel composé de 6, 1 % Pour quelle méthode de financement opteriez-vous? Que se passe-t-il si vous devez emprunter aux mêmes conditions mais sur deux ans avec remboursement du capital et des intérêt in fine? Solution : 1 En n, on doit alors N + nr s N 2 Soit, pour k = 0,, n, m k le montant total dû à la fin de la période k On a m 0 = N, et pour tout k, m k = m k r c ) Ainsi, m n = N1 + r c ) n 3 En l absence d opportunité d arbitrage, on a alors 1 + nr s = 1 + r c ) n Prouvons-le Supposons que 1+nr s < 1+r c ) n Alors à l instant 0, on emprunte N euros en intérêts simples et les prête en intérêts composés À l instant n, on récupère N1 + r c ) n et rend N1 + nr s ) : gain de N1 + r c ) n 1 + nr s )) > 0 Supposons que 1+nr s > 1+r c ) n Alors à l instant 0, on emprunte N euros en intérêts composés et les prête en intérêts simples À l instant n, on récupère N1 + nr s ) et rend N1 + r c ) n : gain de N1 + nr s ) 1 + r c ) n ) > 0 4 Ces taux ne peuvent être tous les deux indépendants de n, car les couples de solution de l équation 1 + nx = 1 + y) n dépendent de n 5 Un raisonnement par opportunité d arbitrage montre que r s = 12r s 1
2 6 Ici, en utilisant la question précédente, on peut se ramener à des intérêts simples annuels de r s = 12 0, 5 = 6% Dans le premier cas, on a alors, avec des périodes d une année, n = 1, r s = 0, 06, r c = 6, nr s < 1 + r c ) n, donc il vaut mieux emprunter en intérêt simples Dans le deuxième cas, toujours avec des périodes d une année, n = 2, r s = 0, 06, r c = 6, nr s = 1, 120, 1 + r c ) n = 1, 126, donc il vaut mieux emprunter en intérêt simples aussi 2 Limite continue de la capitalisation par intérêts composés 1 Donner, pour r IR, et v n suite équivalente à tn, avec t > 0, la limite de la suite u n = vn 1 + n) r 2 Dans de nombreux cas, les taux d intérêts sont associés à des longues durées, mais calculés de façon composée sur des durées beaucoup plus courtes On parle par exemple de taux annuel r à composition mensuelle, hebdomadaire, quotidienne, ou de façon plus générale m fois par an Cela signifie précisément que les intérêts sont composés m fois par an au taux r Par exemple, un montant A investi au taux annuel r à composition m mensuelle donc m = 12) rapporte, au bout de respectivement 3, 7, 15 mois : A 1 + r 12 ) 3, A 1 + r 12 ) 7, A 1 + r 12 On dispose de euros à investir deux ans Vaut-il mieux l investir au taux annuel de 4,7% calculé composé de façon annuelle, au taux annuel 4,6% composé de façon mensuelle, au taux 4,5% composé de façon hebdomadaire, ou au taux 4,4% composé de façon quotidienne les années sont supposées avoir 365 jours)? 3 Supposons que l on investisse A euros au taux annuel de r à composition m fois par an, avec m très grand Donner la valeur V m t) du capital au bout d un temps t compté en années, mais non forcément entier) Quelle est sa limite lorsque m +? On parle alors de composition continue, et r est alors le taux continu r Solution : 1 ln u n v n, donc u n n n ert 2 Il suffit de comparer les valeurs du capital au bout de 2 ans dans les 4 cas, soit, arrondis à 10 euros, ) , 047) 2 = ; , 046/12) 24 = ; , 045/52) 2 52 = ; , 044/365) = La deuxième solution est donc la meilleure 3 Soit E la partie entière La valeur du capital au bout d un temps t, est de A 1 + m) r Et/1/m)) Or la suite Et/1/m)) = Etm), encadrée par tm et tm 1, est équivalente à tm Donc par la première question, V m t) m Aert 3 Taux pré-compté / Taux post-compté Un emprunt est à taux pré-compté si les intérêts sont payés en début de période et non en fin comme dans le cas post-compté) 2
3 On note r p le taux par période pré-compté et r le taux post-compté 1 Vous voulez disposer de la somme N sur une période Combien devez-vous emprunter au taux pré-compté? Combien devez-vous rembourser en fin de période? Combien quelqu un qui possède N peut-il prêter en pré-compté? 2 Reprendre la question 1 avec le taux post-compté 3 En l absence d opportunité d arbitrage et en supposant que l on peut emprunter ou prêter selon les deux modalités, quelle relation doit-il y avoir entre les deux taux? Solution : 1 Si on emprunte x, on rembourse immédiatement xr p, et donc on dispose de x1 r p ) x doit donc satisfaire x1 r p ) = N, donc x = N/1 r p ) À la fin de la période, on rembourse le principal emprunté, càd N/1 r p ) Quelqu un qui possède N peut prêter N/1 r p ) en pré-compté En effet, N/1 r p ) > N, mais on a N/1 r p ) = N+r p N/1 r p ) donc la personne qui possède N et prête N/1 r p ) s endette de r p N/1 r p ), mais elle rembourse tout de suite, car elle empoche les intérêts de son prêt 2 Là, c est plus facile, on emprunte N Par contre, on rembourse N1 + r) 3 Considérons la stratégie suivante Début de période : emprunt de N en post-compté, et prêt de N/1 r p ) en précompté le bilan est nul) Fin de période : retour des N/1 r p ) prêtés et payement du principal et des intérêts de l emprunt, soit N1 + r) Le bilan ne peut être positif, sans quoi on aurait une opportunité d arbitrage, donc N1 + r) N/1 r p ) La stratégie inverse implique que N1 + r) N/1 r p ) Donc 1 + r)1 r p ) = 1 4 Taux équivalents On note r k le taux composé à capitalisation toutes les k périodes Quelle relation doit exister entre r k et r pk si p IN? Solution : Un raisonnement par opportunité d arbitrage donne : pour tout capital initial N, N1 + r k ) p = N1 + r pk ) La relation est donc : 1 + r k ) p = 1 + r pk 5 Taux d intérêts et taux de change Considérons une économie à deux dates et deux pays On note par r d le taux d intérêt domestique, et par r e le taux d intérêt étranger sur la période considérée On désigne par τ 0 et τ 1 le taux de change domestique/étranger aux dates 0 et 1, c est à dire : τ i unités en monnaie domestique à la date i 1 unité en monnaie étrangère à la date i On suppose qu il y a parfaite mobilité des capitaux En utilisant un raisonnement d absence d arbitrage, trouver une relation entre r d, r e, τ 0 et τ 1 Solution : Montrons que τ r e ) = τ r d ) Pour simplifier, appelons la monnaie domestique l euro et la monnaie étrangère de yen Considérons la stratégie suivante A la date 0, on emprunte τ 0 euros, que l on convertit en 1 yen, placé au taux sans risque au Japon bilan nul à la date 0) A la date 1, on récupère 1 + r e ) yens, que l on convertit en τ r e ) euros, et on paye τ r d ) pour notre emprunt initial 3
4 En absence d arbitrage, le bilan ne peut être positif, donc τ r e ) τ r d ) Considérons maintenant la stratégie suivante A la date 0, on emprunte 1 yen, que l on convertit en τ 0 euros, placé au taux sans risque en Europe bilan nul à la date 0) A la date 1, on récupère τ r d ) euros, que l on convertit en τ r d )/τ 1 yens, et on paye 1 + r e yens pour notre emprunt initial En absence d arbitrage, le bilan ne peut être positif, donc 1 + r e τ r d )/τ 1 6 Taux forward, courbe de taux et zéro-coupons Cet exercice porte sur les taux d intérêt ou d emprunt à l état, appelés taux sans risque, dans leur version discrète On se place à un instant qui correspondra à la date 0 et on note, pour 0 k l entiers, r k,l la valeur actuelle le taux composé sur la période [k, l] pour un placement effectué à la date k Ce taux s appelle le taux forward actuel pour la période [k, l] 1 Exprimer, en l absence d opportunité d arbitrage, r k,l en fonction des r i,i+1 2 On note, pour k 0, rk) = r 0,k le taux d intérêt composé correspondant à un emprunt de maturité k à capitalisation par période la fonction k rk) est appelé courbe des taux) Exprimer r k 1,k en fonction de cette fonction Donner le taux forward mensuel actuel on se place début janvier 2008) pour le mois de juin 2008 si les taux d intérêt mensuels pour des placements effectués aujourd hui à maturités respectives fin mai 2008 et fin juin 2008 sont 0,5% et 0,6% Pouvait-on prévoir sans calcul que ce taux serait supérieur à 0,6%? 3 Calculer rk) dans le cas particulier où r i,i+1 = r ne dépend pas de i 4 On vous propose de vous donner 1 euros en k contre le paiement en j d un montant Bj, k), j < k Que vaut Bj, k)? En déduite que connaître la fonction k B0, k) courbe zéro-coupon) est équivalent à connaître la fonction k rk) l 1 Solution : 1 On a 1 + r k,l ) l k = 1 + r i,i+1 ) l arbitrage se construit facilement si i=k cette propriété n est pas vérifiée) k 1 2 On a 1 + rk)) k = 1 + r i,i+1 ), donc 1 + r k 1,k = 1+rk))k Dans l exemple, 1+rk 1)) k 1 i=0 on cherche r 5,6 pour r5) = 0, 005 et r6) = 0, 006 Le calcul est aisé, on obtient un taux de 1,1% 3 Si r i,i+1 = r ne dépend pas de i, 1 + rk)) k = 1 + r) k, donc rk) = r 4 On a Bj, k)1 + r j,k ) k j = 1, donc Bj, k) = 1 + r j,k ) k j) La conclusion est immédiate 7 Taux instantané, courbe des taux instantanés Cet exercice porte sur les taux d intérêt ou d emprunt à l état, appelés taux sans risque, dans leur version continue On travaille ici avec les taux annuels continus, c est à dire que dire "le taux annuel continu pour un investissement I de durée T est r" signifie que un investissement de N euros dans I de durée T rapporte Ne T r euros à la fin de l investissement T est compté en années, et n est pas forcément entier, c est l avantage de la notion de "taux continu" 4
5 On a maintenant un repérage du temps continu On se place à un instant qui correspondra à la date 0 et on note, pour 0 t t non forcément entiers), r t,t la valeur actuelle le taux annuel continu sur la période [t, t ] pour un placement effectué à la date t Ce taux s appelle le taux forward annuel continu actuel pour la période [t, t ] 1 Exprimer, pour 0 t t t, en l absence d opportunité d arbitrage, la relation entre r t,t, r t,t et r t,t 2 On note, pour t 0, rt) = r 0,t la fonction t rt) est appelé courbe des taux continus) Exprimer r t,t en fonction de cette fonction Donner le taux forward annuel continu actuel on se place début janvier 2008) pour le mois de septembre 2008 si les taux d intérêt annuels pour des placements effectués aujourd hui à maturités respectives fin août 2008 et fin septembre 2008 sont 3,00% et 3,07% Pouvait-on prévoir sans calcul que ce taux serait supérieur à 3,07%? 3 On suppose la fonction t rt) dérivable Donner la limite r F t) de r t,t quand t tend vers t, appelée taux forward annuel instantané à maturité t 4 Soit 0 t < t On vous propose de vous donner 1 euros en t contre le paiement en t d un montant Bt, t ) Que vaut Bt, t )? En déduite que connaître la fonction t B0, t) courbe zéro-coupon) est équivalent à connaître la fonction t rt) Solution : 1 On a e t t)r t,t = e t t)r t,t e t t )r t,t, ie t t)r t,t = t t)r t,t + t t )r t,t l arbitrage se construit facilement si cette propriété n est pas vérifiée) 2 D après la relation précédente, t rt ) = trt) + t t)r t,t, donc r t,t = t rt ) trt) t t = rt) + t rt ) rt) t t Dans l exemple, on cherche r 8/12,9/12 pour r8/12) = 0, 03 et r9/12) = 0, 031 Le calcul est aisé, on obtient un taux de 3,9% 3 D après la formule r t,t = rt) + t rt ) rt), r t t F t) = rt) + tr t) 4 On a Bt, t )e t t)r t,t = 1, donc Bt, t ) = e t t)r t,t La conclusion est immédiate 8 Taux swap On considère une économie à n périodes Le taux composé pour la période [k 1, k] est r k 1 Soit k un entier positif Rappeler le prix, à l instant 0, d un flux de N euros à recevoir à l instant k 2 On vous propose d échanger les flux suivants : a vous recevez rn à chaque fin de période pendant n périodes, 0 < r < 1 b vous payez c k N en fin de chacune des périodes [k 1, k], 0 < c k < 1, k = 1,, n Donner l équation que doit vérifier r pour que a et b soient équivalents la solution est appelé taux swap du flux b) Indication : on calculera le prix, à l instant 0, de chacun des deux flux Solution : 1 Le prix, à l instant 0, d un flux de N euros à recevoir à l instant k est 1 NBk), avec Bk) = 1+r 1 )1+r 2 ) 1+r k ) 2 Le prix du premier flux est rnbk), 5
6 alors que celui du deuxième est On doit donc avoir c k NBk) r = c k Bk) Bk) 9 Taux actuariel Vous voulez disposer de N sur n périodes Vous avez le choix entre a Emprunter auprès d une banque au taux composé r b Dans ce cas, la banque vous demande de payer immédiatement des frais de gestion égaux à α la somme empruntée, α ]0, 1[ b Emprunter sur le marché au taux composé r Calculer r qui rend a et b équivalents c est le taux actuariel associé à l opération a) Solution : Même genre de calculs que dans l exercice précédent 10 Remboursement d emprunt 1 Soit u n une suite de réels telle qu il existe λ, µ, b IR, avec λ µ,tels que pour tout n, u n+1 = λu n + bµ n Exprimer u n en fonction de n et u 0 on pourra diviser la formule précédente par λ n+1 ) 2 On considère un prêt d un montant V 0 au taux d intérêt composé) r, pour une durée de n périodes On note par I k et D k l intérêt et le remboursement du capital à payer à la fin de la période k On désigne par A k = I k + D k l annuité de la période k Calculer les I k, D k et A k dans les cas suivants a Les annuités suivent une progression de la forme : A k+1 = 1 + β)a k et A 1 = a, où β est une constante donnée strictement supérieure à r b Les flux de remboursement du capital suivent une progression de la forme : D k+1 = 09 D k et D 1 = d Solution : 1 Soit v n = u n λ n On a v n+1 v n = b/λ)µ/λ) n Donc n 1 v n = v 0 + b/λ) µ/λ) i = v 0 + b 1 µ/λ)n λ µ i=0 2 Soit V k le capital dû durant la période [k, k+1[ On a I k = rv k 1 et V k = V k 1 D k = 1 + r)v k 1 A k 6
7 a Ici, A k = a 1+β 1 + β)k, donc on a V n = 1 + r)v n 1 a 1 + β 1 + β)n La formule précédente donne V k I k et D k en découlent b Ici, D k = d 0,9 0, 9k, donc on a V n = V n 1 d 0, 9 0, 9n La formule précédente donne V k I k et D k en découlent Bibliographie sommaire pour découvrir le vocabulaire de la finance : Les premiers TDs porteront sur la découverte de "l approche financière" des questions traitées et sur l apprentissage de points de vocabulaire Le polycopié du cours et les TD avec corrigés suffisent, mais au besoin, j ai ajouté ici un bibliographie Options, futures, et autres actifs dérivés, John Hull, chez Pearson Les mathématiques financières : évaluation des actifs et analyse du risque, Poucet, Portait, Hayat Mathématiques financières, Edith Ginglinger, Jean-Marie Hasquenoph, chez Economica Méthodes mathématiques pour la finance, Argaud, Dubois, chez Ellipses Pour le reste la partie plus mathématique) du cours, le livre suivant est très bien : Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, D Lamberton, B Lapeyre, chez Ellispes A Course in Financial Calculus, Alison Etheridge, chez Cambridge University Press ; 1 edition July 15, 2002) De plus, les corrigés ainsi que, éventuellement, des exercices supplémentaires devoirs à faire librement, non corrigés) seront régulièrementrendus disponibles à l adresse suivante : 7
LISTE D EXERCICES 2 (à la maison)
Université de Lorraine Faculté des Sciences et Technologies MASTER 2 IMOI, parcours AD et MF Année 2013/2014 Ecole des Mines de Nancy LISTE D EXERCICES 2 (à la maison) 2.1 Un particulier place 500 euros
Plus en détailPropriétés des options sur actions
Propriétés des options sur actions Bornes supérieure et inférieure du premium / Parité call put 1 / 1 Taux d intérêt, capitalisation, actualisation Taux d intéret composés Du point de vue de l investisseur,
Plus en détailÉléments de calcul actuariel
Éléments de calcul actuariel Master Gestion de Portefeuille ESA Paris XII Jacques Printems printems@univ-paris2.fr 3 novembre 27 Valeur-temps de l argent Deux types de décisions duales l une de l autre
Plus en détailPlan. 5 Actualisation. 7 Investissement. 2 Calcul du taux d intérêt 3 Taux équivalent 4 Placement à versements fixes.
Plan Intérêts 1 Intérêts 2 3 4 5 6 7 Retour au menu général Intérêts On place un capital C 0 à intérêts simples de t% par an : chaque année une somme fixe s ajoute au capital ; cette somme est calculée
Plus en détailMATHÉMATIQUES FINANCIÈRES
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES Table des matières Version 2012 Lang Fred 1 Intérêts et taux 2 1.1 Définitions et notations................................ 2 1.2 Intérêt simple......................................
Plus en détailChapitre 4 - La valeur de l argent dans le temps et l'actualisation des cash-flows
Chapitre 4 - La valeur de l argent dans le temps et l'actualisation des cash-flows Plan Actualisation et capitalisation Calculs sur le taux d intérêt et la période Modalités de calcul des taux d intérêts
Plus en détailSuites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites
Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est
Plus en détailLicence 2 Mathématiques- Semestre 3 Introduction aux mathématiques
Licence 2 Mathématiques- Semestre 3 Introduction aux mathématiques financières Année universitaire 2010-11 1 Version Septembre 2010 1 Responsable du cours: Marie-Amélie Morlais 2 0.1 Plan sommaire du cours
Plus en détailApllication au calcul financier
Apllication au calcul financier Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 1 er novembre 2011 Intérêts Généralités L intérêt est la rémunération du placement d argent. Il dépend : du taux d intérêts
Plus en détailCORRIGES DES CAS TRANSVERSAUX. Corrigés des cas : Emprunts
CORRIGES DES CAS TRANSVERSAUX Corrigés des cas : Emprunts Remboursement par versements périodiques constants - Cas E1 Objectifs : Construire un échéancier et en changer la périodicité, Renégocier un emprunt.
Plus en détailMathématiques financières
Mathématique financière à court terme I) Les Intérêts : Intérêts simples Mathématiques financières - Intérêts terme échu et terme à échoir - Taux terme échu i u équivalent à un taux terme à échoir i r
Plus en détailTP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options
Université de Lorraine Modélisation Stochastique Master 2 IMOI 2014-2015 TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options 1 Les options Le but de ce
Plus en détailEXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE
EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE OLIVIER COLLIER Exercice 1 (2012) Une entreprise veut faire un prêt de S euros auprès d une banque au taux annuel composé r. Le remboursement sera effectué en n années par
Plus en détailERRATA ET AJOUTS. ( t) 2 s2 dt (4.7) Chapitre 2, p. 64, l équation se lit comme suit : Taux effectif = 1+
ERRATA ET AJOUTS Chapitre, p. 64, l équation se lit comme suit : 008, Taux effectif = 1+ 0 0816 =, Chapitre 3, p. 84, l équation se lit comme suit : 0, 075 1 000 C = = 37, 50$ Chapitre 4, p. 108, note
Plus en détailThéorie Financière 2. Valeur actuelle Evaluation d obligations
Théorie Financière 2. Valeur actuelle Evaluation d obligations Objectifs de la session. Comprendre les calculs de Valeur Actuelle (VA, Present Value, PV) Formule générale, facteur d actualisation (discount
Plus en détailMathématiques pour la finance Définition, Evaluation et Couverture des Options vanilles Version 2012
Mathématiques pour la finance Définition, Evaluation et Couverture des Options vanilles Version 2012 Pierre Andreoletti pierre.andreoletti@univ-orleans.fr Bureau E15 1 / 20 Objectifs du cours Définition
Plus en détailMathématiques financières
Ecole Nationale de Commerce et de Gestion de Kénitra Mathématiques financières Enseignant: Mr. Bouasabah Mohammed ) بوعصابة محمد ( ECOLE NATIONALE DE COMMERCE ET DE GESTION -KENITRA- Année universitaire:
Plus en détailProbabilités III Introduction à l évaluation d options
Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013 1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un
Plus en détailLes mathématiques de la finance Université d été de Sourdun Olivier Bardou olivier.bardou@gdfsuez.com 28 août 2012 De quoi allons nous parler? des principales hypothèses de modélisation des marchés, des
Plus en détailMathématiques financières
Mathématiques financières Table des matières 1 Intérêt simple 1 1.1 Exercices........................................ 1 2 Intérêt composé 2 2.1 Taux nominal, taux périodique, taux réel.......................
Plus en détailANALYSE GÉNÉRALE - PROPOSITION DE CORRIGÉ. Exercice 1
ANALYSE GÉNÉRALE - PROPOSITION DE CORRIGÉ OLIVIER COLLIER Exercice 1 Le calcul de la banque. 1 Au bout de deux ans, la banque aurait pu, en prêtant la somme S 1 au taux d intérêt r pendant un an, obtenir
Plus en détailDérivés Financiers Contrats à terme
Dérivés Financiers Contrats à terme Mécanique des marchés à terme 1) Supposons que vous prenez une position courte sur un contrat à terme, pour vendre de l argent en juillet à 10,20 par once, sur le New
Plus en détailLe modèle de Black et Scholes
Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un
Plus en détailExercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2
Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats On considère la fonction A définie sur l'intervalle [1 ; + 00 [ par A(x) = 1-e -0039' ' x 1. Calculer la
Plus en détailDUT Techniques de commercialisation Mathématiques et statistiques appliquées
DUT Techniques de commercialisation Mathématiques et statistiques appliquées Francois.Kauffmann@unicaen.fr Université de Caen Basse-Normandie 3 novembre 2014 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat
Plus en détailChapitre 5. Calculs financiers. 5.1 Introduction - notations
Chapitre 5 Calculs financiers 5.1 Introduction - notations Sur un marché économique, des acteurs peuvent prêter ou emprunter un capital (une somme d argent) en contrepartie de quoi ils perçoivent ou respectivement
Plus en détailIntérêts. Administration Économique et Sociale. Mathématiques XA100M
Intérêts Administration Économique et Sociale Mathématiques XA100M 1. LA NOTION D INTÉRÊT 1.1. Définition. Définition 1. L intérêt est la rémunération d un prêt d argent effectué par un agent économique
Plus en détailMa banque, mes emprunts et mes intérêts
Ma banque, mes emprunts et mes intérêts Alexandre Vial 0 janvier 2009 Les intérêts cumulés Je place 00 e à 4% par an pendant un an. Donc au bout d un an, j ai 00 + 00. 4 = 00 00( + 4 ) =04 e. 00 Cependant,
Plus en détailOptions, Futures, Parité call put
Département de Mathématiques TD Finance / Mathématiques Financières Options, Futures, Parité call put Exercice 1 Quelle est la différence entre (a) prendre une position longue sur un forward avec un prix
Plus en détailChapitre 4 : cas Transversaux. Cas d Emprunts
Chapitre 4 : cas Transversaux Cas d Emprunts Échéanciers, capital restant dû, renégociation d un emprunt - Cas E1 Afin de financer l achat de son appartement, un particulier souscrit un prêt auprès de
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailCalcul et gestion de taux
Calcul et gestion de taux Chapitre 1 : la gestion du risque obligataire... 2 1. Caractéristique d une obligation (Bond/ Bund / Gilt)... 2 2. Typologie... 4 3. Cotation d une obligation à taux fixe... 4
Plus en détailMaster IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1
Master IMEA Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o Corrigé exercices8et9 8. On considère un modèle Cox-Ross-Rubinstein de marché (B,S) à trois étapes. On suppose que S = C et que les facteurs
Plus en détailThéorie Financière 8 P. rod i u t its dé dérivés
Théorie Financière 8P 8. Produits dit dérivés déié Objectifsdelasession session 1. Définir les produits dérivés (forward, futures et options (calls et puts) 2. Analyser les flux financiers terminaux 3.
Plus en détailProblèmes de crédit et coûts de financement
Chapitre 9 Problèmes de crédit et coûts de financement Ce chapitre aborde un ensemble de préoccupations devenues essentielles sur les marchés dedérivésdecréditdepuislacriseducréditde2007.lapremièredecespréoccupations
Plus en détailL Equilibre Macroéconomique en Economie Ouverte
L Equilibre Macroéconomique en Economie Ouverte Partie 3: L Equilibre Macroéconomique en Economie Ouverte On abandonne l hypothèse d économie fermée Les échanges économiques entre pays: importants, en
Plus en détailChapitre 1. L intérêt. 2. Concept d intérêt. 1. Mise en situation. Au terme de ce chapitre, vous serez en mesure de :
Chapitre 1 L intérêt Au terme de ce chapitre, vous serez en mesure de : 1. Comprendre la notion générale d intérêt. 2. Distinguer la capitalisation à intérêt simple et à intérêt composé. 3. Calculer la
Plus en détailFiche mathématiques financières
Fiche mathématiques financières Thème 1 : Les taux d'intérêts simples et composés Taux d'intérêts simples : Les taux d'intérêts simples sont appliqués dans le cas d'emprunts dont la durée est inférieure
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailMATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Quinzième cours Détermination des valeurs actuelle et accumulée d une annuité de début de période pour laquelle la période de paiement est plus courte que la période de capitalisation
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détail0DWKpPDWLTXHVGHO DUJHQW. édité par Mr. G.Moumoulidis (OTE)
3/$,78'RF) 0DWKpPDWTXHVGHO DUJHQW HW OHVpWXGHVWHFKQTXHVpFRQRPTXHV édité par Mr. G.Moumoulidis (OTE) 8,2,7(5$7,2$/('(67(/(&2008,&$7,26,7(5$7,2$/7(/(&2008,&$7,28,2 8,2,7(5$&,2$/'(7(/(&208,&$&,2(6 - - 0DWKpPDWTXHVGHO
Plus en détailPRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE
Université Paris VII - Agrégation de Mathématiques François Delarue) PRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE Ce texte vise à modéliser de façon simple l évolution d un actif financier à risque, et à introduire,
Plus en détailLes techniques des marchés financiers
Les techniques des marchés financiers Corrigé des exercices supplémentaires Christine Lambert éditions Ellipses Exercice 1 : le suivi d une position de change... 2 Exercice 2 : les titres de taux... 3
Plus en détailI. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème.
I. Introduction. 1. Objectifs. Le but de ces quelques séances est d introduire les outils mathématiques, plus précisément ceux de nature probabiliste, qui interviennent dans les modèles financiers ; nous
Plus en détail15/02/2009. Le calcul des intérêts. Le calcul des intérêts. Le calcul des intérêts Les intérêts simples. Le calcul des intérêts Les intérêts simples
Le taux d intérêt Comparer ce qui est comparable 2 Chapitre 1 La valeur du temps Aide-mémoire - 2009 1 Deux sommes de même montant ne sont équivalentes que si elles sont considérées à une même date. Un
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailANNUITES. Les annuités définissent une suite de versements identiques ou non effectués à intervalles de temps égaux. -annuités non constantes
ANNUITES I Notions d annuités a.définition Les annuités définissent une suite de versements identiques ou non effectués à intervalles de temps égaux. Le processus de versements dépend du montant de l annuité,
Plus en détailLA GESTION DU RISQUE DE CHANGE. Finance internationale, 9 ème édition Y. Simon et D. Lautier
LA GESTION DU RISQUE DE CHANGE 2 Section 1. Problématique de la gestion du risque de change Section 2. La réduction de l exposition de l entreprise au risque de change Section 3. La gestion du risque de
Plus en détailDérivés Financiers Options
Stratégies à base d options Dérivés Financiers Options 1) Supposons que vous vendiez un put avec un prix d exercice de 40 et une date d expiration dans 3 mois. Le prix actuel de l action est 41 et le contrat
Plus en détailLES INFORMATIONS GÉNÉRALES
GUIDE D UTILISATION Calculatrice Texas Instrument BA II Plus Avril 2007 LES INFORMATIONS GÉNÉRALES La calculatrice financière Texas Instrument BA II Plus a été conçue pour satisfaire aux diverses applications
Plus en détailPrix et couverture d une option d achat
Chapitre 1 Prix et couverture d une option d achat Dans cette première leçon, on explique comment on peut calculer le prix d un contrat d option en évaluant celui d un portefeuille de couverture de cette
Plus en détailBaccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008
Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats f est une fonction définie sur ] 2 ; + [ par : 4 points f (x)=3+ 1 x+ 2. On note f sa fonction dérivée et (C ) la représentation
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailCHAPITRE 1. Suites arithmetiques et géometriques. Rappel 1. On appelle suite réelle une application de
HAPITRE 1 Suites arithmetiques et géometriques Rappel 1 On appelle suite réelle une application de dans, soit est-à-dire pour une valeur de la variable appartenant à la suite prend la valeur, ie : On notera
Plus en détailTable des matières. Avant-propos. Chapitre 2 L actualisation... 21. Chapitre 1 L intérêt... 1. Chapitre 3 Les annuités... 33 III. Entraînement...
III Table des matières Avant-propos Remerciements................................. Les auteurs..................................... Chapitre 1 L intérêt............................. 1 1. Mise en situation...........................
Plus en détailDCG 6. Finance d entreprise. L essentiel en fiches
DCG 6 Finance d entreprise L essentiel en fiches DCG DSCG Collection «Express Expertise comptable» J.-F. Bocquillon, M. Mariage, Introduction au droit DCG 1 L. Siné, Droit des sociétés DCG 2 V. Roy, Droit
Plus en détailQUESTIONS D ENTRETIENS EN FINANCE DE MARCHE
QUESTIONS D ENTRETIENS EN FINANCE DE MARCHE Le présent document est un recueil de questions, la plupart techniques, posées à des candidats généralement jeunes diplômés, issus d école d ingénieurs, de commerce
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailProbabilités conditionnelles Exercices corrigés
Terminale S Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Exercice : (solution Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation.
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailMODELES DE LA COURBE DES TAUX D INTERET. UNIVERSITE d EVRY Séance 1. Philippe PRIAULET
MODELES DE LA COURBE DES TAUX D INTERET UNIVERSITE d EVRY Séance 1 Philippe PRIAULET Plan du Cours Introduction Définition de la courbe des taux La multitude de courbes des taux Pourquoi utiliser un modèle
Plus en détailLa valeur présente (ou actuelle) d une annuité, si elle est constante, est donc aussi calculable par cette fonction : VA = A [(1-1/(1+k) T )/k]
Evaluation de la rentabilité d un projet d investissement La décision d investir dans un quelconque projet se base principalement sur l évaluation de son intérêt économique et par conséquent, du calcul
Plus en détailFinance 1. Université d Evry Val d Essonne Séance 4. Philippe PRIAULET
Finance 1 Université d Evry Val d Essonne Séance 4 Philippe PRIAULET Plan de la formation Les swaps Définition Terminologie, convention et cotation Utilisations en pratique des swaps Evaluation des swaps
Plus en détailBACCALAURÉAT PROFESSIONNEL SUJET
SESSION 203 Métropole - Réunion - Mayotte BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE E4 CULTURE SCIENTIFIQUE ET TECHNOLOGIQUE : MATHÉMATIQUES Toutes options Durée : 2 heures Matériel(s) et document(s) autorisé(s)
Plus en détailLeçon 01 Exercices d'entraînement
Leçon 01 Exercices d'entraînement Exercice 1 Etudier la convergence des suites ci-dessous définies par leur terme général: 1)u n = 2n3-5n + 1 n 2 + 3 2)u n = 2n2-7n - 5 -n 5-1 4)u n = lnn2 n+1 5)u n =
Plus en détailChapitre 14 Cours à terme et futures. Plan
hapitre 14 ours à terme et futures Plan Différences entre contrat à terme et contrat de future Fonction économique des marchés de futures Rôle des spéculateurs Futures de matières premières Relation entre
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailQuestion 1: Analyse et évaluation des obligations / Gestion de portefeuille
Question 1: Analyse et évaluation des obligations / Gestion de portefeuille (33 points) Monsieur X est un gérant de fonds obligataire qui a repris la responsabilité de gestion du portefeuille obligataire
Plus en détailMATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA
MATHS FINANCIERES Mireille.Bossy@sophia.inria.fr Projet OMEGA Sophia Antipolis, septembre 2004 1. Introduction : la valorisation de contrats optionnels Options d achat et de vente : Call et Put Une option
Plus en détailNombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative
Plus en détailLa maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES. Ce qui est demandé. Les étapes du travail
La maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES Suites géométriques, fonction exponentielle Copyright c 2004 J.- M. Boucart GNU Free Documentation Licence L objectif de cet exercice
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailLE RISQUE DE CHANGE INTRODUCTION : LE MARCHE DES CHANGES : ORGANISATION ET FONCTIONNEMENT. touscours.net
LE RISQUE DE CHANGE INTRODUCTION : LE MARCHE DES CHANGES : ORGANISATION ET FONCTIONNEMENT I. LE MARCHE AU COMPTANT : A. DEFINITION : Le marché au comptant, encore appelé «marché spot» est le marché sur
Plus en détailL emprunt indivis - généralités
L emprunt indivis - généralités Les modalités de calcul d un échéancier de remboursement d un emprunt indivis forment un thème d étude des outils de gestion en BTS HR (partie mathématiques financières)
Plus en détailOptions et Volatilité (introduction)
SECONDE PARTIE Options et Volatilité (introduction) Avril 2013 Licence Paris Dauphine 2013 SECONDE PARTIE Philippe GIORDAN Head of Investment Consulting +377 92 16 55 65 philippe.giordan@kblmonaco.com
Plus en détailFeuille TD n 1 Exercices d algorithmique éléments de correction
Master Sciences, Technologies, Santé Mention Mathématiques, spécialité Enseignement des mathématiques Algorithmique et graphes, thèmes du second degré Feuille TD n 1 Exercices d algorithmique éléments
Plus en détailGUIDE D UTILISATION ODT
GUIDE D UTILISATION ODT Chapitre 1 : Observatoire de la dette I- Données générales sur la dette Chiffre d affaires Indiquer le chiffre d affaires de l EPS. Cette donnée correspond aux recettes générées
Plus en détailChapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques
Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer
Plus en détailSeconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailChapitre 2 : l évaluation des obligations
Chapitre 2 : l évaluation des obligations 11.10.2013 Plan du cours Flux monétaires, prix et rentabilité Bibliographie: caractéristiques générales Berk, DeMarzo: ch. 8 obligations zéro-coupon obligations
Plus en détailCorrection du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Plus en détailContents. 1 Introduction Objectifs des systèmes bonus-malus Système bonus-malus à classes Système bonus-malus : Principes
Université Claude Bernard Lyon 1 Institut de Science Financière et d Assurances Système Bonus-Malus Introduction & Applications SCILAB Julien Tomas Institut de Science Financière et d Assurances Laboratoire
Plus en détailLes instruments d une bonne gestion financière: budget et prévisions
Chapitre 9 Les instruments d une bonne gestion financière: budget et prévisions Savoir utiliser son argent est un art et un art qui paie. Comme toutes les ressources, l argent peut être utilisé à bon ou
Plus en détailHedging delta et gamma neutre d un option digitale
Hedging delta et gamma neutre d un option digitale Daniel Herlemont 1 Introduction L objectif de ce projet est d examiner la couverture delta-gamma neutre d un portefeuille d options digitales Asset-Or-Nothing
Plus en détailTD1 PROPAGATION DANS UN MILIEU PRESENTANT UN GRADIENT D'INDICE
TD1 PROPAGATION DANS UN MILIEU PRESENTANT UN GRADIENT D'INDICE Exercice en classe EXERCICE 1 : La fibre à gradient d indice On considère la propagation d une onde électromagnétique dans un milieu diélectrique
Plus en détailChapitre 2. Valeur temps de l argent : arbitrage, actualisation et capitalisation
Fondements de Finance Chapitre 2. Valeur temps de l argent : arbitrage, actualisation et capitalisation Cours proposé par Fahmi Ben Abdelkader Version étudiants Février 2012 1 Préambule «Time is money»
Plus en détailProgrammation linéaire
Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire
Plus en détailLe multicurving et l importance du spread de base dans l évaluation actuelle des swaps de taux. Alexandre Nakhle
Le multicurving et l importance du spread de base dans l évaluation actuelle des swaps de taux d intérêt Alexandre Nakhle 19 décembre 2012 Remerciements Je tiens à remercier toutes les personnes suivantes
Plus en détailGestion des risques financiers 4 ème année ESCE. Chapitre 4
Gestion des risques financiers 4 ème année ESCE Chapitre 4 1) et entrent dans un swap de taux plain vanilla le 5 septembre 2009 pour une durée de deux ans où s engage à payer à le taux de 2% par an (en
Plus en détail